ESCUELA NORMAL SUPERIOR DEL SUR DE

TAMAULIPASTRABAJO:

RESTA O SUSTRACCIÓN

PROFESOR: JOSÉ CALIXTO SALAS GONZÁLEZ

SEMESTRE: ESPECIALIDAD:

3° MATEMÁTICAS

OBJETIVO:

Dada la suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta, exceso o diferencia).

93,25458,07635, 178

58,07635,17893,254

2) Restando la diferencia del

minuendo, debiendo ser el

sustraendo

Pruebas:

1) Sumando el sustraendo con la

diferencia, debiendo dar el

minuendo.

15,20013,896 1,304

15,200 1,30413,896

REPRESENTACIÓN GRAFICA.

A

DC

B

7

4

Leyes de la resta:

Ley de uniformidad: La diferencia de dos números tiene un valor único o siempre es igual.

11 – 3 = 8 únicamente por que 8 es el único número que sumado con 3 da 11.

Restando miembro a miembro dos igualdades resulta otra igualdad.

a=35=b

a-5=3-b

Leyes de la resta:

Ley de uniformidad: La diferencia de dos números tiene un valor único o siempre es igual.

11 – 3 = 8 únicamente por que 8 es el único número que sumado con 3 da 11.

Restando miembro a miembro dos igualdades resulta otra igualdad.

a=35=b

a-5=3-b

Ley de monotonía: consta de tres partes. 1) Si una desigualdad (minuendo) se resta una igualdad (sustraendo), siempre que la resta se pueda efectuar resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad minuendo.

8>52=2

8-2>5-26>3

2) Si una desigualdad (minuendo) se resta una igualdad (sustraendo), siempre que la resta se pueda efectuar resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad sustraendo.

9=95>3

9-5<9-34<6

3) Si una desigualdad se resta otra desigualdad de sentido contrario, siempre que la resta sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad del minuendo.

7>42<3

7-2>4-35>1

Alteraciones del minuendo y el sustraendo.

1) Si el minuendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el sustraendo no varía, la diferencia queda aumentada o disminuida en el mismo número.

9-7=2(9+3)-7=2 + 3

12-7= 5

2) Si el sustraendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el minuendo no varía, la diferencia disminuye en el primer caso y aumenta en el segundo el mismo número.

10-3=710-(3+5)= 7 – 5

10-8= 2

3) Si el minuendo y el sustraendo aumenta o disminuyen a la vez un mismo número, la diferencia no varía.

15-6=9(15+2)-(6+2)=9

17-8=9

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TAMAULIPASTRABAJO:

RESTA O SUSTRACCIÓN

PROFESOR: JOSÉ CALIXTO SALAS GONZÁLEZ

SEMESTRE: ESPECIALIDAD:

3° MATEMÁTICAS

Operaciones indicadas de

suma y resta …SE VERÁN LAS OPERACIONES INDICADAS DE SUMA Y RESTA PRIMERO DESDE UN PUNTO DE VISTA PRACTICO Y LUEGO BAJO UN ASPECTO TEÓRICO.

Practica … OPERACIONES SIN SIGNO DE AGRUPACIÓNESTAS OPERACIONES SE EFECTÚAN EN EL ORDEN QUE SE HALLAN

5+4-3+2 = 5+4= 9; 9-3= 6; 6+2= 8

Operaciones indicadas de

suma y resta …Operaciones en que hay signos de agrupación..

LAS OPERACIONES CERRADAS DENTRO DE LOS PARÉNTESIS, HASTA CONVERTIRLAS EN UN SOLO NUMERO Y LUEGO EFECTUAR LAS OPERACIONES QUE QUEDEN INDICADAS.SE EFECTÚAN PRIMERO LAS OPERACIONES ENCERRADAS ENTRE LOS PARÉNTESIS.

(7-2) + (5+4) –(3-2) =

Operaciones indicadas de

suma y resta …Teoría …ESTUDIAREMOS AHORA EL MÉTODO DE EFECTUAR LAS OPERACIONES INDICADAS DE SUMA Y RESTA, FUNDADO EN LAS PROPIEDADES DE LA SUMA Y LA RESTA. ES NECESARIO CONOCER ESTE MÉTODO PORQUE SI LAS CANTIDADES ESTÁN REPRESENTADAS POR LETRAS NO PODEMOS EFECTUAR LAS OPERACIONES ENCERRADAS EN LOS PARÉNTESIS Y POR TANTO NO SE PUEDE APLICAR EL MÉTODO EXPLICADO ANTERIORMENTE.

