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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
Departamento de Métodos Cuantitativos DET-385, Métodos Cuantitativos III
Problemas diversos sobre: derivadas de productos de funciones, cocientes de
funciones, regla de la potencia, funciones exponenciales y logarítmicas, trazado de curvas, maximización y minimización de funciones aplicadas a la administración y economía y
elasticidad ingreso de la demanda.
ABRIL DEL AÑO 2003
1) Dada la función 3 2( ) 4 3 3:f x x x x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
21
3
4
3
3
'( ) 3 8 3 (3 1) ( 3) 0
''( ) 6 8 0
x
f x x x x xx
f x x x
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es
decreciente, así como los puntos máximo y mínimos de la gráfica de f. (5%)
Intervalo ] – , – 3 [ ] – 3, 1 / 3 [ ] 1 / 3, + [
Signo de f ’(x) + – + Conclusión f es creciente f es decreciente f es creciente
Cálculos Numéricos: f ’(– 4) = 13, f ’(0) = – 3, f ’(1) = 8,
f (– 3) = 15, f (1 / 3) = – 95 / 27 – 3.5
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los
intervalos dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de
inflexión de la gráfica de f. (5%)
Intervalo ] – , – 4 / 3 [ ] – 4 / 3, + [
Signo de f ’’(x) – + Conclusión f es cóncava hacia abajo f es cóncava hacia arriba
Cálculos Numéricos: f ’’(– 2) = – 4, f ’’(0) = 8,
f (– 4 / 3) = 155 / 27 5.7
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de
coordenadas dado a continuación). (5%)
Previamente diseñaremos un cuadro resumen.
Intervalo Conclusión
] – , – 3 [ f es creciente y cóncava hacia abajo
x = – 3 Punto máximo relativo: (– 3, 15)
] – 3, – 4 / 3 [ f es decreciente y cóncava hacia abajo
x = – 4 / 3 Punto de inflexión: (– 4 / 3, 155 / 27) (– 4 / 3, 5.7)
] – 4 / 3, 1 / 3 [ f es decreciente y cóncava hacia arriba
x = 1 / 3 Punto mínimo relativo: (2 / 3, – 95 / 27 ) (2 / 3, – 3.5)
] 1 / 3, + [ f es creciente y cóncava hacia arriba
2) Una compañía advierte que puede venderse toda la existencia del producto que elabora a un precio unitario de L. 2. Además estima que la función de
costo total del producto es
21
( ) 1,0002 50
xC x
lempiras por x
unidades producidas.
a) Encuentre una expresión para la utilidad total si se producen y venden x
unidades. (6%)
2
( ) 2 1,0005,000
xU x x
b) Determine el número de unidades producidas que maximizan la utilidad y compruebe que en efecto para ese nivel hay un máximo. (7%)
'( ) 2 0 5,0002,500
1 1''( ) ''(5,000) 0
2,500 2,500
, 5,000.
xU x x
U x U
Por tanto U tiene un máximo en x
c) ¿Cuál es la utilidad máxima en lempiras? (6%)
2(5,000)(5,000) 2(5,000) 1,000 5,000 1,000 4,000
5,000U lempiras
d) ¿Cuál será la utilidad si se produjeran 6000 unidades y compare estos dos últimos resultados? (6%)
2(6,000)(5,000) 2(6,000) 1,000 3,800 .
5,000
,
( ) ( ), , .
