EXPRESIÓNS POLINÓMICASEXPRESIÓNS POLINÓMICAS

Xosé Manuel Besteiro

Colexio Apostólico Mercedario

VERÍN

EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS

EXPRESIÓN ALXEBRAICA: Combinación de números e letras relacionadas entre si mediante os signos das operacións aritméticas: suma, resta,multiplicación, división e potenciación.

Exemplo: 5x2ty + 2xy O signo (x) non se pon entre letras ou entre números e letras O factor 1 non se escribe O expoñente 1 non se escribe O signo de multiplicar non se escribe diante do paréntese

EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS

TERMOS DUNHA EXPRESIÓN ALXEBRAICA: son cada un dos sumandos

COEFICIENTE DUN TERMO : é a súa perte numérica TERMOS SEMELLANTES : son aqueles que teñen as

mesmas letras elevadas aos mesmos exponentes

Exemplo:

3a2b - 2a2b + a2b

1º termo 2º termo 3º termo

Coeficientes

EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS

VALOR NUMÉRICO DUNHA EXPRESIÓN ALXEBRAICA:

É o número obtido ao substituír as letras polos números indicados e efectuar as opercións correspondentes.

Exemplo: calcula o valor numérico da seguinte expresión alxebraica para X = 2 e y = 3

32

322

78

465

yxxy

xxyyx

EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS

VALOR NUMÉRICO DUNHA EXPRESIÓN ALXEBRAICA:

32

322

327328

24326325

2747328

84926345

272848

3210860

47

16

EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS

SUMA E RESTA DE EXPRESIÓN ALXEBRAICAS:

Sumamos ou restamos termos semellantes

222222 243152123 abbaabababbaababba

123 22 ababba ababba 152 22 22 243 abbaab

ba 22

1.- Quitamos parénteses aplicando as regras dos signos

2.- Xuntamos termos semellantes

2ab ab2 1

MONOMIOS

Un MONOMIO é unha expresión alxebraica na que as únicas operacións entre números e letras son a multiplicación e a potenciación de exponente natural.(Non pode haber sumas e restas)

Ex:

yxyx 32 63

yx 29

Non é un monomio

Parte literalCoeficiente

Grao: 2+1 =3

OPERACIÓNS CON MONOMIOS

SUMA E RESTA DE MONOMIOS SEMELLANTESSUMA E RESTA DE MONOMIOS SEMELLANTES

Súmanse ou réstanse os coeficientes e ponse a mesma parte literal.

Ex:

Ex:

yxyx 22 63 yx 263 yx 29

yxyx 44 47 yx 447 yx 43

OPERACIÓNS CON MONOMIOS

PRODUTO DUN NÚMERO POR UN MONOMIO PRODUTO DUN NÚMERO POR UN MONOMIO

Multiplicamos o número polo coeficiente e poñemos a mesma parte literal.

Ex:

yx 475 yx 435

OPERACIÓNS CON MONOMIOS

PRODUTO DE MONOMIOSPRODUTO DE MONOMIOS

Multiplicamos por un lado os coeficientes e por outro as partes literais

zyxyx 234 43 zyxyx 23443

zyx 3712

OPERACIÓNS CON MONOMIOS

DIVISIÓN DE MONOMIOSDIVISIÓN DE MONOMIOS

Dividimos por un lado os coeficientes e por outro as partes literais

yzx

zyx2

24

5

3

3

4 yzxzyx 224

5

3

3

4

yzx

zyx2

24

5

3

3

4

yx 2

33

54yx 2

9

20

OPERACIÓNS CON MONOMIOS

POTENCIA DUN MONOMIOPOTENCIA DUN MONOMIO

Elevamos o coeficiente e a parte literal a esa potencia

32433 zyx

3243 zyx 361227 zyx

POLINOMIOS

Un polinomio é unha expresión alxebraica formada pola suma ou diferenza de varios monomios non semellantes

p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

a0, a1,.. an son nº reais e n un nº natural ou 0

O grao de P(x) é o maior dos expoñentes

Ao termo de grao cero denomímase termo independente

Dous polinomios p e q son idénticos se

x ),x(q)x(p

POLINOMIOS

p(x)= 5x4+10x3+x-1

Coeficientes

Grao 4

POLINOMIOS

POLINOMIO ORDENADO E REDUCIDOPOLINOMIO ORDENADO E REDUCIDO

OrdenarOrdenar un polinomio consiste en ordenar os seus monomios segundo o seu grao en orde crecente

