Probabilidad 27-09-2015

Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III

Sandra Vergara CardozoProbabilidad y Estadıstica Fundamental Grupo I

Universidad Nacional de Colombia

27 de septiembre de 2015

Tabla de Contenido

Elementos del analisis combinatorio

Principios de conteo

Formula de la multiplicacion

Permutaciones con Repeticion

Permutaciones

Permutaciones sin Repeticion

Combinacion

Combinacion sin repeticion

Tabla de Contenido

Probabilidad

Conceptos iniciales

Espacio de medida de probabilidad

Medida de probabilidad condicional

Probabilidad Subjetiva

Regla de la Suma

Regla de la Multiplicacion

Probabilidad Conjunta

Teorema de Bayes

Bibliografia

Lind, Marchal, Mason. Estadıstica para administracion yeconomıa.

Mongomery D. Estadıstica aplicada a la Ingenierıa.

Blanco, Liliana. Probabilidad.

Canavos. Probabilidad y Estadıstica

Podrıamos contar

Numero de alumnos por grupo

Numero de llamadas telefonicas recibidas en una oficina pordıa.

Numero de autos que transitan en la semana en la ciudaduniversitaria, sede Bogota

Podrıamos contar

Cuantos numeros de 3 (tres) cifras se pueden formar con losdıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losdıgitos. . .

Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..

Para responder las preguntas

“Cuantos”

“ Cual es el numero“

Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.

Hay varias posibilidades cuales son ?

“Cuantos”

Supongamos que el tren de pasajeros de la sabana tiene 4vagones disponibles y necesitamos saber el numero de formasen que 3 pasajeros pueden ser asignados a los cuatro vagones,de manera que dos de los pasajeros no viajen juntos

4× 3× 2 = 24

Son 24 formas las que tenemos que asignar los cuatrosvagones a los tres (3) pasajeros, de manera que no viajen dosde ellos juntos.

Halle los numeros de cinco cifras que se pueden formar con losdıgitos del 0 al 9 que sean multiplos de 5 y donde no sepueden repetir los dıgitos

4× 3× 2 = 24

Hay 6048 numeros de cinco (5) cifras todas diferentes y que sonmultiplos de cinco (5).

6× 7× 8× 9× 2 = 6048

Si el numero de resultados posibles de un experimento es pequeno,resulta relativamente facil contarlos.

Ejemplo del dado :

Si el numero de resultados posibles de un experimento es pequeno,resulta relativamente facil contarlos.

Ejemplo del dado :

Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otraexistiran mxn formas de hacer ambas.

Numero total de arreglos = (m)× (n)

Para tres eventos :

Numero total de arreglos = (m)× (n)× (o)

Para tres eventos :

Un vendedor de automoviles desea anunciar que por $23.000.000,usted puede comprar un auto convertible, sedan 2 puertas o unmodelo de 4 puertas, y ademas puede elegir si desea que los rinessean solidos o deportivos. Cuantos arreglos diferentes de modelos yrines puede ofrecer el comerciante?

Podemos utilizar la formula de la multiplicacion para verificar (m:numero de modelos, n: tipo del rin)

Total de arreglos posibles = (m)× (n) = (3)× (2) = 6

Si el orden no importa, es una combinacion.

Si el orden sı importa es una permutacion.

“ Si una operacion o un proceso consiste de n diferentes pasos , delos cuales el primero puede ser realizado de p1 formas, el segundode p2 formas , el tercero de p3 formas ,. . . , y el k-esimo de pkformas.

La operacion se puede realizar

p1 × p2 × . . . .× pk formas

Un estudiante tiene 8 pantalones diferentes y 10 camisas diferentes¿ De cuantas maneras puede vestirse de manera diferente ?

Rta. a

Un restaurante ofrece tres sopas diferentes, 5 carnes, 4 postres, y 4tipos de bebida . ¿De cuantas formas podemos ordenar una comidacompleta consistente en una sopa, una carne, un postre y unabebida ?

Rta. b

Rta. a

Rta. b

Rta. a

Rta. b

Rta. a

Rta. b

Rta. A ( 8× 10 = 80)

Rta. B (3× 5× 4× 4 = 240)

Rta. A ( 8× 10 = 80)

Rta. B (3× 5× 4× 4 = 240)

Permutaciones con repeticion

Si elegimos n situaciones y elegimos r de ellas, las permutacionesposibles son:

n ∗ n ∗ n ∗ ...(r − veces) = nr

Serıan n posibilidades para la primera eleccion, consiguientemente

hay n posibilidades para la segunda eleccion, y ası sucesivamente.

n ∗ n ∗ n ∗ ...(r − veces) = nr

Hace algunos anos la empresa Wendy’s Hamburgers anuncio quetenıa 256 formas de preparar un hamburguesa. Usted puede elegiru omitir, cualquier combinacion de lo siguiente para suhamburguesa: mostaza, salsa de tomate, cebolla, pepinillos,tomate en rebanadas, aderezo, mayonesa y lechuga.

¿Es cierto lo que dice el anuncio? Indique como obtuvo surespuesta

Hace algunos anos la empresa Wendy’s Hamburgers anuncio quetenıa 256 formas de preparar un hamburguesa. Usted puede elegiru omitir, cualquier combinacion de lo siguiente para suhamburguesa: mostaza, salsa de tomate, cebolla, pepinillos,tomate en rebanadas, aderezo, mayonesa y lechuga.

