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7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
1/60
I. SUMATORIAS:Encontrar una frmula para cada una de las siguientessumatorias
ai=1
n
i5 (resuelto por RAMOS PALOMINO Jhordy Maycol)
SOLUCI!:
Usando la identidad: i6( i1 )6=i6(i1)6
"esarrollando el segundo miem#ro
i6( i1 )6=i6[ i66 i5+15 i420 i3+15 i26 i+1 ]
i6( i1 )6=+6 i515 i4+20 i315 i2+6 i1
Aplicando sumatorias a am#os miem#ros
i=1
n
[ i6 (i1 )6 ]=i=1
n
[6 i515 i4+20 i315 i2+6 i1 ]
Recordando: i=1
n
[ f(i)f(i1)]= f( i )f(0) $aciendo%
f( i )=i6 f(n )=n6 ; f(0 )=0
i=1
n
[ i6 (i1 )6 ]=n6
&untando tenemos:
n6=6i=1
n
i515i=1
n
i4+20i=1
n
i315i=1
n
i2+6i=1
n
ii=1
n
1
6i=1
n
i5=n6+15i=1
n
i420i=1
n
i3+15i=1
n
i26i=1
n
i+i=1
n
1
6i=1
n
i5=n6+15(n)(n+1)(6 n3+9n2+n1)
30 20
( n2 )(n+1)2
4 +15
(n ) (n+1 ) (2n+1 )6
6(n ) (n+1 )
2 +n
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6i=1
n
i5=n6+(6n5+15n4+10n3n)
2 (5n4+10n3+5n2)+
(10n3+15n2+5n )2
(3n2+3n )+n
6
i=1
n
i5=2n6+6n5+15n4+10n3n10n420n310n2+10n3+15n2+5n6n26n+2n
2
6i=1
n
i5=2n6+6n5+5n4n2
2
i=1
n
i5=n2(2n4+6n3+5n21)
12
i=1
n
i5
=n2 (n+1 )2(2n2+2n1)
12 RPTA
bi=1
n
(i6) .. (resuelto porCA!A"O #!ISP$ % Jose Rolando )
SOLUCIO!:
Sabiendo que:
i=1
n
( f( i)f( i1 ))=f(n )f(0 ) 1rare&latelesc'pica
Sea : f( i)=(i+1 )7
i=1
n
i6
=[(i+1 )7
( i+11 )7
]=(n+1 )7
1
i=1
n
i5=[ ( i7+7 i6+21 i5+35 i4+35 i3+21i2+7 i+1 )( i )7 ]=(n+1 )71
7i=1
n
i6+21i=1
n
i5+35i=1
n
i4+35i=1
n
i3+21i=1
n
i2+7i=1
n
i+i=1
n
1=(n+1 )71
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7i=1
n
i6+21[ 2n6+6n5+5n4n2
12 ]+35 [ 6n5+15n4+10n3n
30 ]+35 [ n4+2n3+n2
4 ]+21[ 2n3+3n2+n
6 ]+7 [n2+n2 ]
7
i=1
n
i6+
[210n6+1050n5+2100n4+2170n3+1260n2+410n
60
]=
[(n7+7n6+21n5+35n4+35n3+21 n2+7n+1)
7i=1
n
i6=[( n7+7n6+21n5+35n4+35n3+21n2+7n+1 )](1[ 210n6+1050n5+2100n4+2170 n3+1260n2+41
60
7i=1
n
i6=60n7
60 +
420n6
60 +
1260n5
60 +
2100n4
60 +
2100n3
60 +
1260n2
60 +
420n60
210n6
60
1050n5
60
2100n4
60
2170
60
i=1
n
i6=[ 60n7+210n6+210n570n3+10n
420 ]
i=1
n
i6=[ 6n7+21n6+21n57n3+n
42 ]
i=1
n
i6=
[
n (6n6+21n5+21n47n2+1)42
]i=1
n
i6=[n (n+1 )(6n5+15n4+6n36n2n+1)
42 ]
c i=1
n
(i7 ) ..(resuelto por !AMANI"ARAN)A %Obed)
'ara $allar su frmula usaremos una identidad:
i8( i1 )8=i8 (i1)8
'ara el primer miem#ro usaremos la primera reglatelescpica:
i=1
n
[ f(i ) f( i1 )]= f(n ) f(0 )
f(n )=n8 f(0 )=0
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[ f( i ) f(i1 )]=n80
i=1
n
i=1
n
[ i8( i1 )8
]=i=1
n
[ i8( i1 )8
]
n8=i=1
n
[i8(i88 i7+28 i656 i5+70 i456 i3+28 i28 i+1) ]
n8=i=1
n
[8 i728 i6+56 i570 i4+56 i328 i2+8 i1 ]
Como $emos notado de#emos de sa#er las frmulas de
i6% i5 %i 4 % i3 % i2% i
(a conocemos las siguientes formulas:
i=1
n
[ i ]=n (n+1 )
2
i=1
n
[ i2 ]=n (n+1 ) (2n+1 )6
i=1
n [ i3 ]= [n (n+1 )]2
4
i=1
n
[ i4 ]=n (n+1 )(6n3+9n2+n1 )30
i=1
n
[ i5 ]=n2 (n+1 )2(2n2+2n+1)
12
i=1
n
[ i6 ]=n (n+1 )(6n5+15n4+6n36 n2n+1)
42
Entonces a$ora reempla)amos en nuestro e*ercicio:
n8=i=1
n
[8 i728 i6+56 i570 i4+56 i328 i2+8 i1 ]
n8=8i=1
n
i728i=1
n
i6+56i=1
n
i570i=1
n
i 4+56i=1
n
i328i=1
n
i2+8i=1
n
ii=1
n
1
n8=8i=1
n
i728[n (n+1)(6n5+15n4+6n36n2n+1)
42 ]+56[ n2 (n+1 )2(2n2+2n+1)
12 ]70 [n (n+1 )(6n3+30
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n8=8i=1
n
i72 [n (n+1 )(6n5+15n4+6n36n2n+1) ]
3 +
14n2 (n+1 )2(2n2+2n+1)3
7n (n+1 )(6n3+9n2+
3
n8=8i=1
n
i7[12n7+42n6+42n514 n3+2n ]
3 +
(28n6+84n5+98n4+56n3+14 n2)3
42n5+105n4+70n3
3
n8+12n7+14n68n42n3+n2
3=8
i=1
n
i7
3n8+12n7+14 n68n42n3+n2
24 =
i=1
n
i7
i=1
n
i7=n2 (3n6+12n5+14n48n22n+1)
24
d i=1
n
(i8 )*(Resuelto por RO+RI)O R$)INAL+O % Cristhian A *)
SOLUCI!:
Usando identidad:i9( i1 )9=i9(i1 )9
Aplicando sumatorias:
[i9( i1 )9 ]=
i=1
n
[i9( i1 )9 ]
i=1
n
