Post on 14-Feb-2015
Análisis Estadístico de Procesos ARMA
Capítulo 4 de las Notas de Clase
Norman Giraldo GomezEscuela de Estadıstica
Universidad Nacional de Colombia
.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 1/17
Contenido
◮ Función de Autocorrelación (FAC) Muestral.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 2/17
Contenido
◮ Función de Autocorrelación (FAC) Muestral.
◮ Variograma.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 2/17
Contenido
◮ Función de Autocorrelación (FAC) Muestral.
◮ Variograma.
◮ Autocorrelación Parcial (FACP).
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 2/17
Contenido
◮ Función de Autocorrelación (FAC) Muestral.
◮ Variograma.
◮ Autocorrelación Parcial (FACP).
◮ Autocorrelación Parcial Muestral.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 2/17
Contenido
◮ Función de Autocorrelación (FAC) Muestral.
◮ Variograma.
◮ Autocorrelación Parcial (FACP).
◮ Autocorrelación Parcial Muestral.
◮ Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 2/17
Contenido
◮ Función de Autocorrelación (FAC) Muestral.
◮ Variograma.
◮ Autocorrelación Parcial (FACP).
◮ Autocorrelación Parcial Muestral.
◮ Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Funciones Matlab para análisis de series estacionarias.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 2/17
Contenido
◮ Función de Autocorrelación (FAC) Muestral.
◮ Variograma.
◮ Autocorrelación Parcial (FACP).
◮ Autocorrelación Parcial Muestral.
◮ Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Funciones Matlab para análisis de series estacionarias.
◮ Ejemplos.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 2/17
Función de Autocorrelación (FAC) Muestral
◮ Se define un estimador de la función de autocovarianza R(k) de unproceso estacionario en covarianza con base en una muestraX1, . . . , XN , como el estadístico:
R(k) =1
N
N−k∑
j=1
( Xj − X )( Xj+k − X ), k = 0, 1, · · · .
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 3/17
Función de Autocorrelación (FAC) Muestral
◮ Se define un estimador de la función de autocovarianza R(k) de unproceso estacionario en covarianza con base en una muestraX1, . . . , XN , como el estadístico:
R(k) =1
N
N−k∑
j=1
( Xj − X )( Xj+k − X ), k = 0, 1, · · · .
◮ Se define un estimador de la función de autocorrelaciónρ(k) = R(k)/R(0) como el estadístico
ρ(k) =
∑N−k
j=1( Xj − X )( Xj+k − X )∑N−k
j=1( Xj − X )2
, k = 0, 1, · · · .
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 3/17
Función de Autocorrelación (FAC) Muestral
◮ Se define un estimador de la función de autocovarianza R(k) de unproceso estacionario en covarianza con base en una muestraX1, . . . , XN , como el estadístico:
R(k) =1
N
N−k∑
j=1
( Xj − X )( Xj+k − X ), k = 0, 1, · · · .
◮ Se define un estimador de la función de autocorrelaciónρ(k) = R(k)/R(0) como el estadístico
ρ(k) =
∑N−k
j=1( Xj − X )( Xj+k − X )∑N−k
j=1( Xj − X )2
, k = 0, 1, · · · .
◮ Propósito: utilizarlos como herramientas para identificación
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 3/17
Variograma
◮ El variograma es un estimador de la fluctuación cuadrática media,V (h) = 2(R(0) − R(h)), dado por el estadístico
V (k) =R(0) − R(k)
R(0) − R(1)=
1 − ρ(k)
1 − ρ(1), k = 0, 1, · · · , m
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 4/17
Variograma
◮ El variograma es un estimador de la fluctuación cuadrática media,V (h) = 2(R(0) − R(h)), dado por el estadístico
V (k) =R(0) − R(k)
R(0) − R(1)=
1 − ρ(k)
1 − ρ(1), k = 0, 1, · · · , m
◮ El variograma permite identificar cuándo un proceso Xn esestacionario en covarianza.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 4/17
Variograma
◮ El variograma es un estimador de la fluctuación cuadrática media,V (h) = 2(R(0) − R(h)), dado por el estadístico
V (k) =R(0) − R(k)
R(0) − R(1)=
1 − ρ(k)
1 − ρ(1), k = 0, 1, · · · , m
◮ El variograma permite identificar cuándo un proceso Xn esestacionario en covarianza.