¿Es cierto lo que dice el anuncio? Indique como obtuvo surespuesta

Usted puede elegir u omitir.

mostaza

salsa de tomate

Cebolla

pepinillos

tomate en rebanadas

Aderezo

mayonesa

lechuga

n es el numero de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)

mostaza

salsa de tomate

Cebolla

pepinillos

tomate en rebanadas

Aderezo

mayonesa

lechuga

mostaza

salsa de tomate

Cebolla

pepinillos

tomate en rebanadas

Aderezo

mayonesa

lechuga

mostaza

salsa de tomate

Cebolla

pepinillos

tomate en rebanadas

Aderezo

mayonesa

lechuga

mostaza

salsa de tomate

Cebolla

pepinillos

tomate en rebanadas

Aderezo

mayonesa

lechuga

mostaza

salsa de tomate

Cebolla

pepinillos

tomate en rebanadas

Aderezo

mayonesa

lechuga

mostaza

salsa de tomate

Cebolla

pepinillos

tomate en rebanadas

Aderezo

mayonesa

lechuga

mostaza

salsa de tomate

Cebolla

pepinillos

tomate en rebanadas

Aderezo

mayonesa

lechuga

mostaza

salsa de tomate

Cebolla

pepinillos

tomate en rebanadas

Aderezo

mayonesa

lechuga

Si se tiene el evento 1, ocurre n1 formas distintas y por cada unade ellas un evento 2 ocurre en n2 formas diferentes yası sucesivamente hasta el evento k, el numero de formas totalesposibles distintas de ocurrencia de todos los k eventos es.

n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk

Permutaciones sin repeticion

¿ Como puedes ordenar el numero de sillas en el salon de clases ?

60 ∗ 59 ∗ ... ∗ 1 =

Sean n enteros positivos:

Se define el factorial de n, denotado por n!, como:

n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1

Por definicion 0! = 1

n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!

n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1

n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!

n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1

n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!

n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1

n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!

n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1

n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!

Permutacion

Un arreglo o disposicion de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.

Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el numero totalde permutaciones distintas es:

nPr = n!(n−r)!

n, numero total de objetos.

r, numero de objetos seleccionados

el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.

Una permutacion es una combinacion ordenada.

Permutacion

nPr = n!(n−r)!

Permutacion

nPr = n!(n−r)!

Permutacion

nPr = n!(n−r)!

Permutacion

nPr = n!(n−r)!

Permutacion

nPr = n!(n−r)!

Permutacion

nPr = n!(n−r)!

Permutacion

nPr = n!(n−r)!

Permutacion

P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r) . . . (2)(1)=

(n − r)!

Permutacion

P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r) . . . (2)(1)=

(n − r)!

Permutacion

P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r) . . . (2)(1)=

(n − r)!

Permutacion

P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r) . . . (2)(1)=

(n − r)!

Permutacion

P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r) . . . (2)(1)=

(n − r)!

Permutacion

P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r) . . . (2)(1)=

(n − r)!

Permutacion

P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r) . . . (2)(1)=

(n − r)!

Permutacion

P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r) . . . (2)(1)=

(n − r)!

Ej: Con referencia al grupo de tres partes electronicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?

n=3, son 3 partes para ensamblar

r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular

nPr = n!(n−r)! = 3!

0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6

Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectronicas, denotadas por A, B, C

ABC ,BAC ,CAB,ACB,BCA,CBA

nPr = n!(n−r)! = 3!

0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6

nPr = n!(n−r)! = 3!

0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6

nPr = n!(n−r)! = 3!

0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6

nPr = n!(n−r)! = 3!

0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6

nPr = n!(n−r)! = 3!

0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6

nPr = n!(n−r)! = 3!

0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6

Ej: La empresa XYZ, tiene 8 tornos pero solo hay disponibles 3espacios en la zona de produccion. ¿En cuantas formas diferentesse pueden colocar los ocho tornos en los tres espacios disponibles ?

n=8, r=3

nPr = n!(n−r)! = 8!

5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336

Hay un total de 336 acomodos diferentes.

n=8, r=3

nPr = n!(n−r)! = 8!

5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336

n=8, r=3

nPr = n!(n−r)! = 8!

5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336

n=8, r=3

nPr = n!(n−r)! = 8!

5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336

Si nueve bolas distinguibles entre si son colocadas al azar encatorce (14) cajas, la probabilidad de que ninguna caja reciba masde una bola es :

Un ascensor inicia el recorrido con 10 personas y se detiene en 15pisos . Cual es la probabilidad de que maximo una persona deje elascensor en el mismo piso ?

Si nueve bolas distinguibles entre si son colocadas al azar encatorce (14) cajas, la probabilidad de que ninguna caja reciba masde una bola es :

Un ascensor inicia el recorrido con 10 personas y se detiene en 15pisos . Cual es la probabilidad de que maximo una persona deje elascensor en el mismo piso ?

Permutaciones sin repeticion de n elementos tomadostodos a la vez

De cuantas formas diferentes se pueden ordenar las letras delalfabeto PROBABILIDAD

12× 11 . . .× 1 = 12! = 479001600

Permutaciones sin repeticion de n elementos tomadostodos a la vez

De cuantas formas diferentes se pueden ordenar las letras delalfabeto PROBABILIDAD

12× 11 . . .× 1 = 12! = 479001600

Permutaciones sin repeticion de n elementos tomados de ren r

De cuantas formas diferentes se pueden sentar 6 alumnos en unsalon de clase de 45 puestos?

Permutaciones sin repeticion de n elementos tomados de ren r

De cuantas formas diferentes se pueden sentar 6 alumnos en unsalon de clase de 45 puestos?

Combinaciones

Recordando, el orden no importa, es una combinacion.

