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Rev. Acad. Canar. Cienc., XVI (Núms. 1-2), 29-38 (2004) (publicado en julio de 2005)
PLANES DE MUESTREO POR ATRIBUTOS: UN ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Carlos J. Pérez-González & Arturo J. Fernández Departamento de Estadística e ln v. Operativa. Universidad de La Laguna
3827 1 Santa Cruz de Teneri fe . Spain (e-mail : cpgonzal@ull.es)
Resumen
Este artículo presenta un análisis de la sensibilidad frente a cambios en el tamaño
muestral y el número de aceptación en los planes de muestreo de aceptación por
atributos. Considerando que la distribución del número de un idades defectuosas en
la muestra es binomial , deducimos las expresiones analíticas que describen esos cam
bios. Estas expresiones permiten estudiar el efecto sobre la forma de la curva carac
terística asociada al plan de muestreo. El análisis también incluye resultados gráficos
que proporcionan una mejor comprensión del funcionamiento de dichos planes con
objeto de evaluar su robustez ante variaciones en los parámetros que determinan
por completo el plan.
Palabras y frases claves: muestreo de aceptación; número de aceptación; tamaño
muestra! óptimo; distribución binomial; curva característica
SAMPLIN G PLANS BY ATTRIBUTES: A SENSITIVITY ANALYSIS
Abstract
In this paper, a change sensitivity analysis concerning to sample size and accep
tance nurnber of the attributives sarnpling plans is presented. Under the binomial
assumption of the number of defectives in the sarnple, analytical equations t hat
describe these changes are derived. These expressions are appliecl to study the mo
difications of the relative shape of the sarnpling plan's characteristic curve. Graphical
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results are also included, which yield a better comprehension about the performance
of these plans with the proposal to evaluate their robustness to variations in the pa
rameters that define the plan completely.
Keywords and phrases: Acceptance sampling; acceptance number; optimal sample
size; binomial distribution; characteristic curve.
l. Introducción
1.1 Planes por atributos
Los planes de muestreo de aceptación por atributos representan una gran parte
de la totalidad de métodos existentes en el muestreo para el control de aceptación.
Un plan de muestreo por atributos permite determinar la aceptación o el rechazo
de los lotes que han sido fabricados mediante un proceso, a efectos de ajuste a unos
niveles de calidad. Una forma de especificar dichos niveles de calidad es a través de
la proporción p de unidades defectuosas que está presente en los lotes en estudio o
que produce el proceso de fabricación que genera los mismos. El plan de muestreo
establece el tamaño muestra!, n, que han de tener las muestras que se extraen de
dichos lotes así como el número de aceptación, e, que representa el número máximo
de unidades defectuosas presentes en la muestra extraída a partir del cual se decidiría
el rechazo del lote completo. Por tanto, si D es la variable que cuenta el número de
unidades defectuosas en la muestra de tamaño n, el plan determina un criterio de
aceptación de la siguiente forma: si D ~ e, se acepta el lote; en otro caso, se rechaza
el lote.
En este caso, el propósito es encontrar el plan de muestreo para el cual se acepten
con una alta probabilidad, 1 - a, aquellos lotes fabricados con un nivel aceptable
de calidad, Pa pero que, además, acepte con una baja probabilidad, [3, los lotes
fabricados bajo un nivel de calidad rechazable, Pf3·
Los planes de muestreo por atributos se agrupan en muchos de los sistemas de
muestreo de aceptación como son los estándares MIL-STD-105 (versiones A hasta
E, [6], [7], [8], [9], [10]) , la versión comercial derivada de éstas, ANSI/ ASQC Zl.4
[l] y la norma internacional ISO 2859-1 [4], integrada en la ISO 2859. Asimismo, las
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tablas "Dodge-Romig" [2] representan otra de las conocidas referencias en sistemas
de muestreo por atributos.
