Post on 10-Jul-2015
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“Si quieres triunfar, no te quedes
mirando la escalera. Empieza a
subir, escalón por escalón, hasta que
llegues arriba”
Medardo Galindo
7.6 Ecuaciones con Radicales
• Resolver ecuaciones con un radical
• Resolver ecuaciones con dos radicales
• Resolver ecuaciones que contienen dos
términos radicales y uno no radical
• Resolver problemas de aplicación
mediante ecuaciones radicales
• Despejar una variable en un radicando
Ecuaciones con una Radical
• Una ecuación radical es aquella que
contiene una variable en un radicando
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑥 = 5, 𝑦 + 43 = 9, 𝑥 − 2 = 7 + 𝑥 + 8
Para resolver ecuaciones radicales
• Reescriba la ecuacion de modo que el
radical que contiene a la variable quede
solo.
• Eleve el lado de la ecuacion a una
potencia igual al indice del radical
• Combine los terminos semejantes
• Si la ecuacion aun contiene un termino
con una variable en un radicando, repetir
pasos 1 a 3
• Despeje la variable de la ecuación
resultante
• Verifique todas las soluciones en las
ecuaciones originales
Resolver
𝑥 = 7
𝑥 2
= 7 2
𝑥 = 49
• Resolver
𝑎) 𝑥 − 4 − 6 = 0
𝑏) 𝑥3
+ 9 = 7
𝑐) 2𝑥 − 3 = 𝑥 − 3
Resolver ecuaciones con dos
radicales y un no radical
• Resolver
𝑎) 5𝑥 − 1 − 3𝑥 − 2 = 1
Resolver Aplicaciones
• Ver ejemplos libro de texto
Despejar una variabale de un
radicando• Despejar n de la siguiente ecuación
𝐸 = 𝑍𝜎
𝑛
7.7 Números complejos
• Reconocer un números complejo
• Sumar y restas números complejos
• Multiplicar números complejos
• Dividir números complejos
• Determinar potencias de i
Reconocer un numero complejo
• En la seccion 7.1 se determino que los
numero negativos como , no son
números reales.
• Todo numero imaginario tiene a como
factor, el numero , llamado unidad
imaginaria, se denota con la letra i.
−4
−1
−1
• Por lo tanto
• Para cualquier numero real positivo n,
𝑖 = −1
−𝑛 = −1 𝑛 = 𝑖 𝑛
• Por lo tanto, podemos escribir
• Todo numero con la forma , en
donde a y b son números reales, es un
numero complejo
Resolver
−4 = −1 4 = 𝑖2 𝑜 2𝑖
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑎)3 + −36 𝑏)5 − −12 𝑐)19 𝑑) −50
Sumar y Restar números
complejos• Cambie todos los números imaginarios a
la forma bi
• Sume o reste las partes reales de los
números complejos
• Sume o reste las partes imaginarias de los
números complejos
• Escriba la respuesta en a forma a + bi
Resolver
𝑆𝑢𝑚𝑒 7 + 15𝑖 + −6 − 2𝑖 + 20
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑒 5 − −27 − (−3 + −48)
Multiplicar números complejos
• Cambie todos los números imaginarios a
la forma bi
• Multiplique los números complejos como
si multiplicara polinomios
• Sustituya cada aparición de
• Sume las partes reales e imaginarias.
Escriba la respuesta de la forma a+bi
𝑖2 𝑐𝑜𝑛 − 1
Resolver
Multiplique
𝑎)5𝑖 3 − 2𝑖
𝑏) −9 −3 + 7
𝑐) 2 − −18 −2 + 5
Dividir números complejos
• Cambien todos los numeros imaginarios a
la forma bi
• Racionalice el denominador, multiplicando
el numerador y el denominador por el
conjugado del denominador
• Escriba la respuesta en la forma a + bi
Resolver
• Dividir
𝑎)6 + 𝑖
𝑖
𝑏)3 − 2𝑖
4 − 𝑖
Determinar potencias de i
podemos
determinar otras potencia de i, por
ejemplo
𝑃𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑖 = −1 𝑦 𝑑𝑒 𝑖2 = −1,
𝑖3 = 𝑖2 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝑖
𝑖4 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 = −1 −1 = 1
𝑖5 = 𝑖4 ∙ 𝑖1 = 1 ∙ 𝑖 = 𝑖
𝑖6 = 𝑖4 ∙ 𝑖2 = 1 −1 = −1
𝑖7 = 𝑖4 ∙ 𝑖3 = 1 −𝑖 = −𝑖
𝑖8 = 𝑖4 ∙ 𝑖4 = 1 1 = 1
8.1 Ecuaciones cuadráticas
completando el cuadrado
• Usar la propiedad de la raíz cuadrada
para resolver ecuaciones.
