Problema de monty hall

1Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia; Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.

Probabilidad- Probabilidad y Estadística I

Problema de Monty Hall

A comienzos de los años 70’s en Estados Unidos hubo un concurso televisivo muy popular conocido como Let’s make a deal (Hagamos un trato), en el cual el anfitrión, un señor muy elegante llamado Monty Hall, le ofrecía a los jugadores que llegaban hasta la etapa final del concurso la posibilidad de elegir una entre varias puertas, en las cuales había dos cabras y un cero km. Para el jugador la situación se convertía en un verdadero juego de estrategia en estado de Información Imperfecta porque Monty Hall, conocedor de lo qué había en cada puerta, siempre trataba de influir psicológicamente en la decisión que debía tomar el jugador para confundirlo e inducirlo a elegir la puerta que contenía la cabra.

Un poco de historia.

Problema.Supón que estás en un

concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

Supongamos que el auto está en la puerta 1 y consideremos las tres posibilidades: que elijamos la puerta 1, la 2 o la 3.

Luego de la elección se abre una puerta de las restantes que no contiene el auto.

Análisis de la situación.

Puerta 1 Puerta 2 Puerta 3

Escogemos la puerta 1

Puerta seleccionada.

En ese caso, el presentador nos enseña cualquiera de las puertas 2 o 3, ya que el auto no está allí. Si cambiamos nuestra elección, perdemos.

En ese caso, el presentador no puede enseñarnos la puerta 1. Por lo tanto, debe enseñarnos la puerta 3, puesto que allí no está el auto.

Por último, sólo puede mostrarnos la puerta 2 ,ya que el auto no está allí. Si decidimos cambiar a la puerta 1, ganaremos.

Elegimos una puerta. Seguramente hemos fallado, ya que teníamos dos posibilidades de errar frente a una de acertar. Y por ello, lo más probable es que tras las dos puertas que no elegimos, se encuentre la otra cabra y el auto.

Sólo hay un 33% de posibilidades de que hayamos elegido bien desde el principio, y un 66% de que fallamos.

Luego de que nos abren una puerta, la intuición, como tantas veces, nos engaña haciéndonos pensar que da igual cambiar o no la puerta, ya que hay en una de ellas un coche y en la otra una cabra, es decir, se trata de un 50% de posibilidades.

Solución.

Definimos cuidadosamente los siguientes sucesos . Suponemos que hay dos tipos de jugador, los que nunca cambian de

puerta y los que cambian siempre; en este caso la pregunta se limita a ver que tipo de

jugador tiene la mayor probabilidad de ganar el auto.

Solución analítica.

Suceso. Descripción.

A El jugador selecciona la puerta que contiene el auto en su elección inicial.

B El jugador selecciona una puerta que contiene una cabra en su elección inicial.

C El jugador gana el auto.

ε = Elegir una puerta entre 3.

Estamos interesados en calcular P(C) para cada tipo de jugador.

Para calcular P(C), basta con notar que C=(C ∩ A) U (C ∩ B) ya que A ∩ B = Ø y A U B = Ω ( esto es equivalente a decir que {A,B} es una partición de Ω )

P(C)=P((C ∩ A) U (C ∩ B)) =P(C ∩ A) + P(C ∩ B)=P(C/A)P(A) + P(C/B)P(B)

En cualquier caso, dado que no tenemos ninguna razón para pensar lo contrario, diremos que P(A) = 1/3 y P(B) = 2/3 pues hay un auto y dos cabras.

Ahora debemos definir que tipo de jugador estamos estudiando.

* Jugador que nunca cambia.

* Jugador que siempre cambia.

A continuación hallaremos la probabilidad de C utilizando la definición de probabilidad condicional y la distribución hipergeométrica.

Jugador que nunca se cambia. En este caso P(C|A) = 1 y P(C|B) = 0 pues el

jugador se queda con su selección inicial. Por lo tanto P(C) = 1/3.

X= Cantidad de puertas que elijo y tiene el auto.

Siendo:

N=3 es la cantidad de puertas que hay en el concurso. K=1 número de puertas donde se encuentra el auto.n=1 cantidad de muestras que realizo en el experimento.

Jugador que siempre se cambia. En este caso P(C|A) = 0 y P(C|B) = 1 pues el jugador

se cambia a la única puerta cerrada que queda (y sabemos que como el presentador sabe donde esta el auto, siempre mostrará una cabra). Por lo tanto P(C) = 2/3.

Esta página fue modificada por última vez el 9 mayo del 2013, a las 03:59. Problema de Monty Hall. Soporte electrónico. Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall (02/06/2013).

John Allen Paulos. Año de publicación 2008. El Problema de Monty Hall. Soporte electrónico. Disponible en: http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html (02/06/2013).

El Problema de Monty Hall. Soporte electrónico. Disponible en: http://www.psicoactiva.com/inteli/intelig44.htm (02/06/2013).

Dieser, María Paula. Año de publicación 2013. Notas de Clase, Probabilidad- Probabilidad y Estadística I. La Pampa, Santa Rosa.

Bibliografia.

Muchas Gracias.

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