Aplicando la +eraRegla Telescpica en el +, miem#ro:
i=1
n
[ f(i ) f( i1 )]= f(n ) f(0 )
Sea: f( i )=i9 f(n )=n9; f(0 )=0
Rempla)ando:
f(n )f(0 )=i=1
n
[i9(i99 i8+36 i784 i6+126 i5126 i4+84 i336 i2+9i1)]
n9=i=1
n
[9 i836 i7+84 i6126 i5+126i484 i3+36 i29 i+1 ]
n9=9i=1
n
(i8 )36i=1
n
(i7 )+84i=1
n
(i6 )126i=1
n
( i5 )+126i=1
n
( i4 )84i=1
n
(i3 )+36i=1
n
(i2 )9i=1
n
( i )+n
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n9n=9i=1
n
(i8 )36n2 (3n6+12n5+14 n47n2+2 )2
24 +
84 n (6n6+21n5+21n47n2+1 )2
42
126n2 (n+1 )2(12
n9n=9i=1
n
(i8 )32
(3n8+12n7+14 n67n4+2n2 )+2 (6n7+21n6+21n57n3+n )212 (2n6+6n5+5n4
n9n=9i=1
n
(i8 )(9n8+36n7+42n621n4+6n2 )
2 + (12n7+42n6+42n514n3+2n)(42n
6+126n5+102
n9n=9i=1
n
(i8 )+(45n8180n7210n6+105n430n2 )
10 +
(120n7+420n6+420n5140n3+20n )10
+(
n9n=9i=1
n
(i8 )+(45n860n7+42n520n37 n )
10
10n310n10 =9i=1
n
(i8
)(45n8+60n742n5+20n3+7n )
10
10 n910n+45n8+60n742n5+20n3+7n10
=9i=1
n
(i8 )
10n9+45n8+60n742n5+20n33n90
=i=1
n
(i8 )
i=1
n
(i8 )=n(10n8+45n7+60n642n4+20n23)
90
fi=1
n
(i10)..(resuelto por ,$N+$-! LOP$- %Luisa)
SOLUCI!:
'or la primera regla telescpica:
i=1
n
( f( i)f( i1))=f(n)f(0)
Sea: f( i )=(i+1 )11
i=1
n
((i+1 )11i11 )=(n+1)111
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i=1
n
(i11+11i10+55i9+165 i8+330i7+462i6+462 i5+330i4+165 i3+55 i2+11i1+1i0i11)=n11+11n10+55
i=1
n
(11i10+55i9+165 i8+330i7+462i6+462 i5+330i4+165 i3+55 i2+11i1+1)=n11+11n10+55n9+165n8
11i=1
n
i10+55i=1
n
i9+165i=1
n
i8+330i=1
n
i7+462i=1
n
i6+462i=1
n
i5+330i=1
n
i4+165i=1
n
i3+55i=1
n
i2+11i=1
n
i1+i
11i=1
n
i10+55(2n10+10n9+15n812n64 n5+10n43n2
20 )+165(10n9+45n8+40n730n652n5+20
90
11i=1
n
i10
=n11
+11n10
+55n9
+165n8
+330n7
+462n6
+462n5
+330n4
+165n3
+55n2
+11nn
112
(n2+n )556
(2n3+3n2+n )1654
(n4+2n3+n2 )11(6n5+15n4+10n3n )772
(2n6+6n5+5n4n2)
11i=1
n
i10=n11+n10(112)+n9(552 553)+n8(1654 1652 1654)+n7(2203 16566)+n6(33+55
11i=1n
i10=n11112
n102756
n9165n89133
n78252
n6+ 1213
n58912
n41543
n31654
n2556
n
i10=12n1166n10550n81980n83652n74950n6+484n5+5346n4616n3495n2110n
132
i=1
n
hi=.
n
i2..(resuelto por R$"$S #!ISP$% In/s 0i1ena)
SOLUCIO!:
Aplicandola12re&la telesc'pica &enerali3ada :
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
8/60
( ) ( ) ( ) ( )1 1n
i k
f i f i f n f k=
=
( ) ( )3
: 1donde f i i= +
( ) ( )3 33 3
1 1
n
i k
i i n k =
+ = +
3 2 3 3 2 33 3 1 3 3 1
n
i k
i i i i n n n k =
+ + + = + + +
2 3 2 33 3 1 3 3 1
n
i k
i i n n n k =
+ + = + + +
2 3 2 33 3 1 3 3 1
n n n
i k i k i k
i i n n n k = = =
+ + = + + +
( )2 2
2 3 2 33 3 1 3 3 1
2
n
i k
n k n k i n k n n n k
=
+ ++ + + = + + +
( )2 2 2 3 2 33 3 3 33 1 3 3 12 2 2 2
n
i k
i n k n k n k n n n k =
+ + + + + = + + +
2 3 2 3 2 23 3 3 33 3 3 1 1
2 2 2 2
n
i k
i n n n k n k n k n k =
= + + + + +
3 2 3 2
2
3 1 3 1
2 2 2 2
3
n
i k
n n n k k k
i=
+ + + =
( ) ( ) 3 22
1 2 1
6 3 2 6
n
i k
n n n k k ki
=
+ += +
ii=.
n
(i3 ) *(Resuelto por RO+RI)O R$)INAL+O%Cristhian A*)
SOLUCI!
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
9/60
Usando identidad:i4( i1 )4=i4(i1)4
Aplicando sumatorias:
[i4 (i1 )4
]=
i=.
n
[i4( i1 )4
]i=.
n
Aplicando la +eraRegla Telescpica -eneral en el +,miem#ro:
i=.
n
[ f(i )f( i1 )]=f(n )f(.1 )
Sea: f( i )=i4
f(n )=n
4
; f( .1 )= (.1 )
4
Rempla)ando:
f(n )f(.1 )=i=.
n
[ i4(i44 i3+6 i24 i+1)]
n4(.1 )4=
i=.
n
[4 i36 i2+4 i1 ]
n4(.1 )4=4
i=.
n (i3 )6i=.
n (i2 )+4i=.
n( i)
i=.
n(1 )
n4(.1 )4=4i=.
n
(i3 )6i=.
n
(i2 )+4 [n(n+1 ).(.1 )2 ](n.+1 )
n4(.1 )4=4i=.
n
(i3 )6[n (n+1 ) (2n+1 ).(.1 ) (2.1 )6 ]+4 [ n (n+1 ).(.1 )2 ](n.+1 )
n4(.1 )4=4i=.
n
(i3 )n (n+1 ) (2n+1 )+.(.1 ) (2.1 )+2n (n+1 )2.( .1 ) (n.+1 )
n4(.44.3+6.24.+1)=4i=.
n
(i3 )2n33n2n+2.33.2+.+2n2+2n2.2+2.n+.1
n4.4+4 .36 .2+4 .1+n.+1=4i=.
n
( i3 )2n3n2+n+2.35 .2+3.
