Post on 21-Jul-2015
PORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL
INTERNACIONAL
Tulcán – Ecuador
DOCENTE: MSC. JORGE POZO
INTEGRANTES:
Verónica Marisol Imbacuán Gordón
MARZO 2012- AGOSTO 2012
1
INTRODUCCION
La estadística inferencial es necesaria cuando queremos hacer alguna afirmación
sobre más elementos de los que vamos a medir. La estadística inferencial hace que
ese salto de la parte al todo se haga de una manera “controlada”. Aunque nunca
nos ofrecerá seguridad absoluta, sí nos ofrecerá una respuesta probabilística. Esto
es importante: la estadística no decide; sólo ofrece elementos para que el
investigador o el lector decidan. En muchos casos, distintas personas perciben
diferentes conclusiones de los mismos datos.
El proceso será siempre similar. La estadística dispone de multitud de modelos que
están a nuestra disposición. Para poder usarlos hemos de formular, en primer lugar,
una pregunta en términos estadísticos. Luego hemos de comprobar que nuestra
situación se ajusta a algún modelo (si no se ajusta no tendría sentido usarlo). Pero
si se ajusta, el modelo nos ofrecerá una respuesta estadística a nuestra pregunta
estadística. Es tarea nuestra devolver a la psicología esa respuesta, llenándola de
contenido psicológico.
La estadística descriptiva, como indica su nombre, tiene por finalidad describir. Así,
si queremos estudiar diferentes aspectos de, por ejemplo, un grupo de personas, la
estadística descriptiva nos puede ayudar. Lo primero será tomar medidas, en todos
los miembros del grupo, de esos aspectos o variables para, posteriormente, indagar
en lo que nos interese. Sólo con esos indicadores ya podemos hacernos una idea,
podemos describir a ese conjunto de personas.
2
OBJETIVO DE LA ESTADÍSTICA
La estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la recolección,
organización, análisis e interpretación de datos. Los datos pueden ser cuantitativos,
con valores expresados numéricamente, o cualitativos, en cuyo caso se tabulan las
características de las observaciones. La estadística sirve en administración y
economía para tomar mejores decisiones a partir de la comprensión de las fuentes
de variación y de la detección de patrones y relaciones en datos económicos y
administrativos.
JUSTIFICACIÓN
El presente portafolio tiene como justificación recolectar todo el trabajo dado en
clases como portafolio de apoyo del estudiante y además ampliar mas el
contenido con investigaciones bibliográficas de libros ya que esto nos permitirá
analizar e indagar de los temas no entendidos para auto educarse el estudiante y
así despejar los dudas que se tiene con la investigación y el análisis de cada uno de
los capítulos ya que la estadística inferencial es amplia y abarca problemas que
estas relacionados con el entorno para poder sacar nuestras propias decisiones ya
que la estadística inferencial nos ayudara a la carrera en la que estamos siguiendo
como lo es comercio exterior ampliar mas nuestros conocimientos y utilizar más el
razonamiento y sacar conclusiones adecuadas según el problema que se presente
en el entorno ay que las matemáticas y la estadística nos servirá a futuro para así
poderlos emplear a futuro .
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CAPITULO I
EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Las unidades del sistema internacional de unidades se clasifican en fundamentales
y derivadas. Las unidades fundamentales no se pueden reducir. Se citan las
unidades fundamentales de interés en la asignatura de ciencias e ingenierías de os
materiales.
Las unidades derivadas se expanden en función de las unidades fundamentales
utilizando signos matemáticos de multiplicación y de división. Por ejemplo las
unidades de densidad del sí son el kilogramo por metro cubico algunas unidades
derivadas tienen nombres y símbolos especiales.
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del
kilogramo (Diaz, 2008)
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la
radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles HIPERFINOS del
estado fundamental del átomo de cesio 133. (Diaz, 2008)
Unidad de intensidad de corriente eléctrica El ampere (A) es la intensidad de
una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos,
rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una
distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7
newton por metro de longitud. (Diaz, 2008)
4
Unidad de temperatura termodinámica El kelvin (K), unidad de temperatura
termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto
triple del agua. (Diaz, 2008)
Unidad de cantidad de sustancia El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un
sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012
kilogramos de carbono 12. (Diaz, 2008)
Unidad de intensidad luminosa La candela (CD) es la unidad luminosa, en una
dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de
frecuencia 540·1012 HERTZ y cuya intensidad energética en dicha dirección es
1/683 WATT por estereorradián. (Diaz, 2008)
Peso: es una magnitud derivada se considera como una unidad vectorial. (Diaz,
2008)
Escalar: aquel que indica el número y la unidad. (Diaz, 2008)
Vector: indica número unidad dirección etc. (Diaz, 2008)
Magnitud derivada: el peso de la unidad newton es una unidad de fuerza. (Diaz,
2008)
Gravedad: es la que permite a los cuerpos caer en perpendiculares según la
gravedad de la tierra (Diaz, 2008)
MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS
Múltiplo
Un múltiplo de un número es otro número que lo contiene un número entero de
veces. En otras palabras, un múltiplo de n es un número tal que, dividido por n, da
por resultado un número entero Los primeros múltiplos del uno al diez suelen
agruparse en las llamadas tablas de multiplicar. (Pineda, 2008)
Submúltiplo
Un número entero a es submúltiplo de otro número b si y sólo si b es múltiplo de a,
(Pineda, 2008).
5
COMENTARIO:
El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene la finalidad de: Estudiar el
establecimiento de un conjunto de reglas para las unidades de medida y como
estudiantes de comercio exterior nos ayuda muchísimo porque con el podemos
obtener los resultados al almacenar una mercancía en el contenedor sin perder el
tiempo que es valioso en la carrera, y también si perder el espacio dentro de dicho
contenedor.
El sistema internacional de unidades es estudiado para obtener datos reales y a su
vez poder dar nuestros resultados sacando conclusiones propias de la carrera Para
una comunicación científica apropiada y efectiva, es esencial que cada unidad
fundamental de magnitudes de un sistema, sea especificada y reproducible con la
mayor precisión posible.
6
ORGANIZADOR GRAFICO:
Sistema Internacional de Medidas y Unidades
Magnitudes fundamentales
Una magnitud fundamental
es aquella que se define
por sí misma y es
independiente de las
demás (masa, tiempo,
longitud, etc.).
Magnitudes derivadas
Para resolver el problema que suponga la utilización de unidades diferentes en distintos lugares del mundo, en la XI
Conferencia General de Pesos y Medidas (París, 1960) se estableció el Sistema Internacional de Unidades (SI). En el
cuadro siguiente puedes ver las magnitudes fundamentales del SI, la unidad de cada una de ellas y la abreviatura que se
emplea para representarla:
Son la que
dependen de las
magnitudes
fundamentales.
Múltiplos Submúltiplos
Un número es un
submúltiplo si otro lo
contiene varias veces
exactamente. Ej.: 2 es
un submúltiplo de 14,
ya que 14 lo contiene
7 veces.= 14 = 2 • 7
Un múltiplo de n es
un número tal que,
dividido por n, da por
resultado un número
entero
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TRABAJO # 1
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS
MÚLTIPLOS.- Se pueden obtener múltiplos de cualquier número, son aquellos que
se obtiene al sumar el mismo número varias veces o al multiplicarlo por cualquier
número. (son infinitos), (Aldape & Toral, 2005, pág. 94).
Ejemplo:
Múltiplos de 5:
5-10-15-20-25-30-35-405-500-1000
SUBMÚLTIPLOS.- Los submúltiplos son todo lo contrario, son las divisiones
exactas de un número, (Aldape & Toral, 2005).
Por ejemplo:
Submúltiplos de 30:
6, 10, 5, 2, 3, etc.
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MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS
LAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- Una magnitud fundamental es aquella
que se define por sí misma y es independiente de las demás (masa, tiempo,
longitud, etc.).
LONGITUD: Es la medida del espacio o la distancia que hay entre dos
puntos. La longitud de un objeto es la distancia entre sus extremos, su
extensión lineal medida de principio a fin, (Serway & Faughn, 2006).
MASA: Es la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo,
(Serway & Faughn, 2006).
TIEMPO: Es la magnitud física que mide la duración o separación de
acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación,
(Serway & Faughn, 2006).
INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA: Se denomina intensidad de
corriente eléctrica a la cantidad de electrones que pasa a través de una
sección del conductor en la unidad de tiempo, (Serway & Faughn, 2006).
TEMPERATURA: Es una magnitud referida a las nociones comunes de
calor o frío. Por lo general, un objeto más "caliente" tendrá una temperatura
mayor, (Serway & Faughn, 2006).
INTENSIDAD LUMINOSA: En fotometría, la intensidad luminosa se define
como la cantidad flujo luminoso, propagándose en una dirección dada, que
emerge, atraviesa o incide sobre una superficie por unidad de ángulo solido,
(Enríquez, 2002).
CANTIDAD DE SUSTANCIA: Su unidad es el mol. Surge de la necesidad
de contar partículas o entidades elementales microscópicas indirectamente
a partir de medidas macroscópicas (como la masa o el volumen). Se utiliza
para contar partículas, (Enríquez, 2002).
MAGNITUDES DERIVADAS.- Son la que dependen de las magnitudes
fundamentales.
VELOCIDAD: Es la magnitud física que expresa la variación de posición de
un objeto en función del tiempo, o distancia recorrida por un objeto en la
unidad de tiempo, (Enríquez, 2002).
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AREA: Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura
(de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas
superficiales, (Enríquez, 2002).
VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por un
cuerpo, (Enríquez, 2002).
FUERZA: se puede definir como una magnitud vectorial capaz de deformar
los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o vencer su inercia y
ponerlos en movimiento si estaban inmóviles, (Enríquez, 2002).
TRABAJO: El trabajo, en mecánica clásica, es el producto de una fuerza
por la distancia que recorre y por el coseno del ángulo que forman ambas
magnitudes vectoriales entre sí, (Enríquez, 2002).
La unidad del trabajo es el JOULE.
ENERGIA: Es una magnitud física abstracta, ligada al estado dinámico de
un sistema y que permanece invariable con el tiempo en los sistemas
aislados. La unidad de la energía es el Joule, (Enríquez, 2002).
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Figura Esquema Área Volumen
Cilindro
Esfera
Cono
Cubo
A = 6 a2 V = a3
Prisma
A = (perim. base •h) + 2 • area
base
V = área base •
h
Pirámid
e
Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos
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CONCLUSIONES
El sistema internacional de unidades es muy importante porque se involucra
en nuestra carrera permitiendo la relación económica con otros países
mediante comercio internacional y su negociación entre ellos. como también
la práctica de problemas del sistema internacional de unidades nos ayudan
a ver la realidad de nuestro entorno de cómo podemos solucionar problemas
al momento de exportar una mercancía, que cantidad de materia prima,
electrodomésticos, enceres que actualmente se exporta en gran cantidad,
puede alcanzar dentro de un contenedor.
El sistema internacional de unidades nos ayudan a vincularnos en los
negocios, como realizar negociaciones en el exterior porque a través de
este sistema podemos indicar el volumen, área, del tipo de trasporte el cual
se va a exportar la mercancía, que cantidad de cajas por ejemplo podemos
enviar al exterior este sistema es muy fundamental en la carrera de
comercio exterior.
RECOMENDACIONES
Se recomienda saber todas las medidas del sistema internacional de
unidades como también las magnitudes , longitud, masa y volumen de las
figuras geométrica para que nuestro producto o mercancía pueda ser
exportada al exterior, es necesario conocer debido a que nos permitirá
realizar una buena negociación conociendo la cantidad de mercancía que
puede introducirse en el transporte.
Es de mucha importancia, que como estudiantes de la carrera de comercio
exterior conozcamos las unidades básicas más utilizadas que se encuentran
presentes en el Sistema internacional para una correcta aplicación en los
ejercicios propuestos. La utilización de las medidas del Sistema
Internacional se presenta a nivel internacional y por ende son aplicadas en
el los negocios de Comercio Internacional ya que permite una mejor
movimiento e intercambio.
12
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BIBLIOGRAFÍA
Aldape, A., & Toral, C. (2005). Matemáticas 2. México: PROGRESO S.A.
Altamirano, E. (2007).
Anderson, D. R. (2005). Estadística para Administración y Economía. México:
Cengage Learning.
Diaz, R. G. (2008). Unidades fundamentales .
Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.
Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.
García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia: I.S.B.N.
J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .
14
Pineda, L. (2008). matematicas.
Rodrígues, M. E. (2001). Coeficientes de Asociación. México: Plaza y Valdés.
Sabadías, A. V. (2001). Estadística Descriptiva e Inferencial . Murcia:
COMPOBELL.
Serway, R. A., & Faughn, J. S. (2006). FÍSICA para bachillerato general. New York:
THOMSON.
Weiers, R. M. (2006). Introducción a la Estadística para Negocios. México: Learning
Inc.
Willliams, T. A. (2008). Estadística para Administración y Economía. México:
Cengage Learning.
LINKOGRAFIA
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm
file:///K:/Tabla-de-Magnitudes-Unidades-Y-Equivalencias.htm
file:///K:/books.htm
file:///K:/volumenes/areas_f.html
file:///K:/cuerposgeoAreaVolum.htm
ANEXOS:
1.- Convertir 2593 Pies a Yardas.
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2.- Convertir 27,356 Metros a Millas
3.- Convertir 386 Kilogramos a Libras.
4.- Convertir 2,352 Segundos a Año.
5.- Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo.
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TRANSFORMACIONES
En muchas situaciones tenemos que realizar operaciones con magnitudes que
vienen expresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los cálculos
que realicemos sean correctos, debemos transformar las unidades de forma que se
cumpla el principio de homogeneidad, (Ledanois & Ramos, 2002).
Por ejemplo, si queremos calcular el espacio recorrido por un móvil que se mueve a
velocidad constante de 72 Km/h en un trayecto que le lleva 30 segundos, debemos
aplicar la sencilla ecuación S = v·t, pero tenemos el problema de que la velocidad
viene expresada en kilómetros/hora, mientras que el tiempo viene en segundos.
Esto nos obliga a transformar una de las dos unidades, de forma que ambas sean
la misma, para no violar el principio de homogeneidad y que el cálculo sea
acertado, (Ledanois & Ramos, 2002).
Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión. Llamamos
factor de conversión a la relación de equivalencia entre dos unidades de la misma
magnitud, es decir, un cociente que nos indica los valores numéricos de
equivalencia entre ambas unidades, (Ledanois & Ramos, 2002).
EJERCICIOS REALIZADOS EN CLASE
Volumen 300 transformar en pulgadas 3
V= 100000
V= 100000
Q= 7200000
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Vol. Paralelepípedo L x a x h
Vol. Cubo
Vol. Esfera
Vol. Cilindro
Vol. Pirámide
Área cuadrada
Área de un rectángulo B x h
Área de un circulo
Área de un triangulo
En una bodega tiene un largo de 60 m un ancho de 30 m cuantas cadjas de
manzana puede ubicar en esta bodega en estas cajas tiene 60cm de lado y 30 de
ancho y 40 de altura.
Vol. de p bodega = l x a h = 60 x 30 x3 = 5400
Vol. De p caja = 60 x 30 x 40 = 72000
TRANSFORMACIÓN
18
X=
Un tanquero tiene una longitud de 17 m y un radio del tanque de 1.50 m. ¿Cuántos
litros se puede almacenar en dicho tanque?.
RESOLUCION
VOL. CILINDRO =
VOL. CILINDRO= 3.1416 X (1.50 X (17)= 0 120.17
TRANSFORMACIÓN
120.17
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
LONGITUD
1 Km 1000 m
1 m 100 cm
1 cm 10 mm
1 milla 1609 m
1 m 1000 mm
MASA
1qq 100 lbs.
1 Kg 2.2 lbs.
1 qq 45.45 Kg
1 qq 1 arroba
19
1 arroba 25 lbs.
1 lb 454 g
1 lb 16 onzas
1 utm 14.8 Kg
1 stug 9.61 Kg
1 m 10 Kg
1 tonelada 907 Kg
ÁREA
100
1 10000
1 hectárea 10000
1 acre 4050
1 pie (30.48 cm
1 pie 900.29
1 10.76
COMENTARIO EN GRUPO:
Como comentario en grupo podemos decir que las transformaciones nos servirá en
la carrera del comercio exterior y además poder resolver problemas que se
presenten ya que al realizar ejercicios de cilindros y tanque etc., y otras formas
geométricas nos servirá para determinar cuántas cajas o bultos, etc. que pueden
alcanzar en una almacenera o en cada uno de los contenedores esto nos servirá al
realizar prácticas o al momento de emprender nuestro conocimientos a futuro.
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ORGANIZADOR GRAFICO:
LONGITUD
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en
la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior, (Riley & Sturges,
2004).
LONGITUD
1 KM 100 M
1 M 100M, 1000MM
1 MILLA 1609M
1 PIE 30,48CM, 0,3048M
1 PULGADA 2,54CM
1 AÑO LUZ 9,46X1015
M
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TIEMPO.