1.2 Modelo del número de defectos de un plan por atributos
La variable D se puede describir a partir de una distribución hipergeométrica,
puesto que permite modelizar el número de defectos presentes en una muestra de
tamaño n extraída de un lote de tamaño nL , en el cual hay dL unidades defectuosas:
(d¡,) (n¡,-d¡, ) Prob(D = r ; n , dL, nL) = '" (nni,Y'" , (1)
El uso de la distribución hipergeométrica se justifica en casos donde el tamaño
de los lotes es bastante pequeño o cuando el tamaño muestral es una proporción
alta del tamaño del lote; también se utiliza para comparar el comportamiento de
un determinado plan de muestreo en el supuesto de diferentes tamaños de lote o
cuando se desea estudiar aproximaciones dadas por otras funciones de probabilidad
y realizar comparaciones. La distribución hipergeométrica se encuentra tabulada en
Lieberman y Owen [5] .
En los casos e11 que nL es suficientemente grande, para p = dL/nL constante, la
distribución hipergeométrica se aproxima bastante bien a la distribución binomial:
Prob(D = r; n,p) = (~ )p"(l -Pt-", (2)
Esta aproximación es bastante precisa en el caso de que nL » n (e.g. , n/nL :::;
0.1) y para un valor de p relativamente alto (mayor que 0.1) aunque la convergencia
es muy razonable en el resto de casos. La distribución binomial está tabulada en
[12], [14], [3] y [11].
La probabilidad de aceptación del lote se puede obtener, utilizando el modelo
binomial (2). como:
'Pn,c(P) = <p(n, c,p) = Prob(D:::; e; n,p) = t (~)pd(l -p)"- d, (3) d=O
cuya representación gráfica se conoce como curva característica de operación o curva
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A continuación, se estudiará el efecto que tiene sobre la curva característica una
variación tanto en el tamaño muestral como en el número de aceptación, con objeto
de poder entender mejor como se ve afectada aquella por las variaciones en estos
parámetros del plan.
2. Expresiones de cambio en los parámetros del modelo
2.1 Cambio en el número de aceptación
A partir de la ecuación (3) se puede deducir la expresión que mide el efecto del
cambio en la curva característica cuando se produce un incremento en el valor de c.
Dicha expresión viene dada por:
'Pn,c+l (p) = Prob(D '.S c + l ; n,p) = 'Pn,c(P) + Prob(D = c + 1; n,p), (4)
de donde se deduce fácilmente que:
k
'Pn,c+k(P) - 'Pn,c(P) = 8 e: i)pc+i( l - p)n- c- i.
Estos resultados generalizan un estudio particular llevado a cabo por Stephens
[13]. En la Figura 1 se observan los planes de muestreo paran = 100 y c = O, l. 3, 7,
donde p es la proporción de disconformes. Para otros valores de n, se obtienen
curvas con la misma forma relativa (sólo cambia la escala de las abscisas). A medida
que c aumenta, la curva OC va desplazándose a la derecha (en todo el rango de
probabilidades de aceptación). El efecto es el de un incremento en la probabilidad
de aceptación no necesariamente igual al aumento en el valor de p, como se ve en la
Figura l.
Observando la curvatura en la concavidad de la parte alta de las curvas para
c = O, e = 1 y e = 3, se aprecia que dicha curvatura es menor para c = 1 que
para e= 3 y es nula para c = O. Del mismo modo, excepto para e= O, es posible
ver que todas las curvas tienen un punto de inflexión que difiere de una a otra,
caracterizándose las curvas por una "caída" más o menos acentuada (caída drástica
de la probabilidad de aceptación). Una medida de esa "caída'' puede expresarse
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0.9
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e :g 0.6 g CL
~ 0.5 .. .. "O "O 0.4 .. ;g ~ 0.3 .a E a. 0.2
0.1
o
\ .. -...... \ . ' t--, --cp(100,0,p)
\ . \ '
- - cp(1 00,1,p)
\ ·, ••• cp(100,3,p)
\ ' ' \ ' - • cp(100,7,p)
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\ ' ' \ .