U lempiras
Dado que la función de utilidad es una parábola el máximo
en c es mayor que en d es decir es máximo absoluto
3) Utilice diferenciación logarítmica a fin de evaluar dy
dx en el caso de las
funciones siguientes:
a) 2 2 3
3 2
( 1) ( 2)
( 4)
x xy
x
(13%)
2 3 3
2 2
2 3 3
2 2
2 3 3
2 2
2 3 3
2 2 3 2 2
3 2 2 3 3
1ln( ) 2 ln( 1) ln( 2) 2ln( 4)
2
' 1 4 3 6
2 1 2 4
' 2 3 3
1 2( 2) 4
2 3 3'
1 2( 2) 4
( 1) ( 2) 2 3 3'
( 4) 1 2( 2) 4
y x x x
y x x x
y x x x
y x x x
y x x x
x x xy y
x x x
x x x x xy
x x x x
b) 2xy x (12%)
2 2
2
' 1ln( ) ln( ) 2 ln( ) 2 ln( )
' 2 ln( ) ' 2 ln( )
yy x x x x x x x x
y x
xy y x x x y x x xx
4) Encontrar dy
dx por diferenciación implícita:
a) 3 3 8x y xy (13%)
3 3 3 3
2 2 2 2
22 2
2
8 8 8
3 3 8 8 3 8 8 3
8 3(3 8 ) 8 3
3 8
d d d d dx dyx y xy x y y x
dx dx dx dx dx dx
dy dy dy dyx y y x y x y x
dx dx dx dx
dy dy y xy x y x
dx dx y x
b) 2 3 1y x x y x (12%)
1 / 2 1 / 2
1 / 2 1 / 2
1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2
1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2
1 / 2
3
2 2
3
2 2
3
2
2 3 1 (2 3 ) (1 )
(2 3 ) (1 ) ( )
(2 3 ) (2 3 ) (1 ) (1 ) 1
(2 3 ) (1 ) 1 (2 3 ) (1 )
1 (2 3 )
x
x y
y
y x x y x y x x y x
d dy x x y x
dx dx
dy dyx x y y y
dx dx
dyx y x y
dx
xdy
dx
1 / 21 / 2 1 / 2
1 / 2 1 / 21 / 2 1 / 2
1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2
1 / 2 1 / 2 1 / 2
2
(1 )2(2 3 ) (1 )
2(1 ) (2 3 )(2 3 ) (1 )
(1 ) 2(2 3 ) 3 2(2 3 ) (1 )
(2 3 ) 2(2 3 ) (1 )
x
yx y
y xx y
y x y x ydy
dx x x y x
5) BONO. Si la relación de demanda es x = 200 – 50p, clasifique la demanda
como elástica, inelástica o unitaria a los siguientes niveles de precios. (5%) (5%)
a) p = 1 b) p = 2 c) p = 3
50 50 50η ( 50)
200 50 50( 4 ) 4
1 1) 1 η . .
1 4 3
2) 2 η 1. .
2 4
2) 3 η 2. .
3 4
p dx p p p p p
x dp x x p p p
a p Demanda inelástica
b p Elasticidad unitaria
c p Demanda elástica
UNAH/FCE/27–abril–2003
SEPTIEMBRE DEL AÑO 2003
1) Dada la función 4 2( ) 2 1:f x x x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
3 2
3 3 32 2
9 3 3
'( ) 4 4 4 ( 1) 4 ( 1)( 1)
''( ) 12 4 12 12
f x x x x x x x x
f x x x x x
Puntos críticos: x = – 1, x = 0, x = 1.
Posibles puntos de inflexión: 3 3
3 3,x x
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es
decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f.
Intervalo ] , 1[ ] 1, 0[ ]0, 1[ ] 1, [
Signo de f’(x) – + – +
Conclusión f es decre-
ciente
f es creciente f es decre-
ciente
f es cre-
ciente
Puntos mínimos: (– 1, 0) y (1, 0). Punto máximo: (0, 1).
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos
dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la
gráfica de f.
Intervalo 3
3,
3 3
3 3,
3
3,
Signo de f’’(x) + – +
Conclusión f es cóncava
hacia arriba
f es cóncava
hacia abajo
f es cóncava
hacia arriba
Puntos de inflexión: 3 4
3 9,
, 3 4
3 9, .
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de
coordenadas dado a continuación).
2) Una compañía de juguetes advierte que puede vender toda la existencia de juguetes que elabora a un precio unitario de L. 3. Si la función de costo total
es 2( ) 2,000 0.0003C x x lempiras por x juguetes producidos.
a) Encuentre una expresión para la utilidad total si se producen y venden x
juguetes. (6%)
2 2( ) 3 (2,000 0.0003 ) 3 2,000 0.0003R x x x x x
b) Determine el número de juguetes producidos que maximiza la utilidad. (6%)
'( ) 3 0.0006 0 5,000R x x x
(5%)
(5%)
(5%)
2
2
2
2
2
22
ln( ) ln
ln( ) ln(2 1)
' 22 ln(2 1)
2 1
' 22 ln(2 1)
2 1
2' 2 ln(2 1)
2 1
2' 2 ln(2 1)
2 1
(2 1)
(2 1)
xy
y x x
yx x x
y x
y xx x
y x
xy y x x
x
xxy x xx
x
x
c) Compruebe que, en efecto, para este nivel de producción hay un máximo. (6%)
Intervalo ]0, 5000[ ]5000, [
Signo de R’(x) + – Conclusión f es creciente f es decreciente
Por tanto, R(x) alcanza su valor máximo en x = 5,000 juguetes.