Con repeticion:

como billetes en tu billetera (10000,10000,50000,50000,50000)

Sin repeticion: como numeros del baloto (13,1,25,7,3,32,52)

Combinaciones

Con repeticion:

Combinaciones

Con repeticion:

Combinaciones

Con repeticion:

Combinaciones sin repeticion

Ası funciona el baloto. Los numeros se eligen de uno en uno, y sitienes los numeros de la suerte (en el mismo orden) GANASTE!

Combinaciones sin repeticion

Ası funciona el baloto. Los numeros se eligen de uno en uno, y sitienes los numeros de la suerte (en el mismo orden) GANASTE!

Si el orden sı importa (permutaciones).

Si el orden no importa (combinaciones).

Si el orden sı importa (permutaciones).

Si el orden no importa (combinaciones).

Se tomaron 3 colores diferentes

Amarillo

Las posibilidades son:

El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)

El orden no importa: (1 2 3)

Amarillo

El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)

Amarillo

El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)

Amarillo

El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)

Amarillo

El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)

Amarillo

El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)

Las permutaciones son 6 posibilidades.

Una manera facil de saber de cuantas maneras ”1 2 3”se puedenordenar.

3! = 3x2x1

Realicemos para 5 colores diferentes

3! = 3x2x1

Combinacion

Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, acualquier seleccion se le llama una combinacion.

nCr =n!

r !(n − r)!

nCr (r !) =n Pr =n!

(n − r)!

El numero de formas posibles de seleccionar r objetos de un totalde n, sin importar el orden.

Coeficiente binomial.

Combinacion

nCr =n!

r !(n − r)!

nCr (r !) =n Pr =n!

(n − r)!

Combinacion

nCr =n!

r !(n − r)!

nCr (r !) =n Pr =n!

(n − r)!

Combinacion

nCr =n!

r !(n − r)!

nCr (r !) =n Pr =n!

(n − r)!

Combinacion

nCr =n!

r !(n − r)!

nCr (r !) =n Pr =n!

(n − r)!

Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamano r

0 ≤ r ≤ n

El numero de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse

con la formula:

nCr =n!

r !(n − r)!

4C3 =4!

3!(4− 3)!= 4

El numero de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total

de 4, sin importar el orden.

0 ≤ r ≤ n

con la formula:

nCr =n!

r !(n − r)!

4C3 =4!

3!(4− 3)!= 4

0 ≤ r ≤ n

con la formula:

nCr =n!

r !(n − r)!

4C3 =4!

3!(4− 3)!= 4

0 ≤ r ≤ n

con la formula:

nCr =n!

r !(n − r)!

4C3 =4!

3!(4− 3)!= 4

0 ≤ r ≤ n

con la formula:

nCr =n!

r !(n − r)!

4C3 =4!

3!(4− 3)!= 4

0 ≤ r ≤ n

con la formula:

nCr =n!

r !(n − r)!

4C3 =4!

3!(4− 3)!= 4

Ej: Los ejecutivos C,D,F han se de ser elegidos como comite paranegociar una fusion de empresas, solo existe una combinacionposible de estos tres. El comite formado por C,D,F equivale alintegrado por D,F,C .

3C3 =3!

3!(0)!= 1

Ej: Los ejecutivos C,D,F han se de ser elegidos como comite paranegociar una fusion de empresas, solo existe una combinacionposible de estos tres. El comite formado por C,D,F equivale alintegrado por D,F,C .

3C3 =3!

3!(0)!= 1

Ej: A un departamento de mercadotecnia se le ha disenado quedisene codigos de colores para las 42 lıneas de discoscompactos(CD) que comercializa la empresa EWQ.

Se van a utilizar 3 colores en cada lınea de CD , pero unacombinacion de tres colores que se utilizan en una lınea no puedenno puede reordenarse y utilizarse para identificar otra lıneadiferente.

Esto significa que si se usaran los colores amarillo, verde y violeta(o cualquier otra combinacion de estos tres colores) no se podrıaemplear para identificar otra lınea. ¿Seran adecuados siete coloresformados tres a la vez para codificar adecuadamente las 42 lıneas ?

El numero de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un totalde 7, sin importar el orden.

7C3 =7!

3!(7− 3)!= 35

7P3 =7!

(7− 3)!=

El numero de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un totalde 7, sin importar el orden.

7C3 =7!

3!(7− 3)!= 35

7P3 =7!

(7− 3)!=

Cuantos helados de dos sabores diferentes nos pueden servir enuna heladerıa que tiene el siguiente surtido de sabores : chocolate,vainilla, mamey, fresa, mango, coco ?

6C2 =6!

2!(6− 2)!= 15

Combinaciones con repeticion

= (n+r−1)!r !(n−1)!

Coeficiente binomial negativa

Combinaciones con repeticion

= (n+r−1)!r !(n−1)!

Coeficiente binomial negativa

Ejercicios

1. Supongase que se deben dividir 10 conejos usados en unlaboratorio de 3 jaulas, de tal forma que la jaula 1hayan 3 conejos,en la jaula 2 cuatro conejos y en la jaula 3, tres conejos.

De cuantas formas se pueden guardar los conejos en las jaulas?

Rta. 4200

Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulinaen la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0.

Cuantas combinaciones pueden darse ?

Ejercicios

Rta. 4200

Ejercicios

Rta. 4200

Ejercicios

Rta. 4200

Ejercicios

Rta. 4200

Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5lıneas de armado, en la segunda 4 lıneas de armado y en la tercera,6 lıneas de armado. ¿De cuantas formas puede moverse el productoen el proceso de armado ?