◮ La gráfica parece tender a un límite: V (k) ; c, es indicativo de que elproceso es estacionario en covarianza.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 4/17
Variograma
◮ El variograma es un estimador de la fluctuación cuadrática media,V (h) = 2(R(0) − R(h)), dado por el estadístico
V (k) =R(0) − R(k)
R(0) − R(1)=
1 − ρ(k)
1 − ρ(1), k = 0, 1, · · · , m
◮ El variograma permite identificar cuándo un proceso Xn esestacionario en covarianza.
◮ La gráfica parece tender a un límite: V (k) ; c, es indicativo de que elproceso es estacionario en covarianza.
◮ La gráfica parece crecer monótononamente: V (k) ր, es indicativo deque el proceso no es estacionario en covarianza.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 4/17
Variograma
◮ El variograma es un estimador de la fluctuación cuadrática media,V (h) = 2(R(0) − R(h)), dado por el estadístico
V (k) =R(0) − R(k)
R(0) − R(1)=
1 − ρ(k)
1 − ρ(1), k = 0, 1, · · · , m
◮ El variograma permite identificar cuándo un proceso Xn esestacionario en covarianza.
◮ La gráfica parece tender a un límite: V (k) ; c, es indicativo de que elproceso es estacionario en covarianza.
◮ La gráfica parece crecer monótononamente: V (k) ր, es indicativo deque el proceso no es estacionario en covarianza.
◮ Más técnico: usar pruebas para la hipótesis: Ho : Xn es estacionarioversus H1 : no(Ho).
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 4/17
Autocorrelación Parcial (FACP)
◮ La función de autocorrelación parcial α(k) , k = 1, 2, · · · se definecomo
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Autocorrelación Parcial (FACP)
◮ La función de autocorrelación parcial α(k) , k = 1, 2, · · · se definecomo
1. α(1) = Corr( X1 , X2 )
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 5/17
Autocorrelación Parcial (FACP)
◮ La función de autocorrelación parcial α(k) , k = 1, 2, · · · se definecomo
1. α(1) = Corr( X1 , X2 )
2. α( k ) = Corr(Yk , Y1) k ≥ 2, dondeYk = Xk+1 − E( Xk+1 | X2, · · · , Xk ) yY1 = X1 − E( X1 | X2, · · · , Xk )
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 5/17
Autocorrelación Parcial (FACP)
◮ La función de autocorrelación parcial α(k) , k = 1, 2, · · · se definecomo
1. α(1) = Corr( X1 , X2 )
2. α( k ) = Corr(Yk , Y1) k ≥ 2, dondeYk = Xk+1 − E( Xk+1 | X2, · · · , Xk ) yY1 = X1 − E( X1 | X2, · · · , Xk )
◮ La autocorrelación parcial mide la correlación entre X1 y Xk+1
eliminando el efecto de las variables intermedias.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 5/17
Autocorrelación Parcial Muestral
◮ Si φk = (φk1, φk2, . . . , φkk) es la solución del sistema lineal, parak = 1, 2, · · ·
ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 · · · ρk−1
ρ1 ρ0 ρ1 ρ2 · · · ρk−2
ρ2 ρ1 ρ0 ρ1 · · · ρk−3
......
......
......
ρk−1 ρk−2 ρk−3 ρk−4 · · · ρ0
φk1
φk2
φk3
...
φkk
=
ρ1
ρ2
ρ3
...
ρk
(1)
entonces la función de autocorrelación parcial cumple α(k) = φkk.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 6/17
Autocorrelación Parcial Muestral
◮ Si φk = (φk1, φk2, . . . , φkk) es la solución del sistema lineal, parak = 1, 2, · · ·
ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 · · · ρk−1
ρ1 ρ0 ρ1 ρ2 · · · ρk−2
ρ2 ρ1 ρ0 ρ1 · · · ρk−3
......
......
......
ρk−1 ρk−2 ρk−3 ρk−4 · · · ρ0
φk1
φk2
φk3
...
φkk
=
ρ1
ρ2
ρ3
...
ρk
(2)
entonces la función de autocorrelación parcial cumple α(k) = φkk.