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
10/60
n4.4+4 .36 .2+4 .+n.+2n3+n2n2.3+5.23.=4i=.
n
(i3 )
n4+2n3+n2.4+2.3.2
4
=
i=.
n
( i3 )
i=.
n
(i3 )=n2 (n2+2n+1 ).2 (.22.+1 )
4
i=.
n
(i3 )=n2 (n+1 )2.2 (.1 )2
4
r i=1
n
(ei
) .. (resuelto porCA!A"O#!ISP$ % Jose Rolando )
SOLUCI!
Aplicandola12re&latelesc'pica:
( ) ( ) ( ) ( )1
1 0
n
i
f i f i f n f=
=
( ) 1: idonde f i e +=
1 1
1
ni i n
i
e e e e+ +
=
=
( ) 11
1
ni n
i
e e e e+
=
=
( ) 11
1
ni n
i
e e e e+
=
=
( )( )
1
1 1
nni
i
e ee
e
+
=
=
ui=1
n
(sen (i )) ..(resuelto por R$"$S #!ISP$ % In/s 0i1ena)
SOLUCI!:
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
11/60
!sare1oslaidentidad:sen (a ) *sen (b )=1
2[cos (ab )cos (a+b )]
Sea :a=i ;b=1
2
Aplica1ossu1atoriasa a1bost/r1inos
(sen (i) * sin( 12 ))=12i=1n
[cos(i12 )cos(i+ 12 )]i=1
n
( sen ( i))=12i=1
n
[cos( i+12 )cos(i
12 )]
sen ( 12 )i=1n
( sen ( i))=i=1
n
[cos(i+12 )cos(i12 )]2 sen( 12 )i=1
n
Resol4e1osel se&undo 1ie1brode la ecuaci'n%usando :
i=1
n
( f( i)f( i1 ))=f(n )f(0 ) 1rare&latelesc'pica
Sea:f( i)=
cos
( i+1
2
) ; f( i1
)=cos
(i1
2
)i=1
n
[cos(i+ 12 )(cos(i12 ))]=cos(n+ 12 )cos( 12 )Por lo tanto :
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
12/60
( sen ( i))=i=1
n
[cos(i+ 12 )cos(i12 )]2sin ( 12 )
i=1
n
( sen ( i))=cos(n+ 12 )cos( 12 )
2sin (12 )i=1
n
4 i=1
n
senh (i ) *(Resuelto por RO+RI)O R$)INAL+O %Cristhian A *)
SOLUCI!:
Sa#emos:senh ( i )=
e iei
2
Rempla)ando
i=1
n
senh ( i )=i=1
n
( eiei
2 )
i=1
n
senh ( i )=i=1
n
(e i
2
ei
2
)i=1
n
senh ( i )=12i=1
n
(ei )12i=1
n
(ei )
'rimero $allamos
i=1
n
(ei )
Usando identidad:
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
13/60
e iei1=eiei1
Aplicando sumatorias:
[eie i1 ]=i=1
n
[e ie i1 ]
i=1
n
Aplicando la +eraRegla Telescpica -eneral en el +,miem#ro:
i=1
n
[ f(i )f( i1 )]=f(n )f(0 )
Sea: f( i )=ei f(n )=en ; f(0 )=1
Rempla)ando:
f(n )f(0 )=i=1
n
[e ie i1 ]
en1=i=1
n
(eie ie1 )
en1=i=1
n
(e i)1ei=1
n
(e i )
en
1=e1
e i=1n
(ei
)
i=1
n
( ei )=e(en1)e1
Segundo $allamos
i=1
n
(ei )
Usando identidad:eiei+1=eiei+1
Aplicando sumatorias:
[eiei+1 ]=i=1
n
[eiei+1 ]
i=1
n
Aplicando la +eraRegla Telescpica -eneral en el +,
miem#ro:
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
14/60
i=1
n
[ f(i )f( i1 )]=f(n )f(0 )
Sea: f( i )=ei f(n )=en ; f(0 )=1
Rempla)ando:f(n )f(0 )=
i=1
n
[eiei+1 ]
en1=i=1
n
( eiei e )
en1=i=1
n
( ei )ei=1
n
( ei )
en1=(1e )i=1
n
(ei )
i=1
n
( ei )=en11e
'or ultimo rempla)amos en:
i=1
n
senh ( i )=e (en1)2 (e1 )
en12 (1e )
i=1
n
senh ( i )= e (en
1)+( en
1 )2 (e1 )
II. REAS USA!"O SUMATORIAS:
1. Calcular el rea de la figura limitada por y=64552
4 y el eje de las abscisas.
(Resuelto por Rodrigo Reginaldo, Cristhian A.)
SOLUCIN:
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
15/60
alla!do los pu!tos de
i!tersecci"!:
0=64552
4
0=256552
4
0=5 (5256 )
Donde: 5=05=256
Sabemos #ue:
6 5=ban 6 5=
256
n
Ci=a+i 6 5Ci=256 i
n
f(Ci )=64 ( 256 in )( 256 in )
2
4 f(Ci)=
47642 in
4 7642i2
n2
Luego:
8rea=l91n {i=1
n
[ f(Ci ) ] 7 6 5}8rea=l91
n {i=1n
[47642i
n
47642i2
n2 ]( 256n)}8rea=l91
n: {( 256n) [47642
n i=1
n
( i)47642
n2
i=1
n
(i2 )]}
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8rea=l91n{( 256n)(4764
2
n )(n (n+1 )2 )( 256n)(47642
n2 )(n (n+1) (2n+1 )
6 )}8rea=l91
n
{(256727642 )
(
n+1
n)
(
256727642
3
)(
(n+1 ) (2n+1 )
n2
)}8rea=l91
n: {(237643 )(1+ 1n )(23 7643
3 )(1+ 1n )(2+ 1n )}8rea=23 7643+l91
n:( 2
37643
n )( 237643
3 )[(1+ l91n( 1n ))(2+l91n:( 1n ))]8rea=23 7643+0(2
37643
3 )[(1+0) (2+0 )]
8rea=23 76432( 23 7643
3 )8rea=
3723764324 7643
3
8rea=2097152
3u2
$. allar el rea compre!dida e!tre y=152 % y el eje
5 desde [3 ;3 ]
(Resuelto por Rodrigo Reginaldo, Cristhian A.)