Rta. 120 formas

Un inspector visita 6 maquinas diferentes durante el dıa. Al fin deimpedir que los operadores sepan cuanto inspeccionara , varia elorden de las visitas.

¿ De cuantas maneras puede hacerlo ?

Rta. 720

Rta. 120 formas

Rta. 720

Rta. 120 formas

Rta. 720

Rta. 120 formas

Rta. 720

Rta. 120 formas

Rta. 720

Sin repeticion

Permutacion nPr , Combinacion nCr

Se seleccionan 3 colores sin repeticion de los colores Rojo, Azul,Verde y Blanco

nPr =4 P3 = 24

nCr =4 C3 = 4

Sin repeticion

nPr =4 P3 = 24

nCr =4 C3 = 4

Sin repeticion

nPr =4 P3 = 24

nCr =4 C3 = 4

Sin repeticion

nPr =4 P3 = 24

nCr =4 C3 = 4

Sin repeticion

nPr =4 P3 = 24

nCr =4 C3 = 4

Con repeticion

Permutacion nPr , Combinacion nCr =

nPr =4 P2 = 14

nCr =4 C2 =

Es de gran ayuda la teorıa de probabilidad, a la quefrecuentemente se denomina ciencia de la incertidumbre

El empleo de esta teorıa de la probabilidad permite -a quientoma decisiones con informacion limitada- analizar los riesgosy minimizar el azar inherente.

Es de gran ayuda la teorıa de probabilidad, a la quefrecuentemente se denomina ciencia de la incertidumbre

El empleo de esta teorıa de la probabilidad permite -a quientoma decisiones con informacion limitada- analizar los riesgosy minimizar el azar inherente.

Introduccion

El calculo de la posibilidad de que algo ocurra en el futuro .(Inferencia estadıstica o estadıstica inferencial)

La inferencia estadıstica se ocupa de obtener conclusionesacerca de la poblacion basandose en una muestra.

Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomardecisiones, resulta importante que se evaluen en formacientıfica todos los riesgos implıcitos conocidos

Introduccion

Probabilidad

ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.

Probabilidad

Conceptos iniciales de probabilidad

Experimento aleatorio

Espacio muestral : w elementos de Ω

Espacios muestrales discretos

Espacios muestrales continuos

Probabilidad

Finito

ΩF o tambien Ω1

Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Infinito Enumerable

Numero de autos que pasan por una autopista.Ω2 = 0, 1, 2, ...

Infinito No numerable

Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estadıstica.Ω3 = x ∈ R/x ≥ 0

Probabilidad

Finito

ΩF o tambien Ω1

Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Infinito Enumerable

Probabilidad

Finito

ΩF o tambien Ω1

Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Infinito Enumerable

Probabilidad

Finito

ΩF o tambien Ω1

Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Infinito Enumerable

Probabilidad

Finito

ΩF o tambien Ω1

Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Infinito Enumerable

Probabilidad

Finito

ΩF o tambien Ω1

Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Infinito Enumerable

Probabilidad

Finito

ΩF o tambien Ω1

Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Infinito Enumerable

Probabilidad

Finito

ΩF o tambien Ω1

Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Infinito Enumerable

Probabilidad

Finito

ΩF o tambien Ω1

Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Infinito Enumerable

Probabilidad

σ-algebra

Sea Ω 6= Φ. Una coleccion de subconjuntos de Ω es unaσ-algebra sobre Ω, si

Ω ∈

A ∈ → Ac ∈

Si A1,A2, ... ∈ →⋃α

i=1 Ai ∈

Los elementos de se llaman eventos.

= p(Ω)

Probabilidad

Espacio media de probabilidad

Espacio de probabilidad : tripleta (Ω, ,P)

P: Medida de probabilidad.

P(A) ≥ 0 ∀ ∈ P(Ω) = 1

A1,A2, ... ∈ , disjuntos →⋃α

i=1 =∑α

i=1 P(Ai )

P: Medida de probabilidad sobre (Ω, )

Probabilidad

Propiedades del espacio de probabilidad

P() = 0

A,B ∈ mutamenteexcluyente → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

A ⊂ B → P(A) ≤ P(B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Probabilidad

Probabilidad como frecuencia relativa

Espacio medible

Operaciones entre eventos

Mutuamente excluyentes

Probabilidad

Espacio medible

Probabilidad

Espacio medible

Probabilidad

Frecuencia relativa fr(A)

Suponga un experimento aleatorio n veces.

Se mantienen condiciones mas o menos constantes.

fr (A) =n(A)

n(A): Numero de veces que ocurre el evento A

Probabilidad

fr (A) =n(A)

Probabilidad

fr (A) =n(A)

Probabilidad

fr (A) =n(A)

Probabilidad

Elementos con probabilidad desigual (No uniformes)

Ω es finito

= ρ(Ω)

Elementos con probabilidades distintas

Probabilidad

Medida de probabilidad condicional P(•|A)

(Ω, ,P) espacio de probabilidad (tripleta) A,B ∈ con P(A) ≥ 0

Probabilidad del evento B , bajo la condicion A

P(B|A) =P(A ∩ B)

Tambien se demuestra que P(•|A) es una medida de probabilidad

A partir de P(B|A)

P(A ∩ B) = P(A)P(B|A)

Probabilidad

La Probabilidad de la certidumbre es 1.

P(sucesocierto) = 1

P(sucesoimposible) = 0

0 ≤ P(Ej) ≤ 1

Probabilidad

P(sucesocierto) = 1

0 ≤ P(Ej) ≤ 1

Probabilidad

P(sucesocierto) = 1

0 ≤ P(Ej) ≤ 1

Probabilidad

El proceso que da lugar a un suceso se llama experimento .Un experimento es toda accion bien definida la cual produceun unico resultado.