d) ¿Cuál es la utilidad máxima en lempiras? (2%)
2(5,000) 3(5,000) 2,000 0.0003(5,000) .5,500.R L
3) Utilice diferenciación logarítmica a fin de evaluar dy
dx en el caso de la
función: 2
(2 1)xy x
4) Encuentre la derivada de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena y las reglas de derivación para productos, para cocientes y para funciones exponenciales y logarítmicas.
a) 4
2 1( )
3 1
xf x
x
2
2 2
3 3
2 2
2 1 (3 1)(2) (2 1)(3)( ) '( )
3 1 (3 1)
6 2 6 3 5'( )
(3 1) (3 1)
2 1 5 20 2 1'( ) 4
3 1 3 1(3 1) (3 1)
x x xu x u x
x x
x xu x
x x
x xf x
x xx x
(10%)
(9%)
b) 2 4
5 3
( ) 5 2 3 2f x x x
(9%)
2 4 3 4 2( (
3 2 4 4 2
2 4 2 2 4
5 2 3 4
5 2 3 4
4 2
'( ) 5 2 3 3 2 12 ) 3 2 5 5 2 10 )
'( ) 36 5 2 3 2 50 3 2 5 2
'( ) 2 5 2 3 2 18 5 2 25 3
f x x x x x x x
f x x x x x x x
f x x x x x x x
2 4 4 2
4 2
2
'( ) 2 5 2 3 2 165 36 50f x x x x x x
c) 1
( )1
x
xf xee
(9%)
2
2
(1 )( ) (1 )( )'( )
(1 )
x x x x x x
xf x
e e e e e ee
2x xe e 2
2
(1 )
2'( )
(1 )
x
x
xf x
eee
d)
5 43
2 3
3 1( ) ln
(3 6)
x xf x
x
(9%)
4
4
4
1 2
3
3
2
3
2
( ) 5ln( ) ln(3 1) 3ln(3 6)
5 12 3(6 )'( )
3(3 1) 3 6
5 4 6'( )
3 1 2
f x x x x
x xf x
x x x
x xf x
x x x
5) La función de costo de una empresa es 2( ) 1,000 0.01C x x y la
ecuación de demanda es 3 / 2
40 800.p x Calcule e interprete la
utilidad marginal cuando x = 100 unidades.
(14%)
– 8 –
3 / 2 3 / 2
3 / 2 5 / 2
5 / 2 2
5 / 2 2
3 / 2 3 / 2
40 800 20 0.025
( ) ( 20 0.025 ) 20 0.025
( ) ( ) ( ) (20 0.025 ) (1,000 0.01 )
( ) 20 0.025 1,000 0.01 )
'( ) 20 0.025(5 / 2) 0.02 20 0.0625 0.02
'(100) 2
p x p x
R x p x x x x x
U x R x C x x x x
U x x x x
U x x x x x
U
3 / 2
0 0.0625(100) 0.02(100) 20 62.5 2 . 80.5L
Por cada unidad adicional producida y vendida se obtiene una utilidad o ganancia de L. 80.50.
El temor de JEHOVÁ es el principio de la sabiduría; El conocimiento del SANTÍSIMO es la
inteligencia. Proverbios 9:10
UNAH/FCE/28–septiembre –2003
ENERO DEL AÑO 2004
1) Dada la función
534
35( )
xf x x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
4 2 2 2 2
3 22 2
4 4 2 2
4 4 2 4
'( ) ( ) ( )( )
''( ) 8
f x x x x x x x x
f x x x x x x x x
Puntos críticos: x = – 2, x = 0, x = 2.
Posibles puntos de inflexión: 2 , 20,x x x
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es
decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f.
Intervalo ] , 2[ ] 2, 0[ ]0, 2[ ] 2, [
Signo de f’(x) + – – + Conclusión f es creciente f es decreciente f es decreciente f es creciente
Punto máximo: 6415
2, (– 2, 4.3).
Punto mínimo: 6415
2, (2, – 4.3).
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos
dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la
gráfica de f.
Intervalo 2, 2 0, 20, 2,
Signo de f’’(x) – + – +
Conclusión f es cóncava
hacia abajo
f es cóncava
hacia arriba
f es cóncava
hacia abajo
f es cóncava
hacia arriba
(5%)
(5%)
– 9 –
Puntos de inflexión: 28 2
215
1 4 2 6, . , .
, (0, 0),
28 2
215
1 4 2 6, . , .
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de
coordenadas dado a continuación).
