Transcript of Osvaldo Derivadas
Tasa de variación media en un intervalo
Para una función f(x) se define la tasa de variación media de
f en un intervalo [a, b], contenido en el dominio f(x),
mediante el cociente:
f(b) – f(a) b – aTm f[a, b] =
Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo
a evolución en el tiem!o del n$mero de afiliados a la %e#uridad
%ocial en Es!a&a entre '* + ' a se#uido un modelo similar al
que se refle-a en la #r.fica, donde x re!resenta
el tiem!o en a&os, siendo x = * el a&o '*,
+ f(x) re!resenta el n$mero de afiliados ex!resado en
millones"
El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre '* +
'
es: f(19) – f(0) 19 = 0,1241
/ue !uede inter!retarse de la si#uiente manera: entre '* + '
el
n$mero de afiliados aumentó !or t0rmino medio, en unas '12***
!ersonas !or a&o"
de variación media cuando los intervalos considerados se acen cada
ve6 m.s
!eque&os:
h
)()( lim
0
%i el l5mite existe + es finito,
la derivada de f(x) en x = p es
Def : %e dice que f(x) es derivable
en x = p si existe el si#uiente l5mite"
f '(p) = h→o lim
f(p+h) – f(p)
7l acer que h → *, ocurrir. que
• p 8 h tiende (se acerca) a p
• / recorre la curva acerc.ndose a P
• a recta secante a la curva se
convierte en la recta tan#ente
• a inclinación de la recta secante tiende
a la inclinación de la recta tan#ente
%i la función f tiene derivada en el !unto p, la
pendiente de la recta tangente a la #r.fica de la función
f en este !unto es la derivada de f en p
.
0
h→
a
f(a)
αt
αt
Entonces: • Pendiente de la tangente: mt = f '(a)
• Ecuación de la recta tangente: t ≡ y – f(a) = f '(a)
(x – a)
t
Ecuación de la recta que !asa !or un !unto 7(a, b) + de !endiente
m:
y – b = m (x – a)
Ecuación de la recta normal
9omo la tan#ente + la normal son !er!endiculares sus !endientes son
inversas + cambiadas de si#no" Entonces:
Pendiente de la tan#ente: mt = f (!)
Ecuación de la recta tangente:
+ – f(!) = f (!) (x – a)
Ecuación de la normal: + – f(!) = [–';f (!)] (x – a)
derivable en el !unto a"
@na función es derivable en un punto si + sólo si es derivable
!or la dereca +
!or la i6quierda + las derivadas laterales coinciden"
a derivada !or la i6quierda de la función f(x) en el !unto x = a es
el l5mite, si
existe, dado !or f (a –) =
h
h
)()( lim
*0
Teorema
( ) ( ) ( ) ( )
f a h f a f a h f a h
h
( ) ( ) lim ( ) ( ) lim h h
f a h f a f a h f a h
h→ →
h→ →
+ = ( ) es contina en f x x a=
( ) es !e"i#a$le en f x x = a
Relación continuidad y derivabilidad
Ba+ funciones continuas en un !unto que no son derivables en ese
!unto"
y = |x es continua en !" pero no es derivable en
dic#o punto
Puesto que las derivadas laterales en * son
diferentes la función no es derivable en dico
!unto"
= tg$
= tg %
• Aerivada de f(x) = x1 en el !unto 1:
• Aerivada de f(x) = x1 en el !unto C:
%e dice que la función derivada (o sim!lemente la derivada) de
y = x 1 es f (x) =
1 x
%e llama función derivada de una función f(x) a la función f (x)
que asocia a cada x del dominio de f(x) la derivada
de f(x) en x , siem!re que exista"
Para obtener la derivada en x
f '(%) =
onsecuencias de la definición de derivada
• a función derivada no identifica totalmente a la función, !ues
funciones que
se diferencian en una constante, tienen la misma función
derivada"
E-" f(x)= #(x) 8 D siendo D constante ⇒ f(x) = #(x)
(x)= #(x) 8 D siendo D una constante ⇒ (x) = #(x)