El tiempo es la magnitud física con la que medimos la duración o separación de
acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación, esto es,
el período que transcurre entre el estado del sistema cuando éste aparentaba un
estado X y el instante en el que X registra una variación perceptible para un
observador (o aparato de medida). El tiempo ha sido frecuentemente concebido
como un flujo sucesivo de situaciones atomizadas, (López, March, García, &
Álvarez, 2004).
MEDIDAS DEL TIEMPO
1 AÑO 365 DIAS
1 MES 30 DIAS
1SEMANA 7 DIAS
1 DIA 24 HR
1 HORA 60 MIN,3600SEG
1 MINUTO 60 SEG.
MASA Y PESO.
La masa es la única unidad que tiene este patrón, además de estar en Sevres, hay
copias en otros países que cada cierto tiempo se reúnen para ser regladas y ver si
han perdido masa con respecto a la original. El kilogramo (unidad de masa) tiene su
patrón en: la masa de un cilindro fabricado en 1880, compuesto de una aleación de
platino-iridio (90 % platino - 10 % iridio), creado y guardado en unas condiciones
exactas, y que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Seres,
cerca de París, (Hewitt, 2004).
PESO
De nuevo, atención a lo siguiente: la masa (la cantidad de materia) de cada cuerpo
es atraída por la fuerza de gravedad de la Tierra. Esa fuerza de atracción hace que
el cuerpo (la masa) tenga un peso, que se cuantifica con una unidad diferente: el
Newton (N), (Torre, 2007).
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SISTEMA DE CONVERSION DE
MASA
1
TONELADA
1000 KG
1 QQ 4 ARROBAS, 100 L
1 ARROBA 25 L
1 KG 2,2 L
1 SLUG 14,58 KG
1 UTM 9,8 KG
1 KG 1000 GR
1 L 454 GR, 16 ONZAS
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TRABAJO # 2
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CONCLUSIÓN:
La conversión de unidades es la transformación de una cantidad, expresada en una
cierta unidad de medida, en otra equivalente. Este proceso suele realizarse con el
uso de los factores de conversión y las tablas de conversión del Sistema
Internacional de Unidades.
Frecuentemente basta multiplicar por un factor de conversión y el resultado es otra
medida equivalente, en la que han cambiado las unidades.
Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades se
pueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el
resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos.
Cuando se trabaja en la resolución de problemas, frecuentemente surge la
necesidad de convertir valores numéricos de un sistema de unidades a otro, por lo
cual es indispensable tener conocimientos sobre las equivalencias de los diferentes
sistemas de unidades que nos facilitan la conversión de una unidad a otra,
tomando en cuenta el país y la medida que se emplee en los diferentes lugares.
RECOMENDACIÓN:
En toda actividad realizada por el ser humano, hay la necesidad de medir "algo"; ya
sea el tiempo, distancia, velocidad, temperatura, volumen, ángulos, potencia, etc.
Todo lo que sea medible, requiere de alguna unidad con qué medirlo, ya que las
personas necesitan saber qué tan lejos, qué tan rápido, qué cantidad, cuánto pesa,
en términos que se entiendan, que sean reconocibles, y que se esté de acuerdo
con ellos; debido a esto es necesario tener conocimientos claros sobre el Sistema
De Conversión De Unidades pues mediante el entendimiento de este sistema o
patrón de referencia podremos entender y comprender con facilidad las unidades
de medida las cuales las podremos aplicar en la solución de problemas de nuestro
contexto.
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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:
MES DE MARZO-ABRIL
ACTIVIDADES M J V S D L M
Investigar sobre el Sistema Internacional de Unidades y la
Áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas
X X
Ejecución del Formato del Trabajo X
Resumen de los textos investigados X X
Finalización del Proyecto X
Presentación del Proyecto X
BIBLIOGRAFIA
Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.
Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.
García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia: I.S.B.N.
Hewitt, P. G. (2004). Física Conceptual. México: Pearson Educación S.A.
J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .
Ledanois, J. M., & Ramos, A. L. (2002). Magnitudes, Dimensiones y Conversiones
de Unidades. Caracas: EQUINOCCIO.
López, J. C., March, S. C., García, F. C., & Álvarez, J. M. (2004). Curso de
Ingeniería Química. Barcelona: REVERTÉ S.A.
Pineda, L. (2008). matematicas.
Riley, W. F., & Sturges, L. F. (2004). ESTÁTICA. Barcelona: REVERTÉ.
34
LINKOGRAFIA:
http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_fundamental#Unidades_en_el_Sistema_Int
ernacional_de_Unidades_.28SI.29
http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29
http://www.quimicaweb.net/ciencia/paginas/magnitudes.html
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/VolumenCilindro.htm
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/volum1.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm
ANEXOS:
1.- Investigar las medidas de un tráiler, de una mula y de un camión sencillo,
además las medidas de las cajas de plátano, manzanas, quintales de papa y arroz.
Con esa información calcular el número de cajas y quintales que alcanzan en cada
uno de los vehículos.
TRAILER MULA CAMION
SENCILLO
Largo 14.30m Largo 8.27m Largo 10.80m
Ancho 2.45m Ancho 2.50m Ancho 2.60m
Alto 2.6m Alto 1.44m. Alto 4.40m
Medidas de las cajas:
Medidas de las cajas de plátano
LARGO ANCHO ALTO
20cm 51cm 34cm
Medidas de las cajas de manzana
7.5cm 9.5cm 7.5cm
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DESARROLLO:
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a.
1 caja de plátano-----------------911*10-05m3
X 91.09m3
b.
1 caja de manzana-----------------5.3*108m3
X 9.11*10-05m3
c.
37
1 qq de papa-----------------0.05m3
X 9.11*10-05m3
d.
1 qq de arroz-----------------0.05m3
X 9.11*10-05m3
e.
1 caja de plátano-----------------911*10-05m3
X 29.77m3
38
f.
1 caja de manzana-----------------5.3*108m3
X 29.77m3
g.
1 qq de papa-----------------0.05m3
X 29.77m3
.
h.
1 qq de arroz-----------------0.05m3
X 9.11*10-05m3
39
i.
1 caja de plátano-----------------911*10-05m3
X 123.55m3
j.
1 caja de manzana-----------------5.3*108m3
X 123.55m3
k.
1 qq de papa-----------------0.05m3
X 123.55m3
.
40
l.
1 qq de arroz-----------------0.05m3
X 123.55m3
.
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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES DEL PRIMER CAPÍTULO:
Tiempo
Actividades
MARZO ABRIL MAYO
SEMANAS SEMANAS SEMANAS
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
PRIMERA CLASE
Competencia especifica (27-Marzo-2012)
X
Introducción de la Materia (27-Marzo-2012)
x
SEGUNDA CLASE
Sistema Internacional de Unidades (03-Abril-2012)
X
Tarea Sistema Internacional de Unidades. Entregar el 10 de abril del 2012
X
TERCERA CLASE
Aplicación de transformaciones (17 de abril del 2012)
X
Tarea Ejercicios de aplicación acerca del Sistema Internacional de unidades según las transformaciones (24 de abril del 2012)
X
CUARTA CLASE
Evaluación primer capitulo (03 de Mayo del 2012)
x
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CAPITULO II
MARCO TEORICO:
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL
La correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre las dos
variables que intervienen en una distribución bidimensional. Es decir, determinar si los
cambios en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de que
suceda, diremos que las variables están correlacionadas o que hay correlación entre
ellas.
Una medida estadística ampliamente utilizada que mide el grado de relación lineal
entre dos variables aleatorias. El coeficiente de correlación debe situarse en la
banda de -1 a +1. El coeficiente de correlación se calcula dividiendo la covarianza
de las dos variables aleatorias por el producto de las desviaciones típicas
individuales de las dos variables aleatorias. Las correlaciones desempeñan un
papel vital en la creación de carteras y la gestión de riesgos, (Weiers, 2006).
Comentario:
A una correlación se la puede apreciar con un grupo de técnicas estadísticas
empleadas para medir la intensidad de dicha relación entre dos variables, en
donde se deben identificar la variable dependiente y la independiente.
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
Representación gráfica del grado de relación entre dos variables cuantitativas.
Características principales
A continuación se comentan una serie de características que ayudan a comprender la
naturaleza de la herramienta.
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Impacto visual
Un Diagrama de Dispersión muestra la posibilidad de la existencia de correlación entre
dos variables de un vistazo.
Comunicación
Simplifica el análisis de situaciones numéricas complejas.
Guía en la investigación
El análisis de datos mediante esta herramienta proporciona mayor información que el
simple análisis matemático de correlación, sugiriendo posibilidades y alternativas de
estudio, basadas en la necesidad de conjugar datos y procesos en su utilización, (García,
2000).
Comentario:
El diagrama de dispersión sirve para una representación gráfica más fácil y útil
cuando se quiere describir el comportamiento de un conjunto de dos variables, en
donde aparece representado como un punto en el plano cartesiano.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN RECTILINEA DE PEARSON
En estadística, el coeficiente de correlación de Pearson es un índice que mide la relación
lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la
correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de las variables.
De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de Pearson como
un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables siempre y
cuando ambas sean cuantitativas.
El coeficiente de correlación es una medida de asociación entre dos variables y se
simboliza con la literal r; los valores de la correlación van de + 1 a - 1, pasando por
el cero, el cual corresponde a ausencia de correlación. Los primeros dan a
46
entender que existe una correlación directamente proporcional e inversamente
proporcional, respectivamente, (Willliams, 2008).
Comentario:
El coeficiente de correlación de Pearson nos da una idea de que tan relacionadas
están dos variables, este número varía entre 0 y 1; si el coeficiente es > 0.9,
entonces es una buena correlación y cuando un coeficiente es < 0.3 indica que las
variables no están correlacionadas entre ellas y por lo que el 1 representa una
correlación perfecta.
INTERPRETACIÓN DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
El coeficiente de correlación como previamente se indicó oscila entre –1 y +1
encontrándose en medio el valor 0 que indica que no existe asociación lineal entre las dos
variables a estudio. Un coeficiente de valor reducido no indica necesariamente que no
exista correlación ya que las variables pueden presentar una relación no lineal como
puede ser el peso del recién nacido y el tiempo de gestación. En este caso el r infraestima
la asociación al medirse linealmente. Los métodos no paramétrico estarían mejor
utilizados en este caso para mostrar si las variables tienden a elevarse conjuntamente o a
moverse en direcciones diferentes.
Como ya se ha planteado el grado de correlación mide la intensidad de relación
lineal, ya sea directa, inversa o inexistente entre dos variables, se dice que es
directa si tiene signo positivo, inversa de signo negativo y nula cuando el valor sea
aproximadamente igual a cero, (Anderson, 2005).
Comentario:
El coeficiente de correlación mide solo la relación con una línea recta, dos
variables pueden tener una relación curvilínea fuerte, a pesar de que su
correlación sea pequeña; por lo tanto cuando analicemos las relaciones entre dos
variables debemos representarlas gráficamente y posteriormente calcular el
coeficiente de correlación para un mejor entendimiento.
47
FORMULA
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Elegida una de las variables independientes y representadas los valores de la variable
bidimensional, si observamos que la función que mejor se adapta a la forma de la nube de
puntos es una recta, tendremos un problema de regresión lineal. Si hemos elegido el
carácter X como variable independiente, tendremos a la recta de regresión de Y sobre X.
Si elegimos Y como variable independiente, se obtendrá la recta de regresión de X sobre
Y.
Regresión Lineal Simple.- suponga que tenemos una única variable respuesta
cuantitativa Y, y una única variable predictora cuantitativa X. Para estudiar la relación
entre estas dos variables examinaremos la distribución condicionales de Y dado X=x para
ver si varían cuando varia x. (MORER, 2004)
COMENTARIO:
Podemos concluir diciendo que una de las variables independientes y
representadas los valores que mejor se adapta a la forma de la nube de puntos es
una recta, tendremos un problema de regresión lineal. A demás el hecho de
entender de que se trata una regresión lineal y saberla aplicar relacionando dos
variables nos será de mucha ayuda en nuestro futuro ya que nos permitirá aplicar
lo aprendido en problemas reales que se nos presenten en nuestra vida
profesional como por ejemplo el saber que tan buena resulta una relación entre
exportaciones e importaciones que el Ecuador ha realizado y así con esto poder
tomar decisiones.
48
CORRELACIÓN POR RANGOS
Cuando se obtienen datos en parejas, tales como observaciones de dos variables para un
mismo individuo, deseamos conocer si las dos variables están relacionadas o no y de
estarlo, el grado de asociación entre ellas.
Correlación Por Rangos.- Este coeficiente de Sperman, es muy utilizado en
investigaciones de mercado, especialmente cuando no se deben aplicar medidas
cuantitativas para ciertas características cualitativas, en aquellos casos , en donde se
pueden aplicar ambos coeficientes de correlación, encontraremos que sus resultados son
bastante aproximados. (BENCARDINO, 2006)
COMENTARIO:
Son datos en pareja para poder conocer la relación que existe entre ellas para un
solo individuo en común, y medir el grado de asociación entre ellas. Esto es muy
interesante ya que en un futuro nos ayudara en lo que nos vamos a desarrollar
que es un ambiente de negocios, ya que podemos aplicar esta técnica estadística
aprendida, y así poder solucionar problemas que se nos presenten comúnmente y
saber que tan buena es la relación entre las dos variables propuestas es decir nos
ayudara mucho ya que nos dará una idea de que tan relacionadas linealmente
están dos variables y si su relación es positiva o negativa.
RANGO
La diferencia entre el menor y el mayor valor. En {4, 6, 9, 3, 7} el menor valor es 3, y el
mayor es 9, entonces el rango es 9-3 igual a 6. Rango puede significar también todos los
valores de resultado de una función.
Rango.- es una categoría que puede aplicarse a una persona en función de su situación
profesional o de su status social. Por ejemplo: “Tenemos que respetar el rango del
superior a la hora de realizar algún pedido”, “Diríjase a mi sin olvidar su rango o será
sancionado. (MORER, 2004)
49
COMENTARIO:
Rango es el valor que se diferencia entre el menor y el mayor valor. Rango puede
significar también todos los valores de resultado de una función, y se puede así
relacionar y correlacionar a dos variables para obtener resultados que nos ayudan
a la toma de decisiones. A demás un rango es importante ya que nos permite la
obtención de datos más exactos y pues con esto nuestro trabajo se entonara de
forma más real y sobre todo de forma más precisa, y por ende tomaremos
decisiones más acertadas.
COMENTARIO GENERAL:
La correlación y regresión lineal están estrechamente relacionadas entre si las cuales nos
ayudan a comprender el análisis de los datos muéstrales para saber qué es y cómo se
relacionan entre sí dos o más variables en una población que deseemos estudiar para así
poder determinar posibles resultados que nos darán en un estudio de mercado por
ejemplo ya que nuestra carrera de comercio exterior está muy relacionada con ese
ámbito.
La regresión lineal por otro lado nos permitirá graficar las dos variables a estudiar
determinando su situación y si es conveniente o no desarrollar lo propuesto o investigado.
La finalidad de una ecuación de regresión seria estimar los valores de una variable con
base en los valores conocidos de la otra.
Es decir en resumen que nos permitirá tomar decisiones acertadas dentro de un estudio
ya sea en una población que determinara el éxito o fracaso entre dos variables a estudiar,
y facilitara la recolección de información.
50
ORGANIZADOR GRAFICO:
CORRELACION Y REGRESION
LINEAL
ayuda a la toma de decisiones segun lo
resultante en la aplicacion de estos
grupodetécnicasestadísticasusadasparamedirlafuerzadelaasociaciónentredosvariables
se ocupa de establecer si existe una relación así como de determinar su magnitud y
dirección mientras que la regresión se encarga
principalmente de utilizar a la relación para efectuar una
predicción. determinar posibles
resultados como por ejemplo del
exito en un estudi de mercado
permite evaluar decisiones que
se tomen en una poblacion
herramienta basica para estudios y analisis que pueden determinar el
exito o fracaso entre dos opciones
51
TRABAJO Nº 3
Verónica Marisol Imbacuán
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:
Actividad
Días
Responsable Mar,
08
Mié,
09
Jue,
10
Vie,11 Sáb,12 Dom,13 Lun,14 Mar,15 Mié,16 Jue,17
Copias Marisol
Imbacuán
Iniciar
con los
ejercicios
Marisol
Imbacuán
Terminar
los
ejercicios
Marisol
Imbacuán
Prueba Marisol
Imbacuán
82
ANEXOS:
Ejemplo 1:
La siguiente tabla representa las puntuaciones de 7 sujetos en dos variables X e Y.
X: 6 3 7 5 4 2 1
Y: 7 6 2 6 5 7 2
Calcule:
a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y
b. La recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas
c. La varianza de Y ( ), la varianza de las puntuaciones pronosticadas ( ) y la
varianza error (
a)
X Y XY X2 Y2
6
3
7
5
4
2
1
7
6
2
6
5
7
2
42
18
14
30
20
14
2
36
9
49
25
16
4
1
49
36
4
36
25
49
4
28 35 140 140 203
83
b)
c)
Ejemplo 2:
Se tienen los datos conjuntos de dos variables, X e Y, con los valores que se muestran en
la tabla:
X: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13
Y: 1; 4; 6; 6; 7; 8; 10
a. Si utilizamos la variable X como predictora de la variable Y, ¿qué porcentaje de
variabilidad de Y no puede ser explicada por la variabilidad de X?.
b. ¿Qué valor pronosticaríamos en la variable Y, si en la variable X obtenemos un
valor de 10?
c. Suponiendo que no dispusiéramos de la información relativa a la variable X, ¿qué
valor pronosticaríamos para la variable Y? (Razone su respuesta).