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' ' , _ q>( 00,1,p} ', ' . \ " ' ·.,
" . I\.+- q¡(1dQ,O Pl .. .,
~ " ...... ... ~ r-. ... _ . --- .............. ---0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
Proporción de disconformes {p)
Figura 1: Curvas características paran = 100 y e= O, 1, 3 y 7
mediante el cociente de los valores np para dos probabilidades de aceptación. Por
ejemplo, para 'Pn,c(P) = 0.10 y 'Pn,c(P) = 0.90, se obtienen los resultados de la Tabla
I.
e np('Pn,c(P) = 0.90) np('Pn.c(P) = 0.10) Cociente o 0.1 2.3 23 1 0.5 3.9 7.8 2 1.8 6.6 3.7
Tabla I: Cocientes de fracciones p para e= O, 1, 2.
Se observa en la F igura 1 que una probabilidad de aceptación baja para niveles
altos de calidad se puede mejorar incrementando el número c. La Figura 2 muestra
el incremento en la probabilidad de aceptación mencionado anteriormente.
La diferencia entre planes de muestreo a medida que aumenta el valor del número
de aceptación e también aumenta de forma progresiva y es tanto mayor cuanto más
grande sea la distancia entre los valores de e a comparar. Sin embargo, se observa en
la Figura 3 que la diferencia entre valores consecut ivos de e es mayor a medida que
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dichos valores aumentan y, además, se va trasladando hacia los niveles de calidad
más pobres.
0.7 T"""----r----,------------~---~----~ 0.65 +----+----+----f----jf----+----+---- --1f1(100.1.p)-cp(100,0,p)
" :! 0.6 +----+----+-., ....... ---_·---~· ,.,_ __ --¡ ___ _, ___ -+---- - - qi(100,3,p)-q>( 100, 1,p)
~ 0.55 +----+-------->-~---<----1----+----<;. • (100,7,p)-!p(100,3 ,p)
:! 0.5 v-, ~ 0.45 +----,-if--...... ,-,,...-t----t-----t-----t----t----+----t-----j
a o.4+---....-+---.~'c-, t----t-----to,-----t----t----+----t-----1
~ ""' \ : 0.35 +--+--"¡-t--..-~t----t-----t~----t----t----+----t-----j 'O I 1\ .. ,.+--- qt(HJ0,7,p)-qi(1P<>,3,p) i 0.3t-,t--r-, ~-~--+~,----t----+-.....--+-----1r----+---+-----t
~ 0.25 +-if-+--t'.-+V' ---t--..--,. --+----+---....-+----+----+----t-----1
[ 0.2+-f-/__,'f---+r.~---t--~',..--+----+----+----+----+----t-----1 i 0.15 +1-1_,_t _-+:-~ \'<--t---\-"d~-r--•_(1_00_,3_.P-t) ~_100_.1._p)_-t---'-;--+----+----t-----1 i 0.1 -tl-t---.+---""'r+---+'----+----+--··---.-+---+----+----1 & / '- '-*- a>l1C ,1,~nn,o, 11 ¡¡ 0.05 t-;'L...-t"-t----r-:~::....:i9p==~'----t-----t--"--,---+----+----1
_., ---- "---0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 .14 0.16 0.18
Proporción de disconformes (p)
Figura 2: Diferencia entre las curvas características para n = lOO (1)
0.7-r-----r----..----,-----,-------------~ 0.65 +-----+-----+-----+----+---->------<>----- --!p(100.1.p)-q>(100,0,p) u_ i 0 .6 +----+----+----t----t----t-----ir---- - - qi( 100,3,p)-qi(100,2,p)
.? 0.55 +----+----+----+---->---->-----<f----u_ ! 0 .5
:~ 0.45
• cp( 100,7.p)-qi( 100.6.p)
a o.4+----+----+----+---->---->-----<>-----<----1----1 ~ ,,...,_ ~ o.35 I \•> •(100,1, )-cp(100,0,p)
' i 0.3 I ~ 0.25 +-i,f----... ,----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-------1
K o .2++---~..a..)("_~_.._~~=-...,.,...,""'11.1.1o""""'-f----f----'f----+----+-----1 i 0.15 ++-'--~1+--\_,.__-+-l'-'-'-<-----~~~o----f------<f-----1----1----1 .!! / '\. ~'--· ...... - - cp(1D0,7,p)- (100,6,p) ~ 0.1.¡¡..... __ ,,,_...¡..... __ ~,r+-.-L.-'>,-l----+--.....:...;:..,,.¡.........:.;__-'-"..:....¡..:.........:-"'._+----l-----l ~ I ~K ' ..., ..._ a o.o5 +-/-~, --+----...... ~~......___--1-~--~--.... "-------<>--~~>----1----1----1