Feom0tricamente, indica que las funciones f(x) + (x) se obtienen
mediante una
traslación de vector !aralelo al e-e G + módulo D ó D" Por ello las
tan#entes a las
tres funciones son !aralelas"
Derivadas de operaciones con funciones
%ean f + g dos funciones derivables en un
!unto x ∈ H + sea c un n$mero
real"
• 7dem.s se tiene:
(C)
He#la de la multi!licación !or constante:
(I)
%i + son diferenciables en entonces + son diferenciables en
+:
(J)
(K)
()
()
as derivadas de las seis funciones tri#onom0tricas son:
('')
*angentes #ori+ontales: Encuentre los !untos de
Aonde la recta tan#ente es ori6ontal"
%ol" En un !unto sobre la #r.fica de donde la tan#ente es
ori6ontal
Aebemos tener a derivada de es + las soluciones de o son + " 7s5,
los
!untos son +
,!- .ecta normal en un punto P sobre una #rafica es una recta
!er!endicular
a la
Hecta tan#ente en P"
%ol" Puesto que , sabemos que en Por tanto, la !endiente de la
recta normal
es el ne#ativo reci!roco de la !endiente de la recta tan#ente es ,
Por la forma
!untoL!endiente de la ecuación de la recta, entonces una ecuación
de la recta
normal es:
o bien
a !rimera derivada es:
9alculando la !rimera derivada:
Derivada de una función compuesta: regla de la cadena
%e define la com!osición de una función con otra función , + se
denota !or a la nueva función dada !or "
a función (x) = (1x – ')1 es la com!osición de dos funciones:
f(x) = 1x–' + #(t) = t1
t1 = (1x–')1 x 1x–' = t
H H f
E/emplo:
.egla de la cadena: si la función es diferenciable en + la función
es diferenciable en entonces la com!osición +:
(g0f)'(a) = g'(f(a)) - f '(a)
E/emplo:
.egla de potencias para funciones
%i n es cualquier numero real + es diferenciable en x,
entonces:
('2)
('I)
'I"Aiferencie
%i es una función diferenciable, entonces:
('J)
('K)
'K" Aiferencie
'" Aiferencie
'" Aiferencie
Derivada de la función inversa
• %e denomina función inversa de una función f a
una nueva función, denotada !or f –', cu+o
dominio es el recorrido de f, tal que f –'(f(x))
= x "
• Para que esta función est0 bien definida es necesario que
f cum!la: x' ≠ x1 ⇒ f(x')
≠ f(x1)
as #r.ficas de f + f –' son sim0tricas res!ecto a
la bisectri6 del !rimer cuadrante"
f(x)
x
−
− =
(')
(1*)
(1')
En las formulas debe tenerse mientras que en las formulas en debe
ser "
Aerivada del seno inverso
''" Aiferencie
Aerivada de funciones ex!onenciales
%i es una función diferenciable, entonces
He#la de la cadena
Aiferencie
ean
O
3amos a calcular la derivada de a !artir de la función
ex!onencial
a derivada de es
1 ( )( ) ( )( ) f g x g f x x= =o o
( ) ( ) ln( ) x f x e g x x= =
1
1
1 ( ) ( )
3amos a calcular la derivada de
@sando la definición de derivada:
a derivada de sen (x) es
9os (x)
sen( ) x
lim h
3amos a calcular la derivada de
/
1 ( )( ) ( )( ) f g x g f x x= =o o
1
1
1 ( ) ( )
2
1
3amos a calcular la derivada de
/ ean
1 ( )( ) ( )( ) f g x g f x x= =o o
1
1
1 ( ) ( )
x ′ =
2
1
at f (a) - dx
El diferencial de una función en un !unto x =
a es el incremento de la tan#ente al !asar del
!unto x = a al !unto x = a 8
h
Tan#ente a la curva en (a, f(a)): su !endiente es mt = f (a) =
t# at
Para valores de h = x = dx !eque&os + ≈ f (a)
- x
Por tanto: + ≈ d+ = f (a) - dx
G !ara un x cualquiera:
d+ = f (x) - dx
"na apro#imación geométrica al concepto de diferencial
• %u!on#amos un cuadrado de lado x , al que incrementamos
el lado en una cierta cantidad h" %u su!erficie se incrementar.