SOLUCIN:El rea de esta funcin no se puede determinar ya ue se !a hasta el infinito en el
e"e y y en el e"e 5 % el rango dado no se interseca, por lo tanto su rea es
indeterminada
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17/60
&.Calcular el rea formada por y=senh (5 ); y el eje ' desde [5 %5 ]())))*+SU+L,O -O* *++S /UIS-+% I!0s ime!a2
6 5=(ba ) /n
6 5=5(5)
n =
10
n
Ci=a+(6 5 ) i
Ci=5+(10
n) i
f(Ci )=senh (5+10 in)8rea=l 9 1
n :[i=1n
(senh(5+ 10 in))( 10n)]
8rea=l 9 1n :(
10
n)[i=1n
(senh(5+ 10 in))]Si :senh (5+y )=senh (5 )*cosh (y )+senh (y ) *cosh (5 )
8rea=l 9 1n :
(10
n)[i=1
n
(senh (5 ) *cosh
(10 i
n)+senh
(10 i
n)*cosh (5 )
)]
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8rea=l 9 1n :(
10
n)[i=1n
(senh (5) *cosh ( 10 in))+i=1n
(senh( 10 in) *cosh (5))]8rea=l 9 1
n :
(
10
n)[senh (5 )
i=1
n
cosh
(
10i
n)+cosh (5 )
i=1
n
senh
(
10 i
n)]#allando:i=1
n
senh( 10 in)+ado :
cosh
(i+1
)cosh
(i1
)=cosh
(i+1
)cosh
(i1
) 1
$or la identidad.
cosh (A+, )=cosh (A )cosh ( , )+senh (A ) senh (, )2
cosh (A, )=cosh (A) cosh ( , )senh (A ) senh (, )3
Restando % y & se tiene.
cosh (A+, )cosh (A, )=2 senh (A ) senh ( , )
i=1
n
[cosh( 10 in + 10n)cosh ( 10in 10n)]=i=1n
2 senh( 10 in) *senh( 10n)
i=1
n
[cosh( 10 in + 10n)cosh ( 10in 10n)]=2 senh( 10n)i=1n
senh( 10 in)
Anali'ando el primer miemro.
f(i+1 )=cosh ( 10in + 10n)% f(i1)=cosh( 10 in 10n)
Entonces aplicamos la segunda regle telescpica.
f( n+1)=cosh(10n (n+1 ))+ f( n)=cosh (10) % f(1 )=cosh ( 10n ) % f(0)=1
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
19/60
i=1
n
[cosh( 10 in + 10n)cosh ( 10in 10n)]=2 senh( 10n)i=1n
senh( 10 in)
cosh
(10
n(n+1)
)+cosh (10)cosh
(10
n)1=2 senh
(10
n)i=1
n
senh
(10 i
n)
i=1
n
senh( 10 in)=cosh( 10n (n+1))+cosh (10)cosh ( 10n )1
2 senh(10
n)
#allando:
i=1n
cosh
(10 in)
senh ( i+1)senh ( i1 )=senh (i+1 )senh ( i1 ) .1
$or la identidad.
senh (A+, )=senh (A )cosh (, )+cosh (A ) senh (, ) ..2
senh (A, )=senh (A )cosh
( , )cosh
(A) senh (, ) .3
Restando % y & se tiene.
senh (A+, )senh (A, )=2cosh (A ) senh ( , )
i=1
n
senh( 10 in + 10n)senh (10 in 10n)=i=1n
2cosh( 10 in) *senh( 10n)
i=1
n
[senh(
10 in +10n)senh (
10 in 10n)]=
2 senh(10n)i=1
n
cosh
(10 in)
Anali'ando el primer miemro.
f(i+1 )=senh (10 in + 10n) % f(i1)=senh( 10 in 10n)
Entonces aplicamos la segunda regla telescpica.
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f( n+1)=senh( 10n (n+1 ))+ f( n)=senh (10) % f(1 )=senh ( 10n ) % f(0)=0
i=1
n
[senh
(10 i
n
+10
n)senh
(10 i
n
10
n)]=2 senh
(10
n)i=1
n
cosh
(10 i
n)senh ( 10n (n+1))+senh (10 )senh( 10n)0=2 senh( 10n)i=1
n
cosh ( 10in)
i=1
n
cosh ( 10 in)=senh ( 10n (n+1))+senh (10 )senh( 10n)0
2 senh (10
n )
8rea=l 9 1n :(
10
n)[senh (5 )i=1n
cosh ( 10in)+cosh (5 )i=1n
senh(10 in)]#allando el corchete:
8rea=l 9 1n :
(
10
n)[senh (5 )
(senh ( 10n (n+1))+senh (10 )senh( 10n)
2senh (10n )
)+cosh (5 )
(cosh (10n (n+1))+cos
2 sen
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3.+!co!trar el rea formada por y=sen (25 ) ; y el eje ' desde
[3 = %2 =] . ())))*+SU+L,O -O* *++S /UIS-+ % I!0s ime!a 2
6 5=(ba ) /n
6 5=2=(3=)
n =
5=n
Ci=a+(6 5 ) i
Ci=3 =+( 5 =n) i
f(Ci )=sen (2(3=+ 5 =in))
8rea=l 9 1n :[i=1
n
sen (2(3=+ 5=in))( 5=n)]8rea=l 9 1
n :(5 =n)[i=1
n
sen(2(3 =+ 5=in))]
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
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8rea=l 9 1n :(
5 =n)[i=1
n
sen(6 =+10=i
n )]
Si :sen (5+y )=sen (5 ) *cos (y )+cos (5) *sen(y)
8rea=l 9 1n :(
5 =n)[i=1
n
sen (6=)*cos( 10 =in )+cos (6=) *sen ( 10=in )]8rea=l 9 1
n :(5 =n)[ sen (6=)i=1
n
cos( 10=in )+cos (6 =)i=1n
sen( 10 =in )]
#allando:
i=1
n
sen( 10=in )+ado:
cos ( i+1 )cos (i1 )=cos ( i+1 )cos ( i1 )1
$or la identidad.cos (A+, )=cos (A ) cos (, )sen (A ) sen ( , ) 2
cos (A, )=cos (A )cos ( , )+sen (A ) sen ( , ) 3
Restando % y & se tiene.
cos (A+, )cos (A, )=2 sen (A ) senh ( , )
i=1
n
[cosh(10 =i
n +
10=n)cosh( 10=in 10=n)]=i=1
n
2 senh( 10 =in )* senh( 10=n)
i=1
n
[cosh( 10 =in + 10=n)cosh( 10=in 10=n)]=2 senh( 10 =n)i=1n
senh( 10=in )
Anali'ando el primer miemro.
f(i+1 )=cosh (10=i
n +
10=
n) % f(i1)=cosh (
10 =i
n
10 =
n)
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Entonces aplicamos la segunda regle telescpica.
f( n+1)=cosh(10 =n (n+1 ))+ f(n )=cosh (10 =) % f(1 )=cosh ( 10=n ) % f(0 )=1
i=1
n
cosh( 10 =in + 10=n)cosh( 10=in 10=n)=2 senh( 10 =n)i=1n
senh( 10=in )
cosh ( 10=n (n+1))+cosh (10 =)cosh ( 10=n)1=2 senh ( 10=n)i=1n
senh( 10=in )
i=1
n
senh
(
10=i
n )=
cosh( 10=n (n+1 ))cosh (10=)+cosh ( 10 =n)+12 senh (
10 =n )
#allando:
i=1
n
cosh ( 10 =in )senh ( i+1)senh ( i1 )=senh (i+1 )senh ( i1 ) .1
$or la identidad.
senh (A+, )=senh (A )cosh (, )+cosh (A ) senh (, ) ..2
senh (A, )=senh (A ) cosh ( , )cosh (A) senh (, ) .3
Restando % y & se tiene.
senh (A+, )senh (A, )=2cosh (A ) senh ( , )
i=1
n
[senh( 10 =in + 10=n)senh ( 10=in 10 =n)]=i=1n
2cosh ( 10=in ) *senh( 10 =n)
i=1
n
[senh( 10 =in + 10=n)senh ( 10=in 10 =n)]=2 senh (10 =n )i=1n
cosh ( 10=in )
Anali'ando el primer miemro.