ReducirReducir un polinomio consiste en xuntar monomios semellantes

POLINOMIOS COMPLETOS E INCOMPLETOSPOLINOMIOS COMPLETOS E INCOMPLETOS

Polinomio completo é aquel que ten termos de cada un dos graos menores ao grao do polinomio

Polinomio incompleto: fáltalle algún dos termos

POLINOMIOS

Polinomio nulo 0 carece de grao. Tódolos seus coeficientes valen cero e verifícase que

Dous polinomios p e q son idénticos cando teñen o mesmo grao e coinciden os seus coeficientes, esto é, p-q =0.

A veces fálase do polinomio p(x), entendendo que se refire ao polinomio p

x ,0)x(0

OPERACIÓNS CON POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS:SUMA DE POLINOMIOS: A suma dos polinomios p e q é o polinomio

r de modo que

Para sumar polinomios , sumamos os monomios semellantes de cada un deles.

O grao do polinomio suma r é o maior dos graos de p e de q.

)m,nmax(

0k

kk

m

0j

jj

n

0i

ii xcxbxa

)x(q)x(p)x(r

OPERACIÓNS CON POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS:SUMA DE POLINOMIOS:1. Ordenamos e completamos (ou deixamos oco) os dous

polinomios

2. Escribimos un polinomio debaixo do outro de modo que os monomios semellantes estean na mesma columna

3. Sumamos os monomios semellantes

5x4+10x3+0x2+ x -1 5x3+3x2+2x+4

5x4+15x3+3x2+3x +3

OPERACIONES CON POLINOMIOS

RESTA DE POLINOMIOSRESTA DE POLINOMIOS

Para restar dous polinomios P(x)-Q(x), sumamos ao minuendo o oposto ao substraendo

P(x) – Q(x) = P(x) +[-Q(x)]

Ex: P(x) = 2x3-7x2+3x+5 ; Q(x) = -3x3 + 6x + 14

- Q(x) = 3x3 - 6x – 14

P(x) - Q(x) =

2x3-7x2+3x + 5

3x3 - 6x – 14

5x3 -7x2 -3x - 9

OPERACIONES CON POLINOMIOS

PRODUTO DUN MONOMIO POR UN POLINOMIO PRODUTO DUN MONOMIO POR UN POLINOMIO Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos o monomio por cada termo do polinomio

Ex: P(x) = 2x3-7x2+3x+5 ; M(x) = 3x3

P(x) · M(x) =

2x3-7x2+3x + 5

3x3

OPERACIONES CON POLINOMIOS

PRODUTO DE DOUS POLINOMIOS PRODUTO DE DOUS POLINOMIOS

1. Ordenamos e completamos o primeiro polinomio

2. Ordenamos o segundo polinomio

3. Multiplicamos cada termo do segundo polos termos do primeiro facendo coincidir na mesma columna os termos semellantes

OPERACIONES CON POLINOMIOS

PRODUTO DE DOUS POLINOMIOS PRODUTO DE DOUS POLINOMIOS

Ex: P(x) = 2x3-7x2+3x+5 ; Q(x) = - 3x3 + 6x +14

P(x) · Q(x) = 2x3-7x2+3x + 5

- 3x3 + 6x +14

-6x6 + 21x5 - 9x4 - 15x3

12x4 - 42x3 + 18 x2 + 30 x28x3 - 98 x2 + 42 x + 70

-6x6 + 21x5 + 3x4 - 29x3 - 80x2 + 72x + 70

OPERACIÓNS CON POLINOMIOS

DIVISIÓN DE POLINOMIOSDIVISIÓN DE POLINOMIOS1. Ordenamos e completamos o dividendo2. Ordenamos o divisor3. Determinamos o primeiro termo do cociente

dividindo o termo de maior grao do dividendo entre o termo de maior grao do divisor

