Post on 08-Jul-2015
xeometríamétrica aplicada
potencia
2º bacharelato – debuxo técnico
potencia
Potencia dun punto respecto dunha circunferencia. P punto exterior.
potencia
Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.
PBA’
potencia
Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.
PAB’
potencia
Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.
PBA’ PAB’ son triángulos semellantes inversos
potencia
Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.
Establécese a relación entre P, A, A’, B, B’
PA PB’
PB PA’= PA · PA’ = PB · PB’
potencia
Potencia dun punto respecto dunha circunferencia. P punto interior.
potencia
Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.
PAB’
PBA’
potencia
Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.
PBA’ PAB’ son triángulos semellantes inversos
potencia
Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.
Establécese a relación entre P, A, A’, B, B’
PA PB’
PB PA’= PA · PA’= PB · PB’
potencia
Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.
PTA’ PAT’
Establécese a relación entre P, A, A’, T, T’
PA PT’
PT PA’= PA · PA’= PT · PT’ PT=PT’
PA · PA’ = PT2
son semellantes inversos
potencia
Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.
Pot. P(O) = PA · PA’ = PT2 = k (cte.)
potencia
A potencia graficamente. Segmento representativo da potencia.
Punto exterior.
PA PT’
PT PA’=
PA · PA’ = PT · PT’
PT2 = Potencia
Polo Teorema de Pitágoras
PO2 = PT2 + OT2 PT2 = PO2 – OT2
PO = d OT = rPT2 = d2 – r2 = Potencia
O segmento representativo da potencia
é unha media proporcional, polo tanto,
analizando o Teorema da Altura:
potencia
A potencia graficamente. Segmento representativo da potencia.
Punto interior.
PA PH
PH PA’= PA · PA’ = PH2
PH2 = Potencia
Sustituíndo os termos, e expresando a mesma relación
en función da distancia (d), do radio (r) e da altura (h).
PA = r – d PA’ = –(r + d) PH = h
h2 = (r – d) · – (r+d) = d2 – r2 PH2 = d2 – r2 = Potencia
potencia
Valor da potencia.
PA · PA’ = + k
Constante positiva
Punto exterior
PA · PA’ = – k
Constante negativa
Punto interior
potencia
Valor da potencia.
Punto interior
Pot = PA·PA’ = –(r–d)·(r+d) = –(r2–d2) = d2–r2
Outra forma de expresar a potencia está en función da distancia
do punto ao centro da circunferencia e do radio da mesma.
Pot = PA·PA’ = (d–r)·(d+r) = d2–r2
Punto exterior
eixe radical
2º bacharelato – debuxo técnico
eixe radical
Eixe radical de dúas circunferencias
É o lugar xeométrico dos puntos do plano
nos que a diferencia de cadrados a dous puntos fixos
é constante.
É unha recta perpendicular á que une os dous puntos fixos.
eixe radical
Eixe radical de dúas circunferencias
Pot. P (O1) = PA · PA’ = k1
Pot. P (O2) = PB · PB’ = k2
eixe radical
Eixe radical de dúas circunferencias
Pot. P (O1) = PC · PC’ = k1
Pot. P (O2) = PD · PD’ = k2
eixe radical
Eixe radical de dúas circunferencias
k1 = k2
(d1 – r1)·(d1 + r1) = (d2 – r2)·(d2 +r2 )
PC = d1 – r1 PC ’= d1 + r1 PD = d2 – r2 PD’ = d2 +r2
PC · PC’ = k1
PD · PD’ = k2
PC · PC’ = PD · PD’
d12 – r1
2 = d2 2 – r2
2 d12 – d2
2 = r12 – r2
2
r1 e r2 son constantes r1
2 - r2 2 = cte. d1
2 - d2 2 = cte.
eixe radical
Eixe radical de dúas circunferencias
É o lugar xeométrico dos puntos do plano nos que a diferencia de cadrados a dous puntos fixos é constante.
É unha recta perpendicular á que une os dous puntos fixos.
d12 – d2
2 = cte.
eixe radical
Determinación do eixe radical de dúas circunferencias
Empregamos unha circunferencia auxiliar
Circunferencias exteriores
eixe radical
Determinación do eixe radical de dúas circunferencias
Circunferencias secantes
eixe radical
Determinación do eixe radical de dúas circunferencias
Circunferencias tanxentes
eixe radical
Determinación do eixe radical de dúas circunferencias
Circunferencias interiores
Empregamos unha circunferencia auxiliar
eixe radical
Determinación do eixe radical de dúas circunferencias
Circunferencias concéntricas
Non se pode determinar o eixe radical de dúas circunferencias concéntricas
Pot. P (O) = d12 – d2 2 = cte
d1 = d2
Pot. P (O) = d12 – d2 2 = 0
eixe radical
Centro radical de tres circunferencias
O Centro radical (CR) de tres circunferencias é o punto de corte dos eixes radicais dos tres pares de circunferencias.
Pot. CR (01) = Pot. CR (02) = Pot. CR (03) = k
feixesde circunferencias
coaxiais
2º bacharelato – debuxo técnico
feixes de circunferencias coaxiais
Feixes de circunferencias coaxiais
Un feixe de circunferencias coaxiais
é o conxunto das infinitas circunferencias
que teñen un eixe radical común.
Os seus centros definen como lugar xeométricounha recta perpendicular ao eixe.
feixes de circunferencias coaxiais
Feixe de circunferencias coaxiais exteriores-interiores
feixes de circunferencias coaxiais
Feixe de circunferencias coaxiais secantes
feixes de circunferencias coaxiais
Feixe de circunferencias coaxiais tanxentes
feixes de circunferencias coaxiais
Propiedades dos feixes de circunferencias coaxiais
PA · PA’ = k
PT2 = PA · PA’ = k
- - - - - - -
EA · EA’ = k
ET12 = k
ET22 = k
ET12 = ET2
2
ET1 = ET2
Propiedades