Post on 27-Sep-2018
Una de las aplicaciones fundamentales de la ecuación de Bernoulli es lapuesta en marcha de aparatos de medida que nos indiquen lascaracterísticas de un fluido.
Estos elementos son de enorme importancia en gran cantidad de industriasen las que se lleve a cabo trasiego de fluidos, como oleoductos, circuitosneumáticos, etc. Hay necesidad de medir propiedades locales (velocidad,presión, temperatura, densidad, viscosidad...), integradas (flujo másico yflujo volumétrico) y globales (visualización de todo el campo fluido).
En este capítulo se van a mostrar las aplicaciones más importantes de laecuación de Bernoulli a elementos de medida y otros sistemas para ladeterminación de caudales y presiones de un determinado flujo.
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
CONCEPTOS DE PRESIÓN ESTÁTICA, DINÁMICA Y TOTAL.
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
CONCEPTOS DE PRESIÓN ESTÁTICA, DINÁMICA Y TOTAL.
La ecuación de Bernoulli para un flujo de fluido que mantiene la mismaaltura geodésica tiene la expresión:
en donde se tienen:
p: presión estática
: la presión dinámica
La presión estática es la que se mediría mediante un instrumento que semoviera junto al flujo.
Cv
p =⋅+2
2
ρ
2
2v⋅ρ
Cuando las líneas de corriente son rectilíneas y paralelas, la variación depresión es hidrostática en una dirección perpendicular a ellas. Este resultadohace posible medir la presión estática en un fluido que se mueve utilizando unorificio en la pared en una región donde las líneas de corriente seanrectilíneas.
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DE MEDIDA DE LA PRESIÓN ESTÁTICA: PIEZÓMETR O, TUBO ESTÁTICO.
Fig. 11.1 Líneas de corriente y orificio piezométrico
HzzP
zP
zP
EAE
EE
AA
=−=
+=+
γ
γγ
Piezómetro
Fig. 11.2 Piezómetro
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DE MEDIDA DE LA PRESIÓN ESTÁTICA: PIEZÓMETR O, TUBO ESTÁTICO.
HP
HP
PP
PP
g
vz
P
g
vz
P
E
EA
A
AA
A
=→=
=
=
⋅++=
⋅++
γγ
γγ
γγ
γγ
0
0
220
00
:estáticaPor
:cahidrostátiVariación
22
Tubo estático
Fig. 11.3 Tubo estático (A punto externo al tubo estático, E punto interno al tubo estático)
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DE MEDIDA DE LA PRESIÓN ESTÁTICA: PIEZÓMETR O, TUBO ESTÁTICO.
La presión de estancamiento es el valor que toma la presión cuando un fluidoen movimiento se desacelera hasta alcanzar la velocidad cero en un procesosin rozamiento. De esta forma, aplicando la ecuación de Bernoulli a un fluidoincompresible y despreciando las diferencias de cota, se tiene:
g
vp
g
vp EE
⋅+=
⋅+
22
2200
γγ
γγEp
g
vp =⋅
+2
200
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DE MEDIDA DE LA PRESIÓN TOTAL: TUBO DE PITO T.
Fig. 11.4 Tubo de Pitot
y como vE= 0 (siendo E el puntode estancamiento), la presión deestancamiento se puederepresentar como:
Tubo de Pitot
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DE MEDIDA DE LA PRESIÓN TOTAL: TUBO DE PITO T.
Se cumple, por tanto, también que lapresión de estancamiento representala presión total del flujo, y es la sumade la presión estática y la dinámica.
Para medir esta presión total seutiliza el llamado tubo de Pitot.Tomando 0 la sección situada aguasarriba, y E, la sección de entrada altubo de Pitot, se tiene:
Hg
vpH
p
g
vpp
E
E
=⋅
+→=
⋅+=
2
22
00
200
γγ
γγFig. 11.4 Tubo de Pitot
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DE MEDIDA DE LA VELOCIDAD: COMBINACIÓN DEL TUBO DE PITOT Y EL PIEZÓMETRO, Y EL TUBO ESTÁTICO.