84
a) Completamos la siguiente tabla:
X Y XY X2 Y2
1 1 1 1 1
3 4 12 9 16
5 6 30 25 36
7 6 42 49 36
9 7 63 81 49
11 8 88 121 64
13 10 130 169 100
49 42 366 455 302
El cuadrado del coeficiente de correlación (coeficiente de determinación) se interpreta
como proporción de varianza de la variable Y que se explica por las variaciones de la
variable X. Por tanto: es la proporción de varianza no explicada. Esta proporción
multiplicada por 100 es el tanto por ciento o porcentaje.
b) Aplicamos la ecuación de regresión de Y sobre X: Y= b.X + a. Siendo b la pendiente
y ala ordenada cuyas expresiones aparecen entre paréntesis.
85
c) Le pronosticaríamos la media, porque no disponiendo información de la variable X es
con el que cometemos menos error de pronóstico.
Ejemplo 3:
Elección de la prueba estadística para medir la asociación o correlación. Las edades en
días están en escala de tipo intervalo, tenemos dos variables, entonces aplicamos esta
prueba.
Objetivo: Conocer qué grado de asociación existe entre la edad y peso corporal de niños
de edades desde el nacimiento hasta los 6 meses.
Hipótesis.
Entre las observaciones de edad de los niños y peso corporal existe correlación
significativa.
Ho. Entre las observaciones de edad de los niños y pero corporal no existe correlación
significativa.
86
87
Ejemplo 4:
Se ha evaluado a 7 sujetos su inteligencia espacial (variable X) y sus puntuaciones
fueron: 13, 9, 17, 25, 21, 33, 29. Además se les pidió a los sujetos que reconocieran un
conjunto de figuras imposibles (variable Y). Después de calcular la ecuación de regresión
para pronosticar Y a partir de X, se sabe que para una puntuación típica de 1,2 en X se
pronosticaría una puntuación típica de 0,888 en Y. También se sabe que la desviación
típica de las puntuaciones pronosticadas para Y es 11,1. Con estos datos calcular:
a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y
Sujeto Xi
1 13 169
2 9 81
3 17 289
4 25 625
5 21 441
6 33 1089
7 29 841
Sumatorio 147 3535
88
a. La ecuación de regresión en puntuaciones diferenciales para pronosticar Y a partir
de X
a. La varianza de los errores del pronóstico.
Ejemplo 5:
De dos variables X e Y, y para un grupo de 5 sujetos, se saben los siguientes datos que
se muestran en la tabla:
Calcular:
a) Recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas.
89
b) Coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y
c) La varianza de las puntuaciones pronosticadas.
EJEMPLO 6:
Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El Ecuador
tiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis de cual empresa
es la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el país de importación.
Empresas
Valor de los
transformadores
x
Unidades
posibles a vender
y
X2
Y2
XY
1
2
3
4
5
1800
1500
1200
900
850
100
98
80
62
58
3.240.000
2.250.000
1.440.000
810.000
722.500
10.000
9.604
6.400
3.844
3.364
180.000
147.000
96.000
55.800
49.300
∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x2=8.462.500 ∑y
2=33.212 ∑xy= 528.100
90
Fórmula:
Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la empresa
importadora.
91
EJEMPLO 7:
Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El Ecuador
tiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis de cual empresa
es la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el país de importación.
Empresas
Valor de los
transformadores
x
Unidades
posibles a
vender
y
X2
Y2
XY
1
2
3
4
5
1800
1500
1200
900
850
100
98
80
62
58
3.240.000
2.250.000
1.440.000
810.000
722.500
10.000
9.604
6.400
3.844
3.364
180.000
147.000
96.000
55.800
49.300
∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x2=8.462.500 ∑y
2=33.212 ∑xy=
528.100
Fórmula:
92
Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la empresa
importadora.
EJEMPLO 8:
La empresa MIDECAR ha clasificado como mercancías de mayor responsabilidad las
mercancías peligrosas y frágiles obteniendo así los siguientes datos mensuales sobre
las toneladas de mercancías que ingresan sobre este tipo:
MESES Mercancías
Peligrosas
Mercancías
Frágiles
X Y X^2 Y^2 XY
Enero 189 85 35721 7225 16065,00
Febrero 105 96 11025 9216 10080,00
Marzo 125 78 15625 6084 9750,00
Abril 116 48 13456 2304 5568,00
Mayo 124 98 15376 9604 12152,00
659 405 91203 34433 53615
93
94
La relación que existe dentro de las mercancías frágiles y peligrosas tiende a positiva
como lo demuestra el resultado numérico coma la formula y al grafica respecto al eje x
y eje y.
EJEMPLO 9:
3. De una determinada empresa Exportadora de Plátano se conocen los siguientes datos,
referidos al volumen de ventas (en millones de dólares) y al gasto en publicidad ( en miles
de dólares) de los últimos 6 años:
a) ¿Existe relación lineal entre las ventas de la empresa y sus gastos en publicidad?
95
ANALISIS: En este caso r es 0.304 por tanto existe correlación ordinal positiva y es
imperfecta, es decir a mayor gasto en publicidad mayor volumen de ventas.
96
EJEMPLO 10:
La empresa FERRERO desea importar nueces desde Colombia por lo cual no está
seguro que empresa de transporte contratar para la mercancía de acuerdo a esto esta
empresa decide verificar los rendimientos que han tenido estas empresas en el transporte
por lo cual ha hecho una investigación de mercado y a obtenido los siguientes resultados.
EMPRESAS DE
TRANSPORTE
CALIDAD DE
SERVICIO (X)
RENDIMIENTO (Y) XY
TRANSCOMERINTER
TRANSURGIN
TRANSBOLIVARIANA
SERVICARGAS
19
17
16
14
46
44
40
30
361
289
256
196
2116
1936
1600
900
874
748
640
420
66 160 1102 6552 2682
r
r=
r= 0,038
Es una relación positiva pero se podría decir que la empresa no podrá depender de las
dos variables ya que no son muy dependientes el uno del otro.
97
EJEMPLO 11:
Se está efectuando un proyecto de investigación en una empresa para determinar si
existe relación entre los años de servicio y la eficiencia de un empleado. El objetivo de
estudio fue predecir la eficiencia de un empleado con base en los años de servicio. Los
resultados de la muestra son:
0
1
2
3
4
5
6
7
0 5 10 15 20 25
EMPLEADOS
AÑOS DE SERVICIO
“X”
PUNTUACIÓN
DE EFICIENCIA
“Y”
XY
X2
Y2
Y
A 1 6 6 1 36 3.23
B 20 5 100 400 25 4.64
C 6 3 18 36 9 3.61
D 8 5 40 64 25 3.77
E 2 2 4 4 4 3.31
F 1 2 2 1 4 3.23
G 15 4 60 225 16 4.30
H 8 3 24 64 9 3.77
61 30 254 795 128
98
r = .3531
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
b = 202 = .0765
2639
a = 3.75 - .0765 (7.625) = 3.16
( y - y )2 ( y - y´ )2
5.0625 7.6729
1.5625 0.0961
0.5625 0.3721
99
1.5625 1.5129
3.0625 1.7161
3.0625 1.5129
0.0625 0.09
0.5625 0.5929
r2 = 15.5 - 13.5659 = 0.1247 = 0.1247
EJEMPLO 12:
Un analista de operaciones de comercio exterior realiza un estudio para analizar la
relación entre la producción y costos de fabricación de la industria electrónica. Se toma
una muestra de 10 empresas seleccionadas de la industria y se dan los siguientes datos:
EMPRESA MILES DE
UNIDADES x
MILES DE
$ y
XY X2
Y2
A 40 150 6000 1600 22500
B 42 140 5880 1764 19600
C 48 160 7680 2304 25600
D 55 170 9350 3025 28900
E 65 150 9750 4225 22500
F 79 162 12798 6241 26244
G 88 185 16280 7744 34225
H 100 165 16500 10000 27225
I 120 190 22800 14400 36100
J 140 185 25900 19600 34225
Σx 777 Σy 1657 Fxy 132938 Σx2 70903 Σy
2 277119
100
r = 1´329,380 - 1´287,489 =
[709030 - 603729][2771190 - 2745949]
r = ___41891 = r= _41891__ = 0.8078
(105301) (25541) 51860.32
DESVIACION ESTANDAR
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 20 40 60 80 100 120 140 160
101
Syx = (277119) - 134.7909 (1657) - (.3978) (132.938)
10 - 2
Syx = 10.53
MARCO TEORICO:
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL
La correlación y la regresión están muy relacionadas entre sí. Ambas implican la relación
entre dos o más variables. La correlación se ocupa principalmente. De establecer si
existe una relación, así como de determinar su magnitud y dirección, mientras que la
regresión se encarga principalmente de utilizar a la relación. En este capítulo
analizaremos la correlación y más adelante la regresión lineal
Relaciones;
La correlación se ocupa de establecer la magnitud y la dirección de las relaciones.
Analizaremos algunas características importantes generales de estas con las que
comprenderemos mejor este tema.
Relaciones lineales:
Veamos una relación lineal entre dos variable. La siguiente tabla nos muestra el salario
mensual que percibieron cinco agentes de ventas y el valor en dólares de las mercancías
vendidas por cada uno de ellos en ese mes.
102
Agente variable X mercancía vendida ($) Y variable salario ($)
1 0 500
2 1000 900
3 2000 1300
4 3000 1700
5 4000 2100
Podemos analizar mejor la relación entre estas variables. Si trazamos una grafica
trazamos los valores XyY, para cada agente de ventas, como los puntos de dicha grafica.
Sería una grafica de dispersión o de dispersigrama.
La grafica de dispersión para los datos de los agentes de ventas aparece en el cuadro.
Una relación lineal.- entre dos variables, es aquella que puede representarse con la
mejor exactitud mediante una línea recta.
Problema de que ambos tienen escalas muy diferentes. Como mencionamos
anteriormente podemos resolver esta dificultad al convertir cada calificación en su valor Z
transformado, lo cual colocaría a ambas variables en la misma escala, en la escala Z.
Para apreciar la utilidad de los puntajes Z en la determinación de la correlación,
consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que el supermercado de su barrio está
vendiendo naranjas, las cuales ya están empacadas; cada bolsa tiene marcado el precio
total. Ud. quiere saber si existe una relación entre el peso de las naranjas de cada bolsa y
su costo. Como Ud. Es investigador nato, elige al azar seis bolsas y la pesa, de hecho
están relacionadas estas variables. Existe una correlación positiva perfecta entre el costo
y el peso de las naranjas. Asi el coeficiente de correlación debe ser igual a + 1.
Para utilizar esta ecuación primero hay que convertir cada puntaje en bruto en su valor
transformado. Esto puede tardar mucho tiempo y crear errores de redondeo con alguna
algebra, esta ecuación se puede transformar en una ecuación de cálculo que utilice datos
en bruto:
103
Ecuación para el cálculo de la r de PEARSON
r
Donde es la suma de los productos de cada pareja XyY también se llama la
suma de los productos cruzados.
Datos hipotéticos a partir de cinco sujetos:
r
r
SUBJETIVO X Y X2 Y2 XY
A 1 2 1 4 2
B 3 5 9 25 15
C 4 3 16 9 12
D 6 7 36 49 42
E 7 5 49 25 35
TOTAL 21 22 111 112 106
104
PROBLEMA DE PRÁCTICA:
Tenemos una relación lineal imperfecta y estamos interesados en calcular la magnitud y
dirección de la magnitud y dirección de la relación mediante la r Pearson.
# de estudiantes IQ
(promedio de
calificaciones)
Promedio
de datos Y
X2 Y2 XY
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
TOTAL
110
112
118
119
122
125
127
130
132
134
136
138
1503
1.0
1.6
1.2
2.1
2.6
1.8
2.6
2.0
3.2
2.6
3.0
3.6
27.3
12.100
12.544
13.924
14.161
14.884
15.625
16.129
16.900
17.424
17.956
18.496
19.044
189.187
1.00
2.56
1.44
4.41
6.76
3.24
6.76
4.00
10.24
6.76
9.00
12.96
69.13
110.0
179.2
141.6
249.9
317.2
225.0
330.2
260.0
422.4
384.4
408.0
496.8
3488.0
r
r
105
Una segunda interpretación de la r de PEARSON es que también se puede interpretar en
términos de la variabilidad de Y explicada por medio de X. este punto de vista produce
más información importante acerca de r y la relación entre X y Y en este ejemplo la
variable X representa una competencia de ortografía y la variable Y la habilidad de la
escritura de seis estudiantes de tercer grado. Suponga que queremos que queremos
predecir la calificación de la escritura de Esteban, el estudiante cuya calificación en
ortografía es de 88.
Para calcular la r de Pearson para cada conjunto. Observe que en el conjunto B, donde la
correlación es menor, a algunos de los valores
r=
Son positivos y otros son negativos. Estos tienden a cancelarse entre si, lo cual hace
que r tenga una menor magnitud. Sin embargo, en los conjuntos A y C todos los
productos tienen el mismo signo, haciendo que la magnitud de r aumente. Cuando las
parejas de datos ocupan las mismas u opuestas posiciones dentro de sus propias
distribuciones, los productos tienen el mismo signo, la cual produce una mayor
magnitud de r
Calculando r utilizando para el conjunto B, utilizando la ecuación para los datos en bruto
¿Qué quiere utilizar la ecuación de los datos en bruto o la los puntajes z?
Sume la constante 5 de los datos X en el conjunto A y calcule r de nuevo, mediante la
ecuación de datos en bruto ¿ha cambiado el valor?
Construya una grafica de dispersión para las parejas de datos.
Sería justo decir que este es un examen confiable
Un grupo de investigadores a diseñado un cuestionario sobre la tensión, consistente en
quince sucesos. Ellos están interesados en determinar si existe una coincidencia entre
dos culturas acerca de la cantidad relativa de ajustes que acarrea cada suceso. El
cuestionario se aplica a 300 estadounidenses y 300 italianos. Cada individuo debe utilizar
106
el evento “matrimonio” como estándar y juzgar los demás eventos en relación con el
ajuste necesario para el matrimonio recibe un valor arbitrario de 50 puntos. Si se
considera un evento requiere de más ajustes que el matrimonio, el evento debe recibir
más de 50 puntos. El número de puntos excedentes depende de la cantidad de ajustes
requeridos. Después de cada sujeto de cada cultura ha asignado de puntos a todos los
eventos, se promedian los puntos de cada evento. Los resultados aparecen en la
siguiente tabla.
EVENTOS
ESTADOUNIDENSES
ITALIANOS
Muerte de la esposa 100 80
Divorcio 73 95
Separación de la pareja 65 85
Temporada en prisión 63 52
Lesiones personales 53 72
Matrimonio 50 50
Despedido del trabajo 47 40
Jubilación 45 30
Embarazo 40 28
Dificultades sexuales 39 42
Reajustes económicos 39 36
Problemas con la familia
política
29 41
Problemas con el jefe 23 35
Vacaciones 13 16
Navidad 12 10
a. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo y calcule la
correlación entre los datos de los estadounidenses y la de los italianos
b. Suponga que los datos solo tienen una escala ordinal y calcule la correlación entre
los datos de ambas culturas
107
INDIVIDUO EXAMEN CON
LÁPIZ Y PAPEL
PSIQUIATRA A PSIQUIATRA
B
1 48 12 9
2 37 11 12
3 30 4 5
4 45 7 8
5 31 10 11
6 24 8 7
7 28 3 4
8 18 1 1
9 35 9 6
10 15 2 2
11 42 6 10
12 22 5 3
Un Psicólogo ha construido un examen lápiz-papel, a fin de medir la depresión. Para
comparar los datos de los exámenes con los datos de los expertos, 12 individuos “con
perturbaciones emocionales” realizan el examen lápiz-papel. Los individuos son
calificados de manera independiente por los dos psiquiatras, de acuerdo con el grado de
depresión determinado para cada uno como resultado de las entrevistas detalladas. Los
datos aparecen a continuación.
Los datos mayores corresponden a una mayor depresión.
a. ¿Cuál es la correlación de los datos de los dos psiquiatras?
b. ¿Cuál es la correlación sobre las calificaciones del examen de lápiz y papel de
cada psiquiatra?
Para este problema, suponga que Ud. Es un psicólogo que labora en el departamento de
recursos humanos de una gran corporación. El presidente de la compañía acaba de
hablar con Ud. Acerca de la importancia de contratar personal productivo en la sección de
manufactura de la empresa y le ha pedido que ayude a mejorar la capacidad de la
institución para hacer esto. Existen 300 empleados en esta sección y cada obrero fabrica
el mismo artículo. Hasta ahora la corporación solo ha recurrido a entrevistas para elegir a
estos empleados. Ud. Busca bibliografía y descubre dos pruebas de desempeño lápiz y
108
papel, bien estandarizadas y piensa que podrían estar relacionadas con los requisitos de
desempeño de esta sección. Para determinar si alguna de ellas se puede usar como
dispositivo de selección elige a 10 empleados representativos de la sección de la
manufactura, garantizando que un amplio rango de desempeño quede representado en la
muestra y realiza las dos pruebas con cada empleado por semana, promediando durante
los últimos seis meses.