Operaciones indicadas de

suma y resta …Suma …Suma de un numero y una suma indicada.Para sumar un numero con una suma indicada el numero con uno cualquiera de los sumandos de la suma.

Sea la operación (2+3+4)+5, decimos que : (2+3+4 )+5=2+(3+5)+4=14En efecto: al sumar el numero 5 con el sumando 3, la suma (2+3+4) queda aumentada en unidades porque si un sumando se aumenta en un numero cualquiera la suma queda aumentada en dicho numero.

Operaciones indicadas de

suma y resta …Suma de dos sumas indicadas

PARA SUMAR DOS SUMAS INDICADAS SE SUMAN TODOS LOS SUMANDOS QUE LA FORMAN .SEA LA OPERACIÓN (5+6) +(7+8), DECIMOS QUE:

(5+6)+(7+8)= 5+6+7+8=26EN EFECTO: AL AÑADIR LA SUMA 7+8 AL SUMANDO 6 DE LA PRIMERA, ESTA SUMA QUEDA AUMENTADA EN 7 +8 UNIDADES POR LA MISMA RAZÓN DEL CASO ANTERIOR.

Operaciones indicadas de

suma y resta …Suma de un numero y una diferencia indicada

PARA SUMAR UN NUMERO CON UNA DIFERENCIA INDICADA, SE SUMA EL NUMERO CON EL MINUENDO Y DE ESTA SUMA SE RESTA EL SUSTRAENDO.

SEA LA OPERACIÓN (7-5)+4, DECIMOS QUE:

(7-5)+4=(7+4)-5=11-5=6EN EFECTO: AL SUMAR EL NUMERO 4 AL MINUENDO, LA DIFERENCIA 7-5 QUEDA AUMENTADA EN 4 PORQUE HEMOS VISTO QUE SI EL MINUENDO SE AUMENTA EN UN NUMERO CUALQUIERA, LA DIFERENCIA QUE AUMENTADA EN ESE NUMERO.

Operaciones indicadas de

suma y resta …Suma de diferencias indicadas

PARA SUMAR DOS O MAS DIFERENCIAS INDICADAS, SE SUMAN LOS MINUENDOS Y DE ESTA SUMA SE RESTA LA SUMA DE LOS SUSTRAENDOS.

SEA LA OPERACIÓN (8-5)+(6-4), DECIMOS QUE:

(8-5)+(6-4)= (8+6)-(5+4) = 14-9=5

EN EFECTO: AL SUMAR EL MINUENDO 8 EL MINUENDO6, LA DIFERENCIA (8-5) QUE DA AUMENTADA EN 8 UNIDADES, PERO AL RESTAR EL SUSTRAENDO 6 QUEDA DISMINUIDA EN 6 UNIDADES, LUEGO SI LA SUMA (4+5) AUMENTA 8 Y DISMINUYE 6 AUMENTA 2 QUE ES LA DIFERENCIA 8-6

Operaciones indicadas de

suma y resta …Resta .. Resta de un numero y una suma indicada

PARA RESTAR DE UN NUMERO UNA SUMA INDICADA, SE RESTAN DEL NUMERO, UNO A UNO, TODOS LOS SUMANDOS DE LA SUMA.SEA LA OPERACIÓN 25-(2+3+4)= 25-2-3-4= 16

EN EFECTO: SI 25 SE DISMINUYE PRIMERO EN 2, DESPUÉS EN 3 Y LUEGO EN 4, QUEDA DISMINUIDO EN 9 UNIDADES QUE ES LA SUMA 2+3+4.

Resta de una suma indicada y un numero

PARA RESTA DE UNA SUMA INDICADA Y UN NUMERO, SE RESTA EL NUMERO DE CUALQUIER SUMANDO DE LA SUMA.

