Post on 05-Jul-2015
Problema
• Un fabricante puede producir grabadoras de cassette a un costo US$20 cada una, Calcula que si las vende a x pesos cada una podrá vender aproximadamente 120-x grabadoras al mes. La utilidad mensual del fabricante es una función del precio x al cual vende las grabadoras.
• A) Exprese esta función matemáticamente.
• B) Calcule la utilidad si las grabadoras se venden a US$ 70 cada una.
Solución:
• Se define la función Utilidad como:
• Utilidad= Ingreso-costo
• Donde:• Ingreso=(número de grabadoras)*(precio por grabadora).
• Costo=(número de grabadoras)*(costo por grabadora)
• Expresemos estas cantidades en términos de la variable x.
• Número de grabadoras= 120-x• Precio por grabadora=x• Ingreso=(120-x)(x)• Y• Costo por grabadora =20• Costo=(120-x)(20)• Usando f para definir la función la utilidad, se
obtiene:• F(x)=(120-x)(x)-(120-x)(20)• =(120-x)(x-20)
• Para calcular la utilidad si el precio de venta es US$ 70, simplemente debemos de evaluar x=70 en la función utilidad , es decir,
• F(70)=(120-70)(70-20)=2.500
• Respuesta la utilidad del fabricante será de US$2.500 cuando el precio de venta de cada grabadora es de US$70.
Problema:• Una compañía de buses ha adoptado la siguiente
política de precios para los grupos que deseen alquilar buses. A los grupos que contengan un máximo de 40 personas se les cobrará una suma fija de US$2.400 ( 40 veces US$60). En grupos que contengan entre 40 y 80 personas, cada una pagará US$60 menos 50 centavos por cada persona que pase de las 40. La tarifa más baja de la compañía de US$ 40 por persona se ofrecerá a grupos que contengan 80 miembros o más. Exprese los ingresos de la compañía de buses como una función del tamaño del grupo.
Solución• Usaremos la variable x para designar el
número de personas del grupo y f(x) para denotar el ingreso correspondiente.
2.400(x) esimplement es ingreso el ,400 Si =≤≤ fx
xf
x
⋅=≥
40(x) ecorrespond ingreso eltanto
lopor y 40 US$paga persona cada,80Si
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esta de análisis El.complicada más algo es
80 x40 cuando )( paraexpresión la <<xf
Ingresos = (número de personas)(tarifa por persona)Como x denota el número total de personas del grupo, x-40 es el número de personas que pasan de 40. La tarifan por persona es la original de US$ 60 reducida en ½ peso por cada una de las x-40 personas extras. Tarifa por persona = 60-1/2(x-40)=80-1/2xPara obtener el ingreso, simplemente multiplicamos esta expresión por x, el número de personas del grupo.Asi para 40< x<80, f(x)= 80x-1/2x^2.
• Podemos resumir todos los casos en forma compacta como sigue:
≥
<<−
≤≤
=
8040
80402
180
400400.2
)( 2
xsix
xsixx
xsi
xf
negativos? no valoreslos
todospara definida estáfunción la quéPor ¿
Ejemplo.
• En cierta fábrica, el costo total de fabricación de u artículos durante el trabajo de producción diario es
US$. Supóngase que al medio día ya se han producido 40 artículos y que durante la tarde se fabrican artículos adicionales a una tasa de 10 por hora. Use x para denotar el número de horas de la tarde.
• Exprese el costo total de fabricación, como una función de x.
• ¿cuántos se ha gastado en la producción hasta la 1:00p.m.?
93 2 ++ uu
Solución
• Sabemos que el costo total se relaciona con la variable u por la ecuación:
• Costo total = • Como nuestro objetivo es expresar este
costo, como una función de x, empezamos por escribir u en términos de x. En particular
• U= 40+10x
93 2 ++ uu
• Si reemplazamos ahora u por la expresión 40+10x en la ecuación de costos y usamos f(x) para denotar el costo en el tiempo x, obtenemos la función deseada de x:
( ) ( ) 9104010403)( 2 ++++= xxxf
849.4410.2300)( 2 ++= xxxf
• A la 1:00 p.m., x=1 y ( suponiendo que la producción durante el almuerzo) el costo total correspondiente es f(1)=300+2.410+4.849= US$7.559
• La deducción de la función f(x) en la parte i) era la función compuesta f(h(x)).
Funciones Especiales
• Funciones lineales tiene la forma
• Y=mx+b, donde m ,b son constantes.
• M se llama pendiente y b coeficiente de posición.
• Sus graficas son:
Función cuadrática 2)( xxf =