Desempeño
en el trabajo
Examen 1
Examen 2
1
50
10
25
2
74
19
35
3
62
20
40
4
90
20
49
5
98
21
50
6
52
14
29
7
68
10
32
8
80
24
44
9
88
16
46
10
76
14
35
CORRELACIÓN
4.1.1. TÉCNICAS DE CORRELACIÓN
En los capítulos anteriores, ustedes estudiaron las distribuciones de una sola variable. A
continuación abordaremos el estudio de dos variables y no solamente de una.
Particularmente estudiaremos qué sentido tiene afirmar que dos variables están
relacionadas linealmente entre si y cómo podemos medir esta relación lineal.
4.1.2. RELACIONES LINEALES ENTRE VARIABLES
Supongamos que disponemos de dos pruebas siendo una de ellas una prueba de
habilidad mental y otra una prueba de ingreso a la Universidad. Seleccionemos cinco
estudiantes y presentemos en la tabla Nº 4.1.1 los puntajes obtenidos en estas dos
pruebas.
109
Tabla Nº 4.1.1
Estudiantes X
Prueba de habilidad mental
Y
Examen de Admisión
María 18 82
Olga 15 68
Susana 12 60
Aldo 9 32
Juan 3 18
La tabla nos dice que si podemos hacer tal suposición ya que los estudiantes con
puntajes altos en la prueba de habilidad mental tienen también un puntaje alto en el
examen de admisión y los estudiantes con puntaje bajo en la prueba de habilidad mental.
Tienen también bajo puntajes en el examen de admisión. En circunstancia como la
presente (cuando los puntajes altos de una variable están relacionados con los puntajes
altos de la otra variable y los puntajes) afirmaríamos que hay una relación lineal positiva
entre las variables, entonces podemos definir una relación lineal positiva entre ese
conjunto de pares valores X y Y, tal la muestra la tabla N º 4.1.1
Supongamos que en lugar de los resultados de la tabla Nº 4.1.1, hubiéramos obtenido los
puntajes que se muestran en la tabla Nº 4.1.2 ¿podríamos afirmar que en esta situación
los puntajes de la prueba de habilidad mental pueden usarse para pronosticar los puntajes
del examen de admisión? También, aunque en este caso mostramos una relación
contraria a la que ocurre en la realidad ya que los sujetos con puntajes altos en el test de
habilidad mental aparecen con puntajes bajos en el examen de admisión y los sujetos con
puntajes bajos en el test de habilidad mental presentan los puntajes altos en el examen de
admisión, entonces podemos definir una relación lineal negativa entre un conjunto de
pares valores X y Y (tal como en la tabla Nº 4.1.2) es decir, los puntajes altos de X están
apareados con los puntajes bajos de Y y los puntajes bajos de X están apareados con los
puntajes de Y.
110
Tabla Nº 4.1.2
Estudiantes X Prueba de habilidad
mental
Y Examen de Admisión
María 18 18
Olga 15 32
Susana 12 60
Aldo 9 68
Juan 3 82
Tabla Nº 4.1.3
Estudiantes X Prueba de habilidad
mental
Y Examen de Admisión
María 18 18
Olga 15 82
Susana 12 68
Aldo 9 60
Juan 3 32
Examinemos ahora la tabla Nº 4.1.3. En este casi ya no podemos afirmar que los puntajes
de la prueba de habilidad mental sirvan para pronosticar los puntajes del examen de
admisión, ya que unos puntajes bajos del examen de admisión y algunos puntajes bajos
del test de habilidad mental están apareados con otros puntajes altos del examen de
admisión, entonces en este caso, decimos que no existe una relación lineal entre las
variables X y Y.
111
4.1.3. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
En las situaciones que se presentan en la vida real no tenemos solamente cinco parejas
de valores para ambas variables, sino muchísimas parejas. Otra forma alternativa de ver
si existe o no relación lineal entre dos variables seria hacer una grafica de los valores X y
Y en un sistema de coordenadas rectangulares, este tipo de gráfica es conocido con el
nombre de diagrama de dispersión, gráfico de dispersión o nube de puntos. Dibujemos el
diagrama que corresponde a la Tabla N º 4.1.1. Lo haremos haciendo corresponder a
cada valor de la variable independiente X, un valor de la variable dependiente Y, es decir,
para la alumna Susana haremos corresponder du puntaje en la prueba de habilidad
mental (12) con su puntaje de la prueba de admisión (60); al alumno Juan le hacemos
corresponder su puntaje del test de habilidad mental (3) con su puntaje del examen de
admisión (18). Luego ubicaremos los cinco pares de puntajes en el sistema de ejes
rectangulares y obtendremos los gráficos Nº 4.1.1 y Nº 4.1.2
Observemos en el gráfico Nª 4.1.1 que la tabla Nª 4.1.1. Es descrita por el diagrama de
dispersión. Vemos en este gráfico que los cinco puntos dan la sensación de ascender en
línea recta de izquierda a derecha. Esto es característico en datos en los que existe una
relación lineal positiva. Aunque estos cinco datos no configuren una línea recta en forma
perfecta. Se puede trazar una línea recta que describa que estos puntos en forma
bastante aproximada conforme se ve en el gráfico Nª 4.1.2 y por esto decimos que la
relación es lineal.
Si ocurre que todos los puntos de la gráfica de dispersión están incluidos en una sola
línea en forma exacta afirmamos que la relación lineal es perfecta. El grado en que se
separan los puntos de una sola línea recta nos da el grado en que la relación lineal no es
perfecta. Así cuando menos puntos se encuentran en una sola línea decimos que la
relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos se encuentran en una sola línea
decimos que la relación lineal entre las dos variables es menos fuerte y cuando más
puntos queden incluidos en una línea recta afirmamos que la relación lineal es más
fuerte.
112
GRÁFICO Nª 4.1.1.
113
Usando los datos de una tabla Nº 4.1.2 y utilizando la misma forma de razonar empleada
hasta ahora podemos construir el correspondiente gráfico de dispersión, tal como se
muestra en el gráfico Nº 4.1.3.
Podemos observar en el gráfico Nº 4.1.4. Que la nube de puntos de la gráfica pueden
delinearse bien por una línea recta, lo que nos indica que hay una relación lineal entre las
dos variables X y Y Vemos también que la línea desciende de izquierda a derecha (tienen
pendiente negativa) por lo que decimos que la relación lineal entre las dos variables es
negativa.
Si tenemos en cuenta la tabla Nº 4.1.3 podemos obtener una figura como se muestra en
la gráfica Nº 4.1.5 Notamos, en esta situación, que resultará inútil cualquier línea recta
que trate describir adecuadamente este diagrama de dispersión.
Diagrama de Dispersión
Y
80
70
60
50
40
30
20
10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X
114
GRÁFICO Nº 4.1.4.
Diagrama de Dispersión aproximado por una línea recta
4.1.4 COEFICIENTE DE CORRELACIONE RECTILINEA DE PEARSON
Con ayuda de las gráficas nos podemos formar una idea si la nube de puntos, o
diagrama de dispersión, representa una reacción lineal y si esta relación lineal es positiva
o negativa, pero con la sola observación de la gráfica no podemos cuantificar la fuerza de
la relación, lo que si conseguiremos haciendo uso del coeficiente r de Pearson.
El coeficiente de correlación r de Pearson, toma valores comprendidos entre 1 y +
pasando por 0. El número -1 corresponde a una correlación negativa perfecta (los puntos
del diagrama de dispersión deben encontrarse formando perfectamente una línea recta).
El numero +1 corresponde a una correlación positiva perfecta. (los puntos del diagrama
de dispersión deben encontrarse formando perfectamente una línea recta). El coeficiente
de correlación r=0 se obtiene cuando no existe ninguna correlación entre las variables.
Los valores negativos mayores que -1 indican una correlación negativa y los valores
positivos menores que 1 indican una correlación positiva.
80
70
60
50
40
30
20
10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X
115
Referente a la magnitud de r podemos decir que independientemente del signo, cuando el
valor absoluto de r esté más cercana de 1, mayor es la fuerza de la correlación, es así
que -0,20 y +0.20 son iguales en fuerza (ambos son dos valores débiles) los valores -0.93
y +0.93 también son iguales en fuerza (ambos son dos valores fuertes).
Cálculo del Coeficiente r de Pearson utilizando una máquina calculadora cuando los
datos no son muy numerosos.
Dadas dos variables X y Y con sus respectivos valores. En la Tabla podemos calcular el
coeficiente de Pearson con una máquina calculadora mediante la siguiente fórmula.
Tabla Auxiliar 4.1.4.
(1)
x
(2)
Y
(3)
X^2
(4)
Y^2
(5)
XY
18 82 324 6724 1476
15 68 225 4624 1020
12 60 144 3600 720
9 32 81 1024 288
3 18 9 324 54
∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y2 =16296 ∑XY =3558
En las columnas (1) y (2) se han escrito los valores de X y Y. En la columna (3) se han
elevado al cuadrado los valores de X. En la columna (4) se han elevado al cuadrado los
valores de Y. En la columna (5) se ha efectuado el producto de cada pareja de valores X y
Y. Aplicando los datos en la fórmula 4.1.1., se tiene:
116
INTERPRETACIONES DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
¿Qué tan elevado es un coeficiente de correlación dado? Tofo coeficiente de correlación
que no sea cero indica cierto grado de relación entre dos variables. Pero es necesario
examinar más esta materia, porque el grado de intensidad de relación se puede
considerar desde varios puntos de vista. No se puede decir que un r de 0,50 indique una
relación dos veces más fuerte que la indicada por un r de 0, 25. Ni se puede decir
tampoco que un aumento en la correlación de r = 0,40 a r = 0,60 equivalga a un aumento
de r = 0,70 a r = 0,90. Es de observar que una correlación de 0,60 indica una relación tan
estrecha como una correlación de + 0,60. La relación difiere solamente en la dirección.
Siempre que éste establecido fuera de toda duda razonable una relación entre dos
variables, el que el coeficiente de correlación sea pequeño puede significar únicamente
que la situación medida está contaminada por algún factor o factores no controlados. Es
fácil concebir una situación experimental en la cual, si se han mantenido constantes todos
los factores que o sean pertinentes, el r podría haber sido 1 en lugar de 0,20. Por
ejemplos: generalmente la correlación entre la puntuación de aptitud y el aprovechamiento
académico es 0,50 puesto que ambos se miden en una población cuyo aprovechamiento
académico también es influenciable por el esfuerzo, las actitudes, las peculiaridades de
calificación de los profesores, etc. Si se mantuvieran constantes todos os demás factores
determinantes del aprovechamiento y se midieran exactamente la aptitud y las notas, el r
seria 1 en vez de 0,50.
Una conclusión práctica respecto a la correlación es que ésta es siempre relativa a la
situación dentro de la cual se obtiene y su magnitud no representa ningún hecho natural
absoluto. El coeficiente de correlación es siempre algo puramente relativo a las
circunstancias en que se ha obtenido y se ha de interpretar a la luz de esas circunstancias
y sólo muy rara vez en algún sentido absoluto.
117
Además podemos agregar que la interpretación de un coeficiente de correlación como de
medida del grado de relación lineal entre dos variables es una interpretación matemática
pura y está completamente desprovista de implicaciones de causa y efecto. El hecho de
que dos variables tiendan a aumentar o disminuir al mismo tiempo no implica que
obligadamente una tenga algún efecto directo o indirecto sobre la otra.
A continuación calcularemos con la fórmula antes indicada el coeficiente de PEARSON de
la relación presentada en la tabla.
Cuadro Auxiliar 4.1.5.
(1)
x
(2)
Y
(3)
X^2
(4)
Y^2
(5)
XY
18 18 324 324 324
15 32 225 1024 480
12 60 144 3600 720
9 68 81 4624 612
3 82 9 6724 246
∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y2 =16296 ∑XY =2382
Vemos que la correlación es fuerte y negativa.
118
Ahora calculemos con la misma fórmula de Pearson Nº 4.1.1. El Coeficiente de
Correlación lineal con los datos de la tabla nº 4.1.3.
Cuadro Auxiliar Nº 4.1.6
(1)
x
(2)
Y
(3)
X^2
(4)
Y^2
(5)
XY
18 18 324 324 324
15 82 225 6724 1230
12 68 144 4624 816
9 60 81 3600 540
3 32 9 1024 96
∑X=57 ∑Y=260 ∑X2=783 ∑Y2=16296 ∑XY=3006
La correlación es muy débil y positiva.
119
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS EN CLASES
El presente tema nos conduce a calcular el coeficiente de correlación r, que nos
proporciona información de la fuerza de la relación que existe entre dos conjuntos.
Ejemplo: calcular el grado de correlación entre las puntuaciones obtenidas en inventario
de hábitos de estudio y los puntajes obtenidos de un examen matemático, aplicados a un
total de 134 alumnos de un colegio de la localidad.
^-^X Hábitos de Y ^\estudio
Matemáticas^
20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 Total fy
70 -* 80 3 2 2 7
60 -> 70 1 0 4 5 10
50 ~» 60 2 6 16 3 27
40 50 4 14 19 10 47
30 >-'■» 40 7 15 6 0 28
20 M 30 8 2 0 1 t 1
10 20 1 1 2 4
Total f. 23 40 48 23 134
Podemos notar que el problema no es tan simple, como el casa anterior, dado, que ahora
los datos se han clasificado en una tabla de doble entrada N" 4.1.7. Este): cuadro
muestra, en la primera columna del lado izquierdo los intervalos de clase 0» la variable Y,
los que cubren todos los posibles datos acerca de las puntuaciones! alcanzadas por los
estudiantes en la prueba de Matemática. Nótese que los in t e r va l os los crecen de
abajo hacia arriba. En la fila superior se presentan les intervalos <%
Dentro del cuadro en los casilleros interiores o celdas de la tabla, se encuentran las
frecuencias de celda que correspondan a puntajes que pertenecen tanto a un intervalo
de la variable Y como un intervalo de la variable X.
La fórmula que utilizaremos es la siguiente
120
Para obtener los datos que deben aplicarse en la formula vamos a construir el cuadro
auxiliar al mismo tiempo que se explica el significado de los símbolos de esa formula
Lo primero que hacemos es reemplazar los intervalos horizontales y verticales por sus
respectivas marcas de clase a continuación adicionalmente al cuadro N4.1.7 cinco
columnas por el lado derecho, cuyos encabezamientos son : f para la primera.
1) Para determinar las frecuencias marginales que se deben colocar en la columna f
sumamos las frecuencias de las celdas que están en la misma fila de la marca de
clase 75, obtenemos 3+2+2=7, numero que se escribe en el primer casillero o
celda de la columna f. en la fila de la marca de clase 65 sumamos 1+4+5=10
numero que se escribe debajo del 7.
2) Ahora vamos a determinar las frecuencias marginales de la variable x: en la
columna encabezada con la marca de clase 25 sumemos verticalmente las
frecuencias 1+2+4+7+8+1=23
3) Centremos nuestra atención en la columna encabezada u, este signo significa
desviación estándar y procedemos a la misma forma en las tablas. Recuerden
que las desviaciones unitarias positivas: +1+2 y negativas: -1-2 y -3 corresponden
a los intervalos menores.
4) Luego vamos a determinar las desviaciones unitarias horizontales de la variable
X. el origen de trabajo es la marca de clase 45 que se halla en la fila superior del
cuadro, por esa razón, escribimos cero debajo de la frecuencia marginal 48.
5) A continuación vamos a determinar los valores que deben colocarse en la
columna encabezada. Para obtener los valores de la cuarta columna encabezada
debemos tomar en cuenta que por lo tanto basta multiplicar cada valor de la
segunda columna por su correspondiente valor de la tercera columna así se
obtiene el respectivo valor de la cuarta columna. En efecto:
(3)(21)=63 (20)(20)=40(+1)(27)=27; 00*00=0; (-1)(-28)=28; (-2)(-22)=44 y (-3)(-
12)=36
La suma 63+40+27+28+44+36=238
121
Ahora nos fijamos horizontalmente en la tercera fila. Tenemos que (f)(u)=fu por
consiguiente basta multiplicar verticalmente un valor de la primera fila por su
correspondiente valor de la primera fila por su correspondiente valor de la segunda
fila para obtener el respectivo valor de la tercera fila.
(23)(-2)=-46; (40)(-1)=-40; (48)(0)=0 y (23)(+1)=23
Sumando horizontalmente:
(-46)+ (-40)+ (23)=-86+23=-63
Vamos por la cuarta fila vemos que u (fu)= Fu2 luego basta multiplicar cada elemento
de la segunda fila por su correspondiente elemento de la tercera fila por su
correspondiente elemento de la tercera fila para obtener el respectivo elemento de la
cuarta fila así:
(-2)(-46)=9; (-1)(-40)=40; 0*0=0y (+1)(23)=23
Para obtener valores de la quinta columna observamos que hay tres factores el 1 es
la frecuencia f de la celda o casillero que se está considerando el segundo factor es
la desviación unitaria u, el tercer factor es la desviación unitaria, por lo tanto el
procedimiento será el siguiente: tomemos el número 3 que es la frecuencia de la
celda determinada por el cruce de los intervalos que tienen la marcha de la clase 75
horizontalmente y 35 verticalmente.