en:
f = (x 8 )1 – x1 = 1x 8 1
• %i h es mu+ !eque&o, h1 es muco m.s
!eque&o"
• Entonces: 1x = 1x dx es el diferencial de la función
f(x) = x1 + se ve que f ≈ 1x dx = f (x) dx
$á#imos y m%nimos relativos
@na función f(x) tiene un m3nimo (m4ximo) relativo
en x = a si existe un intervalo abierto (a –
h, a 8 h), h * , en el que f( x)> f(a) (f(x)?f(a))
!ara todo x !erteneciente al intervalo"
• a función + = x1 – Jx 8 tiene un m3nimo relativo en el
!unto m(C, L')" 5o tiene m4ximos relativos"
• a función + = x1 – Jx 8 tiene un m3nimo absoluto en su
dominio, H, en el !unto m(C, L')" 5o tiene m4ximo absoluto en su
dominio-
• a función + = x1 – Jx 8 tiene un m3nimo absoluto en el
intervalo 6," 78" en el punto (7" !)- En ese mismo intervalo
tiene un m4ximo absoluto en el punto (," 9)-
• a función + = x1 – Jx 8 no tiene m4ximos ni m3nimos en el
intervalo (" ;)-
• m(%, 31) , ;
Derivada en un punto má#imo o m%nimo &Interpretación
geométrica'
%ea f(x) una función definida en el intervalo (a, b)" %i la función
alcan6a un m.ximo o m5nimo en un !unto c ∈ (a, b) +
es derivable en 0l, entonces f (c) = *
%i la función es constante entonces f (c) = *
%i 7 es m.ximo, la tan#ente en x = c es
ori6ontal" %u
!endiente es *
%i 7 es m5nimo, la tan#ente en x = c es ori6ontal"
%u
!endiente es *
f '(c) = !
f '(c) = !
f '(c) = !
Teorema de Rolle( Interpretación geométrica
<i una función y = f(x) cumple ue: • Es
continua en el intervalo cerrado 6a" b8- • Es derivable en su
interior (a" b)- • f(a) = f(b)-
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a" b) tal ue
f '(c) = !-
Feom0tricamente este teorema ex!resa que una función que cum!la las
i!ótesis anteriores va a tener, al menos, un !unto (c , f(c))
en el que la tan#ente es ori6ontal"
a
f(a)
b
f(b)
• Demostración:
• f es continua en [a,b] => por Teor. de Weierstrass f tiene
máximo absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b]. ∀ x
∈ [a,b] m ≤ f(x ≤ M.
• ∃ x! ∈ [a,b] ∋ f(x!=M.
∃ x" ∈ [a,b] ∋ f(x"=m.
• #i m = M => ∀ x ∈ [a,b] f(x = M (la funci$n es
constante => f%(x = &
• #ino, m ' M => por lo menos uno de los puntos, x! o x",
corresponde al
interior del interalo, a (a,b, por e)emplo m= f(x " =>
(a,b se comporta
como un entorno de x". #e cumple *ue ∀ x ∈ (a,b f(x"
≤ f(x por lo
*ue f presenta un mínimo relatio en x " . (!
• f es deriable por +ip$tesis. ("
• e ! y ", por la condici$n necesaria para la existencia de mínimos
relatios f%(x"=& como *ueríamos demostrar
Teorema del valor medio o de )agrange( Interpretación
geométrica
%i una función y = f(x) cum!le que: • Es continua
[a, b]" • Es derivable (a, b)"
Entonces existe al menos un !unto c ∈ (a, b) tal
que: f(b) – f(a) = (b – a) f (c)" Es decir: f( c) =
• >eomtricamente: si una función que cum!le las i!ótesis
anteriores va a a tener al menos un !unto (c, f(c)) en el que la
tangente es paralela a la secante ue pasa por los puntos (a" f(a))
y (b" f(b))-
• ?nal3ticamente: si una función cum!le las i!ótesis anteriores, en
al#$n !unto c ∈(a,b) la ra6ón incremental o tasa de
variación media (f(b) – f(a)) ; (b – a), es i#ual a la derivada en
dico !unto"
c
ab
• # es continua en [a,b] !or ser suma de funciones continuas"
# es derivable en (a,b) !or ser suma de funciones derivables"
• /ueremos que #(a) sea i#ual a #(b) !ara a!licar el teorema de
Holle
= f(a) 8 a = f(b) 8 b = f(a) L f(b) = b – a = (b L a)
• = !or el teorema de Holle, existe c ∈ (a,b) tal #(c)
= *
Teorema del valor medio o de )agrange: Demostración
<i una función y = f(x) cumple ue: Es continua 6a"
b8" y es derivable (a" b)- Entonces existe al menos un punto
c ∈ (a" b) tal ue
f(b) – f(a) = (b – a) & f '(c)-
ab
− −
= )()(
− −=−= )()(
)('
Demostración: #ea +(x = f(x - /(x
• !. + es continua en [a,b] por ser suma de funciones
continuas en [a,b].