En la figura se muestra un tubo dePrandtl introducido en una corriente defluido de densidad ρ, conectado a unmanómetro diferencial, cuyo líquidomanométrico tiene una densidad ρm.
El tubo de Prandtl, al igual que el tubode Pitot, al ser introducido en el fluidoproduce un punto de estancamiento. 0es el punto aguas arriba, E el punto ala entrada del tubo y A, la posición deentrada del tubo estático que llevaincorporado el tubo de Prandtl. Estetubo estático no perturba la corriente ymide, por tanto, presión estática.
Tubo de Prandtl
Fig. 11.5 Tubo de Prandtl
Tubo de Prandtl
( )( )( )γγ
γγγγγ
γγγ
γγ
γγ
γγ
γγ
−⋅=−−⋅+=
⋅+⋅++⋅−=⋅+⋅+=⋅+=
⋅+=
=
=
⋅++=
⋅++
mAE
mAE
mA
mBDE
E
AA
A
AA
A
RPP
RPP
HRRHP
HRPHPP
g
vPP
PP
PP
g
vz
P
g
vz
P
'
'
'
200
'
0
220
00
:estáticaPor
2
:cahidrostátiVariación
22
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DE MEDIDA DE LA VELOCIDAD: COMBINACIÓN DEL TUBO DE PITOT Y EL PIEZÓMETRO, Y EL TUBO ESTÁTICO.
Fig. 11.5 Tubo de Prandtl
Tubo de Prandtl
( )
−⋅⋅⋅=
−⋅=⋅
⋅=−⋅=−
−=−=−
12
12
2
0
20
200
0'
γγ
γγ
γγγ
γγ
γγγγγγ
m
m
mE
EAEAE
Rgv
Rg
v
g
vRPP
PPPPPP
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DE MEDIDA DE LA VELOCIDAD: COMBINACIÓN DEL TUBO DE PITOT Y EL PIEZÓMETRO, Y EL TUBO ESTÁTICO.
Fig. 11.5 Tubo de Prandtl
Tubo de Pitot + Tubo Piezométrico
−⋅⋅⋅= 121 γ
γ mhgv
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DE MEDIDA DE LA VELOCIDAD: COMBINACIÓN DEL TUBO DE PITOT Y EL PIEZÓMETRO, Y EL TUBO ESTÁTICO.
Fig. 11.6 Tubo de Pitot combinado con un tubo piezomérico
Se denomina orificio a cualquier abertura que tiene un perímetro cerrado y quese hace en un muro o división.
En la figura se muestra un depósito que contiene un líquido y que presenta unorificio en la parte inferior. La superficie libre del líquido se mantiene a unaaltura h respecto a ese orificio.
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
ORIFICIO DE AFORO EN UN RECIPIENTE. ECUACIÓN DE TORRICELLI
Fig. 11.7 Orificio de aforo en un depósito
Esta expresión es aplicable para el caso de descarga a la atmósfera y pérdidasnulas.
En la práctica, el caudal de descarga es menor que el que se muestra en esteanálisis, puesto que no se dan estrictamente las condiciones en que es válidala ecuación de Bernouilli
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
ORIFICIO DE AFORO EN UN RECIPIENTE. ECUACIÓN DE TORRICELLI
222111 vpvp hhzhhz ++=++
g
vzz t
⋅=−
2
22
21
( ) hgzzgvt
⋅⋅=−⋅⋅= 22 212
Otra forma de trabajar con la ecuación de Bernoulli es trabajar con términosreales en lugar de con el término de pérdidas de carga. Para ello hay quecalcular los diferentes coeficientes de velocidad, contracción y descarga:
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
ORIFICIO DE AFORO EN UN RECIPIENTE. ECUACIÓN DE TORRICELLI
cvt
r
t
r
t
rd
orif
chorro
t
rc
t
rv
CCA
A
v
v
Q
QC
A
A
A
AC
v
vC
⋅=⋅==
==
=
2
21
:expresión siguiente la cumple se
depósito de un vacíadoen queDemostrar
v
v
c
ck
−=
En función del tipo de orificio (de cantosvivos, entrada cónica, entrada de cuartode círculo, etc…) el coeficiente decontracción adquirirá un valor diferente.