Para ubicar el tercer factor corremos la vista del numero 3 hacia su derecha hasta
llegar a la columna de las desviaciones unitarias u y ubicamos el numero +3
formemos el producto de estos tres números: (3)(--1)(+3)=-9 encerrado de un
semicírculo lo escribimos en la celda elegida
En la misma fila tomamos la celda siguiente: (2) (0)(+)
Continuando hacia la derecha (2) (+1)(+3)=6
122
X hábitos estudio Y matemática 25 35 45 55 Fy Uy FyUy FyU^2y
suma de los # en semicírculos
75 2 3 2 2 7 3 21 63 -3
65 1 0 4 5 10 2 20 40 6
55 2 6 16 3 27 1 27 27 -7
45 4 14 19 10 47 0 0 0 0
35 7 15 6 0 28 -1 -28 23 29
25 8 2 0 1 11 -2 -22 44 34
15 1 0 1 2 4 -3 -12 36 0
∑FxUx =
6
∑FxUx^2=
238
∑FxyUxUy=
59
Fx 23 40 48 23 134
Ux -2 -1 0 1
FxUx -46 -40 0 23 ∑FxUx=-63
FxUx^2 92 40 0 23 ∑FxUx^2=155
La fórmula del paso (9) lleva el signo ∑para indicar que se deben sumar horizontalmente
los números que están encerrados en los semicírculos de esa primera fila elegida así: -
9+0+6. Este número se escribe en la quita columna.
Trabajemos con la segunda fila: (1) (-2)(+2)= -4 se encierra en un semicírculo.
(0)(-1)(+2)= 0
(4)(0)(+2)= 0
(5)(+1)(+2)= 10
Sumando 0 + 0 + 10 = 10
Ahora con la tercera fila:
(2)(-2)(+1)= -4
(6)(-1)(+1)= -6
(16)(0)(+1)= 0
123
(0)(+1)(+1)= 3
Sumando: (-4) + (-6) + 0 + 3 = -7
Cuarta fila
(-4) + (-2) + 0 = 0 todos los productos vales cero, luego la suma = 0
Quinta fila
(7)(-2)(-1)= 14
(15)(-1)(-1)= 15
(6)(0)(-1)= 0
(0)(+1)(-1)= 0
La suma es: 14+15= 29
(8)(-2)(-2)= 32
(2)(-1)(-2)= 4
(0)(0)(-2)= 0
(1)(+1)(-2)= -2
La suma es: 32 + 4 -2 = 34
Séptima fila:
(1)(-2)(-3)= 6
(1)(0)(-3)= 0
(2)(1)(-3)= -6
Sumando: 6 + 0 – 6 = 0
Sumando los valores de la columna quinta.
Reuniendo los resultados anteriores, se tienen los datos para aplicar en la formula
124
n= 134
∑ = 59
∑ = -63
∑ = 6
∑ = 155
∑ = 238
r=
r=
r= 0,358
Ejercicio Resuelto N° 2 de Cálculo de Coeficiente de Correlación Entre Conjuntos de
Datos Agrupados
Calcular el coeficiente de correlación lineal de las puntuaciones en matemáticas y físicas
de 100 estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad MN
X Puntuación matemáticas Y Puntuación fisica 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 TOTAL
90 - 100 0 0 0 2 5 5 12
80 - 90 0 0 1 3 6 5 15
70 - 80 0 1 2 11 9 2 25
60 - 70 2 3 10 3 1 0 19
50 - 60 4 7 6 1 0 0 18
40 - 50 4 4 4 0 0 0 11
TOTAL 10 15 22 20 21 12 100
125
PUNTACIÓN EN MATEMÁTICA
SUMA DE LOS NÚMEROS
ENCERRADOS EN
SEMICÍRCULOS EN CADA FILA
45 55 65 75 85 95 Fy Uy Fy Uy Fy U2y
PU
NT
UA
CIO
N E
NF
ISIS
CA
Y
95 2 5 5 12 2 24 48 54
85 1 3 6 5 15 1 15 15 30
75 1 2 11 9 2 25 0 0 0 0
65 2 3 10 3 1 19 -1 -19 19 2
55 4 7 6 1 18 -2 -36 72 28
45 4 4 3 11 -3 -33 99 36
fx 10 15 22 20 21 12 100 -3 -49 253 150
Ux -2 -1 0 1 2 3 3 Σfy Uy Σfy U2
y Σ fxy Ux Uy
FxUx -20 -15 0 20 42 36 63 Σfx Ux
Fx U2
x 40 15 0 20 84 108 267 Σfx U2
x
126
En este problema tenemos que calcular el confidente de correlación lineal r para dos
conjuntos de datos constituidos por los calificativos en una escala de 0 a 100, en
matemáticas y en física para 100 estudiantes de la facultad de Ciencias de cierta
universidad
Los datos se muestran en el cuadro N° 4.1.9 Notemos que a lo largo de la línea horizontal
superior se encuentran los intervalos que contienen los calificativos de matemáticas
desde 40 hasta 100.
Igualmente en la primera columna vertical izquierda, se encuentran los calificativos para
física de los mismos estudiantes, desde el calificativo 40 hasta 100. Nótese que en la
columna de los calificativos de física los datos crecen de abajo hacia arriba y para la fila
horizontal superior vemos que los calificativos en matemáticas crecen izquierda a
derecha.
A continuación procederemos a calcular el confidente de correlación r para estos datos
aplicando el mismo método que utilizaremos en el problema anterior.
1) Traslademos los datos del cuadro N° 4.1.9. Llamaremos xy a cualquiera de las
frecuencias de los casilleros interiores del cuadro N° 4.1.9. En el cuadro N° 4.1.10.
podemos observar que se han agregado cinco columnas por el lado derecho y
cuatro filas por la parte interior
Observemos en el cuadro N° 4.1.10 que los intervalos para la puntuación en matemáticas
y para la puntación en física se han remplazado por las marcas de clase
correspondientes. Así en la fila horizontal superior se han remplazado el primer intervalo
40 50 por su marca de clase45, el segundo intervalo 50 60 por su marca de clase 55
y de esta manera se han remplazado los demás intervalos por sus marcas de clases en el
cuadro N° 4.1.10.
De igual forma para la columna primera de la izquierda vemos que los intervalos se han
remplazado por sus respectivas marcas de clase así para la puntuación en física el primer
intervalo superior 90 100 se han remplazado por su marca de clase 95, el segundo
intervalo superior 80 90 se ha remplazado por su marca de clase 85 y así
sucesivamente hasta llegar al intervalo inferior 40 50 que se ha remplazado por su
marca de clase 45.
127
Ahora vamos a realizar los pasos siguientes
1) Para las frecuencia marginales fy sumemos todos los valores fxy de la primera fila
que tiene la marca de clase 95. De esta forma tenemos: 2+5+5= 12 Para la
segunda fila que corresponde a la marca de clase 85 obtenemos: 1+3+6+5= 15
que escribimos en el segundo casillero de fy.
2) Dediquemos nuestra atención a las frecuencias marginales fx. el primer resultado
de fx lo obtenemos sumando las frecuencias fxy para la colunia que tiene la marca
de clase 45, de esta forma tenemos: 2+4= 10 que se escribe en el primer casillero
de fx para el segundo casillero tenemos el número 15 que se obtiene verticalmente
de las frecuencias fxy de la columna que tiene de marca de clase 55. Continuando
con las sumas de las f de las demás columnas llenamos las frecuencias
marginales fx.
3) Atendamos la columna Uy la columna Uy tiene en total 6 casilleros arbitrariamente
escogemos uno de estos casilleros como origen de trabajo y le asignamos el
numero 0. Aquí hemos escogido el tercer casillero contando de arriba hacia abajo.
Observamos ahora la primera columna de la izquierda en donde están las marcas
de clase de los puntajes de física. Aquí observamos que las marcas de clase
crecen de abajo hacia arriba entonces las desviaciones unitarias en la columna Uy
crecerán de abajo hacia arriba entonces del 0 hacia abajo, las desviaciones
unitarias son números negativos que van decreciendo hacia abajo.
Desde el 0 hacia arriba las desviaciones serán positivas y crecientes.
De manera que podemos observar que la columna Uy está conformada por los
siguientes números que crecen del 0 hacia arriba: 1,2 y desde el 0 hacia abajo
decrece: -1,-2,-3.
4) Veamos la fila Ux
Notamos que el fila horizontal superior las marcas de clase crecen de izquierda a
derecha de igual forma las desviaciones unitarias crecerán de izquierda a derecha.
Elegiremos como origen de trabajo arbitrariamente uno del casillero Ux el tercero
contando de izquierda a derecha, y vamos asignando números positivos
crecientes hacia la derecha del 0, así tenemos 1, 2,3 ya hacia la izquierda, a partir
del cero, tendremos:-1y-2.
128
5) Expliquemos la columna fy Uy. Multipliquemos cada valor de fy por su
correspondiente valor de Uy y se obtiene un valor Fy Uy. Por ejemplo el numero 24
se obtiene multiplicando la frecuencia marginal fy = 12 por su correspondiente
desviación unitaria Uy = 2esto es, 12*2= 24. Para el segundo casillero
multiplicamos 15*1=15; para el tercero 25*0=, así hasta terminar con 11*(-3)= -33.
6) Observemos la columna Fy U2
y. L primera celda de esta columna tiene el número
48 que se obtiene de multiplicando el valor Uy =2 de la segunda columna por su
correspondiente valor Fy Uy = 24 de la tercera columna, es decir, 2*24= 48. Para el
segundo casillero de la columna fy U2
y , tenemos 15 que es igual a 1 por 15. De
esta forma continuamos llenando los demás valores de la columna Fy U2
y.
7) Veamos ahora la fila fx ux. El número -20 del primer casillero de esta fila se obtiene
multiplicando la frecuencia marginal fx = 10 por su correspondiente desviación
unitaria Ux = -2 es decir: 10 (-2)= -20.
Para el segundo casillero de FX UX, multiplicamos (-1)*(-15)= 15 y así
sucesivamente 12*3= 36.
8) Veamos Fx U2
x. El primer casillero de esta fila es 40 y es el resultado de multiplicar
-2 del primer casillero de la fila Fx Ux por menos 20 de su correspondiente primer
casillero de la fila Ux esto es, (-2)* (-20)= 40. Para el segundo casillero de fx U2
x
multiplicamos -1 del segundo casillero de Ux por -15 de su correspondiente
segundo casillero de FX UX, luego obtenemos (-1) *(-15)=15 .Así continuamos
multiplicando los valores de los casilleros Ux por sus correspondientes valores de
la fila Fx Ux hasta llegar a (3) (36)= 108.
9) Interesa ahora obtener los números encerrados en semicírculo, por ejemplo ahora,
el numero 4, que corresponde a la marca de clase 75 para la puntuación en
matemáticas y a la marca de clase 95 de la puntuación en física.
10) Para saber cómo se obtiene este numero 4, corramos nuestra vista hacia la
derecha dirigiéndonos hacia la columna UY y obtenemos el numero 2. Del numero
4, encerrado en semicírculo, bajemos la vista con dirección a la fila Ux y
obtenemos 1. La frecuencia del casillero donde esta el 4, encerrado en
semicírculo, es fxy = 2. Multiplicando estos 3 factores tendremos fxy Ux Uy = (2) (1)
(2) = 4.
129
Podemos anunciar la siguiente regla:
Para obtener los valores encerrados en semicírculos en los casilleros interiores del cuadro
N°4.1.10 multiplicamos el valor de la frecuencia fxy del casillero para el cual estamos
haciendo el cálculo, por los valores de las desviaciones unitarias Uy y Ux , obtenidas
corriendo la vista hacia la derecha hasta columna Uy y también hacia abajo hasta legar a
la fila Ux.
Así por ejemplo, para el casillero que corresponde a las marcas de clase 75 en
matemática y 85 en física, tenemos la frecuencia de la celda Fxy = 3, los otros dos factores
son: Uy =1 y Ux = 1.
Luego (3) x (1) x (1) = 3 que es el valor encerrado en semicírculo.
Para el casillero correspondiente a la marca de clase 55 en matemáticas marca de clase
45 en física, tenemos:
fxy = 4, Uy = -3, Ux = -1
fxy Ux Uy = (4) (-3) (-1) = 12 que es el valor encerrado en semicírculo. Así podemos
proceder para obtener todos los demás valores encerrados en semicírculos.
Sumando las frecuencias marginales de la columna fy, se tiene ∑ fy =100. Sumando los
valores de la tercera columna se obtiene ∑fy Uy = - 49. Sumando los valores de la cuarta
columna, tenemos ∑fy U^2y = 253. La suma de los valores de la quinta columna:
∑fxy Ux Uy = 150
Para todas las filas, en el último casillero de la derecha se tiene la suma de los valores de
la fila. Así, por ejemplo, ∑fx = 100; ∑fy = 100.
Para la tercera fila: ∑fx Ux = 63
Para la cuarta fila: ∑fx U^2x = 267
Estos totales de filas y columnas reemplazaremos en la fórmula.
130
Vemos que el coeficiente de correlación en este caso es 0.79.
Ejercicio Propuesto Nº 1 del Cálculo del Coeficiente de Correlación entre dos
Conjuntos Agrupados de Datos.
Supongamos que tenemos 30 sujetos a los que hemos aplicado una prueba de
conocimientos de Psicología General (variable x) y un test de inteligencia (variable y).
Aplicando los datos tomados del Cuadro Auxiliar en la fórmula tenemos:
Resultado:
131
Ejemplo propuesto N°2 del cálculo del coeficiente de correlación entre dos conjunto de
datos agrupados. Supongamos que se tienen 50 vendedores de cierta compañía. Estos
vendedores durante un año 1985 han realizado ventas tal como lo muestra el cuadro
N°4.1.13, el que también muestra el número de años de experiencia que tiene como
vendedores.
Para dicho cuando, se pide calcular el coeficiente de correlación lineal r.
0 2
2 4
4 6
6 8
8 10
TOTAL
15 18 1 1
12 15 2 3 4 9
9 12 7 3 2 12
6 9 6 9 4 19
3 6 5 2 7
1 3 2 2
TOTAL 2 11 18 12 7 50
Tomando los datos obtenidos n el cuadro Auxiliar N°4.1.14 apliquemos en la formula N°
4.1.12, se tiene.
Años de
experiencia
X
Monto de
ventas Y
132
133
PROGRESIONES LINEALES SIMPLES
4.2.1. Regresión lineal simple
Al comenzar a estudiar las técnicas de correlación afirmamos que estudiaríamos
dos variables y no solamente una. Llamamos a esa ocasión X a una de las
variables Y a la otra. En el tema que nos ocuparemos ahora, estudiaremos la forma
de predecir v valores de Y conociendo primero los valores de X. Es así que viendo
la tabla N 4.2.1, similar a la que utilizamos cuando estudiamos correlación,
conociendo el puntaje en la prueba de habilidad mental (variable X) para un alumno
determinado, podemos anticipar el puntaje del examen de admisión (variable Y) del
mismo alumno.
Consideraremos la relación lineal expresada por el cuadro N4.2.1 si
dibujamos esa relación, obtenemos el grafico N4.2.1. Como podemos observar
todos los puntos se alinean exactamente. En una sola línea recta, la que recibe el
nombre de línea de regresión. Teniendo en cuenta esta línea, podemos predecir
cualquiera d los valores de Y conociendo el valor de X; para X=25, según la recta,
correspondiente de Y=35, para X=20 corresponde Y=30. Etc. En este caso se trata
de una correlación positiva perfecta cuyo coeficiente de correlación es +1.
Prueba de habilidad
mental X
Examen de Admisión
Y
SUSANA 5 15
IVAN 10 20
LOURDES 15 25
ALDO 20 30
JUAN 25 35
MARIA 30 40
CESAR 35 45
OLGA 40 50
134
Recordemos ahora el grafico N 4.1.2 que dibujamos cuando estudiamos
correlación, en este grafico observamos el diagrama de dispersión aproximado por
una línea recta, la recta que mejor se ajuste a los puntos del diagrama de
dispersión, es decir, en la mejor medida procure dejar igual número de puntos del
diagrama de dispersión por encima de ella que igual número de puntos debajo, se
llama línea de regresión.
ECUACION DE LA REGRESION RECTILINEA
La ecuación que describe la línea de regresión es:
GRÁFICO
Serie 1
f(x)=1*x+10; R²=1
-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
x
y
= media de la variable X en la muestra.
X = un valor de la variable X
r = coeficiente de Pearson, de la correlación lineal entre las variables X y Y.
SY = desviación estándar de Y en la muestra.
r = 1,00
135
SX = desviación estándar de X en la muestra.
Yr = Valor Y resultado del cálculo de la fórmula.