2) (Maximización de la utilidad) Suponga que la ecuación de demanda para el
producto es p = 500 – 2x y la función de costo total está definida por 2
0 03 5 500( ) .C x x x , determine:
a) El nivel de producción x en que se maximiza la utilidad. (16%)
2 2 2
2
495 24 750
4.06 203
500 2 0 03 5 500 500 2 0 03 5 500
2 03 495 500
4 06 495 121 92
( ) ( ) . .
( ) .
,'( ) . 0 .
U x x x x x x x x x
U x x x
U x x x
Intervalo ]0, 121.92[ ] 121.92, + ∞[
Signo de U’(x) + – Conclusión U es creciente U es decreciente
Por tanto, el nivel de producción x en que se maximiza la utilidad es x = 121.92.
b) El precio en que ocurre la utilidad máxima. (2%)
p = 500 – 2(121.92) = L. 256.16.
c) La utilidad máxima en lempiras. (2%)
2121 92 0 03 121 92 5 121 92 500 29 675 49( . ) . ( . ) ( . ) . , . .U L
(5%)
– 10 –
3) Aplique la regla de la cadena para encontrar la derivada de las funciones siguientes:
a) 4
32
2 1
16
( )( )
( )
xf x
x
(10%)
3 3 4 22 2
232
3 3 4 22 2
62
22
16 4 2 1 2 2 1 3 16 2
16
8 16 2 1 6 2 1 16
16
2 16
( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]'( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )'( )
( )
( )'( )
x x x x xf x
x
x x x x xf x
x
xf x
3 2
62
2 1 4 16 3 2 1
16
( ) [ ( ) ( )]
( )
x x x x
x
4
3 2
42
2 2 1 2 3 64
16
( ) ( )'( )
( )
x x xf x
x
b)
43
1( )x
f x
(10%)
2
2
33 3
312 3
4 1 0
1
'( )
'( )
x x
xx
f x
f x
4) Calcule dy
dx para cada uno de los siguientes problemas.
a) 3
21
2( )ln
xxy
x
e
(10%)
2
2
2
1
22 3 1
1 23
2 2 1
13
2 1
ln( ) ln( )
'( )
'
y x x x
xy
x x
xy
x x
b) 2lnx
y x (10%)
1
2
2
2
2
2
ln
' ln
' ln
x
x
x
y x x
y x x
y x
– 11 –
c) 1
1
x
xyee
(10%)
2
2
1 1
1
( )( ) ( )( )'
( )
x x x x x x
xy
e e e e e ee
2x xe e 2
2
1
2
1
( )
'( )
x
x
xy
eee
5) (Costo aproximado) La función de costo de cierto fabricante es
3/ 2400 2 0 1( ) . .C x x x Usando diferenciales estime el cambio en el costo
si el nivel de producción se incrementa de 100 a 110 unidades. (Encuentre dC
y C)
1/ 2
1/ 2
100 110 100 10
2 + 0 15
2 + 0 15(100) 10 0 15(10)] 10 35.
110 100
400
,
( . )
[ . ]( ) [2 . ( ) .
( ) ( )
[
x x dx
dC x dx
dC L
C C C
C
3/ 2
2(110) 0 1(110) 400. ] [ 3/ 2
3/ 2 3/ 2
3/ 2 3/ 2
2(100) 0 1(100)
2(110) 2(100) 0 1(110) 0 1(100)
2(110 100) 0 1[(110) (100)
2(10) 0 1[1153 7 1000 20 0 1(153 7) 35 37.
. ]
. .
. ]
. . ] . . . .
C
C
C L
UNAH/FCE/11–enero–2004
OCTUBRE DEL AÑO 2004
1) Dada la función 1 3 2
33 8( ) :f x x x x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
1 3 2
3
2
3 8
6 8 2 4
2 6 2 3
2 4
3.
( ) :
'( ) ( )( )
''( )
: , .
:
f x x x x
f x x x x x
f x x x
Números críticos x x
Posibles puntos de inflexión x
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es
decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. (5%)
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos
dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la
gráfica de f. (5%)
(10%)
– 12 –
INTERVALO F(X) SIGNO
F’(X) SIGNO
F’’(X) CONCLUSIÓN
] , 2[ + – f es creciente y cóncava hacia abajo
2x 20
3
Punto máximo:
202,
3
2 3, – – f es decreciente y cóncava hacia abajo
3x 6 Punto de inflexión: (3, 6)
3 4, – + f es decreciente y cóncava hacia arriba
4x 16
3
Punto mínimo:
164,
3
4] , [ + + f es creciente y cóncava hacia arriba
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de
coordenadas dado a continuación). (5%)
2) Una empresa tiene la función de demanda: 4 – 0.002x – p = 0 y la función de
costo total: C(x) = x + 800. Determine el nivel de producción x que
a) Maximiza el ingreso. (10%) 4 – 0.002x – p = 0
p = 4 – 0.002x
R(x) = p x = (4 – 0.002x) x = 4x – 0.002x2
R’(x) = 4 – 0.004x = 0 x = 4 / 0.004 = 1,000.