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o 0 .02 0 .04 0.06 0.08 0.1 0 .12 0.14 0.16 0.18
Proporción de disconformes {p)
Figura 3: Diferencia entre las curvas características para n = lOO (y 11)
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2. 2 Cambio en el tamaño muestra/
De forma similar a ( 4), también existe una expresión para medir el efecto del
cambio frente a un incremento en el valor de n:
4?n+i.c(P) = Prob(D Se: n + l ,p)
= (1-p)Prob(D S c;n,p) +pProb(D S c- l ;n,p)
= 4?n,c(P) - pProb(D =e; n,p)
A partir de la expresión anterior se obtiene que:
k-1
4?n+k.c(P) = 4?n.c(P) - p L Prob(D =e; n + i,p) ·i=O
donde Prob(D =e: n + i,p) se puede expresar , a su vez, como:
mín(c.i) .
Prob(D =e; n + i,p) = L (i.)pi(l - p)i-iProb(D =e - j ; n ,p). j=O J
En la Figura 4 se muestra un conjunto de curvas OC para n = 10, 20, 80 y 100 y
e= 1, la cuales presentan una cierta concavidad en lo alto de las curvas. A medida
que el tamaño muestral aumenta. existe un movimiento significativo hacia la izquier
da, acercándose cada vez más las curvas entre sí. Con tamaños muestrales grandes,
el movimiento es menos significativo y su "pendiente" aumenta cada vez más. Esta
pendiente, sin embargo, es diferente de la "caída" en la curva mencionada en el es
t udio anterior, como se puede apreciar en la Tabla 1, la cual muestra unos cocientes
de fracciones de disconformes bastante similares entre sí, independientemente del
tamaño muestra!.
n Po.10 Po.9o Po. 10/ Po.9o 10 0.2056 0.01048 19.6 20 0.10875 0.005255 20.7 80 0.02837 0.001316 21.6 100 0.02276 0.001053 21.6
Tabla 11: Cocientes de fracciones p para n = 10, 20, 80, 100.
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0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0 .3 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4
Proporción de disconformes (p)
Figura 4: Curvas características para e= 1
La Figura 5 presenta las diferencias en las probabilidades de aceptación de los
planes de muestreo con distintos tamaños muestrales (n = 10, 20 , 50 , 80 y 100) para
un valor fijo del número de aceptación (e = 1).
Se advierte claramente la distinción que existe entro planes de muestreo con
tamaños muestrales relativamente bajos, y como esta diferencia se va reduciendo
progresivamente y trasladando hacia niveles de calidad altos (valores bajos de p)
a medida que los tamaños muestrales de los planes de muestreo a comparar van
aumentando. Esto significa que en el caso de tener un plan de muestreo con una alta
probabilidad de aceptación para un nivel pobre de calidad , se puede conseguir una
mejora incrementando el tamaño muestral.
Naturalmente, es posible variar tanto el tamaño muestral como el número de
aceptación para determinar planes de muestreo que alcancen un propósito particular.
Es posible disminuir la probabilidad de aceptación para fracciones de disconformes
altas (incrementando el tamaño muestra!) o aumentarla para valores bajos de la
fracción de disconformes (aumentando el número de aceptación). En este último
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Proporción de disconformes (p)
Figura 5: Diferencias entre las curvas características para c=l
caso, además, para compensar el incremento de la probabilidad de aceptación para
valores altos de p, se puede aumentar el tamaño muestra! conjuntamente con el
número de aceptación.
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