◮ La función de autocorrelación muestral α(k) se obtiene reemplazandoρj por ρj en el sistema lineal anterior.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 6/17
Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Varios software para análisis de señales y series de tiempo:
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Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Varios software para análisis de señales y series de tiempo:
⊲ Matlab, Librerías(Toolboxs): System Identification, Signal Processing.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 7/17
Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Varios software para análisis de señales y series de tiempo:
⊲ Matlab, Librerías(Toolboxs): System Identification, Signal Processing.
⊲ R, programa gratis en http://www.r-project.org/.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 7/17
Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Varios software para análisis de señales y series de tiempo:
⊲ Matlab, Librerías(Toolboxs): System Identification, Signal Processing.
⊲ R, programa gratis en http://www.r-project.org/.
⊲ SAS, Librerías: ETS
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 7/17
Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Varios software para análisis de señales y series de tiempo:
⊲ Matlab, Librerías(Toolboxs): System Identification, Signal Processing.
⊲ R, programa gratis en http://www.r-project.org/.
⊲ SAS, Librerías: ETS
⊲ PEST, programa ejecutable gratis de Peter J. Brockwell.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 7/17
Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Varios software para análisis de señales y series de tiempo:
⊲ Matlab, Librerías(Toolboxs): System Identification, Signal Processing.
⊲ R, programa gratis en http://www.r-project.org/.
⊲ SAS, Librerías: ETS
⊲ PEST, programa ejecutable gratis de Peter J. Brockwell.
◮ Pasos en un análisis de un proceso ARMA:
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 7/17
Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Varios software para análisis de señales y series de tiempo:
⊲ Matlab, Librerías(Toolboxs): System Identification, Signal Processing.
⊲ R, programa gratis en http://www.r-project.org/.
⊲ SAS, Librerías: ETS
⊲ PEST, programa ejecutable gratis de Peter J. Brockwell.
◮ Pasos en un análisis de un proceso ARMA:
⊲ Simulación de procesos ARMA.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 7/17
Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Varios software para análisis de señales y series de tiempo:
⊲ Matlab, Librerías(Toolboxs): System Identification, Signal Processing.
⊲ R, programa gratis en http://www.r-project.org/.
⊲ SAS, Librerías: ETS
⊲ PEST, programa ejecutable gratis de Peter J. Brockwell.
◮ Pasos en un análisis de un proceso ARMA:
⊲ Simulación de procesos ARMA.
⊲ Identificación de los órdenes p y q.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 7/17
Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Varios software para análisis de señales y series de tiempo:
⊲ Matlab, Librerías(Toolboxs): System Identification, Signal Processing.
⊲ R, programa gratis en http://www.r-project.org/.
⊲ SAS, Librerías: ETS
⊲ PEST, programa ejecutable gratis de Peter J. Brockwell.
◮ Pasos en un análisis de un proceso ARMA:
⊲ Simulación de procesos ARMA.
⊲ Identificación de los órdenes p y q.
⊲ Estimación del modelo y verificación del ajuste.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 7/17
Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Varios software para análisis de señales y series de tiempo:
⊲ Matlab, Librerías(Toolboxs): System Identification, Signal Processing.
⊲ R, programa gratis en http://www.r-project.org/.
⊲ SAS, Librerías: ETS
⊲ PEST, programa ejecutable gratis de Peter J. Brockwell.
◮ Pasos en un análisis de un proceso ARMA:
⊲ Simulación de procesos ARMA.
⊲ Identificación de los órdenes p y q.
⊲ Estimación del modelo y verificación del ajuste.
⊲ Pronósticos.
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Programas para Análisis. Pasos del Análisis.
◮ Varios software para análisis de señales y series de tiempo:
⊲ Matlab, Librerías(Toolboxs): System Identification, Signal Processing.
⊲ R, programa gratis en http://www.r-project.org/.
⊲ SAS, Librerías: ETS
⊲ PEST, programa ejecutable gratis de Peter J. Brockwell.
◮ Pasos en un análisis de un proceso ARMA:
⊲ Simulación de procesos ARMA.
⊲ Identificación de los órdenes p y q.
⊲ Estimación del modelo y verificación del ajuste.
⊲ Pronósticos.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 7/17
Funciones Matlab para análisis de series estacionarias
◮ Funciones para identificación:
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 8/17
Funciones Matlab para análisis de series estacionarias
◮ Funciones para identificación:
⊲ autocorr: calcula y grafica la función de fac muestral R(k).
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 8/17
Funciones Matlab para análisis de series estacionarias
◮ Funciones para identificación:
⊲ autocorr: calcula y grafica la función de fac muestral R(k).