INTERVALO R(X) SIGNO
R’(X) CONCLUSIÓN
0 1,000] , [ + C es creciente
1,000x 2,000 Punto máximo: 1,000, 2,000
1,000 +, – C es decreciente
– 13 –
b) Maximiza la utilidad (10%)
U(x) = R(x) – C(x) = 4x – 0.002x2 – x – 800 = – 0.002x
2 + 3x – 800.
U’(x) = – 0.004x + 3 = 0 x = 3 / 0.004 = 750.
INTERVALO U(X) SIGNO
U’(X) CONCLUSIÓN
0 750] , [ + U es creciente
750x 325 Punto máximo: 750, 325
750 +, – U es decreciente
c) Determine el ingreso y la utilidad máxima en cada uno de los niveles de
producción obtenidos anteriormente. (4%)
R(1,000) = = 4(1,000) – 0.002 (1,000)2
= L. 2,000.00 Ingreso Máximo.
U(750) = – 0.002(750)2 + 3(750) – 800 = L. 325 Utilidad Máxima.
3) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación:
3 2 3 3 20xx y y x xy x y en el punto (1 / 3, 2).
3 2 3 3 2
2 2 3 3 2 2
3 2 2 2 3 2
2 2 3 29
3 2 4
9 1 9 3
1 14 3 4 4
9 3
4 4
9 11
4 4
0
3 2 3 3 2 0
(2 3 1 3 3 2
3 3 2
2 3 1
2
2
' ' ' '
) '
'
( )
xx y y x xy x y
x y x y y y x y y x y x y x y
x y x y x y x y y x y x
x y y x y xy
x y x y x
xy y m x x y x
xy
xy
4) Utilice diferenciación logarítmica a fin de evaluar dy
dx en el caso de las funciones:
a)
24
23 5
2
5 3 2 8
x xy
x x x
1 2 3 5
4
2 4
2 3 5
2 5 3 2 8
2 2 2 15 10 8
4 2 5 3 2 8
ln( ) ln( ) 2ln( ) ln( )
( )'
( )
y x x x x x
x x xy
y x x x x x
(16%)
(12%)
– 14 –
2
2 3
2(1 30 2
4 2 5 3
)'
( )
x xy
y x x x
4(5 4
2
)x 5
2 4
2 3 5
2 4
2 3 5
2 2 44
3 2 5 2 3 5
( 4
1 30 5 4
2 2 5 3 4
1 30 5 4
2 2 5 3 4
2 1 30 5 4
5 3 2 8 2 2 5 3 4
)
'
( )
'( )
'( ) ( ) ( )
x x
x x xy
y x x x x x
x x xy y
x x x x x
x x x x xy
x x x x x x x x
b)
32
2[ln( ) ]
x xy x x e
32
13 3
2 2
2
23 32 2
3
232 2
3
23
3
2
22 2
6 1
1 22 26 1
1 226 1
1 22
ln( ) ln[ln( ) ]
'( ) ln[ln( ) ]
ln( )
'( ) ln[ln( ) ]
ln( )
'( ) ln[ln( ) ]
ln( )
'ln( )
x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
y x x
xy
x x xy x x
xyx x x
y x x x
xyx x x
y x x x
xy y
x x x
e
e e
e e
e
e
2 2
3 232 2 2
3
6 1
2 1 226 1
( ) ln[ln( ) ]
' [ln( ) ] ( ) ln[ln( ) ]ln( )
x x x x
x x x
xy x x x x x
x x x
e e
5) La ecuación de demanda de cierto producto es 10 0 2.p x donde x
unidades son vendidas a un precio de p lempiras cada una. Utilice la
elasticidad de la demanda para determinar si un aumento en el precio o disminución en el mismo aumentará o disminuirá el ingreso total para las cantidades dadas
a) x = 500 b) x = 1,800
1 / 2 1 / 2 1 / 2110 0 2 1 0 1
1 / 20.1
10 0 2 100 1002 2
1002 2.47
500
: .