Un conjunto es una coleccion de objetos.

Los objetos de un conjunto son sus elementos.

El conjunto de todos los resultado posibles de un experimentoes el espacio muestral.

Probabilidad

El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es elespacio muestral .

Para el dado, el espacio muestral es :

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Si 1 ∈ Ω, 2 ∈ Ω, ... son llamados pntos muestrales.

6∑i=1

P(Ej) = 1

Probabilidad

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

6∑i=1

P(Ej) = 1

Probabilidad

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

6∑i=1

P(Ej) = 1

Probabilidad

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

6∑i=1

P(Ej) = 1

Probabilidad

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

6∑i=1

P(Ej) = 1

Probabilidad

La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de unafamilia Suiza de matematicos establecio las leyes basicas de laprobabilidad moderna.

Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) ,se cuentan como pioneros de la teorıa de la probabilidad .

La historia se remonta los juegos del azar.

En la actualidad se observa que la probabilidad ocupa un lugardestacado en muchos asuntos de negocios, los seguros y laspracticas actuariales tienen una base firme en los principios dela teorıa de la probabilidad .

Las primas de los seguros de vida dependen de la tabla de lamortalidad , basandose en probabilidad de muerte a una edadconcreta

Probabilidad

La probabilidad se enfoca en 3 principios universalmenteaceptados:

1 Concepto empırico (Enfoque de la frecuencia relativa.)

2 Enfoque subjetivo.

3 Enfoque clasico.

Probabilidad

3 Enfoque clasico.

Probabilidad

3 Enfoque clasico.

Probabilidad

3 Enfoque clasico.

Probabilidad

Concepto empırico (Enfoque de la frecuencia relativa.)

Se utilizan datos pasados obtenidos en observaciones empıricas.

P(E ) =Numero de veces quesuceso haocurridoen el pasado

Numero total de observaciones

Ejemplo:

Se efectuo un estudio con 734 egresados de la carrera de Ingenierıade la Universidad XYZ. Este experimento revelo que 318 de losegresados no estaban empleados de acuerdo con su principal areade estudio. Por ejemplo un egresado especializado en contadurıaahora es gerente de una empresa de mercadotecnia en unaempacadora de plastico.

Probabilidad

Ejemplo:

Probabilidad

Ejemplo:

Probabilidad

Ejemplo:

Probabilidad

Cual es la probabilidad de que un egresado de ingenierıa labore enun area distinta a la de sus estudios universitarios

Probabilidad suceda evento =Numero veces ocurrio evento

Numero total observaciones

Para simplificar

P(A) =318

Probabilidad

Para simplificar

P(A) =318

Probabilidad

Para simplificar

P(A) =318

Probabilidad

Para simplificar

P(A) =318

Probabilidad

Ejemplo:

Durante el ultimo ano hubo 1500 aspirantes a ingresar a la carrerade Ingenieria. 750 de los aspirantes eran varones el enfoque de lafrecuencia relativa revela la probabilidad de que el aspirante varona ingresar viene dado por:

P(A) =750

Probabilidad

Ejemplo:

P(A) =750

Probabilidad

Ejemplo:

P(A) =750

Probabilidad

Es cuando existe poca o ninguna experiencia en la cual sebasa una probabilidad, en la que se determina de formasubjetiva. Consiste en evaluar opiniones disponibles paradespues estimar o asignar la probabilidad.

La probabilidad de que suceda un evento especifico, la cual esasignada por otra persona basandose en cualquier informaciondisponible.

Probabilidad

Es cuando existe poca o ninguna experiencia en la cual sebasa una probabilidad, en la que se determina de formasubjetiva. Consiste en evaluar opiniones disponibles paradespues estimar o asignar la probabilidad.

La probabilidad de que suceda un evento especifico, la cual esasignada por otra persona basandose en cualquier informaciondisponible.

Probabilidad

En el enfoque subjetivo en muchas ocasiones no se dispone dedatos historicos no siendo posible calcular la probabilidad apartir del comportamiento anterior.

Este enfoque exige que asignemos la probabilidad de cualquiersuceso basandose en las mejores pruebas.

El enfoque clasico , esta entre uno de los tres metodos paraasignar una probabilidad , este es el que a menudo serelaciona con los juegos de azar.

P(E ) =Numero de resultados favorables

Numero total de resultados posibles

Probabilidad

Posibles resultados cuando se lanzan 2 dados

Los posibles resultados al lanzar dos dados,(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Probabilidad

Si uno de varios eventos puede ocurrir cada vez, se dice quelos eventos son mutuamente excluyentes.

Mutuamente excluyentes: La ocurrencia de un evento implicaque ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismotiempo.

En el experimento de tirar un dado, los eventos “numero par”y “numero impar” son mutuamente excluyentes. Si cae unnumero par, no puede car un numero impar al mismo tiempo.

Probabilidad

Si un experimento tiene un conjunto de eventos quecomprende a todos los resultados posibles, tales como loseventos “cae un numero par” y “cae un numero impar”cuando se lanza un dado, entonces el conjunto de eventos escolectivamente exhaustivo.

Colectivamente exhaustivo, por lo menos uno de los eventospuede ocurrir cuando se realiza un experimento.

Probabilidad

Si un experimento tiene un conjunto de eventos quecomprende a todos los resultados posibles, tales como loseventos “cae un numero par” y “cae un numero impar”cuando se lanza un dado, entonces el conjunto de eventos escolectivamente exhaustivo.