⊲ parrcorr: calcula y grafica la función de facp muestral αR(k).
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 8/17
Funciones Matlab para análisis de series estacionarias
◮ Funciones para identificación:
⊲ autocorr: calcula y grafica la función de fac muestral R(k).
⊲ parrcorr: calcula y grafica la función de facp muestral αR(k).
◮ Funciones para estimación y ajuste:
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 8/17
Funciones Matlab para análisis de series estacionarias
◮ Funciones para identificación:
⊲ autocorr: calcula y grafica la función de fac muestral R(k).
⊲ parrcorr: calcula y grafica la función de facp muestral αR(k).
◮ Funciones para estimación y ajuste:
⊲ armabat: función para identificar la pareja (p,q) que produce el modelo conmenor criterio de información de Akaike (AIC). Es una función escrita porH. Hurd. http://www.stat.unc.edu/faculty/hurd/stat185Data/progdoc.html
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 8/17
Funciones Matlab para análisis de series estacionarias
◮ Funciones para identificación:
⊲ autocorr: calcula y grafica la función de fac muestral R(k).
⊲ parrcorr: calcula y grafica la función de facp muestral αR(k).
◮ Funciones para estimación y ajuste:
⊲ armabat: función para identificar la pareja (p,q) que produce el modelo conmenor criterio de información de Akaike (AIC). Es una función escrita porH. Hurd. http://www.stat.unc.edu/faculty/hurd/stat185Data/progdoc.html
⊲ armax: función que estima los parámetros del modelo ARMA(p,q).
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 8/17
Funciones Matlab para análisis de series estacionarias
◮ Funciones para identificación:
⊲ autocorr: calcula y grafica la función de fac muestral R(k).
⊲ parrcorr: calcula y grafica la función de facp muestral αR(k).
◮ Funciones para estimación y ajuste:
⊲ armabat: función para identificar la pareja (p,q) que produce el modelo conmenor criterio de información de Akaike (AIC). Es una función escrita porH. Hurd. http://www.stat.unc.edu/faculty/hurd/stat185Data/progdoc.html
⊲ armax: función que estima los parámetros del modelo ARMA(p,q).
⊲ resid: función para calcular los residuos Zn del modelo.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 8/17
Funciones Matlab para análisis de series estacionarias
◮ Funciones para identificación:
⊲ autocorr: calcula y grafica la función de fac muestral R(k).
⊲ parrcorr: calcula y grafica la función de facp muestral αR(k).
◮ Funciones para estimación y ajuste:
⊲ armabat: función para identificar la pareja (p,q) que produce el modelo conmenor criterio de información de Akaike (AIC). Es una función escrita porH. Hurd. http://www.stat.unc.edu/faculty/hurd/stat185Data/progdoc.html
⊲ armax: función que estima los parámetros del modelo ARMA(p,q).
⊲ resid: función para calcular los residuos Zn del modelo.
⊲ lbt: función para realizar la prueba de Ljung-Box para determinar si Zn esruido blanco.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 8/17
Funciones Matlab para análisis de series estacionarias
◮ Funciones para identificación:
⊲ autocorr: calcula y grafica la función de fac muestral R(k).
⊲ parrcorr: calcula y grafica la función de facp muestral αR(k).
◮ Funciones para estimación y ajuste:
⊲ armabat: función para identificar la pareja (p,q) que produce el modelo conmenor criterio de información de Akaike (AIC). Es una función escrita porH. Hurd. http://www.stat.unc.edu/faculty/hurd/stat185Data/progdoc.html
⊲ armax: función que estima los parámetros del modelo ARMA(p,q).
⊲ resid: función para calcular los residuos Zn del modelo.
⊲ lbt: función para realizar la prueba de Ljung-Box para determinar si Zn esruido blanco.