La dificultad en el cálculo de coeficientes reside en calcular las variables(velocidad, sección y caudal) reales, ya que los teóricos son fáciles de obtener.Para ello:
• Un tubo de Pitot a la salida de un depósito, nos permite calcular lavelocidad real.
• Un linnímetro nos ofrece la lectura del diámetro del chorro.
• El método volumétrico se emplea para el cálculo del caudalreal.
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
ORIFICIO DE AFORO EN UN RECIPIENTE. ECUACIÓN DE TORRICELLI
Si la altura del líquido va disminuyendo en el depósito,la velocidad de salida también lo hace.
El volumen de fluido evacuado es:
Luego el tiempo de vaciado se podrá calcular mediante:
dzAdtQtdV depr ⋅−=⋅=)(
( ) hgzzgvt
⋅⋅=−⋅⋅= 22 212
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
VACIADO DE DEPÓSITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE
∫∫
+⋅⋅⋅⋅
⋅−=
+⋅⋅⋅⋅
⋅−=
⋅−=
final
inic
h
horifd
dept
orifd
dep
r
dep
zP
gAC
dzAdt
zP
gAC
dzA
Q
dzAdt
γ
γ
10
1
2
2
Fig. 11.8 Vaciado de depósito
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
VACIADO DE DEPÓSITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE
( )fininic
orifd
dep hhgAC
At −⋅
⋅⋅⋅
=
=
2
:0P Si 1
Fig. 11.9 Proceso de vaciado de depósito
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DEPRIMÓGENOS: VENTURÍMETRO, TOBERA, DIAFRAGMA Y MEDIDOR DE CODO.
( )
( )
)1()(
)1(
)1()(
:estática Aplicando
−⋅=−+−
−⋅=+−
−−⋅=+−⋅=−
⋅+⋅+=++⋅+⋅+=
⋅+=++⋅+=
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγγγγγ
mBA
BA
mBA
mmBA
mBA
BD
mDC
AC
zzzPP
zhPP
hzzhzPP
zlPzlhP
lPP
zPP
zlhPP
)1(22
2222
22
−⋅=⋅
−⋅
⋅++=
⋅++
γγγγ
mAB
BB
BAA
A
zg
v
g
v
g
vz
P
g
vz
P
Fig. 11.10 Venturímetroinclinado
)γ
γ(zg=
A
Acv
)γ
γ(z=
g
A
Avc
g
v
A
Avc=v
Acv=Av
=cc=c
Acvc=Acvc
Q=Q
m
tA
tB
BctB
mtA
tB
tBBc
tB
tA
tB
tBBctA
tBBctBtAtA
AcBvAv
tBBctBBvtAActAAv
BA
121
122
:1 eta Suponiendo
:dcontinuida de principio el Aplicando
2
2
2
2
−⋅⋅⋅
−
−⋅⋅
−⋅
⋅
2
1
12
−
−⋅⋅⋅
tA
tB
Bc
m
tB
A
Ac
)γ
γ(zg
=v
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DEPRIMÓGENOS: VENTURÍMETRO, TOBERA, DIAFRAGMA Y MEDIDOR DE CODO.
Fig. 11.10 Venturímetroinclinado
2
2
1
12
1
12
:Por tanto
−
−⋅⋅⋅⋅
−
−⋅⋅⋅
A
B
Bc
m
BBcBvr
tA
tB
Bc
m
tBBcBvrB
A
Ac
)γ
γ(Rg
Acc=Q
A
Ac
)γ
γ(Rg
Acc=Q
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DEPRIMÓGENOS: VENTURÍMETRO, TOBERA, DIAFRAGMA Y MEDIDOR DE CODO.
Fig. 11.10 Venturímetroinclinado
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DEPRIMÓGENOS: VENTURÍMETRO, TOBERA, DIAFRAGMA Y MEDIDOR DE CODO.