• ". + es deriable en (a,b por ser suma de funciones
deriables en (a,b.
• 0. 1ueremos *ue +(a=+(b para aplicar el teorema de
2olle.
f(a-/(a=f(b-/(b, (/(a3/(b=f(b3f(a
e !," y 0 por el teorema de 2olle ∃ c ∈(a,b tal *ue +%(c =
&.
• +%(x=f%(x-/%(x +%(c=f%(c-/%(c=& f%(c4/%(c = 3
Teorema de auc*y o del valor medio generali+ado
)('
)('
)()(
)()(
− −
=
onsecuencias del teorema del valor medio &I'
• %i f(x) cum!le las i!ótesis del teorema de a#ran#e en [a,
b]:
f(a) = f(b) 8 (b – a) - f (c) con c ∈ (a, b)"
• %i b = a 8 , entonces c = a 8 θ con
θ ∈ (*, ')"
c
a 8 a 8 θ
%i f(x) es continua en [a – , a 8 ] + derivable en su interior
entonces: f(a 8 ) = f(a) 8 f (a 8 θ) con θ ∈ (*, ')"
onsecuencias del teorema del valor medio &II'
%i una función f(x) tiene derivada nula en todos los !untos de
un intervalo abierto, es constante en dico intervalo"
9aracteri6ación de las funciones constantes
• f(x) es derivable en (a, b)" • f(x) tiene derivada
nula en (a, b)"
En consecuencia: f(x) = D en (a, b)"
• 7unque f(x) tiene derivada nula en los !untos de (a, b) en
los que es derivable (en c no es derivable)"
• o es constante en (a, b)"
onsecuencias del teorema del valor medio &III)
.elación entre funciones con igual derivada
• En el intervalo (*, 1Π) las f i(x) son derivables + tienen
i#ual derivada" • Entonces se diferencian en una constante, lo que
si#nifica que cada una se obtiene
de la otra traslad.ndola !aralelamente al e-e UG"
Regla de ),-.pital &I'
Este teorema es v.lido sustitu+endo u !or Va, a8, a –, 8∞,
–∞O"
@na a!roximación #eom0trica al teorema:
4ndeterminación del ti!o 0
Entonces, si existe
=se verifica que:
Regla de ),-.pital &II'
∞ ∞
Entonces, si existe
=se verifica que:
Regla de ),-.pital &III'
Este !rocedimiento es v.lido sustitu+endo u !or Va, a8, a –,
8∞, –∞O
%u!on#amos que emos de calcular: x→
Podemos convertir esa ex!resión en una *;* o en una ∞;∞
[ ]
u xu xu x
Regla de ),-.pital &I/'
Este !rocedimiento es v.lido sustitu+endo u !or Va, a8, a –,
8∞, –∞O
= x→ lim 6f(x)
Supongamos que hemos de calcular: x→u lim [f(x)g(x)7
8 e este lmite es in!ete"mina!o !e calie"a !e los tipos 1
0 00
*e !on!e = x→ lim 6f (x)
g(x) 7, po" se" la fncin loa"itmo contina
8 po" las p"opie!a!es !e los loa"itmos = x→ lim 6(x)
f(x)7
:ste lmite es in!ete"mina!o 0 se pe!e calcla" po" ';<pital ea s
#alo"
Ten!"emos = ⇒ = e M
';<pital ';<pital
2
3.–
[
f(x) ? f(x8), ∀(x, x8) + *
f(x) f(x8), ∀(x, x8) + *
Derivadas y curvatura: concavidad
as !endientes de las tan#entes aumentan ⇒ f es creciente
⇒ su derivada que es f W
debe ser fX(x) * ⇒ función concava
[
[
[
t# a' t# a1 ⇒ f (x') f (x1)
as !endientes de las tan#entes disminu+en ⇒ f es decreciente
⇒ su derivada que es
fC > 0
fC(a) = 0