⊲ compare: función para examinar la calidad de los pronósticos con elmodelo ajustado con el fin de determinar si la elección del modelo fué lacorrecta.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 8/17
Ejemplo de uso
◮ Para graficar la trayectoria del proceso, la FAC muestral, la FACP mustral y elVariograma se pueden usar las siguientes instrucciones.
figure(1)
subplot(2,2,1), plot(x);
ylabel(’Xn’)
title(’Trayectoria’)
[fac_y,m]=autocorr(x,[],2);
subplot(2,2,2), autocorr(x,[],2)
title(’fac’);
[facp_y, mp] = parcorr(x,[],2);
subplot(2,2,3), parcorr(x,[],2)
title(’facp’);
v = (fac_y(1)-fac_y)/(fac_y(1)-fac_y(2));
subplot(2,2,4), stem(m,v);
grid
title(’Variograma’)Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 9/17
Dentro del Editor Matlab
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 10/17
Ejemplo de Resultados: Media móvil
Caso MA(4): Xn = Zn − 2.3730Zn−1 + 2.4149Zn−2 − 1.2312Zn−3 + 0.2780Zn−4.
0 50 100 150 200 250 300−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20Trayectoria
0 5 10 15 20 25 30−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag
Sam
ple A
utoc
orre
lation
fac muestral
0 5 10 15 20 25 30−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag
Sam
ple P
artia
l Aut
ocor
relat
ions
facp muestral
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Variograma
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 11/17
Ejemplo de Resultados: Autorregresivo
Caso AR(2): Xn = 0.9529Xn−1 − 0.4699Xn−2 + Zn.
0 50 100 150 200 250 300−6
−4
−2
0
2
4
6Trayectoria
0 5 10 15 20 25 30−0.5
0
0.5
1
Lag
Sam
ple A
utoc
orre
lation
fac muestral
0 5 10 15 20 25 30−0.5
0
0.5
1
Lag
Sam
ple P
artia
l Aut
ocor
relat
ions
facp muestral
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Variograma
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 12/17
Ejemplo de Resultados: Autorregresivo con media móvil
Caso ARMA(2,2):Xn = 1.4201Xn−1 − 0.5917Xn−2 + Zn − 0.9529Zn−1 + 0.4699Zn−2.
0 50 100 150 200 250 300−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5Trayectoria
0 5 10 15 20 25 30−0.5
0
0.5
1
Lag
Sam
ple A
utoc
orre
lation
fac muestral
0 5 10 15 20 25 30−0.5
0
0.5
1
Lag
Sam
ple P
artia
l Aut
ocor
relat
ions
facp muestral
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Variograma
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 13/17
Ejemplo Programación en Matlab
clear all;
close all;
x = importdata(’kobe.dat’);
t = (1:size(x,1))’;
figure(1)
subplot(2,2,1), plot(t,x);
title(’Trayectoria ’)
axis tight;
% ajuste
xt = x -mean(x);
% escoge p y q
pvec = [0 1 2 3 4 5 6];
qvec = [0 1 2 3 4];
[mbest,minaic,pbest,qbest]=...
armabat(xt,pvec,qvec);
armapq = armax(xt,[pbest qbest]);
present(armapq)
% parametros significativos
armapq.ParameterVector
armapq.CovarianceMatrix
tcrit = armapq.ParameterVector./...
sqrt(diag(armapq.CovarianceMatrix))
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 14/17
Ejemplo : Datos terremoto de Kobe (Japón)
Caso AR(6,1):
1000 2000 3000
−2
0
2
4x 10
4 Trayectoria
0 10 20 30−1
−0.5
0
0.5
1
Lag
Samp
le Au
toco
rrelat
ion
fac muestral
0 10 20 30−1
−0.5
0
0.5
1
Lag
Samp
le Pa
rtial A
utoc
orre
lation
s facp muestral
0 10 20 300
5
10
15Variograma
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 15/17
Resultados: Datos terremoto de Kobe (Japón)
◮ La identificacion arroja p=6, q = 1, es decir un ARMA(6,1), dado por
Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = C(q)e(t)
A(q) = 1 - 2.544 (+-0.01427) qˆ-1 +
3.894 (+-0.03672) qˆ-2 -
4.343 (+-0.05356) qˆ-3 +
3.415 (+-0.05353) qˆ-4 -
1.957 (+-0.03669) qˆ-5 +
0.725 (+-0.01425) qˆ-6
C(q) = 1 + 0.8835 (+-0.00764) qˆ-1
Estimated using ARMAX from data set xt
Loss function 522836 and FPE 525252
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 16/17
Referencias
◮ Guerrero, V. M. (2003). Análisis Estadístico de Series de Tiempo Económicas.Thompson.
Analisis Estadıstico de Procesos ARMA Capıtulo 4 de las Notas de Clase – p. 17/17