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
24/60
f(i+1 )=( 10=in +10 =n) % f( i1 )=( 10 =in 10=n)
Entonces aplicamos la segunda regla telescpica.
f( n+1)=senh( 10 =n (n+1 ))+ f(n )=senh (10 =) % f(1 )=senh ( 10=n ) % f(0 )=0
i=1
n
[senh( 10 =in + 10=n)senh ( 10=in 10 =n)]=2 senh (10 =n )i=1n
cosh ( 10=in )
senh ( 10=n (n+1 ))+senh (10=)senh ( 10=n )=2 senh (10 =n)i=1n
cosh ( 10=in )
i=1
n
cosh ( 10 =in )=senh( 10 =n (n+1 ))+senh (10 =)senh (10 =n)
2 senh( 10 =n )
8rea=l 9 1n :(
5 =n)[ sen (6=)i=1
n
cos( 10=in )+cos (6 =)i=1n
sen( 10 =in )]#allando el corchete:
8rea=l 9 1n :
(5 =n)[ sen (6 =) * senh(10=
n (n+1 ))+senh (10 =)senh( 10=n)
2 senh( 10=n) +cos (6 =) *
cosh ( 10=n (n
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4. Calcular el rea compre!dida e!tre y=538 5 y eje desde [4,5 ]
(Resuelto por Chahuayo uispe, *os+ R.)
-/C012:
De: 0=538
0=(5+2 )(5245+4)
5=2
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#allando A1 [4 ;2 ]
6 5=ba
n
=2
n
ci=a+i 6 5=4+2 i
n
f(ci)=
[(4+
2i
n)
3
+8
]A
1=l 9 1n :
i=1
n
f(c i) 6 5
A1=l 9 1n:
i=1
n
{[(4+ 2in)3
+8]2n }
A1=l 9 1n :
i=1
n
{[(2 i4 n
n )3
+8]2n}
A1=l91
n :i=1
n
[(8 i364n348n i2+96n2 i+8n3
n3 )2
n ]A1=l91
n :i=1
n
(16i3112n396n i2+192n2i
n4 )
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
27/60
A1=l91n :
i=1
n
(16i3
n4
112
n 96
i2
n3+192
i
n2 )
A1=
[l91n :
16
n4 i=1n
i
3
l91n :112
n i=1n
1 l91n :96
n3 i=1n
i
2
+ l91n :192
n2i=1n
i
]A1=[16l91n : n
2 (n+1 )2
(4 ) n4 112 l91
n:
nn96l91
n :
n (n+1 ) (2n+1 )
(6 )n3 192 l91
n :
n (n+1 )
(2 )n2 ]
A1=[4 l91n: (n2+2n+1)
n2 112l91
n :116 l91
n :
(n+1 ) (2n+1)
n2 +96 l91
n :
(n+1 )n ]
A1=[4 l91n:(1+ 2n + 1n2 )112 l91n :116l91n :(1+ 1n )(2+ 1n )+96 l91n :(1+ 1n )]A1=[4 (1 )112 (1 )16 (2 )+96 ]
A1=[44 ]
A1=44u2
#allando A2 [2 ;0 ]
6 5=ba
n =
2
n ci=a+i 6 5=2+
2 in f(ci)=[(2+ 2in)
3
+8]
A2= l91n :i=1
n
f( c i) 6 5
A2= l91n :
i=1
n
{[(2+ 2 in)3
+8]2n}
A2= l91n :
i=1
n
{[( 2i2nn )3
+8 ]2n }
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28/60
A2=l91
n :i=1
n
[(8 i38n324n i2+24 n2i+8n3
n3 )2
n ]
A2= l91n :i=1
n
(16i348n i2+48n2i
n4 )A2= l91
n :i=1
n
(16i3
n4
48 i2
n3 +
48 i
n2 )
A2=[ l91n : 16n4 i=1n
i3 l91n :
48
n3i=1
n
i2+ l91n :
48
n2i=1
n
i ]
A2=[16l91n : n2 (n+1 )2
(4 ) n4 48l91
n :
n (n+1 ) (2n+1 )
(6 )n3 +48 l91
n :
n (n+1 )
(2 )n2 ]A2=[4 l91n :(n
2+2n+1n2 )8l91n :
(n+1 ) (2n+1 )
n2 +24l91
n :
(n+1)n ]
A2=
[4 l91
n :(1+2
n+1
n2 )8 l91n :(1+1
n )(2+1
n )+24l91n :(1+1
n )
]A2=[4 (1 )8 (2 )+24 (1 )]A
2=[12 ]
A2=12u2
#allando A3 [0 ;5 ]
6 5=ba
n =
5
n ci=a+i 6 5=0+
5 in f(c i)=[( 5in)
3
+8 ]
A3= l91
n :i=1
n
f( c i) 6 5
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
29/60
A3= l91n :
i=1
n
{[( 5in)3
+8]5n }
A3= l91n :i=1n
[(125 i3+8n3
n3 )5
n
]A
3= l91n :
i=1
n
(625i3+40n3
n4 )
A3=[ l91n : 625n4i=1n
i3+ l91n :
40
n
i=1
n
1]
A3=[625l91n : n2 (n+1 )2
(4 ) n4 +40 l91
n:
nn ]
A3=[6254 l91n :(n
2+2n+1n2 )+40 l91n :
nn ]
A3=
[
625
4 l91
n :
(1+
2
n+1
n
2
)+40 l91
n:1
]A3=[6254 (1 )+40 (1 )]
A3=[7854]
A3=785
4
u2
Entonces el rea total es:
AT=A1+A2+A3
AT=44+12+785
4
AT=1009
4 u2
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
30/60
6. Calcular el rea compre!dida e!tre y=52+16 ; y=52+9*
(Resuelto por Chahuayo uispe, *os+ R.)