SEA LA OPERACIÓN (4+5+6)-3, PROBAR QUE: (4+5+6)-3=(4-3)+5+6=12

EN EFECTO: AL RESTAR EL 3 DE UNO DE LOS SUMANDOS DE LA SUMA,

ESTA QUEDA DISMINUIDA EN 3 UNIDADES.

Operaciones indicadas de

suma y resta …

Resta de un numero y una diferencia indicada

PARA RESTAR DE UN NUMERO UNA DIFERENCIA INDICADA, SE SUMA EL SUSTRAENDO CON EL NUMERO Y DE ESTA SUMA SE RESTA EL MINUENDOSEA L A OPERACIÓN 50-(8-5), QUE DECIMOS QUE : 50-(8-5)= (50+5)-8=47

EN EFECTO: SABEMOS QUE SI AL MINUENDO Y AL SUSTRAENDO DE UNA DIFERENCIA SE SUM A UN MISMO NUMERO, LA DIFERENCIA NO VARIA. AÑADIENDO 5 AL MINUENDO Y AL SUSTRAENDO DE LA DIFERENCIA 50-(8-5), TENEMOS. 50-(8-5)= (50+5)-(8-5+5) = (50+5)-8 POR QUE SI AL 8 RESTAMOS 5 Y LE SUMAMOS 5 QUEDA 8

Operaciones indicadas de

suma y resta …

Resta de una diferencia indicada y un numero

PARA RESTAR DE UNA DIFERENCIA INDICADA UN NUMERO, SE RESTA DEL MINUENDO LA SUMA DEL SUSTRAENDO Y EL NUMERO.SEA LA OPERACIÓN (15-7) -6, DECIMOS QUE:

(15-7) -6=15-(7+6)=15-13= 2EN EFECTO: AL SUMAR 6 CON EL SUSTRAENDO 7, LA DIFERENCIA 15-7 QUEDA DISMINUIDA EN 6 UNIDADES PORQUE SI AL SUSTRAENDO SE SUMA UN NUMERO CUALQUIERA. LA DIFERENCIA QUEDA DISMINUIDA EN ESTE NUMERO.

Operaciones indicadas de

suma y resta …

Resta de dos sumas indicadas

PARA RESTAR DOS SUMAS INDICADAS SE RESTAN DE LA PRIMERA SUMA, UNO A UNO, TODOS LOS SUMANDOS DE LA SEGUNDA SUMA.

SEA LA OPERACIÓN (4+5)-82+3)= 4+5-2-3=4

EN EFECTO: SI DE LA SUMA (4+5) RESTAMOS PRIMERO 2 Y DESPUÉS 3, ESTA SUMA QUEDA DISMINUIDA EN 5 UNIDADES QUE ES LA SUMA 2+3.

Operaciones indicadas de

suma y resta …

Resta de dos diferencias indicadas

PARA RESTAR DOS DIFERENCIAS INDICADAS, SE SUMA EL MINUENDO DE LA PRIMERA CON EL SUSTRAENDO DE LA SEGUNDA Y DE ESTA SUMA SE RESTA DEL SUSTRAENDO DE LA PRIMERA CON EL MINUENDO DE LA SEGUNDA.

SEA LA OPERACIÓN (8-1) –(5-3)=(8+3)-(5+1)= 11 -6=5

EN EFECTO: AL SUMAR EL SUSTRAENDO 3 CON EL MINUENDO 8 LA DIFERENCIA (8-1) QUEDA AUMENTADA EN 3 UNIDADES, PERO AL SUMAR EL MINUENDO 5 CON EL SUSTRAENDO 1 LA DIFERENCIA (8-1) QUEDA AUMENTADA EN 3 UNIDADES, PERO AL SUMAR EL MINUENDO 5 CON EL SUSTRAENDO 1 LA DIFERENCIA (8-1) QUEDA DISMINUIDA EN 5 UNIDADES; LUEGO SI (8-1) AUMENTA 3 DISMINUYE 5, EN DEFINITIVA DISMINUYE 2, QUE ES LA DIFERENCIA 5-3

Operaciones indicadas de

suma y resta …

Resta de una suma y una diferencia indicada.