Veamos cómo podemos predecir los valore de Y a partir de los valores de X. como
el gráfico de este cuadro es una línea recta ascendente sabemos que su coeficiente
de correlación de Pearson r = +1. Además tenemos los siguientes resultados:
X = 22,5 SX = 11,46 Y= 32,5 SY = 11,46
Estos resultados se pueden calcular a partir de los datos del cuadro. Apliquemos
estos datos a la fórmula, obtenemos la siguiente expresión:
Simplificando términos obtenemos:
Escojamos cualquier valor de X, por ejemplo para María x = 30, reemplazando este
valor en (b).
Vemos en le cuadro el valor que corresponde a María efectivamente es 40, es decir
podemos usar la ecuación para predecir los valores de Y conociendo los valores de
X.
Esta fórmula de regresión se puede aplicar par dos variables X y Y, entre las cuales
no es obligatorio que exista una correlación lineal perfecta, es decir, no es
obligatorio que el r para la correlación entre X y Y sea siempre igual a 1. Este valor
de r para otras aplicaciones de la regresión, puede tomar cualquier valor distinto de
1.
136
Ejercicios Resueltos de Regresión Lineal Simple
Al aplicar un test de inteligencia a una muestra representativa constituida por 800
alumnos, se obtuvo la puntuación media de 30,4 puntos, con la desviación estándar
de 12,6 puntos.
La edad media de la muestra fue de 14,5 años, con la desviación estándar de 3,2
años.
El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre la variable Y, edad de los
sujetos estudiados y la variable X, rendimiento mental de los mismos sujetos, fue r
= 0,89.
Con estos datos se pide determinar la ecuación de regresión rectilínea de edad en
base del puntaje del rendimiento mental.
¿Qué edad corresponde a los sujetos que alcanzan puntuaciones de:
X1 = 18 Puntos X4 = 50 Puntos
X2 = 25 Puntos X5 = 60 Puntos
X3 = 45 Puntos X6 = 80 Puntos
Datos:
= 14,5 SY = 3,2 r = 0, 89
= 30,4 SX = 12,6
Aplicando estos datos en la fórmula se tiene:
Es la ecuación de regresión buscada.
137
Respuesta de la 1ra. Pregunta
X1 = 18
YR = 7,63 + 0,226 (18) = 7,63 + 4,07
YR = 11,7 años
Segunda pregunta
X2 = 25
YR = 7,63 + 0,226 (25) = 7,63 + 5,65
YR = 13,28 años
Tercera pregunta
X3 = 45
YR = 7,63 + 0,226 (45) = 7,63 + 10,17
YR = 17,8 años
Cuarta pregunta
X4 = 50
YR = 7,63 + 0,226 (50) = 7,63 + 11,3
YR = 18,93 años
Quinta pregunta
X5 = 60
YR = 7,63 + 0,226 (60) = 7,63 + 13,56
YR = 21,19 años
Sexta pregunta
X6 = 80
YR = 7,63 + 0,226 (80) = 7,63 + 18,08
YR = 25,71 años
138
Este cuadro contiene la primera columna los nombres de los alumnos, en la
segunda están los rangos de esos alumnos en la variable, en la tercera se hallan
los rangos de los alumnos en la variable Y. En la cuarta columna están las
diferencias de los rangos correspondientes de las variables X y Y. en la quinta
columna se colocan las cuadros de las diferencias, ya calculadas.
CUADRO AUXILIAR Nº 4.3.4
ALUMNOS RENGO DE
X
RANGO DE
Y
D=
DIFERENCIA
Rodríguez 3 3 0 0
Fernández 4 5 -1 1
Córdova 2 1 1 1
Flores 1 2 -1 1
Lema 5 4 1 1
APLICANDO LOS DATOS EN LA FORMULA Nº 4.3.1, SE TIENE
P= 0.08
Es una correlación positiva. Su valor es muy alto y poco común puesto que la
práctica enseña que en la correlación de la inteligencia con el rendimiento escolar
en las asignaturas, casi siempre se alcanza un valor próximo a 0.5.
139
EJEMPLO 2
Supongamos el siguiente cuadro nº 4.3.5. Queremos calcular el coeficiente de
correlación por rangos.
CUADRO Nº 4.3.5
EXAMINADOS PRUEBA DE HABILIDAD
MENTAL
X
APTITUD ACADÉMICA
Y
Susana 49 55
Iván 46 50
Lourdes 45 53
Aldo 42 35
Juan 39 48
maría 37 46
cesar 20 29
Olga 15 32
Observamos que los examinados están ordenados con respecto a la prueba de
habilidad mental de mayor a menor; podemos afirmar que la posición o rango que
se podría asignar a Susana es el primero, a Iván le correspondería el segundo, para
Lourdes el tercero tal como se muestra en el cuadro Nº4.3.6.
De igual forma podríamos ordenar la posición o rango de los postulantes según los
resultados de la prueba de aptitud académica Y del examen de admisión, lo que se
muestra en el cuadro Nº4.3.6 es así como Susana también ocupa el número de
orden o rango primero y Lourdes ocupa el segundo lugar o rango dos en esa
prueba, así podemos continuar ordenando los alumnos según su rango en la
pruebe de aptitud académica y terminaremos con cesar que ocupa el rango 8 en tal
prueba.
140
CORRELACIÓN POR RANGOS
Es el orden que posee o se asignan a cada miembro de un conjunto de de
elementos de acuerdo a una escala ordinal dada. El rango ubica el elemento en un
punto de esa escala.
Por ejemplo: podemos establecer un ordenamiento de los alumnos de acuerdo a los
puntajes alcanzados en un examen. Así tenemos en el cuadro Nº 4.3.1 que sigue:
CUADRO Nº 4.3.1
ALUMNOS García león Pérez Ruíz Lazo Lora
PUNTAJES 40 65 52 70 76 56
Ordenándolos de acuerdo a la magnitud del puntaje, establecemos los rangos
siguientes en el cuadro Nº 4.3.1.
CUADRO Nº 4.3.2
ALUMNOS García león Pérez Ruíz Lazo Lora
RANGOS 6 3 5 2 1 4
4.3.2 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS
La correlación por rangos se refiere a la correspondencia en el ordenamiento de los
elementos de dos conjuntos dados. La fuerza de la correlación se mide por medio
del coeficiente por rangos de spearman, cuya fórmula es:
En donde.
P= letra griega rho, designa el coeficiente de correlación por rangos.
D= diferencias de rangos correspondientes entre si pertenecientes a dos variables
X y Y. Por ejemplo d=
n= numero de pares correspondientes.
141
EJEMPLOS Nº 1
En la primera columna de la izquierda del cuadro Nº 4.3.3 se presenta un grupo de
5 estudiantes; en la segunda columna están sus niveles mentales que se
consideran como categorías de la variable X, en la tercera columna se indican los
resultados de una prueba de matemáticas aplicadas al grupo, cuyas puntuaciones
son valores de la variable Y.
CUADRO Nº 4.3.3
ALUMNOS NIVEL MENTAL
X
MATEMÁTICAS
Y
Rodríguez medio 35
Fernández interior al promedio 17
Córdova superior al promedio 48
flores muy superior al promedio 42
lema muy inferior al promedio 20
Calcular el coeficiente de correlación por rangos.
ESTUDIANTES CLASIFICACION
DE LOS RANGOS
CLASIFICACION
DE LOS RANGOS
D= DIF D2
RANGO X RANGO Y
SUSANA 1 1 0 0
ESTEBAN 2 3 -1 1
LOURDES 3 2 1 1
ALDO 4 6 -2 4
JUAN 5 4 1 1
MARIA 6 5 1 1
CESAR 7 8 -1 1
OLGA 8 7 1 1
∑D2 = 10
142
En la descripción de este cuadro la columna X corresponde a los rangos en las
pruebas de habilidad mental, la columna Y corresponde a los rangos de las pruebas
de los estudiantes de actitud académica. La columna D corresponde a la diferencia
del rango de un elemento de la columna X menos el rango de su correspondiente
elemento en la columna Y. en la columna D2 se halla el cuadrado de la diferencia
anotada en la columna D.
Ahora para medir la correlación entre los resultados de la prueba de habilidad
mental y del examen de admisión, tomamos los datos del cuadro anterior en el que
los datos están transformados en rangos.
Conforme ya mencionamos en el ejemplo 1 la fuerza de la correlación en este tipo
de problemas, se determina por el coeficiente p (rho) de correlación de rangos de
spearman. Aplicamos la formula N° 4,3,1 en donde
N= 8 pares
∑D2 = 10, este número es el resultado de la suma de los números D elevados al
cuadrado que figuran la columna D2.
Vemos que existe una correlación positiva fuerte entre las puntuaciones de la
prueba de la habilidad mental y los puntajes de la actitud académica del examen de
admisión.
143
Caso de rangos empatados o repetidos
Examinemos el caso N° 4.3.7 y supongamos que en el examen de admisión de
Susana y Esteban obtuvieron el mismo puntaje 55 y por lo tanto a cualquiera de los
dos le corresponde los rangos primero o segundo para romper esta
indeterminación, convenimos en asignar a cada uno de ellos el promedio de ambos
Rangos, o sea = 1.5 entonces tanto Susana como esteban tendrán el rango
Tratemos ahora los rangos del VI Ciclo vemos que los profesores L Y P están
empleados o igualados en puntaje por lo que a cualquiera de los dos le
corresponde el rango 5 o el rango 6.el rango que le asignemos serán el resultado
de promedio 5 y 6 que son los dos rangos empatados, luego (5+6) / 2 =5.5 será el
número que le asignamos como rango.
Los profesores Fy Z tienen en el VI ciclo los rangos 3 y 4 a cualquiera de estos dos
les corresponde el tercer o cuarto lugar. El número que les asignaremos será (3+4)
/2 = 3.5.
Luego elaboramos una columna para los nuevos rangos Y en donde a los
profesores L y P les asignaremos el rango 5.5 y a los profesores F Y Z les
asignaremos el rango 3 Y 5. Los profesores J Y K seguirán con los rangos 1 y 2
respectivamente.
En La Columna D se colocan las diferencias X – Y
Nos ocuparemos ahora de la columna D2. En esta columna se encuentran valores
de la columna D elevados al cuadrado, luego sumamos los valores de la columna
D2 y obtenemos = 17.
Ahora aplicaremos la formula número 4.3.1.
Aquí = 17.
N= 6
P= 1- = 0.5
6 (17) 6 (36 -1)
6 (36 – 1)
144
Luego la correlación entre los puntajes asignados a los 6 pro0fesores por el V ciclo
y los puntajes asignados por el VI ciclo es positiva, pero su magnitud no es ni muy
fuerte ni muy débil.
2º EJERCICIO
Cinco niños se someten a una pruebe de habilidad mental y los resultados de estas
se ordenan por rangos en la columna X. también se muestran en la columna Y los
rangos de estos mismos 5 niños respecto al tiempo que gastan al mirar la tv.? (Ver
cuadro Nº 4.3.1)
¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que gastan
mirando tv?
Calculando los nuevos rangos para la columna Y teniendo en cuenta rangos
igualados obtenemos:
ALUMNOS x Y
A 1 4 o 5
B 2 4 o 5
C 3 2 o 3
D 4 1
E 5 2 o 3
¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que gastan
mirando tv?
145
Calculando los nuevos rangos para la columna Y. teniendo en cuenta los rangos
iguales obtenemos:
X Y D
X - Y
D2
A 1 4.5 -3.5 12.25
B 2 4.5 -2.5 6.25
C 3 2.5 0.5 0.25
D 4 1 3 9
E 5 2.5 2.5 6.25
2 = 34.00
Para Obtener Los Rangos Correspondientes A Los Niños A Y B Hemos Sumado
Los Lugares Que Podrían Ocupar Cualquiera De Los Dos Y Que Son 5 Y 4 Y
Luego Esta Suma La Dividimos Entre El Numero De Rango Igualados Que Son
Dos, Esto Es: (4+5)/ 2= 4.5 Luego Rango Que Les Corresponda A A Y B Es 4.5
DE IGUAL FORMA PROCEDEMOS PARA LOS RANGO C Y E obteniendo para
ellos como nuevo rango 2.5.
Ahora añadiremos una nueva columna D, en esta columna escribiremos diferencia
entre uno de los rangos de x menos el correspondiente rango de Y.
Elevamos al cuadrado cada valor de y y escribimos cada resultado en la columna
del cuadrado. Luego sumamos los valores de la columna de D2 y obtenemos 2
=34.00
P= 1 – 1.7=+0.7
Luego obtenemos una correlación negativa cuya magnitud es 0.7 que es un valor
fuerte para este tipo de situación.
146
EJERCICIO PROPUESTO DE CÁLCULO DE COEFICIENTE DE SPEARMAN
La tabla muestra siete estudiantes que ordenados alfabéticamente obtuvieron su
número de orden según sus calificaciones en teoría y práctica académica en un
curso de lenguaje. Calcular el coeficiente de correlación de SPEARMAN.
ALUMNOS PRACTICA X TEORIA Y
A 7 6
B 4 7
C 6 5
D 3 2
E 5 1
F 2 4
G 1 3
2º EJERCICIO
El cuadro muestra las correspondientes alturas en centímetros de grupo de padres
y de sus hijos primogénitos.
1) calcular el coeficiente de correlación de espermas
2) calcular también el coeficiente de Pearson
3) son parecidos?
ALTURA PADRE X ALTURA HIJOS Y
172 178
164 154
180 180
190 184
164 166
164 166
165 166
180 175
RESPUESTA 1 p= 0.89
147
3º EJERCICIO
En la tabla los cinco siguientes individuos se han colocado por rangos de 1 a 5
sobre X e Y. calcular el coeficiente de correlación.
X Y
A 2 3
B 1 2
C 3 1
D 5 5
E 4 4
RESPUESTA 1 p= 0.7
EJERCICIO
El gerente del personal una empresa agroindustrial estudia la relación entre la
variable dependiente Y y la variable independiente X de su personal obrero. Recoge
una muestra aleatoria de 10 trabajadores y se obtuvieron los datos en dólares por
semana.
a) Determinar el diagrama de dispersión
b) De su comentario sobre el valor de la pendiente
La relación es positiva e imperfecta porque al pasar la recta no cruza por
todos los puntos, sin embargo el valor de la pendiente se aproxima a uno.
148
c) Estime el gasto que correspondería a un salario semanal de 90USD.
Salario
(x)
Gasto
(y)
X2 Y2 XY (xi -Ẋ) (xi - Ẋ)^2 (Yi -Ῡ) (Yi -Ῡ)^2
28 25 784 625 700 -17,8 316,84 -13,4 179,56
25 20 625 400 500 25 625 20 400
35 32 1225 1024 1120 35 1225 32 1024
40 37 1600 1369 1480 40 1600 37 1369
45 40 2025 1600 1800 45 2025 40 1600
50 40 2500 1600 2000 50 2500 40 1600
50 45 2500 2025 2250 50 2500 45 2025
35 30 1225 900 1050 35 1225 30 900
70 55 4900 3025 3850 70 4900 55 3025
80 60 6400 3600 4800 80 6400 60 3600
ƩX=458 ƩY=384 ƩX2=23784 ƩY2=16168 ƩXY=19550 Ʃ(xi -
Ẋ)
=412,2
Ʃ(xi -
Ẋ)^2=
23316,84
Ʃ(Yi -Ῡ)
=345,6
Ʃ(Yi-Ῡ)^2=
15722,56
149
Desviación Estándar (X)
Sx = Sx = = 48,28
Ẋ = Sy = = 39, 65
Ῡ =
+
+
+
+
+ = 73, 54 gasto de un salario semanal
150
r = -0.005
COMENTARIO.- Vemos que los vehículos de 20 toneladas no tienen relación con
los de 40 toneladas, ya que a los de 20 se los utiliza más para las importaciones
que los de 40 debido a que son más ligeros al transportar las mercancías.
151
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155
156
157
PRUEBA DE HIPÓTESIS
Hipótesis Estadística
Se llama hipótesis, a una suposición o conjetura; que se formula, con el propósito
de ser verificada. Cuando se establece la veracidad de una hipótesis, se adquiere el
compromiso de verificada en base a los datos de la muestra obtenida. La hipótesis
estadística es fundamentalmente distinta de una proposición matemática, debido
que al decidir sobre su certeza podemos tomar decisiones equivocadas, mientras
que en la proposición matemática podemos afirmar categóricamente si es
verdadera o falsa.
Hipótesis Nula
Es una hipótesis que afirma lo contrario de lo que se quiere probar. En ella se
supone que el parámetro de la población que se está estudiando, tiene determinado
valor. A la hipótesis nula, se le representa con el símbolo Ho, y se formula con la
intención de rechazarla.
Ejemplo: Para decidir que una moneda está cargada, suponemos lo contrario, es
decir, que la moneda es legal, esto es, que tiene igual probabilidad o proporción de
salir cara, que de salir sello. Llamamos P (proporción poblacional de cara) y Q
(proporción poblacional de sello), P +Q = 1 (proporción del total o 100% de los
casos); pero la moneda es legal, entonces esperamos que P = Q, reemplazando P
por Q, P + P = 1, 2P = 1 y P = 0.5, es decir, la proporción poblacional de éxito
(cara), para todas las monedas legales es 0.5. Sobre esta base, durante la
ejecución del experimento, aceptamos que actúan únicamente las leyes del azar,
descartando la influencia de cualquier otro factor.
