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11/12/2015 Optimización
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Optimización
Problemas de optimización
Tema
R e c t a t a n g e n t e
R e c t a n o r m a l
C r e c i m i e n t o
M á x i m o s y m í n i m o s
O p t i m i z a c i ó n
C o n c a v i d a d
P u n t o d e i n f l e x i ó n
Sitio
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D e f i n i c i ó n d e r i v a d a
D e r i v a d a s I n m e d i a t a s
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D . T . i n v e r s a s
O t r a s d e r i v a d a s
A p l i c a c i o n e s d e r i v a d a s
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En la r e sol u ci ón de problemas
de optimización de funciones
se gu i r e mos l os si gu i e ntes pasos:
1. Plantear la función que
hay que maximizar o minimizar.
2. Plantear una e cua ció n
que rela cione las distintas
variable s del proble ma , en el
caso de que haya más de una
va r i a bl e .
3. Despejar una variable de l a ecuación y sustituirla en la
función de modo que nos quede una sola variable .
4. Derivar la función e igualarla a cero , pa r a h a l l a r l os e xtr e m os
l oca l e s.
5. Realizar la 2ª derivada pa r a com pr oba r e l r e su l ta do obte n i do.
D e todos l os tr i á n gu l os i sósce l e s de 1 2 m de pe r í m e tr o, h a l l a r l os
l a dos de l qu e tom e á r e a m á xi m a .
L a f u n ci ón qu e te n e m os qu e m a xi m i z a r e s e l á r e a de l tr i á n gu l o:
Re l a ci on a m os l a s va r i a bl e s:
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2 x + 2 y = 12
x = 6 − y
Sustituimos en la función:
D e r i va m os, i gu a l a m os a ce r o y ca l cu l a m os l a s r a í ce s.
Re a l i z a m os l a 2 ª de r i va da y su sti tu i m os por 2 , ya qu e l a sol u ci ón y =
0 l a de sca r ta m os por qu e n o h a y u n tr i á n gu l o cu yo l a do se a ce r o.
Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.
L a ba se ( 2 y) m i de 4 m y l os l a dos obl i cu os ( x) ta m bi é n m i de n 4 m , por
l o qu e e l tr i a n gu l o de á r e a m á xi m a se r í a u n tr i a n gu l o e qu i l a te r o.
Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón
de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando
con ve n i e n te m e n te ( vé a se f i gu r a ) , se con str u ye u n a ca ja . Ca l cu l a r x pa r a
qu e vol u m e n de di ch a ca ja se a m á xi m o.
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Una hoja de papel debe tener 18 cm 2 de te xto i m pr e so, m á r ge n e s
su pe r i or e i n f e r i or de 2 cm de a l tu r a y m á r ge n e s l a te r a l e s de 1 cm de
anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la
su pe r f i ci e de l pa pe l .
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Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del
cu a dr a do de l pr i m e r o m á s e l sé xtu pl o de l cu a dr a do de l se gu n do se a u n
m í n i m o.
E l va l or de u n di a m a n te e s pr opor ci on a l a l cu a dr a do de su pe so.
Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los
va l or e s de l os dos di a m a n te e s f or m a dos se a m í n i m a .
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El diamante se ha de dividir en dos partes iguales de 1 g.
Un a boya , f or m a da por dos con os r e ctos de h i e r r o u n i dos por su s
ba se s h a de se r con str u i do m e di a n te dos pl a ca s ci r cu l a r e s de 3 m de
r a di o. Ca l cu l a r l a s di m e n si on e s de l a boya pa r a qu e su vol u m e n se a
m á xi m o.
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S e pr e te n de f a br i ca r u n a l a ta de con se r va ci l í n dr i ca ( con ta pa ) de 1
l i tr o de ca pa ci da d. ¿ Cu á l e s de be n se r su s di m e n si on e s pa r a qu e se u ti l i ce
e l m í n i m o posi bl e de m e ta l ?
Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos
tr oz os pa r a f or m a r con u n o de e l l os u n cí r cu l o y con e l otr o u n cu a dr a do.
Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos paraqu e l a su m a de l a s á r e a s de l cí r cu l o y de l cu a dr a do se a m í n i m a .
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Un se ctor ci r cu l a r t i e n e u n pe r í m e tr o de 1 0 m . Ca l cu l a r E l r a di o y l a
a m pl i tu d de l se ctor de m a yor á r e a .
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O bte n e r e l tr i á n gu l o i sósce l e s de á r e a m á xi m a i n scr i to e n u n cí r cu l o de
r a di o 1 2 cm .
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Un tr i á n gu l o i sósce l e s de pe r í m e tr o 3 0 cm , gi r a a l r e de dor de su a l tu r a
engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el
vol u m e n de l con o se a m á xi m o?
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