PARA RESTAR DE UNA SUMA UNA DIFERENCIA INDICA, SE SUMA EL SUSTRAENDO CON LA SUMA INDICADA U DE ESTA SUMA SE RESTA EL MINUENDO. SEA LA OPERACIÓN (8+4)-(3-2), PROBAR QUE:

(8+4)-(3-2)=(8+4+2)-3= 14-3=11EN EFECTO: AL SUMAR EL SUSTRAENDO 2 CON LA SUMA (8+4) ESTA SUMA QUEDA AUMENTADA EN 2 UNIDADES, PERO AL RESTAR EL MINUENDO 3 DISMINUYE 3 UNIDADES, LUEGO SI AUMENTA 2 DISMINUYE 3 , DISMINUYE 1 UNIDAD QUE ES LA DIFERENCIA (3-2)

Operaciones indicadas de

suma y resta …

Casos particulares. La suma de dos números mas su diferencia en igual al doble del mayor.

SEAN LOS NÚMEROS 8Y 5, DECIMOS QUE : (8+5 )+(8-5)=2X8= 16

EN EFECTO : SABEMOS QUE PARA SUMAR UNA SUMA CON UNA DIFERENCIA, SE SUMA EL MINUENDO DE LA DIFERENCIA CON UNO DE LOS SUMANDOS DE LA SUMA Y DE ESTA SUMA SE RESTA EL SUSTRAENDO, LUEGO :

(8+5)+(8-5)=8+5+8-5=8+8+5-5=8+8= 2X8

Operaciones indicadas de

suma y resta …

La suma de dos números menos su diferencia es igual al doble del menor

SEAN LOS NÚMEROS 8 Y 5, DECIMOS QUE: (8+5)+(8-5)= 2X5=10

EN EFECTO: SABEMOS QUE PARA RESTAR DE UNA SUMA UNA DIFERENCIA SE SUMA EL SUSTRAENDO CON LA SUMA Y DE ESTA SUMA SE RESTA EL MINUENDO, LUEGO :

(8+5)-(8-5)=8+5-5+8= 5+5+8-8= 5+5= 2X5

Operaciones indicadas de

suma y resta …

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TAMAULIPASTRABAJO:

COMPLEMENTO ARITMÉTICOPROFESOR:

JOSÉ CALIXTO SALAS GONZÁLEZ

SEMESTRE: ESPECIALIDAD:

3° MATEMÁTICAS

COMPLEMENTO ARITMÉTICO El complemento aritmético de un número es la diferencia entre dicho número y una unidad de un orden superior a su cifra de mayor a menor.

1) El complemento aritmético de 98 es 100-98 = 22) El complemento aritmético de 356es 1000-356 = 6443) El complemento aritmético de 1,250es 10,000-1,250 = 8,750 4) El complemento aritmético de 14,200

es 100,000-14,200 = 85,800

REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL COMPLEMENTO DE UN NÚMERO

Se resta de 9 todas las cifras del número, empezando por la izquierda, menos la última cifra significativa, que se resta de 10. si el número termina en ceros, a la derecha de la última resta se escriben estos ceros.

EJEMPLOS:

1) Hallar el complemento aritmético de 346. diremos: de 3 a 9 = 6; de 4 a 9 = 5; de 6 a 10 = 4, luego el complemento aritmético de 346 es 654.

2) Hallar el complemento aritmético de 578, 900.diremos: de 5 a 9 = 4; de 7 a 9 = 2; de 8 a 9 = 1; de 9 a 10 = 1, luego el complemento aritmético es 421,100

APLICACIÓN DEL COMPLEMENTO ARITMÉTICO PARA EFECTUAR LA RESTA

Para efectuar la resta por medio del complemento aritmético se suma el minuendo con el complemento aritmético del sustraendo, poniéndole a este delante una unidad son signo menos, que se tendrá al efectuar la suma.

1) Efectuar 1,034 – 615 por medio del complemento aritmético.

Es el complemento aritmético con una unidad con signo menos adelante, y tendremos:

1, 034+ 1, 385 0, 419

La diferencia entre 1,034 y 615 es 419, que se puede comprobar efectuando la resta:

1, 034

- 615 0, 419

APLICACIÓN DEL COMPLEMENTO ARITMÉTICO PARA EFECTUAR VARIAS SUMAS Y RESTAS

COMBINADAS Para efectuar sumas y restas combinadas por medio del complemento aritmético se suman todos los sumandos con los complementos aritméticos de los sustraendos , poniendo delante de cada complemento una unidad con signo menos, que se tomara en cuenta al efectuar la suma.

