Post on 31-Dec-2015
description
Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)
Gràficament, es tractaria de situar els punts en uns eixos de coordenades…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
… i de dibuixar la recta que passa pels dos punts…
Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)
Vejam com es feria analíticament…a la vegada que representam gràficament tot el que anam trobant…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Començam per trobar un vector que tengui la mateixa direcció que la recta…
A
B
Aquest pot ser el vector AB=(-1, 3) - (2, -3) = (-3, 6)
Agafant com a vector director AB=(-3, 6) i un dels punt de la recta, per exemple A(2, -3), podem escriure cadascuna de les equacions de la recta:
L’equació vectorial: (x, y) = + t·
l’equació paramètrica:
(2, -3)(-3, 6)
x = 2 - 3t
y = -3 + 6t
l’equació contínua: 6
3
3
2
yx
6x – 12 = – 3y – 9
l’equació explícita:3
36
xy Que simplificant queda… 12 xy
…agafant coordenada a coordenada, obtenim…
…aïllant el paràmetre en cada equació i igualant, obtenim…
…multiplicant en creu, obtenim…
…aïllant la “y”, obtenim…
Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)
Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)
Equacions paramètriques: x = 2 - 3t
y = -3 + 6t
Afegirem una pregunta a l’enunciat:
Troba 2 punts de la recta diferents als punts A i B.
El més còmode és partir de les equacions paramètriques donant valors al paràmetre t
Per exemple, per t = 1:
3631·63
1321·32
y
xEns dona el punt ( -1, 3)
Podem seguir trobant punts igualment donant valors diferents al paràmetre, però provarem de fer-ho també utilitzant una altre equació que no sigui la paramètrica.
Per exemple, teníem l’equació explícita que ens havia donat: 12 xy
Trobar punts a partir d’aquesta també és molt fàcil, simplement hem de donar un valor a “x” i trobar el valor corresponent a la “y”:
Per exemple, si prenem x = 4, 71814·2 yI obtenim el punt (4, - 7)
Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)
Afegirem una altra pregunta a l’enunciat:
Troba 2 punts de la recta diferents als punts A i B.
Comprovar si els punts C(-2, 4), D( - 3, 7) i E(4, -7) i F(5, 6) són de la recta.
Comprovarem si C i D són de la recta utilitzant les equacions paramètriques i després comprovarem si E i F són de la recta utilitzant l’equació explícita, així veurem com es fa utilitzant dos mètodes diferents.
Equacions paramètriques: x = 2 - 3t
y = -3 + 6t
Per comprovar si C és de la recta, col·locam les seves coordenades a les equacionsi observem si es compleixen per algun valor del paràmentre “t”. Aquest valor ha de ser única ambdues equacions.
6
7436634
3
4223322
ttt
ttt Observam que cada equació ens dona un valor diferent pel paràmetre, això vol dir que el punt C no és de la recta.
Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)
Troba 2 punts de la recta diferents als punts A i B.
Comprovar si els punts C(-2, 4), D( - 3, 7) i E(4, -7) i F(5, 6) són de la recta.
Repetim el mateix procediment per comprovar si D és de la recta:
3
5
6
10736637
3
5323323
ttt
ttt Observam que cada equació ens dona el mateix valor pel paràmetre, això vol dir que el punt D sí és de la recta.
Utilitzarem ara l’equació explícita per comprovar si E és de la recta:
12 xyEquació explícita:
Simplement hem de substituir els valors a l’equació i veure si aquesta es compleix:
7718714·27 Si que es compleix, això vol dir que el punt E sí és de la recta.
Comprovem ara el punt F:
96110615·26 Però això no és cert!no es compleix l’equació, això vol dir que el punt F no és de la recta.
Problema 1: Trobar la recta que passa pel punts A(2, -3) i B(-1, 3)
Troba 2 punts de la recta diferents als punts A i B.
Comprovar si els punts C(-2, 4), D( - 3, 7) i E(4, -7) i F(5, 6) són de la recta.
Afegirem una altra pregunta a l’enunciat:
Trobar l’angle que forma la recta amb l’horitzontal.
L’angle demanat és el que es representa a la gràfica:
Per trobar aquest angle, si tenim l’equació explícita, que
sempre és de la forma y = mx + n, és molt fàcil, ja quela tangent d’aquest angle és sempre el valor m (pendent dela recta).
La nostra equació explícita era: 12 xy
que té -2 com a pendent, llavors la tangent de l’angle que cercam (que li direm serà -2.
º6.1162arctan2tan
Observació: recorda que sempre hi ha dos angles que tenen la mateixa tangent: i +180, d’aquests dos angles, sempre s’agafa el que està entre 0º i 180º.
Trobam l’angle que ens demanen:
Problema 2. Troba l’equació del punt-pendent de la recta que passa per A(-4, 1) i que forma un angle de 30º amb l’horitzontal.
Primer hem de trobar la pendent (m) d’aquesta recta calculant la tangent de l’angle:
3
330tan m
Ara podem escriure l’equació:
43
31 xy
Surten de les coordenadesdel punt A(-4, 1)
43
31 xy
Problema 2. Troba l’equació del punt-pendent de la recta que passa per A(-4, 1) i que forma un angle de 30º amb l’horitzontal.
Afegirem una altra pregunta a l’enunciat:
Troba l’equació explícita i les equacions paramètriques:
Per trobar l’equació explícita només cal que aïllem la y de l’equació del punt-pendent:
43
31 xy 1
3
34
3
3
3
34
3
31 xyxy
3
334
3
3 xy
Equació explícita
Per escriure les equacions paramètriques, necessitamun punt i un vector director. El que farem és extreure dosPunts de l’equació explícita:
Si donam el valor x = 0, llavors obtenim 3
334
3
3340·
3
3
y
I si donam el valor x = - 4, llavors obtenim
13
3
3
334
3
34
3
3344·
3
3
y
Problema 2. Troba l’equació del punt-pendent de la recta que passa per A(-4, 1) i que forma un angle de 30º amb l’horitzontal.
Troba l’equació explícita i les equacions paramètriques:
Ara ja tenim dos punts de la recta A
3
334,0 i B(-4, 1)
Podem trobar un vector director:
3
34,4
3
3343,4
3
3341,4
3
334,01,4AB
(Per escriure les equacions paramètriques, triam el punt B perquè té les coordenades més senzilles):
ty
tx
3
341
44
FíEsper que els radicals del darrer exercici no us hagin espantat!!!!