Diafragma:
Fig. 11.12 Diafragma
Fig. 11.11 Diafragma en instalación
Venturímetro Diafragma Tobera
CcB=1 CcB≠1 CcB=1
No existen pérdidas de carga adicionales a las de
la propia tubería
Existen mayores pérdidas adicionales
Existen pequeñas pérdidas de carga adicionales
El más caroLaboratorios
El más baratoIndustria
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
APARATOS DEPRIMÓGENOS: VENTURÍMETRO, TOBERA, DIAFRAGMA Y MEDIDOR DE CODO.
2
1
)1(2
−
−⋅⋅⋅⋅⋅=
A
B
m
Bventr
A
A
RgACQ
γγ
)1(2 −⋅⋅⋅⋅⋅=γ
γ mBdiafrr RgACQ )1(2 −⋅⋅⋅⋅⋅=
γγ m
Btoberar RgACQ
Bvvent CC = 2
1
⋅−
⋅=
A
Bc
cvdiafr
A
Ac
ccC
B
BB
2
1
−
=
A
B
vtobera
A
A
cC B
Vertederos : Miden caudales en canales. Se llaman vertederos porque el canalvierte por encima de algo. Es un obstáculo en el canal que obliga al líquido aestancarse detrás y a verter por encima de él. Tipos:
• De pared delgada
�Horizontal
�En U
�En V
• De pared gruesa
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
VERTEDEROS.
Fig. 11.13 Vertedero
Hipótesis de partida
• Velocidad del fluido previo al vertedero nula, energía cinéticadespreciable.
• El chorro no se deforma.• La presión es atmosférica en todo el chorro.• Pérdidas de carga despreciables.
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
VERTEDEROS DE PARED DELGADA
Fig. 11.14 Vertedero de pared delgada
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
VERTEDEROS DE PARED DELGADA
gg
vzv
g
vz
g
P
g
vz
g
P ⋅
⋅+=⇒
⋅++
⋅=
⋅++
⋅2
2
22
21
2
22
22
21
11
ρρ
gg
vzdzbvdzbdQ ⋅⋅
⋅+⋅⋅=⋅⋅= 2
2
21
Fig. 11.15 Vertedero de pared delgada. Horizontal.
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
VERTEDEROS DE PARED DELGADA
≈⋅
⋅−
⋅+⋅⋅⋅=
⋅+⋅⋅⋅=
02
222
3
2
22
3
2
21
23
21
23
21
0
23
21
g
v
g
v
g
vhgb
g
vzgbQ
h
23
23
2hgbQteorico ⋅⋅⋅⋅=
23
23
2hgbCQreal ⋅⋅⋅⋅⋅=
Fig. 11.15 Vertedero de pared delgada. Horizontal.
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
VERTEDEROS DE PARED DELGADA
( ) 23
1,023
2hhnbgQteorico ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=
( ) 23
1,023
2hhnbgCQreal ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=
Fig. 11.16 Vertedero de pared delgada. De contracción lateral (n=2).
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
VERTEDEROS DE PARED DELGADA
( ) 25
2/215
8htggQteorico ⋅⋅⋅⋅= θ
( ) 25
2/215
8htggCQreal ⋅⋅⋅⋅⋅= θ
Fig. 11.17 Vertedero de pared delgada. Triangular.
El vertedero ocupa toda la anchura del canal.
Hipótesis de partida
• Velocidad del fluido previo al vertedero nula, energía cinéticadespreciable.
• Reparto hidrostático de presiones en la zona del vertedero.• Pérdidas de carga despreciables.
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
VERTEDEROS DE PARED GRUESA
Fig. 11.18 Vertedero de pared gruesa
Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.
VERTEDEROS DE PARED GRUESA
( )
323
2
22
hgLh
Q
LyyhgAvQ
real
real
⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅−⋅⋅=⋅=
≈⋅
−++⋅
=+⋅
++⋅
=++⋅
02
)(22
22
21
22
22
21
22
221
21
g
v
zyzg
vh
g
v
Py
g
vPh
g
v
γγ
( ) →−⋅⋅= yhgv 22
Fig. 11.19 Vertedero de pared gruesa (variación de la presión en 2, hidrostática)