EJEMPLOS:

1) Efectuar por los componentes 56 – 41 + 83 – 12.

_56 Comp.. Aritmético de 41… 159 + _83Comp.. Aritmético de 12… 188 86

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TAMAULIPASTRABAJO:

MULTIPLICACIÓN

PROFESOR: JOSÉ CALIXTO SALAS GONZÁLEZ

SEMESTRE: ESPECIALIDAD:

3° MATEMÁTICAS

Es una operación de composición que tiene por objeto, dados números llamados multiplicando y multiplicador, hallar un numero llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador es respecto de la unidad.

¿ QUE ES?

El producto de dos números se indica con el signo X o con punto colocado entre los factores, que es el nombre que se le da al multiplicando y multiplicador.

Así, el producto de 6 por 5 se indica 6 x 5 o 6 · 5

1) Si el multiplicador es cero, el producto es cero.2) Si el multiplicador es 1, el producto es igual al

multiplicando. 3) Si el multiplicador es >1, el producto es > el

multiplicando.4) Si el multiplicador es < 1, el producto es < el

multiplicando.

RELACIÓN ENTRE EL PRODUCTO Y EL MULTIPLICANDO

DEFINICIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN CUANDO EL MULTIPLICADOR ES UN NUMERO NATURAL

Cuando el multiplicador es un numero natural, la multiplicación es una suma abreviada que consta de tantos sumandos iguales al multiplicando como unidades tenga el multiplicador

4x3= 4+4+4+4=12

Para multiplicar un entero por la unidad seguida de ceros se añaden al entero tantos ceros como ceros acompañen a la unidad.

MULTIPLICACIÓN POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS

54 x 100 = 5400, por que el valor relativo de cada cifra se ha hecho 100 veces mayor

MULTIPLICACIÓN DE DOS NÚMEROS TERMINADOS EN CEROS

Se multiplican los números como si no tuvieran ceros y a la derecha de este producto se añaden tantos ceros como haya en el multiplicando y multiplicador.

4300 x 2500 = 107 500 000

NUMERO DE CIFRAS DEL PRODUCTO

En el producto hay siempre tantas cifras como haya en el multiplicando y multiplicador juntos o una menos.

Así, el producto 345 x 23 ha de tener cuatro cifras o cinco.

345 x 23 > 345 x 10, y como este ultimo producto 345 x 10 = 3450 tiene cuatro cifras, el producto 345 x 23, que es mayor que el, no puede tener menos de cuatro cifras.

7935

REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL PRODUCTO

Representar gráficamente 3x2

23

Se construye un rectángulo cuya base sea el segmento que representa el 3 y cuya altura sea el segmento que representa el 2. El rectángulo ABCD que consta de dos filas horizontales de 3 cuadrados cada una es la representación grafica del producto 3 x 2 = 6

A

B C

D

2

3

PRODUCTO CONTINUADOPara hallar el producto de mas de dos números como

2 x 3 x 4 x 5

1. Se halla el producto de dos de ellos.2. Luego se multiplica este producto por el tercero.3. Luego este segundo producto por el factor siguiente y así hasta el ultimo factor.

Así, en este caso, tendremos:

2 x 3 = 66 x 4 = 2424 x 5 = 120

PRUEBAS DE LA MULTIPLICACIÓN

Pueden realizarse de tres modos:

1. Cambiando el orden de los factores, lo cual debe darnos el mismo producto.

2. Dividiendo el producto entre uno de los factores, lo cual debe darnos el otro factor.

3. Por la prueba del 9

Ley de UniformidadEnunciarse de tres modos:

1. El producto de dos números tiene un valor único o siempre igual.

2. Los productos de números respectivamente iguales son iguales.

3. Productos de dos igualdades. Multiplicando miembro a miembro varias igualdades resulta otra igualdad.

5 sillas x 2 = 10 sillas5 días x 2 = 10 días

5 x 2 = 10

a = b c = d

ac = bd

Ley ConmutativaEl orden de los factores no altera el producto

1. Que se trate de dos factores

2. Que se trate de mas de dos factores

Vamos a demostrar que 6 x 4 = 4 x 6.