4. Multiplicamos o 1º termo do cociente por cada un dos termos do divisor e o oposto deste resultado sumámosllo ao dividendo

5. Repetimos o proceso ata que o polinomio do resto teña menor grao ca o divisor

1. En xeral a división dun polinomio f dividendo por un polinomio g divisor orixina un polinomio cociente q e un polinomio resto r, de modo que

2. O grao do cociente é igual a diferenza dos graos do dividendo e do divisor

3. O grao de r é menor ca o grao de g ou ben r é nulo. Nota: f/g é un polinomio si e só si r = 0.

x ),x(r)x(g)x(q)x(f

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Exemplo:

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

6x4 + 8x2 + 7x + 40 2x2 – 4x + 5

3x2-6x4 + 12x3 – 15x2 + 6x

12x3 – 7x2 + 7x + 40

- 12x3 +24x2 – 30x

17x2 - 23x + 40

+ 17/2

-17x2 +34x - 85/2

11x - 5/2

COCIENTE

RESTO

REGRA DE RUFFINIREGRA DE RUFFINI Permite dividir un polinomio P(x) entre un binomio do

tipo (x-a). Obtéñense os coeficientes do cociente e do resto da división

Pasos:1. Ordenamos P(x) en orde decrecente respecto á letra

ordenatriz2. Escribimos os coeficientes de P(x) na orde na que se

encontran en P(x) unha vez ordenado3. Trazamos unha raia horizontal debaixo dos coeficientes e

outra vertical á esquerda4. Na esquina esquerda escribimos o valor de “a”5. Seguimos os pasos que se detallan na seguinte diapositiva

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

REGRA DE RUFFINIREGRA DE RUFFINI (7x4-11x3-94x+7 ):(x-3) 7 - 11 + 0 - 94 + 7

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

3

72110

3030

90- 4

-12RESTO

COEFICIENTES DO COCIENTE

- 5

COCIENTE: 7x3 + 10x2 + 30x - 4

DIVISIÓN POR RUFFINI

Exemplo: División de p(x)=5x4+10x3+x-1 por (x+2). Aquí a=-2.

O cociente da división de p(x) por (x+2) é 5x3+1 ,e, o resto -3, precisamente o valor de p(-2).

p(x)= (5x3+1 )(x+2)-3

310052

20010

110105

TEOREMA DO RESTOTEOREMA DO RESTO O Valor numérico dun polinomio P(x) para x=a coincide

co resto da división P(x) : (x-a).

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

P(a) = Resto

APLICACIÓNS DO TEOREMA DO RESTO:

1. Calcular o resto sen facer a división2. Calcular o valor dalgún termo decoñecido para

que o polinomio sexa divisible por un binomio do tipo(x-a) ; P(a) =0

3. Calcular o valor dalgún termo decoñecido para obter un determinado resto

FACTORIZAR UN POLINOMIOFACTORIZAR UN POLINOMIO Factorizar un polinomio consiste en decompoñelo en

produtos de polinomios do menor grao posíble MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN:

1. Extracción de factor común2. Dobre extracción de factor común3. Cadrado da suma4. Cadrado da resta5. Diferenza de cadrados6. Ecuación de 2º grao7. Ruffini para polinomios de grao superior a 2

DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO

1. Extracción de factor comúnExtracción de factor común

É o método que debe preceder a calquera outro Factorizamos os coeficientes que non sexan nº primos Extráense os factores comúns a tódolos termos que teñan menor

espoñenteEx:

DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO

2ax2 - 4a2x+12ax=

2ax2 -22a2x+22·3ax= Factorizamos coeficientes

2ax(x -2a+2·3)=

2ax(x -2a+6)

Extraemos os factores comúns de menor expoñente

2. Dobre extracción de factor comúnDobre extracción de factor común

Dase cando hai uns termos cun factor común e outros termos con outro factor común distinto