• Entender los trinomios cuadrados
perfectos.
• Resolver ecuaciones cuadráticas
completando el cuadrado
Propiedad Raíz Cuadrada
Resolver
𝑆𝑖 𝑥2 = 𝑎, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = ± 𝑎
𝑎)𝑥2 + 5 = 80 𝑏)𝑥2 + 7 = 0 𝑐) 𝑧 + 3 2 + 28 = 0
Trinomios Cuadrado Perfectos
Ecuaciones cuadráticas
completando el cuadrado• Si es necesario, utilice la propiedad de la
multiplicación (o división) de la igualdad
para hacer que el coeficiente sea 1
• Reescriba la ecuación aislando la
constante en el lado derecho.
• Tome la mitad del coeficiente numérico
del termino de primer grado, elévela al
cuadrado y sume la cantidad resultante en
ambos lados de la ecuación.
• Reemplace el trinomio con el cuadrado de
un binomio
• Utilice la propiedad de la raíz cuadrada
para tomar la raíz cuadrada en ambos
lados de la ecuación
• Despeje la variable
• Compruebe sus soluciones en la ecuación
original
Resolver completando el
cuadrado𝑎)𝑥2 + 6𝑥 + 5 = 0
𝑏) − 𝑥2 = −3𝑥 − 18
𝑐) − 3𝑚2 + 6𝑚 + 24 = 0
8.2 Ecuaciones cuadráticas
mediante la formula cuadratica• Deducir la formula cuadrática
• Utilizar la formula cuadrática para resolver
ecuaciones
• Escribir una ecuación cuadrática dadas
sus soluciones
• Usar el discriminante para determinar el
numero de soluciones reales
• Problemas de aplicación
Formula cuadrática para
resolver problemas• Escriba la ecuación cuadrática en la forma
general , y determine los
valores de a, b y c
• Sustituya a, b y con los valores
correspondientes en la formula cuadrática,
y luego evalúe la formula para obtener la
solución
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Formula Cuadrática
• Resolver
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎)𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0
𝑏)𝑝2 +2
5𝑝 +
1
3= 0
Escribir Ecuación Cuadrática
dadas sus soluciones• Si nos dan soluciones, podemos deducir
la ecuación correspondiente siguiendo el
procedimiento a la inversa.
Resolver
𝑎) − 4 𝑦 1 𝑏)3 + 2𝑖 𝑦 3 − 2𝑖
Usar el discriminante para
determinar soluciones• La expresión bajo el signo radical en la
formula cuadrática se denomina
discriminante
𝑏2 − 4𝑎𝑐
Soluciones de una ecuación
cuadrática𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 0:
1)𝑆𝑖 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0,
𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠
2)𝑆𝑖 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙
3)𝑆𝑖 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
Resolver por Discriminante
𝑎)2𝑥2 − 4𝑥 + 6 = 0
𝑏)𝑥2 − 5𝑥 − 8 = 0
𝑐)4𝑥2 − 12𝑥 = −9
Aplicaciones con ecuaciones
cuadráticas• Ver ejemplos del libro
8.3 Aplicaciones y resolución de
problemas• http://www.ceutec.unitec.edu/elearning/rep
ositorio/index.php?page=vfile&file_id=398
Soportar con ejemplos del libro
8.4 Planteamiento Ecuaciones
en forma cuadrática
Para resolver ecuaciones en la
forma cuadrática• Haga una sustitución que tenga como
resultado una ecuación de la forma
, en donde u es una
función de la variable original
• Despeje u en la ecuación
• Reemplace u con la función de la variable
original del paso 1 y resuelva la ecuación
• Verificar si hay soluciones extrañas
𝑎𝑢2 + 𝑏𝑢 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 0
𝑎𝑢2 + 𝑏𝑢 + 𝑐 = 0
Resolver
𝑎)𝑥4 − 5𝑥2 + 4 = 0
𝑏)𝑝4 + 2𝑝2 = 8
𝑐)4 2𝑤 + 1 2 − 16 2𝑤 + 1 + 15 = 0
Ecuaciones con exponentes
racionalesResolver
𝑎)𝑥2 5 + 𝑥1 5 − 6 = 0
𝑏)2𝑝 − 𝑝 − 10 = 0