6x 4 = 6 + 6+ 6+ 6+ 6= 244 x 6= 4+ 4+ 4+ 4+ 4 +4= 24

Sea el producto 5 x 4 x 3 x 2

Se puede considerar descompuesto en dos factores: 5 . 4 y 3 . 2

Ley AsociativaEl producto de varios números no varia sustituyendo dos o mas factores por su

producto

2 x 3 x 4 x 5 = 120(2 x 3) x 4 x 5 = 120 6(2 x 3) x (4 x 5) = 120 6 20

En general:

abcd = (ab)cd = a(bcd)

Ley Disociativa

El producto de varios números no varia descomponiendo uno o mas factores en dos o mas factores

Sea el producto 8 x 5; puesto que 8 = 4 x 2,

tendremos:

8 x 5 = 4 x 2 x 5

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TAMAULIPASTRABAJO:

OPERACIONES INDICADAS DE MULTIPLICACIÓN

PROFESOR: JOSÉ CALIXTO SALAS GONZÁLEZ

SEMESTRE: ESPECIALIDAD:

3° MATEMÁTICAS

OPERACIONES INDICADAS DE MULTIPLICACION EN QUE NO HAY SIGNOS DE AGRUPACION.

• Para comenzar, deben efectuarse en este orden: primero, los productos indicados y luego las sumas o restas.

• Ejemplo: efectuar, 5+3x4-2x7• Efectuamos primero los productos 3x4=12 y

2x=14 y tendremos: • 5+3x4-2x7 =5+12-14= 3.

PERACIONES INDICADAS DE MULTIPLICACION EN QUE HAY SIGNOS DE AGRUPACION.

• PRIMERO: Las operaciones encerradas en los paréntesis y luego las operaciones que queden indicadas.

• Ejemplo: (5+3)2+3(6-1). • En la practica, se suele suprimir el signo x entre un

numero y un paréntesis o entre dos paréntesis. • A si pues, en este ejemplo, (5+3) 2 equivale a (5+3) x 2 y

3(6-1) equivale a 3 x (6-1). • Entonces efectuamos primero los paréntesis, (5+3) = 8 y

(6-1)= 5, y tendremos: (5+3) 2 + 3(6-1)= 8 x 2 + 3 x 5= 16 + 15= 31.

LEY DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION.PRODUCTO DE UNA SUMA POR UN NUMERO.

• Para multiplicar una suma indicada por un numero se multiplica cada sumando por este numero y se suman los productos parciales.

• Ejemplo: (5+4)2.• Decimos que, (5+4)2= 5x2+4x2=10+8=18• Entonces: (5+4)2 = (5+4) + (5+4) = 5+4+5+4=

5+5+4+4= (5+5) + (4+4) = 5x2+4x2.

• Para multiplicar una resta indicada por un numero se multiplican el minuendo y el sustraendo por este numero y se restan los productos parciales.

• Ejemplo: (8-5) 3.• Asi que decimos: (8 – 5) 3 = 8 x 3 – 5 x 3 =24 – 15 = 9Entonces multiplicar (8 – 5) 3 equivale a tomar (8 – 5) como sumando tres veces, o sea:

(8 – 5) 3 = (8 – 5)+ (8 – 5) + (8 – 5) o también realizar lo siguiente: = (8+8+8) – (5+5+5) = 8 x 3 – 5 x 3.

Producto de una resta por un numero.

Suma algebraica.

• Una expresión como 7 – 2 + 9 – 3 que contiene varios signos + o – es una suma algebraica. En esta suma algebraica, 7, 2, 9 y 3 son los términos de la suma. Los términos que van precedidos del signo + o que no llevan signo delante son positivos. Asi que en este caso, -2 y -3 son negativos.

• En la suma algebraica a + b – c – d + e, los términos positivos son a,b y e, y los negativos, -c y –d.

Productos de una suma algebraica por un numero

• Para multiplicar una suma por un numero se multiplica un termino de la suma por dicho numero, poniendo delante de cada producto parcial el signo + si el termino que se multiplica es positivo y el signo – si es negativo.