Hipótesis Alternativa
Es una hipótesis diferente de la hipótesis nula. Expresa lo que realmente creemos
es factible, es decir, constituye la hipótesis de investigación. Se le designa por el
símbolo . En el ejemplo citado, la hipótesis alternativa sería: : P ≠ 0.5, es decir,
P > 0.5 o P < 0.5, si es que queremos realmente averiguar que la moneda no es
legal.
158
Concepto de significación en una Prueba Estadística
Suponiendo que está formulada una hipótesis y que al realizar un experimento para
someterla a prueba encontramos que el estadístico de la muestra, difiere
marcadamente del valor del parámetro que establece la hipótesis nula , en ese
caso, decimos que la diferencias encontradas son significativas y estamos en
condiciones de rechazar la hipótesis nula o, al menos no aceptarla en base a la
muestra obtenida.
En realidad estamos determinando, si la diferencia, entre el valor del parámetro
establecido en y el valor del estadístico obtenido en la muestra, se debe tan solo
al error de muestreo (en este caso aceptamos ); o si la diferencia es tan grande
que el valor obtenido por el estadístico de la muestra, no es fruto del error de
muestreo, en este caso rechazamos .
Prueba de Hipótesis
Se le llama también ensayo de hipótesis o décima de hipótesis. Son procedimientos
que se usan para determinar, se es razonable o correcto, aceptar que el estadístico
obtenido en la muestra, puede provenir de la población que tiene parámetro, el
formulado en .
Como resultado de la prueba de hipótesis, aceptamos o rechazamos . Si
aceptamos , convenimos en que el error de muestreo (el azar), por sí solo, puede
dar lugar al valor al estadístico que origina la diferencia entre éste y el parámetro. Si
rechazamos , convenimos que la diferencia es tan grande, que no es fruto del
error de muestreo (al azar) y concluimos que el estadístico de la muestra no
proviene de una población que tenga el parámetro estudiado.
El mecanismo para rechazar la hipótesis , es el siguiente: suponemos como
válida la hipótesis nula , la que afirma que el parámetro tiene cierto valor
(supongamos el caso de la media poblacional entonces : ʯ = . Tomamos una
muestra y calculamos el estadístico de la muestra (para el caso de la media el
estadístico es la media muestral x). Como suponemos que es cierta, podemos
suponer que la muestra proviene de la población que tiene como parámetro el de
(es decir, no serán muy diferentes) y la probabilidad de que dicha diferencia
muestral pequeña aparezca, será grande. Si en cambio tomamos una muestra de
159
una población que no tiene como parámetro , en dicho caso el valor de x - , será
grande, (x será muy distinto que ), es decir, dicha diferencia será significativa, y la
probabilidad de obtener dicha diferencia muestral al muestrear, será pequeña.
Necesitamos un estándar, es decir, un valor tal que, al comparar con él la
probabilidad de obtener una diferencia entre x y , nos permita aceptar o rechazar
. Llamemos a este valor α el nivel de significación. Este será tal que, si la
probabilidad de la diferencia entre x y es muy pequeña (menor que α),
rechazaremos y la muestra aleatoria no proviene de la población con parámetro
; si la probabilidad de la diferencia entre x - es grande (mayor que α) aceptamos
y la muestra aleatoria proviene de la población con parámetro .
Cuando se toma la decisión de rechazar o aceptar la hipótesis , se corre el riesgo
de equivocarse (recuerde que nos hemos referido a la probabilidad de obtener una
diferencia entre x y y no de un hecho establecido), es decir, de cometer errores.
Estos posibles errores son:
Error tipo I
Consiste en rechazar la hipótesis , cuando en realidad no debería ser rechazada,
por ser verdadera. La probabilidad de cometer el error tipo I, se llama alfa (α).
Error tipo II
Consiste en no rechazar a hipótesis Ho, cuando debería ser rechazada por ser
falsa. La probabilidad de cometer el error tipo II, se llama beta (β).
Se debe procurar que la probabilidad de los errores tipo I y tipo II, sean las más
pequeñas posibles, sin embrago, para un tamaño de muestra dado, el querer
disminuir un tipo de error, trae consigo, incrementar el otro tipo de error. La única
forma de disminuir ambos errores, es aumentar el tamaño de la muestra.
Nivel de significación de una Prueba Estadística.
En relación a la comprobación de una hipótesis dada, se llama nivel de
significación, a la probabilidad a de cometer el error tipo I, al rechazar la hipótesis
nula Ho.
160
Los niveles de significación más usados en la práctica son: de 0.05 (5%) y de 0.01
(1%).
El nivel de significación de 5% se interpreta de la siguiente manera: en 100 casos,
cabe esperar, que en 5 de ellos se cometa una decisión equivocada, al rechazar la
hipótesis Ho, cometiendo, en consecuencia, un error de tipo I.
Pasos de una Prueba de Hipótesis
1o Formular la Ho y la H1
2o Determinar si la prueba es unilateral o bilateral.
3o Asumir el nivel de significación de la prueba.
4oDeterminar la distribución muestral que se usara en la prueba.
5o Elaborar el esquema de la prueba.
6o Calcular el estadístico de la prueba.
7o Tomar la decisión, para esto, se comparan el esquema de la parte.
5o, con el estadístico del paso 6o.
Ejemplo de una prueba de hipótesis utilizando los pasos anteriores.
Se realiza el experimento aleatorio de lanzar 50 veces una moneda, obteniéndose
34 veces el resultado cara. Al nivel de significación de 5%, se quiere averiguar si la
moneda está cargada.
1) Ho: P= 0.5, la moneda no está cargada.
H1: P≠ 0.5 la moneda está cargada (P>0.5 ó P<0.5).
2) La prueba debe ser bilateral o de dos colas, porque hay dos posibilidades en
la H1:
a) Si se obtiene muchas veces cara, entonces la moneda está cargada de
un lado (P>0.5).
b) Si se obtiene pocas veces cara, entonces la moneda está cargada del
otro lado (P<0.5).
3) Asumimos el nivel de significación de 5%, con lo que estamos aceptando de
que con la probabilidad de 0.05, puede ocurrir que se rechace Ho, a pesar
161
de ser verdadera; cometiendo por lo tanto el error de tipo I. la probabilidad
de no rechazar Ho, será de 0.95.
4) Determinar la distribución muestral que se utilizara en la prueba.
Tenemos por dato muestral la proporción , el parámetro de Ho, es la
proporción poblacional P; entonces utilizaremos la distribución muestral de
proporciones para describir la variación de las muestras por el error d
muestreo. Tamaño de muestra n= 50> 30. (Muestra grande) aproximaremos
la distribución muestral de proporciones, mediante la distribución normal,
porque n=50> 30.
5) Esquema de la prueba: En la distribución normal de probabilidades
estandarizadas, para el nivel de significación de 5%, el nivel de confianza
será de 95%, entonces los coeficientes críticos o coeficientes de confianza
para la prueba bilateral serán: -1.96 1.96, es decir -1.96 ≤ z ≤ 1.96.
El esquema correspondiente es:
162
Si al realizar el experimento y calcular el puntaje estandarizado Z, encontramos que
Z cae fuera del intervalo -195 ≤ z ≥ 1.96, esto indicara que se debe rechazar Hʯ
Si por el contrario Z cae dentro del intervalo ya mencionado, eso indicara que no
debemos rechazar Hʯ
Vemos que hay dos regiones e rechazo, por eso la prueba se llama prueba bilateral
o de dos colas.
6) Cálculo de Z. utilizando la fórmula 5.3.2
Donde Xi corresponde en este caso a la producción de la muestra: p`
: es la medida de la distribución muestral de proporciones, igual a la proporción
poblacional P de Hʯ
: es la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones, llamada
también error estándar de la proporción: p`
163
Ejemplo de Prueba de una Cola o Unilateral.
Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene 905 de efectividad para curar
una enfermedad. En una muestra de 200 persona de aliviaron 160. Determinar que
a afirmación no es cierta, es decir, la medicina cura meno del 90% de los casos.
Sea el nivel de significación 0.05.
1) .- Hʯ: P = 0.90 P, proporción poblacional de éxito.
H1: P < 0.90 Es lo que queremos probar.
2) .- Habrá una sola región de rechazo o región crítica y es aquella en la que la
proporción de personas curadas por la medicina es menor que 0.90; luego
se trata de una prueba unilateral, o de una sea cola; en esta caso de cola
izquierda, que es la dirección a la que apunta la desigualdad de H1.
164
3) Asumiendo el nivel de significación de 5% (0.05), en la distribución normal
de probabilidades estandarizada se tiene el coeficiente critico de Z= -1.65.
4) Como el dato es una proporción muestral, y en Ho hay una proporción
poblacional, usaremos la distribución muestral de proporciones.
5) El esquema de la prueba es:
6)
´P = Proporción de la muestra =
P = Proporción de la población P = 0.9
Grados de libertad: el termino libertad se refiere a libertad para variar y recoger
datos de la muestra. Analicemos la fórmula para la desviación estándar corregida
165
Para calcular la desviación estándar es necesario estimar la media poblacional û
mediante x= u, es decir se eta estimando un parámetro poblacional por lo tanto por
grados de libertad serán n-1. Al querer calcular la desviación estándar ha
disminuido en uno la libertad de escoger los datos, por haber estimado un
parámetro, la media poblacional.
En la prueba de student de diferencia de medidas, se estimaran dos medias
poblacionales de cada una de las dos poblaciones de las cuales se toman los
datos, para calcular las dos medias. Los grados de libertad serán n1+n2-2 donde n1
es el tamaño de la muestra 1, tomada de la población 1 y n2 es el tamaño de la
muestra tomada de la población 2.
Los grados de libertad están representados por la siguiente formula
Gl=n-k
N: numero de observaciones independientes
K: numero de parámetros estimados
Distribución de Student
Cuando:
i) el tamaño de la muestra es pequeño y este es menor que 30
ii) la población de donde se obtienen los datos está distribuida normalmente
iii) se desconoce la desviación estándar de la población entonces haremos uso de
la distribución de Student
La distribución de Student está representada por el estadístico t:
166
El estadístico z de la distribución normal era
En el denominador de t tenemos s, que varía de muestra en muestra. En el
denominador de z tenemos o , la desviación estándar de la población que es una
constante; t sigue una distribución de Student con n-1 grados de libertad, los
valores de t se pueden encontrar en la tabla correspondiente en el apéndice de
este libro. Existe un valor específico para cada grado de libertad asociado con un
determinado nivel de significación.
La grafica de la distribución de Student es mas aplanada que la distribución normal
Z.
Ejemplo de prueba de una media utilizando la distribución de student
Se aplico un test de inteligencia a una muestra de 15 alumnos de un salón de clase
de cierto Colegio y se determino un CI promedio de 105.4 con una desviación
estándar de 5.3. Se saber que al estandarizar el mencionado test en los colegios
secundarios de la localidad, se hallo un CI medio de 101. Asumiendo un nivel de
significación de 1% probar que el rendimiento mental del grupo de 15 alumnos, es
más alto que el promedio de estandarización del test.
U= rendimiento mental medio de estandarización = 101
X= rendimiento mental medio de la muestra = 105,4
1) formulación de la hipótesis
Distribución de
student
Distribución
normal
167
H0:µ = 101, no existe diferencias significativas en el rendimiento mental, de la
muestra X y de la población
H1: µ= >101
2) Prueba unilateral de cola derecha, de acuerdo con H1,
3) Nivel De Significación Asumido: 1% = 0.01
4) Distribución aplicable para la prueba
Considerando que los datos son la media de la muestra X y la media poblacional µ,
se debe reutilizar la distribución maestral de medias, además como n <30 (muestra
pequeña) y se desconoce 0 (desviación estándar de la población) se empleara la
distribución de student, ya que ese sabe los valores de CI siguen una distribución
normal.
5) Esquema grafico de la prueba
El nivel de significación es a = 0.01
Los grados de libertad son:
Gi= n-1 = 15 – 1=14g. de lib
En la tabla de distribución de student, con 14gl, a = 0.01 y prueba de 1 cola,
encontramos el t crítica: tc =2.624
168
6) Cálculo del estadístico de la prueba
Datos
X= 105.4 ; µ = 101 ; s= 5.3 ; n= 15
7) toma de decisiones
169
Observamos que t=3.11 se ubica en la región de rechazo por tanto se descarta que
µ = 101 y se acepta la alternativa µ > 101 es decir el grupo de 15 alumnos tiene
rendimiento mental mayor que el promedio de estandarización.
Ejemplo:
Una tableteadora de un laboratorio farmacéutico produce comprimidos de cierto
medicamento, con un peso medio de 2grs. Por comprimido. Para determinar si la
maquina sigue en buenas condiciones de producción, se tomó una muestra de 10
tabletas cuyos pesos en gramos son: 2.04; 1.96; 2.00; 1.98: 2.02; 2.01; 1.97; 1.94;
2.03; 2.01, asumiendo un nivel de significación de 0.01, verificar que la maquina no
está en
Buenas condiciones de producción.
Llamemos:
µ: el peso medio de las tabletas producidas por la máquina.
1) Formulación de hipótesis
H0: µ= 2, la maquinas se halla en buenas condiciones.
H1: µ ≠ 2, la maquina no se halla en buenas condiciones
2) Prueba bilateral porque en H1 hay dos posibilidad
µ>2 o µ< 2
3) Nivel de significación , s4e asume el 1% = 0.01
4) Distribución de probabilidad apropiada para la prueba.
Considerando que las hipótesis se refieren a medios poblacionales, que se da
como dato el valor de la media población µ= 2grs, y que se puede calcular la
media de la muestra, utilizaremos la distribución muestral de las medias para
efectuar la prueba. Siendo la muestra pequeña (n= 10) y la desviación de
student o de la población desconocida, no es aplicable la distribución normal y
por tanto recurridos a la distribución de student, asumiendo que la población.
170
Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene el 90% de
efectividad para curar una enfermedad. En una muestra de 200
personas se aliviaron 160. Determinar que la afirmación no es cierta, es
decir que la medicina cura menos del 90% de los casos. Si el nivel de
significancia (error de estimación) es del 0,05.
171
1.- HALLAR H0 Y HA
2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS
Es unilateral de una cola
3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA
4.- DETERMINAR EL VALOR DE n
5.- GRAFICAR LA CAMPANA DE GAUSS
172
6.- CALCULAR EL VALOR DE Z
= 0,80
173
7.- rechazo de la hipótesis nula y aceptación de la hipótesis alternativa, porque los
medicamentos curan menos del 90% a los pacientes.
Una muestra de 80 alambres de acero producidos por la Fábrica A, da
una resistencia media a la rotura de 1230lobras con una desviación
estándar de 120 libras. Una muestra de 100 alambres de acero
producidos por la Fábrica B da una resistencia media a la rotura de
1190 libras con una desviación estándar de 90 libras. ¿Hay una
diferencia real en la resistencia media de las dos marcas de alambre de
acero, si el nivel de confianza es el 95%?
1.- DETERMINAR LA HO Y LA HA.
Ho: U1 = U2
Ha: U1 U2
2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS
La campana de gauss es bilateral de 2 colas
3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA
Nivel de significancia o E.E. = 0,05
Z = 1,96 valor estandarizado
4.- DETERMINAR QUÉ TIPO DE MUESTRA SE UTILIZA
n 1 = 80 n > 30
n 2 = 100 n > 30 Prueba de Hipótesis
174
5.- CONSTRUIR LA CAMPANA DE GAUSS
6.- CALCULAR EL PUNTAJE Z
1 = 1230 S1 = 120
2 = 1190 S2 = 90
175
7.- Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. La rotura de los
alambres de la Fábrica A es diferente a la rotura de los alambres de la Fábrica B.
Los salarios diarios de una industria particular tiene una distribución
normal con media de 23,20 dólares y una desviación estándar de 4,50
dólares. Si una compañía de esta industria emplea 40 trabajadores, les
paga un promedio de 21,20 dólares. ¿Puede se acusada esta compañía
de pagar salarios inferiores con un nivel de significancia del 1%?
1.- DETERMINAR LA HO Y LA HA.
Ho: U = 23,20
Ha: U > 23,20
2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS
La campana de gauss es de una cola
3.- NIVEL DE CONFIANZA = 99%
4.- DETERMINAR QUÉ TIPO DE MUESTRA SE UTILIZA
176
5.- CONSTRUIR LA CAMPANA DE GAUSS
6.- CALCULAR EL PUNTAJE Z
7.- Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. No está pagando a
los trabajadores lo que les corresponde entonces debe entrar a un juicio para
resolver este inconveniente.
177
EJERCICIO PLANTEADO
Según una encuesta realizada se afirma que la exportación de petróleo crudo tiene
el 95% de efectividad para comercializarse en el mercado internacional. En una
muestra de 45 países a los que se envía el petróleo ecuatoriano, se reflejaron que
35 países los más grandes importadores de petróleo tienen ventas elevadas.
Determinar que la afirmación no es cierta, es decir que la exportación de petróleo
se comercializa en menos del 95%. Si se tiene un nivel de significancia del 0,05.
1. Ho: U = 95%
Ha: U < 95%
2. La campana de Gauss es de una cola
3. α = 95%
Error de Estimación: 0,05
Z = -1,65
4. n = 45 n > 30 Prueba de Hipótesis
5. Construir Campana de Gauss
6.