Despois de extraer os factores comúns pode quedar un factor común a tódolos termos que extraeremos nun segundo paso

DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO

6ab - 9b2 + 2ax – 3bx =

2·3ab – 32b2 +2ax - 3bx= Factorizamos coeficientes

3b(2a - 3b) + x(2a - 3b) =Extraemos os factores comúns de menor expoñente

(2a - 3b)· (3b + x) = Extraemos o paréntese como factor común

3. Cadrado dunha sumaCadrado dunha suma

Dase cando hai tres termos co mesmo signo , e no que hai dos cadrados perfectos e o terceiro termo é o dobre da primeira base pola segunda base dos cadrados anteriores

DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO

X2 + 4x + 4 = Factorizamos coeficientes

Observamos dous cadrados X2, 22 e que o terceiro termo é o dobre de x por 2

X2 + 2·2x + 22 =

(X+2)2

Basease en aplicar a inversa do cadrado da suma

(x+y)2=x2+2xy+y2

4. Cadrado dunha restaCadrado dunha resta Dase cando hai tres termos , dous cadrados perfectos

co mesmo signo e o terceiro termo é o dobre da primeira base pola segunda base dos cadrados anteriores

DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO

X2 - 4x + 4 = Factorizamos coeficientes

Observamos dous cadrados X2, 22 e que o terceiro termo é o dobre de x por 2

X2 - 2·2x + 22 =

(X-2)2

Basease en aplicar a inversa do cadrado da resta

(x-y)2=x2 - 2xy+y2

5. Diferenza decadradosDiferenza decadrados Dase cando hai dous termos con distinto signo e que

poden expresarse como cadrados perfectos

DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO

a2x2 - 49x2 = Factorizamos coeficientes

Observamos dous cadrados (ax)2 e (7x)2

Basease en aplicar o produto da suma pola diferenza de dous números

(x+y) (x-y)=x2-y2

(ax)2 - 72x2 =

(ax+7x)·(ax-7x)=

6. Ecuación de segundo graoEcuación de segundo grao Pode aplicarse sempre que teñamos un polinomio de

segundo grao Primeiro calculamos as solucións X1 e X2 pola fórmula

xeral Aplicamos P(x) = a·(x - x1)·(x - x2)

2

11214412

/x

DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO

X2 + 12x -28 = Resolvemos a ecuación de segundo grao

12

28141212 2

·

··/x

2

25612

/x

2

1612

/x 2

16121

x

2

16121

x

21 x

142 x

6. Ecuación de segundo graoEcuación de segundo grao

DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO

X2 + 12x -28 = 1·(x-2)·(x+14)

7. Factorización por RuffiniFactorización por Ruffini RAÍCES DUN POLINOMIORAÍCES DUN POLINOMIO

a é unha raíz do polinomio P(x) se P(a) = 0 Se a é unha raíz de P(x), entón ,polo teorema do resto

P(x) é divisible por (x-a) Aplicando a regra da división : D = d·c + R , como R=0 Podemos poñer: P(x) = (x-a)·c Seguimos factorizando o cociente,se podemos, ata que

o seu grao sexa 1 Para buscar as raíces dun polinomio ,probaremos cos

divisores (positivos e negativos) do termo independente Se as raíces son a1 , a2 , a3,.. e o cociente é C(x) a

factorización de P(x) será:

DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO

P(x) = (x- a1)·(x-a2)·(x-a3)···C(x)

7. Factorización por RuffiniFactorización por Ruffini (4x4- 4x3-9x2+ x + 2 ) 4 - 4 - 9 + 1 + 2

FACTORIZACIÓN DE DE POLINOMIOS

-1

4- 4-8

8-1

12

-20

P(x) = (x +1)·(x – 2)·(4x2 + 0x -1)

2

4

8

0

0

-1

-2

0

4x2 + 0x -1= 4x2-1= (2x-1)·(2x+1) Factorizamos como

diferenza de cadrados

P(x) = (x +1)·(x – 2)·(2x+1)(2x-1)