Part II

Algunos metodos numericosResumen

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II Algunos metodos numericos 1

1 Solucion mediante el metodo de Picard 1

Solucion exactaAunque el problema PVI tenga solucion, en la mayor parte de los casos no es posible encontraruna forma cerrada para la misma por metodos analıticos.

Ejemplo 1. Consideramos el problema de valor inicial

y′(t) = e−y2(t) +

1

1 + t2y(0) = 0. (1)

Usando el teorema del valor medio se tiene que

‖f(t, y)− f(t, y)‖ ≤∥∥∥e−y2 − e−y2∥∥∥ = | − 2χe−χ

2||y − y| ≤ L|y − y| (2)

1. tiene solucion!

2. ¿Forma explıcita?

pero no sabemos encontrar una formula para la solucion. En casos como este habra quecontentarse con obtener una aproximacion numerica de la solucion. La prueba del teorema dePicard sugiere una manera de construir una. En efecto, las funciones yn obtenidas mediantela relacion de recurrencia (4) aproximan uniformemente a la solucion.

1 Solucion mediante el metodo de Picard

Solucion mediante el metodo de Picard

Ejemplo 2 (Solucion mediante el metodo de Picard). Si aplicamos el metodo de Picard alproblema lineal escalar

y′ = y, y(0) = 1 (3)

1

obtenemos la recurrencia

y(0) = 1, y0(x) = 1, yn(x) = 1 +

x∫o

yn−1(s)ds, n = 1, 2, . . . (4)

cuya solucion es

yn(x) =n∑k=0

xk

k!(5)

es decir, los polinomios de Taylor de la exponencial en x = 0.

Solucion mediante el metodo de Picard II

Observacion 1. Pero, ¡cuidado!, este ejemplo es muy especial. En general sera difıcil, oincluso imposible, evaluar las integrales involucradas en forma cerrada.

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