Colectivamente exhaustivo, por lo menos uno de los eventospuede ocurrir cuando se realiza un experimento.

Probabilidad

Cuando lanzamos dos dados, cada resultado puede ser par o impar.Por lo tanto es colectivamente exhaustivo.Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y loseventos son mutuamente excluyentes, la suma de la probabilidadeses uno.Al lanzar una moneda los posibles resultados son,

Probabilidad

Evento Cara 0.5

Evento Sello 0.5

Total 1.0

Para aplicar el enfoque clasico , los eventos deben tener la mismaposibilidad de Ocurrir ( a lo que se denomina eventos igualmenteposibles).Ademas el conjunto de eventos debe ser mutuamente excluyentey Colectivamente exhaustivo.

Probabilidad

Evento Cara 0.5

Evento Sello 0.5

Total 1.0

Probabilidad

Evento Cara 0.5

Evento Sello 0.5

Total 1.0

Probabilidad

Evento Cara 0.5

Evento Sello 0.5

Total 1.0

Probabilidad

Evento Cara 0.5

Evento Sello 0.5

Total 1.0

Probabilidad

Evento Cara 0.5

Evento Sello 0.5

Total 1.0

Probabilidad

Ejemplo:

El Craps es un juego al azar en el que intervienen dos dados, lasreglas de una de las versiones del juego, establece que se ganainmediatamente si se saca un “crap” que es un 7 o un 11, en laprimera tirada. Pero si se saca cualquier # distinto de “craps” hayque volver a sacar ese mismo numero ( que se llama marca o punto) antes de sacar un 7 o un 11. Si se saca 7 u 11 antes de que lamarca se pierde.

Cual es la probabilidad de ganar un juego de “craps” en la primeratirada?

Si la marca es 6 ¿ Que es mas probable ganar el juego o perderlo?

Probabilidad

Ejemplo:

Probabilidad

Ejemplo:

Probabilidad

Ejemplo:

Probabilidad

El espacio muestral de todos los casos posibles es la suma de losdos dados.

Probabilidad

hay 36 casos posibles.

P(Ganancia primera tirada) = 836

Si se saca un 6 ,probabilidad de repetir el resultado. P(6) = 636

Probabilidad

Desde el punto de vista historico, el enfoque Clasico deprobabilidad se desarrolla en los siglos XVII y XVIII en juegos delazar, Como cartas y dados.

Podemos observar que es innecesario realizar un experimento, paradeterminar la probabilidad de que ocurra un evento cuando seutiliza el enfoque clasico.

Cuando lanzamos una moneda y obtenemos sello , o puede sercuatro sellos cuando lanzamos cuatro monedas

Probabilidad

Algunas Reglas de Probabilidad

En la definicion de probabilidad presentamos diferentes enfoques yexaminaremos las combinaciones de eventos mediante el uso de lasreglas de adiccion y multiplicacion.

Reglas de la Suma

”Dos eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismotiempo

Probabilidad

Reglas de la Suma

Probabilidad

Reglas de la Suma

Probabilidad

Reglas de la Suma

Probabilidad

En la regla especial de la adiccion, los eventos deben serMutuamente Excluyentes.

Mutuamente Excluyente, es cuando ocurre un evento y ninguno delos otros dos puede suceder al mismo tiempo.

Un ejemplo:

Cuando lanzamos un dado con los eventos ”Numero tres omenor”, ”Numero cinco o mayor”, en el primer grupo, losresultados serian (1,2,3) y (5,6). Los resultados del primer grupono pueden estar en el segundo grupo.

Probabilidad

Un ejemplo:

Probabilidad

Un ejemplo:

Probabilidad

Un ejemplo:

Probabilidad

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, en la regla de lasuma indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de loseventos es igual a la suma de sus probabilidades.

La regla : P(A o B) = P(A) + P(B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Para Tres eventos, A, B, C

P(A o B o C ) = P(A) + P(B) + P(C )

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )

Probabilidad

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A o B o C ) = P(A) + P(B) + P(C )

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )

Probabilidad

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A o B o C ) = P(A) + P(B) + P(C )

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )

Probabilidad

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A o B o C ) = P(A) + P(B) + P(C )

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )

Probabilidad

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A o B o C ) = P(A) + P(B) + P(C )

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )

Probabilidad

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A o B o C ) = P(A) + P(B) + P(C )

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )

Probabilidad

En la encuesta realizada al grupo G7, ”Estadıstica socialFundamental - 2011’

P(A o B) = P(A) + P(B) = 0, 706 + 0, 293 = 1, 00

Observando que los eventos son mutuamente excluyentes.

Usted vive familia Evento Numero estudiantes Probabilidad ocurrencia

Si A 41 0.706

No B 17 0.293

58 1.0

Probabilidad

P(A o B) = P(A) + P(B) = 0, 706 + 0, 293 = 1, 00

Si A 41 0.706

No B 17 0.293

58 1.0

Probabilidad

P(A o B) = P(A) + P(B) = 0, 706 + 0, 293 = 1, 00

Si A 41 0.706

No B 17 0.293

58 1.0

Probabilidad

P(A o B) = P(A) + P(B) = 0, 706 + 0, 293 = 1, 00

Si A 41 0.706

No B 17 0.293

58 1.0

Probabilidad

En la encuesta realizada al grupo G2, ”Probabilidad y Estadıstica–II- 2011”.