• Ejemplo: (8 – 2 + 6 – 3) 5.• Asi que decimos: • (8-2+6-3)5 = 8 x 5 – 2 x 5 + 6 x 5 – 3 x 5 • = 40 – 10 + 30 – 15 =45 • En general: (a – b + c –d )n = an – bn + cn – dn.

Factor común

• En la suma algebraica x 5 + 3 x 2 – 4 x 2 los términos son los productos 2x5, 3x2 y 4x2. en cada uno de estos productos aparece el factor 2; 2 es un factor común.

• Igualmente en la suma algebraica 9 x 3 – 3 x 5 -3 x 2 +8 x 3 el 3 es un factor común; en la suma ab + bc – bd el factor común es b; en la suma 5 ay + 5ax – 5an el factor común es 5 a.

Producto de sumas y diferencias.Producto de 2 sumas.

• Para multiplicar dos sumas indicadas se multiplican todos los términos de la primera por cada uno de los términos de la segunda y se suman los productos parciales.

• Entonteces efectuamos (6+5)(3+2) y decimos que: (6+5)(3+2)=6x3+5x3+6x2+5x2 =18+15+12+10 =55.

• En efecto: el producto (6+5) (3+2) se compondrá de tres veces (6+5) mas dos veces (6+5), luego: (6+5)(3+2)=(6+5)3+(6+5)2 =6x3+5x3+6x2+5x2.

Producto de un producto indicado por un numero.

• Para multiplicar un producto indicado por un numero se multiplica uno de los factores del producto por dicho numero.

• Vamos a multiplicar el producto 4 x 5 por 6.• Decimos que basta multiplicar uno solo de los

factores, bien el 4 o el 5, por el multiplicador 6.• Multiplicando el factor 5, tenemos: • (4x5)6 = 4(5x6)=4(30)=120.

Producto de dos productos indicados.

• Para multiplicar dos productos indicados se forma un solo producto con todos los factores.

• Vamos a multiplicar el producto 2x3 por el producto 4x5x6. Decimos que:

• (2x3)(4x5x6)=2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720.• Entonces al multiplicar el factor 3 del producto

2x3 queda multiplicado por el producto 4x5x6, según el caso anterior.

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DIVISIÓN

PROFESOR: JOSÉ CALIXTO SALAS GONZÁLEZ

SEMESTRE: ESPECIALIDAD:

3° MATEMÁTICAS

DIVISIÓN

INVERSA DE LA MULTIPLICACIÓNSU ODJETO DADO EL PRODUCTO DE 2 FACTOREDS (DIVIDENFO Y UNO DE LOS FACTORES (DIVISOR),

HALLAR EL OTRO FACTOR (COCIENTE)

• DIVIDIR UN NÚMERO (DIVIDENDO) ENTRE OTRO ( DIVISOR) ES HALLAR UN NÚMERO (COCIENTE) QUE MULTIPLICADO POR EL DIVISOR DE EL DIVIDENDO.

• EJEMPLO 20/4 ES ALLAR EL NÚMERO QUE MULTIPLICADO POR 4 DE 20

• 4x5=20

• Del propio modo: 8 4 =2 por que 2x4 =8

15 3

5

PRINCIPIOS FUNDAMENTALESDE LA DIVISIBILIDAD

TODO NÚMERO QUE DIVIDE A OTROS VARIOS, DIVIDE A SU SUMA SEA EL NÚMERO 5 , QUE DIVIDE AL 10, 15, 20=45, O SEA QUE 10+25+20 ES M. 5

EN EFECTO: 10=5x2; 15= 5x3; 20= 5x4

• Sacando el valor común 5 en el segundo miembro de la ultima igualdad, tenemos:

10+15+20= 5 (2+3+4) o sea 10+15+20= 5x9

10+15+20= 45, contiene al 5, 9 veces y 5 divide a la suma 10+5+20

• Todo número que no divide a otro vario divide a su suma, si la suma de los residuos que resultan de dividir estos entre el número que no los divide, es divisible entre este número.

• El 7, no divide a 15, 37 y 46.

• El residuo de 15 7 = 1• 37 7= 2• 46 7 = 4 y la suma

de estos es 7

• Vamos a probar que 7 divide a 15+37+46=98

15= 7x2+137= 7x5+246= 7x6+4

Divisibilidad