178
7. Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa.
Las exportaciones de petróleo que el Ecuador realiza a diferentes países se
comercializan en más del 95%, por lo que el país puede continuar
realizando sus exportaciones al exterior.
DISTRIBUCIÓN T-STUDENT
En probabilidad y estadística, la distribución t-Student es una distribución de
probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población
normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de t-Student con n grados de
libertad, donde n es un entero positivo, si su función de densidad es la siguiente:
f(t)=
)1(2
12
)1(
)2
(
)2
1(
n
n
t
nn
n
, - t , 0
1)( dxexp xp
siendo p>0
La gráfica de esta función de densidad es simétrica respecto del eje de ordenadas,
con independencia del valor de n, y de forma semejante a la distribución normal.
179
Propiedades:
1. La media es 0 y su varianza 2n
n
, n>2.
2. La gráfica de la función de densidad es en forma de campana.
3. Los datos están más disperso que la curva normal estándar.
4. A medida que n aumenta, la gráfica se aproxima a la normal N(0,1).
5. La gráfica es muy parecida a la de la normal estándar diferenciándose en
que las colas de t están por encima de la normal, y el centro se encuentra
por debajo del de la normal.
6. Cuando los grados de libertad son altos, los valores de t coinciden con los
de la normal.
Ejercicio: La empresa de transporte pesado TRANSURGIR de la ciudad de Tulcán
adquirió camines nuevos que cargan un peso aproximado a 15 toneladas cada
uno para determinar si esta afirmación es verdad se tomo una muestra de 7
camiones con repletos de carga cuya carga pesaba; 15,04tonn, 14,96tonn, 15tonn,
14,98tonn, 15,2tonn, 15,1tonn y 14,96tonn. Asumiendo un nivel de significancia de
0,01 verificar que los camiones si cumplen con el peso establecido.
1) Ho: u=15tonn
Ha: u≠2 u es diferente de dos
2) Bilateral
3) 99% 0,01 gl=n-1
gl= 10-1= 9
t=±3,250
4) nʯ30 T-student
180
5) GRAFICA
6) – –
7) Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa ya que el
peso que puede transportar cada camión se encuentra en la zona de
aceptación.
Ejercicio. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de
500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos
cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra
satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de
25 focos cuya duración fue?:
Xi (Xi-X) (Xi-X)2
15,04 0,006 0,000032653
14,96 -0,074 0,005518367
15 -0,034 0,00117551
14,98 -0,054 0,002946939
15,2 0,166 0,027461224
15,1 0,066 0,004318367
14,96 -0,074 0,005518367
105,24
-
0,000000000000008881784197 0,046971429
181
PRUEBA CHI - CUADRADO
Pruebas Paramétricas. Se llama así a las pruebas de hipótesis que cumplen tres
requisitos fundamentales:
1. La variable de la prueba debe ser la variable cuantitativa.
2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico.
3. Los datos deben ajustarse a determinadas distribuciones estadísticas.
Ejemplos.
1. La prueba basada en la distribución normal de probabilidades.
2. La prueba de student.
Pruebas No Paramétricas.- llamadas también pruebas de distribución libre. Son
aquellas que:
1. La variable de la prueba puede ser cualitativa o cuantitativa.
2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico.
3. Son independientes de cualquier distribución de probabilidad.
Ejemplo.
La prueba de Chi – Cuadrado (también llamada prueba Ji –Cuadrado).
Las pruebas paramétricas son mas poderosas. Sin embargo cuando la variable es
cualitativa, sólo se puede usar las pruebas no paramétricas.
El Estadístico Chi – Cuadrado
En un estadístico que sirve de base para una prueba no paramétrica denominada
prueba chi – cuadrado que se utiliza especialmente para variables cualitativas, esto
182
es, variables que carecen de unidad y por lo tanto sus valores no pueden
expresarse numéricamente. Los valores de estas variables son categorías que sólo
sirven para clasificar los elementos del universo del estudio. También puede
utilizarse para variables cuantitativas, transformándolas, previamente, en variables
cualitativas ordinales.
El estadísticos chi- cuadrado se define por
En donde:
n= número de elementos de la muestra.
n -1= número de grados de libertad
s2= varianza de la muestra
a2= varianza de la población
Desarrollaremos un ejemplo numérico con la finalidad de fijar el concepto de Chi –
cuadrado.
Ejemplo:
En un estudio de la capacidad de aprendizaje de matemáticas, en los niños de una
población, se tomó una muestra representativa de 40 niños. Se les aplicó una
prueba de diagnostico del aprendizaje en matemáticas y con los datos obtenidos se
calculó la varianza s2=8.4, conociendo que la varianza poblacional es de α2= 12,37,
calcular el valor del estadístico chi-cuadrados.
Datos:
n= 40 S2= 8,4 a2= 12,37
183
Ahora vamos a elaborar el concepto de DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL
ESTADÍSTICO CHI- CUADRADO.
Supongamos que se realiza los pasos siguientes:
1. De una población de N elementos se extrae todas las muestras posibles del
mismo tamaño n.
2. Con los datos de cada muestra se calcula el estadístico chi – cuadrado.
3. Con todos los valores de Chi – cuadrado se forma una distribución de
frecuencias; éstas se denomina distribución muestral del Chi-cuadrado.
Esta distribución muestral se representa gráficamente en un sistema de
coordenadas, colocando en el eje de abscisas los valores del estadístico Chi-
cuadrado.
Cuadrado en el eje vertical se colocan las frecuencias de cada valor del chi-
cuadrado.
El área encerrada bajo la curva y el eje horizontal es igual a uno y representar la
probabilidad de que Chi-cuadrado tome valores mayores que 0.
El área rayada situada a la derecha de la ordenada levantada en la abscisa x2 (gl),
representa la probabilidad de cometer el error tipo l en la prueba de chi-cuadrado.
Esta probabilidad es el nivel de significación de la prueba. El valor x2 (gl) se
llama valor crítico del chi-cuadrado y se determina por medio de una tabla especial,
que representa al final del libro el aprendizaje de tablas.
184
Antes de entrar en el manejo de la tabla debemos tener encuentra que para una
probabilidad dad, por ejemplo =0.05, al aumentar el número de grados de
libertada también aumenta el valor crítico de Chi-cuadrado; esto se ilustra en las
tres figuras siguientes:
Este crecimiento del valor crítico se debe a que el aumentar el número de grados
de libertad, la curva de la distribución muestral de Chi-cuadrado tiende a tomar una
forma más extendida y por tanto el punto crítico se desplaza hacia la derecha.
Descripción y manejo de la tabla.- La tabla de valores críticos de x2 se encuentra
en el apéndice. En la línea horizontal superior encabezando en cada columna se
hayan los valores de .
En la primera columna de la izquierda están los grados de libertad. Los ejemplos
siguientes el manejo de la tabla.
185
1. Ejemplo:
=0.05 y gl= 4 g de l
A partir de gl=4g de l, dirigimos una visual hacia la derecha hasta cortar a la
visual que baja por =0.05; en la intersección se encuentra el valor crítico
2. Ejemplo:
Si
Hallamos x2 (6)=12.592
3. Ejemplo:
Si
Encontramos x2 (10) = 18.307
Con estos 9 valores de la variable de estudio X, vamos a elaborar el cuadro de
frecuencias observadas correspondientes a las 10 categorías establecidas.
Cuadro 11. 3. 2
Intervalos Conteo Frecuencias
Observadas
Menos de 6,26 a 6, 26 IIII - I 6
6 , 26 a 11,62 IIII - I 6
11,62 a 15,51 III 3
15,51 a 18,80 IIII 5
18,80 a 21,96 IIII 4
21,96 a 25,12 IIII - IIII 10
25,12 a 28,41 III 3
28,41 a 32,30 IIII 4
32,30 a 37,66 IIII 4
37,66 a más. IIII 5
A continuación debemos realizar la clasificación y conteo de los 50 datos, es decir,
colocar a cada uno de ellos dentro de su categoría representándolo por una tarja.
La suma de las tarjas de cada clase da la frecuencia observada de esta clase.
186
Para facilitar el cálculo del estadístico chi-cuadrado mediante la fórmula indicada
Agregamos las frecuencias observadas y esperadas en celdas tal como se presenta
a continuación. Recordemos que se fijo la frecuencia esperada de 5 en cada
intervalo, luego:
Frecuencia observada O, y frecuencia esperada E, en la Prueba Chi-cuadrado de
Bondad de Ajuste.
Ei 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Oi 6 6 3 5 4 10 3 4 4 5
7) Toma de decisiones
Observamos que este valor de Chi-cuadrado, en el esquema grafico (figura 11.3.5)
se ubica en la regresión de aceptación, luego aceptamos esto es, que la
muestra se obtiene de una población distribuida normalmente.
Problema
De una investigación demográfica se conoce que los habitantes de ciertos países
se distribuyen en la forma siguiente: 0- 20 años, 25%; 21 – 40 años, 35%; 41 -61
años, 25%; 61 -80 años, 10%; 81 – 100 años, 5%.
Después de transcurridos varios años se quiso probar que la distribución
poblacional de las edades no ha cambiado para lo que se selecciono una muestra
respectiva de 1000 personas y se observo que las frecuencias de las 5 categorías
fueron: 0- 20 años, 200; 21 – 40 años, 300; 41 -61 años, 300; 61 -80 años, 100; 81
– 100 años, 100.
187
1) la distribución actual por edades es igual a la del año de ejecución del
censo
La distribución actual por edades no es igual a la del año de ejecución
2) La prueba es unilateral y de cola derecha
3) Nivel de significación a= 0.10
4) Se utiliza la distribución CHI – CUADRADO
ESQUEMA DE LA PRUEBA
Existen k= 5 celdas, tenemos gl = K-1 = 5-1=4 grados de libertad a = 0.10
en la tabla de CHI – CUADRADO obtenemos
77.14
7.779
188
5) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA
200
300
300
100
100
Las frecuencias observadas nos las proporcionan con la muestra aleatoria de los
1.000 habitantes.
CALCULO DE LAS FRECUENCIAS ESPERADAS
= 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 35% = 350
= 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 105% = 100
= 1.000 X 5% = 50
CALCULO DEL ESTADISTICO CHI – CUADRADO
= +
= 10+7.14+10+0+50
= 77.14
250 350 250 100 50
189
6) TOMA DE DECISIONES
Vemos que el estadístico calculado CHI – CUADRADO (77.14) es mayor
que el valor critico encontrado en la tabla (7.779) vemos que 77.14 cae en la
región de rechazo por lo tanto rechazamos y aceptamos , es decir la
distribución actual por edades no es igual a la de la investigación
demográfica.
CORRECCIÓN DE YATES
Cuando el número de grados de libertad es igual a la unidad, es necesario realizar
una corrección por continuidad durante el cálculo del estadístico de la prueba. Esta
corrección se denomina de yates y consiste en disminuir en 0.05 al valor absoluto
de la diferencia entre las frecuencias observadas y as frecuencias
esperadas.
El ejemplo siguiente ilustra la aplicación de esta corrección.
PROBLEMA
En el año de 1960, la proporción de hombres y mujeres de cierta institución de
enseñanza superior, fue de 75% y 25%, respectivamente. Con la finalidad de
verificar si el transcurso del tiempo había originado algún cambio en las
proporciones de estudiantes de ambos sexos, en el año de 1970 se tomó una
muestra aleatoria de 100 alumnos de 1º ciclo, obteniendo 60 hombres y 40 mujeres.
Con estos datos realizar la verificación por medio de la prueba de CHI –
CUADRADO, asumiendo el nivel de significación de a= 5%.
1) la distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 también es de
75% y de 25% respectivamente
La distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 no es del 75%
ni del 25% respectivamente
2) La prueba es universal y de cola derecha
3) Nivel de significación a= 0.05
190
4) Emplearemos la distribución muestral de CHI – CUADRADO
5) ESQUEMA DE LA PRUEBA
Existen 2 categorías entonces K= 2 y gl = K – 1 =2-1=1 a= 0.05 con estos
datos vamos a la tabla de CHI – CUADRADO y obtenemos 3.841.
6) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA
60
40
OBTENCIÓN DE LOS VALORES ESPERADOS
Valor esperado para los hombres: 100 x 75% = 75
Valor esperado para las mujeres: 100 x 25% = 25
11.21
3.841
75 25
191
CACULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA
Como gl = 1 utilizaremos la corrección de yates
=2.8+8.41= 11.21
7) TOMA DE DESICIONES
Como el valor de CHI – CUADRADO es de 11.21, mayor que el valor CHI –
CUADRADO afirmamos que 11.21 cae en la región de rechazo, luego
rechazamos la por lo tanto afirmamos que la distribución de hombres y
mujeres no es del 75% ni del 25% respectivamente.
En un estudio realizado en el departamento de investigación del ESAN acerca del
perjuicio étnico hacia el negro. En los universitarios de lima se aplico
Una encuesta a los universitarios según su lugar de procedencia, obteniendo los
resultados que presenta la siguiente tabla.
Lugar de residencia
Grado De Perjuicio
Barriadas Barrios Populares
Intermedios
Barrios Residenciales
Total
Alto 32 225 50 307
Bajo 28 290 79 397
Total 60 515 129 704
192
Al nivel de significación Q=0.05, determinar que las variables perjuicio étnico hacia
el negro y lugar de residencia son independientes
1. Ho: el perjuicio étnico y el lugar de residencia son independientes
H1: existe dependencia entre las variables.
2. La prueba es unilateral y la cola derecha
3. Asumimos el nivel de significación de Q= 0.05
4. Utilizaremos la distribución muestral de chi-cuadrado porque las dos
variables son cualitativas.
5. Esquema de la prueba
Gl =(C-1) (F-1) 1.1.3.4
Gl =(3-1) (2-1) = 2 11.3.4
Gl= 2
Q= 0.05
X2 = (2) = 5.991
C= # de columnas
F= # de filas
6. Calculo del estadístico de la prueba x= 3.54
5.991
Formula
2
X2= 3.54
Ya conocemos las frecuencias observadas para determinar las frecuencias
esperadas emplearemos la misma tabla, manteniendo invariables de frecuencias
marginales de dos variables.
193
Lugar de Residencia
Grado De Perjuicio
Barriadas Barrios Populares
(Intermedios)
Barrios Residenciales
Total
Alto E11 E12 E13 307
Bajo E21 E22 E23 397
Total 60 515 129 704
Cuando las variables X y Y son independientes, las frecuencias de cada celda son
igual al productos de las frecuencias marginales correspondientes dividido por el
tamaño de la muestra.
Las frecuencias esperadas y las asociadas determinan las frecuencias observadas
anteriormente.
26.16
32
224.58
225
33.84
28
290.42
290
72.75
79
56.25
50
194
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
PRUEBA DE HIPÓTESIS
Se le llama también ensayo de hipótesis o décima de hipótesis.
Son procedimientos que se usan para
determinar, se es razonable o
correcto, aceptar que el estadístico obtenido en
la muestra, puede provenir de la población que tiene parámetro, el
formulado en .
Como resultado de la prueba de
hipótesis, aceptamos o rechazamos . Si
aceptamos , convenimos en que el error de
muestreo (el azar), por sí solo, puede dar lugar al valor al estadístico que
origina la diferencia entre éste y el parámetro. Si
rechazamos , convenimos que la diferencia es tan
grande, que no es fruto del error de muestreo (al azar)
y concluimos que el estadístico de la muestra
no proviene de una población que tenga el parámetro estudiado.
Cuando se toma la decisión de rechazar o aceptar la hipótesis
, se corre el riesgo de equivocarse (recuerde que nos hemos referido a la probabilidad de obtener una diferencia entre x̅
y y no de un hecho establecido), es decir, de
cometer errores.
T DE STUDENT
Cuando:
i) el tamaño de la muestra es pequeño y este es menor que 30
ii) la población de donde se obtienen los datos está distribuida
normalmente
iii) se desconoce la desviación estándar
de la población entonces haremos
uso de la distribución de Student
La distribución de Student está
representada por el estadístico t:
CHI CUADRADO
Pruebas Paramétricas. Se llama así a las pruebas de hipótesis que cumplen tres requisitos fundamentales:
La variable de la prueba debe ser la variable
cuantitativa.
Los datos se obtienen por muestreo estadístico.
Los datos deben ajustarse a determinadas
distribuciones estadísticas.
Ejemplos.
La prueba basada en la distribución normal de
probabilidades.
La prueba de student.
Pruebas No Paramétricas.- llamadas
también pruebas de distribución libre. Son
aquellas que:
La variable de la prueba puede ser cualitativa o
cuantitativa.
Los datos se obtienen por muestreo estadístico.
Son independientes de cualquier distribución de
probabilidad.
195
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:
Actividad
Días
Responsable
Mar, 26 Mié, 27 Jue, 28 Vie,29 Sáb,30 Dom,01 Lun,02 Mar,03 Mié,04 Jue,05
Clase 1 Marisol
Imbacuán
Iniciar con
los
ejercicios
Marisol
Imbacuán
Clase 2 Marisol
Imbacuán
Deber
ejercicios
Marisol
Imbacuán
196