SOLUCIN:
#allando los puntos de interseccin en 0=25225 :
0=(255 ) (25+5 )
5= 5
2; 5=
5
2
#allando A1
f(5 )=252+25 [0 ; 52 ]
6 5=ba
n
= 5
2n
c i=a+i 6 5= 5i
2n
f(ci)=
(
5 i
2n )
2
+25
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
31/60
A1= l91
n :i=1
n
f( c i) 6 5
A1
= l91n :i=1
n
{[
( 5 i
2n )
2
+25
] 5 i
2n }A1= l91
n :i=1
n
{[25 i2
2n2 +25] 5 i2n }
A1= l91
n :i=1
n
[125 i2+125n2
22n2 ]
A1=125
22l91n :i=1
n
(n2i2
n2 )
A1=125
22 [ l91n:i=1n
n2
n2 l91
n:i=1
ni2
n2 ]
A1=125
22 [ l91n:i=1n
1 l91n :
i=1
n n ( n+1 ) (2n+1 )
(6 ) n2 ]A1=
125
22 [11
3 ]
A1=125
32u2
Entonces el rea de la figura es:1=A2
A
AT=A1+A2
AT=250
3 2u2
III. AREAS USA!"O I!TE-RALES SIM'LES:+/ Todo 0II/
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
32/60
1.1 Calcular el rea de la fgura limitada por
y=64552
4 y el eje de las abscisas.
SOLUCI!:
64552
4=0
256552
4 =0
5 (2565)4
=0
5=2565=0
-r12ca:
Integracin Simple:
(64552
4)
0
256
640
256
5140
256
52
6452
2|0
256
512
3|0
256
32(2562 )(256
3
12 )
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
33/60
12 (2097152 )1677721612
=2097152
3u2
1.2 Hallar el rea comprendida entre y=1
52 , y el eje 5
desde [3 ;3 ] . (Resuelto por C$a$ua3o 4uispe5 &os6
RolandoSOLUCI!:
'ara: y=1
52; 52R
!o cual indica "ue 5=0 en una as#ntota entonces no e$iste
intersecci%n con el eje entonces el dominio est dado por[3 ;0>
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
34/60
A1=
5
0
sinh5
A1=[ cosh5 ]50
A1=cosh (0 )cosh (5)A1=cosh (0 )cosh (5)
coshu=eu+eu
2
A1=e0+e0
2
e5+e5
2
A1=1
e5(e10+1)2
A1=1(e10+1)
2e5
Reempla)ando el 7alor de: e=2.718
A1=1(2.71810+1)
2 (2.718 )5
A1=73.171u2
'ero como el 1rea no puede ser negati7o:A1=73.171u
2
A2=0
5
sinh5
A1=[ cosh5 ]05
A1=cosh (5 )cosh (0)
coshu= eu+eu
2
A1=e5+e5
2
e0+e0
2
A1=e5+e5
2 1
A1=
e5(e10+1)2
1
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
35/60
A1=(e10+1)
2e5 1
Reempla)ando el 7alor de: e=2.718
A1=(2.71810+1)
2 (2.718)5 1
A1=73.171u2
AT=A1+A2
AT=73.171+73.171
AT=146.342u2
1.) &ncontrar el rea 'ormada por y=sin (25 ) , y el eje 5
desde [3 =;2 =]
SOLUCI!:
sin(25)d5
4=25
d4=2d5
sin (25 )=12 sin (25 )(2d5)
sin (25 )=1
2 sin (4 ) d4
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
36/60
sin (25 )=12cos (4 )+c
sin (25 )=12cos (25 )+c
A1=
3=
5=/2
sin(25)
A1=[12 cos(25 )]3=
5=/2
A1=1
2
cos2
(5 =
2
)+1
2
cos2 (3=)
A1=1
2cos (6 =)
1
2cos (5 =)
A1=1
2+1
2=1
A2=5=/2
2=
sin(25) A2=[
1
2 cos
(25 )]
5=/2
2=
A2=12 cos2 (2 =)+
1
2cos2 (
5=2 )
A2=1
2cos (5 =)
1
2cos (4 =)
A2=
1
2
1
2=1=1
A3=
2=
3=/2
sin(25) A3=[12 cos (25 )]2=3=/2
A3=12 cos2(3=2 )+ 12 cos2 (2=)
A3=12 cos (4 =)12 cos (3=)
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
37/60
A3=1
2+1
2=1
A4=3=/2
=
sin (25 )
A4=[12 cos(25)]3=/2=
A4=
12
cos2 (=)+1
2cos2 (
3=2
)
A4=
1
2
cos (3=)1
2
cos (2=)
A4=12
1
2=1=1
A5=
=
=/2
sin (25) A5=[12 cos(25 )]==/2
A5=
12 cos2
(=2
)+1
2cos2 (=)
A5=1
2cos (=)
1
2cos( =2)
A5=1
2+1
2=1
A6= =/2
0
sin (25) A6=[12 cos (25)]0
=/2
A6=12 cos2 (0 )+
1
2cos2 (
=2 )
A6=
1
2cos (=)
1
2cos (0 )
A6=12 12=1=1
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
38/60
A7=0
=/2
sin (25) A7=[12 cos (25)]0=/2
A7
=1
2 cos2 (0 )+
1
2cos2 (
=
2)
A7=1
2cos (0)
1
2cos ( =)
A7=12
1
2=1=1
A8
=
=/2
=
sin (25)
A8=[12 cos (25)]=/2=
A8=
12
cos2 (=)+1
2cos2 (
=2)
A8=
1
2 cos (=)
1
2 cos (2 =)
A8=12
1
2=1=1
A9= =
3=/2
sin (25)
A9=[12 cos(25)]=
3=/2
A9=12 cos2(3 =2)+ 12 cos2 (=)
A9=1
2cos (2=)
1
2cos (3 =)
A9=1
2+1
2=1
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
39/60
A10= 3=/2
2=
sin(25)
A10
=
[1
2 cos(25 )
]3=/2
2=
A10=12 cos2 (2=)+ 1
2cos2 (
3 =2 )
A10=
1
2cos (3 =)
1
2cos (4 =)
A10=1
2
1
2
=1=1
AT=10 (1 )
AT=10u2
1.* Hallar el rea comprendida entre y=538 , y el eje 5
desde [4 ;5 ] ...(Resuelto por Chahuayo Quispe, Jos
Rolando )SOLUCI!