P(A o B) = P(A) + P(B) = 0,9 + 0,1 = 1,00

Si A 27 0.9

No B 3 0.1

30 1.0

Probabilidad

P(A o B) = P(A) + P(B) = 0,9 + 0,1 = 1,00

Si A 27 0.9

No B 3 0.1

30 1.0

Probabilidad

P(A o B) = P(A) + P(B) = 0,9 + 0,1 = 1,00

Si A 27 0.9

No B 3 0.1

30 1.0

Probabilidad

P(A o B) = P(A) + P(B) = 0,9 + 0,1 = 1,00

Si A 27 0.9

No B 3 0.1

30 1.0

Probabilidad

Un experto en logica, ingles J. Venn (1835-1888), presenta undiagrama para representar graficamente el resultado de unexperimento.

El concepto de Mutuamente excluyente y otras reglas paracombinar probabilidades las podemos representar.

Inicialmente al elaborar un diagrama de Venn debemos delimitarun espacio en un plano, usualmente utilizamos un rectangulo.

Los eventos los representamos por letras mayusculas, ygeneralmente usamos circunferencias, esto lo colocamos dentro delrectangulo.

Probabilidad

Ahora representamos un diagrama de Venn, con el evento deMutuamente excluyente.

En este caso los eventos no se superponen, lo que nos indica

que son Mutuamente Excluyentes.

Probabilidad

Tambien podemos representar el complemento ası.

P(A) + P(A) = 1

Probabilidad

La regla del complemento nos quedarıa.

P(A) = 1− P(A)

Probabilidad

Es una medida de probabilidad en la que evaluamos la posibilidadde que dos o mas eventos sucedan de manera simultanea.

La regla de la suma se refiere a los eventos que no sonMutuamente Excluyentes.

P(A o B) = P(A) + P(B)− P(A y B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Probabilidad

P(A o B) = P(A) + P(B)− P(A y B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Probabilidad

P(A o B) = P(A) + P(B)− P(A y B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Probabilidad

P(A o B) = P(A) + P(B)− P(A y B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Probabilidad

Regla de la multiplicacion

La regla de la Multiplicacion requiere que dos eventos A y B seanindependientes.

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera laprobabilidad de que el otro ocurra.

Sean los eventos A y B independientes, es decir la ocurrencia de laprobabilidad de A no altera la probabilidad de B.

Independiente

La ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad deocurrencia de cualquier otro evento.

Probabilidad

Independiente

Probabilidad

Independiente

Probabilidad

Independiente

Probabilidad

Independiente

Probabilidad

Reglas de la Multiplicacion

La regla de la multiplicacion requiere que los eventos A y B seandependientes.

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta elotro.

Si los eventos A y B son independientes , la ocurrencia de A, noaltera la probabilidad de B.

Independiente

La ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de ocurrenciade otro evento.

Probabilidad

Independiente

Probabilidad

Independiente

Probabilidad

Independiente

Probabilidad

Independiente

Probabilidad

Si dos eventos son independientes, la probabilidad de que ocurranA y B se obtiene multiplicando las probabilidades.

P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)

Probabilidad

Si dos eventos son independientes, la probabilidad de que ocurranA y B se obtiene multiplicando las probabilidades.

P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)

Probabilidad

Los siguientes resultados corresponde al analizar 84 muestras deaire con la finalidad de detectar moleculas raras.

A = Todas las moleculas de aire contienen la molecula 2. (Evento)

B = Todas las moleculas contiene la molecula 1.

Moleculas de las muestras de aire

Molecula 1 Presente

Molecula 2 presente No Si

No 32 24

Si 16 12

Total = 84 Muestras en el aire

P(A) =28

Probabilidad

Observamos, en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente.El evento B contiene la misma proporcion total de muestras en elevento A.

P(B|A) = P(B) =36

P(B|A) =P(A ∩ B)

12842884

Observamos , en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente. Elevento B contiene la misma proporcion de total de muestras en elevento A. Los eventos son Independientes

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =28

84∗ 36

3∗ 3

P(A ∩ B) =12

Probabilidad

P(B|A) = P(B) =36

P(B|A) =P(A ∩ B)

12842884

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =28

84∗ 36

3∗ 3

P(A ∩ B) =12

Probabilidad

P(B|A) = P(B) =36

P(B|A) =P(A ∩ B)

12842884

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =28

84∗ 36

3∗ 3

P(A ∩ B) =12

Probabilidad

P(B|A) = P(B) =36

P(B|A) =P(A ∩ B)

12842884

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =28

84∗ 36

3∗ 3

P(A ∩ B) =12

Probabilidad

P(B|A) = P(B) =36

P(B|A) =P(A ∩ B)

12842884

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =28

84∗ 36

3∗ 3

P(A ∩ B) =12

Probabilidad

P(B|A) = P(B) =36

P(B|A) =P(A ∩ B)

12842884

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =28

84∗ 36

3∗ 3

P(A ∩ B) =12

Probabilidad

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =36

84∗ 28

7∗ 1

P(A ∩ B) =12

De lo anterior. Se dice que dos eventos son independientes si y

solo si, cualquiera de las siguientes proposiciones es verdadera.

P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)

Probabilidad

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =36

84∗ 28

7∗ 1

P(A ∩ B) =12

P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)

Probabilidad

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =36

84∗ 28

7∗ 1

P(A ∩ B) =12

P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)

Probabilidad

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =36

84∗ 28

7∗ 1

P(A ∩ B) =12

P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)

Probabilidad

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =36

84∗ 28

7∗ 1

P(A ∩ B) =12

P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)

Probabilidad

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =36

84∗ 28

7∗ 1

P(A ∩ B) =12

P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)

Probabilidad

Probabilidad Condicional Es la probabilidad de que ocurra un

evento dado que otro evento ya haya sucedido.

Regla general de la multiplicacion

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)

P(B|A) Expresa la probabilidad de que ocurra B dado que yasucedio A.

La lınea / significa ”dado que”

Probabilidad

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)

Probabilidad

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)

Probabilidad

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)

Probabilidad

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)

Probabilidad

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)

Probabilidad

Una encuesta de ejecutivos se enfoco a su lealtad a la empresa.Una de las preguntas planteadas fue :Si otra companıa hiciera una oferta igual o ligeramente mejor quela de su puesto actual, permanecerıa con la empresa o tomarıa elotro empleo ?Las respuestas de los 200 ejecutivos de la encuesta se clasificaronen forma cruzada con su tiempo de servicio en la companıa.La siguiente tabla de contingencia

Tiempo en servicio BjLealtad Ai Menos de 1 ano B1 1 a 5 anos B2 6 a 10 anos B3 Mas de 10 anos B3 TotalSi permanecerıa (A1) 10 30 5 75 120

No permanecerıa (A2) 25 15 10 30 80200

Probabilidad

Cual es la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo que sealeal a la empresa y que tenga mas de 10 anos de servicio ?Observemos dos eventos al mismo tiempo, el ejecutivopermanecerıa en la empresa (A1)y tiene mas de 10 anos de servicioB3 ?El evento A1, sucede si el ejecutivo seleccionado al azar permaneceen la empresa a pesar de que otra empresa le ofreciera una mejoroferta.Hallando la probabilidad A

P(A) =120

El evento B, ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar tiene masde 10 anos de servicio en la empresa.La probabilidad condicional de que un ejecutivo con mas de 10anos de servicio permanezca en la empresa a pesar de que otraempresa le haga una oferta igual o mejor .

Probabilidad

P(A) =120

Probabilidad

P(A) =120

Probabilidad

P(A) =120

Probabilidad

P(A) =120

Probabilidad

P(B|A) = 75120

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)

P(A ∩ B) = 120200 ∗

75120 = 9000

24000 = 0, 375

Probabilidad

P(B|A) = 75120

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)

P(A ∩ B) = 120200 ∗

75120 = 9000

24000 = 0, 375

Probabilidad

P(B|A) = 75120

P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)

P(A ∩ B) = 120200 ∗

75120 = 9000

24000 = 0, 375

Probabilidad

Diagramas de arbol

Es una representacion grafica util para organizar calculos queabarcan varias etapas.

Cada segmento es una etapa del problema.

Las probabilidades escritas cerca de las ramas son lasprobabilidades condicionales del evento.

Probabilidad

Diagramas de arbol

Probabilidad

Diagramas de arbol

Probabilidad

Teorema de Bayes

Probabilidad a priori: Es la probabilidad inicial con base en el nivelactual de informacion, en el ejercicio anterior.

P(Permanencia) = P(P) =120

P(No Permanencia) = P(P) =80

Probabilidad

Teorema de Bayes

Probabilidad

Teorema de Bayes

Probabilidad

Probabilidad Condicional

En nuestro ejemplo anterior

P(Menos1a|P) =10

P(1− 5a|P) =30

P(6− 10a|P) =5

P(Mas10a|P) =75

Probabilidad

P(Menos1a|P) =10

P(1− 5a|P) =30

P(6− 10a|P) =5

P(Mas10a|P) =75

Probabilidad

P(Menos1a|P) =10

P(1− 5a|P) =30

P(6− 10a|P) =5

P(Mas10a|P) =75

Probabilidad

P(Menos1a|P) =10

P(1− 5a|P) =30

P(6− 10a|P) =5

P(Mas10a|P) =75

Probabilidad

P(Menos1a|P) =10

P(1− 5a|P) =30

P(6− 10a|P) =5

P(Mas10a|P) =75

Probabilidad

Si se selecciona aleatoriamente, un empleado. Cual es laprobabilidad que el ejecutivo permanezca en el empleo ?

En forma simbolica queremos determinar :P(Permanezca|Menosde1 anos)

P(Permanezca|1− 5 anos)

P(Permanezca|Masde10 anos)

Se denomina probabilidad a posteriori

Probabilidad

Probabilidad a posteriori

Es una probabilidad revisada con base en informacion adicional

P(P|Menosla) =P(P) ∗ P(Menos1a|P)

P(P) ∗ P(Menos1a) + P(P) ∗ P(1− 5a|P) + P(P) ∗ P(6− 10a|P) + P(P) ∗ P(Mas10a|P)

Probabilidad

Probabilidad a posteriori

Es una probabilidad revisada con base en informacion adicional

P(P|Menosla) =P(P) ∗ P(Menos1a|P)

P(P) ∗ P(Menos1a) + P(P) ∗ P(1− 5a|P) + P(P) ∗ P(6− 10a|P) + P(P) ∗ P(Mas10a|P)

Probabilidad

Probabilidad Total

A1,A2, ... es una particion finita de Ω P(Ai > 0)∀i

Entonces para cualquier B in se cumple que

P(B) =∑n

P(B ∩ An) =∑n

P(AnP(B|An))

Probabilidad

Regla de Bayes

Con la condicion del teorema de probabilidad total.

Usa la informacion del evento que ya ocurrio ∀i , se cumple

P(Ai |B) =P(Ai ∩ B)

P(Ai )P(B|Ai )∑n P(An)P(B|An)

Probabilidad

Regla de Bayes

Probabilidad

Regla de Bayes

Probabilidad 27-09-2015

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