"e: f(5 )=538
5=2con 5 desde [4 ;5 ]
5 [4 ;2 ] [2 ;0 ] [0;5 ]
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
40/60
8allando: A1
A1=4
2
(538)d5
A1=54
4| 2
485|24
A1=
(2 )4(4 )4
4 8 (2+4 )
A1=240
4 16
A1=44u2
8allando: A2
A2=2
0
(538 )d5
A2=54
4| 0285| 02A2=
(0 )4(2)4
4 8 (0+2 )
A2=164 16
A2=12
A2=12u2
8allando: A3
A3=0
2
(538 )d5
A3=54
4| 5085|50A3=
(5 )4(0 )4
4 8 (50 )
A3=625
4 40
A3=785
4
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
41/60
A3=785
4 u2
Entonces el 1rea total es:
AT=A1+A2+A3 AT=44+12+785
4
AT=1009
4 u2
1.+ Hallar el rea comprendida entre y=arctan (5 ) , y el eje 5 desde
[5 ;5 ] ..(Resuelto por Rodrigo Reginaldo, Cristhian A.)
SOLUCIO!:
reaT=A1+A2
8allando A1
A1=5
0
arctan (5 ) * d5
'or partes:u=arctan (5 )d5=d4
du=dd5
arctan (5 )d5= d4
du= 1
1+52d5 5=4
arctan (5 ) * d5=5arctan (5 )5
(
1
1+5
2
)d5
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
42/60
arctan (5 ) * d5=5arctan (5 )( 51+52 )d5
'or sustitucin:
u1=1+52
du1=25d5
d5=du125
arctan (5 ) * d5=5arctan (5 )
(5
u1)
du1
25
arctan (5 ) * d5=5arctan (5 )12(1u1)du1
arctan (5 ) * d5=5arctan (5 )12ln (u1 )
arctan
(5 ) * d5=5arctan (5 )
1
2ln
(1+5
2
)
"nde :
5
0
arctan (5 ) * d5=[5arctan (5 )12ln (1+52 )]50
A1=[5arctan (5 )12 ln (1+52 )]50
u2
A1=[0+5arctan
(5
)+
1
2ln
(1+ (
5)
2
) ]5
0
u
2
A1=[06.867+1.629] u2
A1=1062
125u2
9inalmente:
8reaT=2A1
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
43/60
8reaT=2124
125u2
1.. Hallar el rea comprendida entre y=52
9 ,y=52+16 , y el eje 0 desde [3,6 ]
(. -esuelto por H/0/ 3/-/4/ 5bedSOLUCI!
'ara el gr12co:
6gualamos ambas 'unciones para saber cules son lospuntos "ue tienen en com7n. &ntonces:
529=52+16
25225=0
5=>3,535
&l primer punto en com7n ser: (3,535 ;3,496 )
&l segundo punto en com7n ser: (3,535 ;3,496 )
'ara $allar el 1rea integraremos restando las
funciones:
3,535
3,535
[ (52+16)(529)]d5
3,535
3,535
(252+25) d5
[253
3+255 ]
3,535
3,535
u2
[58,92(58,92 )]u2
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
44/60
117,84u2
1.18 Hallar el rea comprendida entre y=59,y=e5
, y el
eje 5 desde [3 ;6 ] .(Resuelto por Chahuayo Quispe,
Jos Rolando )SOLUCI!
8allando: A1
A1=3
0
(e5 )d5
A1=e5| 0
3
A1=(e0e3 )
A1=1+1
e3
A1=11
e3u2
8allando: A2
A2=0
6
(e55+9 )d5
A2=e5| 6
053 /2|6
0+95|6
0
A2=(e6e0 )(63 /203 /2 )+9 (60 )
A2=1
e6+166+54
A2=1
e6+166+54u2
&ntonces el rea total es: AT=A1+A2
AT=11
e3
1
e6+166+54u2
AT=(56 2e666)u2
2 Hallar el rea de la regi%n 'ormada por
y2=165254 ;2552+16y2=400
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
45/60
SOLUCI!:
8allando los puntos de: y2=165254
y=165254
y=5 1652
5=01652?0
5=0(54 ) (5+4 )?0
5=0 (54 ) (5+4 )@0
5=05 [4 ; 4 ]
8allando los puntos de: 2552+16y2=400
y=
400255
2
16
4002552
16?0
(5520 ) (55+20 )?0
(5520 ) (55+20 ) @0
5[45 ;45] 8allando los puntos de interseccin:
y2=165254 ;2552+16y2=400
2552+16 (165254 )=400
281521654=400
165428152+400=0
(5216) (165225 )=0(45+5 ) (54 ) (455 ) (5+4 )=0
5=45=45=54 5=
5
4
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
46/60
8allando: A1
f(5 )=165254[0 ;54 ]
6 5=ban = 5
4 n ci=a+i 6 5= 5 i
4nf(c i)=5 in
16(5 in)
2
A1= l91
n :i=1
n
f( c i) 6 5
A1= l91n :
i=1
n {[ 5 in16( 5 i4n )2] 54 n }
A1= l91n :
25
4
i=1
n
[ in2 16( 5 i4n )2]
8allando: A2
f(5 )=51652[ 54;4 ]
6 5=
ba
n =
11
4 n
ci=a+i 6 5=
5
4 +
11i4 n
f(c i)=5
16(
5
4 +
11i4n)
2
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
47/60
A2= l91
n :i=1
n
f( c i) 6 5
A2= l91n :
i=
1
n
{[5 in
16( 54 + 11
i4n)
2
]11
4 n
}A2= l91n :
55
4
i=1
n
[ in2 16( 54 + 11i4n)2]
"onde el 1rea total es:AT=4 (A1+A2 )
AT=4 ( l91n : 254i=1n [ in2 16( 5 i4n )
2]+ l91n: 554i=1n [ in2 16( 54 + 11i4n)
2])AT=25 l91
n:i=1
n
[ in2 16( 5 i4 n )2
]+55l91n :i=1n
[ in2 16(54 +11i4 n )2
]9 Hallar el rea de la regi%n 'ormada por y
2=542552 ; 52+y2=36
(resuelto por &D&; !5
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
48/60
8allando los puntos de interseccin5 igualamos las dosecuaciones:
y2=542552 ; 52+y2=36
542552=3652
54245236=0
5=b >b
24ac2a
5=(24 )>(24)
24(1)(36)
2(1)
5=24>125
2
51=12+65 ; 52=1265
Entonces:
5 52
25[3652]d5
A1=
5
6
5 52253652
[ ]d55
6
A1=5
6
Resol7emos las integrales por sustitucintrigonom6trica:
55225
[]d5
5
6
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
49/60
55=sec
5=5 sec
d5=5 sec*tand
Reempla)ando:
5sec 25 sec225[(5 sectand)]
5
6
sec[sec25( 21) (sectand )]
255
6
sectan2
[ (sectand )]
25(5)5
6
sectan[ (sectand )]
25(5)5
6
25(5)5
6
sec2 tan2d
25(5)5
6
sec2 (sec 21)d
sec 4d25(5)5
6
sec2d
25(5)5
6
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
50/60
25 (5 )5
6
sec2sec2d25(5)5
6
sec2d
25
(5
)5
6
sec2 (tan2 +1)d25(5
)tan
25 (5 )5
6
sec2 tan2d+25 (5 )5
6
sec2 d25 (5 )tan
25 (5 )5
6
sec2 tan2d+25 (5 ) t&25 (5 ) tan
25 (5 )5
6
tan2d (t&)
[125tan3 ]56
Rempla)ando la tan3 :
[125
3
((5225)
3
53
)]5
6
(6225)3
3
(25225 )
3
3
11113
3652
[]d5
5
6
cos=3652
6
sin=56
5=6 sin
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
51/60
=acrsin(56 )
d5=6 cosd
Rempla)ando:
3652
[ ]d5=5
6
6cos .6cos d
5
6
5
6
36cos2 d
5
6
36cos2 d
cos2=
1+cos22
5
6
36.1+cos2
2 d
185
6
cos2 d
18[5
6
d+5
6
cos2 d ]18[+ 12 sin2 ]5
6
sin 2=2 sincos
18[+ 12 .2 sincos]56
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
52/60
18 [+sincos ]56
Rempla)ando los 7alores 3a o#tenidos:
18[arcsin (56 )+56*
36526 ]5
6
[18arcsin(56 )+5
36522 ]5
6
18arcsin( 66 )+ 63662
2 [18arcsin( 56 )+ 5365
2
2 ]1620 [1024.26 ]=595.74
A1=11113
+595.74
A1=607.9
AT=2(607.9)u2
Hallar el rea de la regi%n 'ormada por y= 16
52+1 , y el eje0
desde [6,10 ] (.resuelto por H/0/6 3/-/4/ 5bedSOLUCI!:
'ara el gr12co:
!a 7nica restricci%n de la 'unci%n ser#a:52+1B0
52B1
3 pues siendo una 'unci%n cuadrada nunca llegar#a a ser
negati=a
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
53/60
'ara $allar el 1rea integraremos la funcin:
6
0
( 1652+1 )d5+010
( 1652+1 )d5&mpecemos por:
6
0
( 1652+1 )d5trica:
?eniendo de la 'orma : u2+a2 , usaremos: u=a tan
&n ese caso tenemos:5= tan
d5=( sec )2d
cos= 1
52+1
(cos )2= 1
52+1
&ntonces aplicamos:
166
10
( 1
52+1 )d516 (cos )2 (sec )2 d
16 d
16 ( )=16arctan (5 )
16 [arctan (5 )]60
16 [arctan (0 )arctan (6 )]
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
54/60
16[0(80,53o 7 =180o )]16
[0
(80,53o 7
=
180o
)]16 [1,405 ] u26
10
( 1652+1 )d5=22,48u2!uego @allamos:
0
10
( 1652+1 )d5Como ya sabemos el resultado de la integral:
16
52+1d5=16 arctan (5 )
&ntonces aplicamos a la integral:
0
10
( 1652+1 )d516 [arctan (5 )]0
10
16 [arctan (10)arctan (0 )] u2
16 [84,289o0 ]u2
16[84,289o 7 =180o ]u216 [1,471 ] u2
0
10
( 1652+1 )d5=23,536 u2
Luego sumamos am#as integrales:
6
0
( 1652+1 )d5+010
( 1652+1 )d5
(22,48+23,536 ) u2
46,016u2
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
55/60
) Hallar el rea de la regi%n 'ormada por
y=|5265+10|; 5=10 ; 5=16 ; y=0 .(Resuelto por Ramos
Palomino, Jhordy Maycol)SOLUCI!:
|5265+10|={5265+10 ; si 5265+10?0
52+6510 ;s i5265+10
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
56/60
A1=2=
=
sen (5 ) * d5
A1=[cos (5 )]2==
u2
A1=[cos (=)cos (2=)]u2
A1=[11 ] u2
A1=2u2
7i!alme!te:8reaT=4A1
8reaT=8u2
3) #allar el rea de la regin formada por y=cos (5 ) ; 5=3= % 5=5= % y=0
SOLUCIN: I!tegraci"! Simple:
169=2
5=
( cos5 )
16sen 5|9=2
5=
16 [sen (5 =)sen(9 =2 )]
16 [0(1)]=16u2
44)#allar el rea de la regin formada por 52
3+y2
327=0
0;;;..
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
57/60
A1=0
a
(a2
352
3)3
2
d5
acemos la sustituci"! trigo!om0trica:
5=a t3
d5=3at2 dt
Los lmites de i!tegraci"! so!:
5=0 % t=0
5=0 % t=1
+!to!ces se tie!e:
0
1
(a2
352
3)3
2
(3at2 dt)=3a20
1
(1t2)3
2 dt
acemos u!a 8e; ms la sustituci"! trigo!om0trica:
t=sin
dt=cos
Sus lmites de i!tegraci"! ser!:
t=0 % =u
t=1 %==2
Se tie!e:
(1sin2 )3
2 sincosd=3a20
=2
cos3 sin2cosd
3a20
=2
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
58/60
(1sin2 )3
2 sincosd=3a20
=2
cos4 sin2 d
3a2
0
=2
(1sin2 )3
2 sincosd=3a2
8
0
=2
(1cos2)2 (1+cos2 ) d
3a20
=2
(1sin2 )32 sincosd=
3a2
8
0
=
2
(1cos2cos22+cos3 ) d
3a20
=2
d0
=2
cos21
20
=2
(1+cos2 )+0
=2
cos2(1sin22)d
0
=
2
3a20
=2
(1sin2 )3
2 sincosd=3a2
8
d1
20
=2
cos2d (2)1
20
=2
d1
40
=2
cos2d (2 )+1
20
=2
cos2d (2)1
20
=2
sin2d (sen2)
0
=2
3a20
=2
(1sin2 )3
2 sincosd=3a2
8
3a20
=2
(1sin2 )3
2 sincosd=3a2
8[12 sen2+ 12 14 sen 2+ 12 sen213 sin3 ]0=/2
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
59/60
3a20
=2
(1sin2 )3
2 sincosd=3a2 =32
A1=3
a
2
=32
AT=4 (3a2 =32
)
AT=3 a2 =
8
*eempa;a!do el 8alor de a:
52
3+y2
3=a2
3
+l 8alor apro'imado de ! la grfica es de 1&?:
52
3+y2
3=1402
3
AT=
3 (140)2 =
8
AT=7350= u2
4%.Calcular el rea descrita por (524 )2 (y4 )2=100
()). resuelto por C@U@O /UIS-+% ABose2
SOLUCIN
9espeja!do < y =% te!emos:
(524 )2 (y4 )2=100
(y4 )2=(524 )2100
y4=>(524)2
100
y=>(524 )2100+4
7/21/2019 PRIMERA PRACtica de Analisis3
60/60
alla!do el domi!io:
(524 )2100?0
(52
4 )2
?100
524?10 ; 524 ?10
52?14 ; 52?6
5@145 ?14 ; 52 ?6
;14+> 52R
14 ;:
5
14 ;:
5