. . 10 10
.η ( 10 )
) η
x
Demanda elástica Un incremento en el precio provoca que disminuya el ingreso
dx dxp x x x x
dp dp
p dx x xx
x dp x x x
a
Una disminción en el p
.provocarecio que aumente el ingreso
(16%)
(12%)
– 15 –
1002 0.36
1,800
: .
) η
.
Demanda inelástica Un incremento en el precio provoca que aumente el ingreso
provoca
b
Una disminción en el precio que disminuya el ingreso
UNAH/FCE/10–octubre –2004
ENERO DEL AÑO 2005
1) Dada la función
5 32
10 3( ) :
x xf x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
4 2 2
2 2
3 2
2 2 22 4 2 2 2 0 2, 0 2
2 4 2 2 2 2 2 0 2, 0 2
2, 0 2 2, 0 y 2
'( ) ( ) ( ) , .
''( ) ( ) ( ) ( ) , .
: . : .
x x xf x x x x x x x x x
f x x x x x x x x x x x
Números críticos y Posibles puntos de inflexión
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es
decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. (5%)
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos
dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la
gráfica de f. (5%)
Intervalo f(x) f ‘ (x) f “ (x) Conclusión
2] , [ + – f es creciente y cóncava hacia abajo
2x 2.13 0 – Punto máximo: 2, 2 13( . )
2 2] , [ – – f es decreciente y cóncava hacia abajo
2x 1. 32 – 0 Punto de inflexión: 2,1 32( . )
2 0] , [ – + f es decreciente y cóncava hacia arriba
0x 0 0 0 Punto de inflexión: 0, 0( )
0 2] , [ – – f es decreciente y cóncava hacia abajo
2x – 1. 32 – 0 Punto de inflexión: 2, 1 32( . )
2 2] , [ – + f es decreciente y cóncava hacia arriba
2x – 2.13 0 + Punto mínimo: 2, 2 13( . )
2] , [ + + f es creciente y cóncava hacia abajo
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de
coordenadas dado a continuación). (5%)
– 16 –
2) Los costos totales fijos de una empresa son de L. 1,200, los costos
combinados de material y mano de obra son de 2 lempiras por unidad y la
ecuación de demanda es 100
px
a) ¿Qué nivel de producción maximiza la utilidad? (12%)
1 / 2
1 / 2
1 / 2
3 / 2
2 1 200.
100100 100
100 2 1 200
5050 2 2 0 25 625
2525 625
: ( ) ,
: ( )
( ) ( ) ( ) ,
'( )
''( ) . ''( )
función de costo total C x x
función de ingreso R x x p x x xx
función de utilidad U x R x C x x x
U x x x xx
U x x Ux x
25 25 1
0.625(25) 625625 625
625
, ,Por tanto por el criterio de la segunda derivada
la utilidad es máxima cuando x
b) Verifique que la utilidad máxima ocurre cuando el ingreso
marginal es igual al costo marginal. (8%)
– 17 –
1 / 2 1 / 2 50100 50
2 1 200 2
50 50625 2
25625
625 2
: ( ) '( )
( ) , '( )
: '( ) .
'( ) .
Ingreso R x x R x xx
C x x C x
Ingreso marginal R LIngreso marginal costo marginal
costo marginal C L
c) ¿Cuál es el precio cuando la utilidad es máxima? (4%)
100 1004
25625.p lempiras
3) Compruebe que la curva con ecuación ( ) ( )x y ln x ln y no tiene
tangentes verticales, pero sí una tangente horizontal en 1.x
1 ' 1 '1 1
1 1 1 11 1
1
1
1 y 0,
( ) ( ) ' '
' '
( )'
( )
:
y yx y ln x ln y y y
x y x y
x yy y
x y x y
y xy
x y
Los únicos valores que hacen cero el denominador son y x pero ambos
valores están exluidos del dominio de la relación x y
0,
( ) ( ). ,
. 1, ' ,
1. :
ln x ln y Por tanto
no existen tangentes verticales Cuando x y Por tanto existe una tangente
horizontal en x LA COMPUTADORA presenta la gráfica siguiente
(No se pide la gráfica)
(16%)
– 18 –
4) Utilice diferenciación logarítmica a fin de evaluar dy
dx en el caso de las funciones:
a) 4 2
352
8
3
( 1)
( )x
xy
x e
3 3
4 2 4 2
3
4 2
4 2 5
32
4 2 5
32
8 1 4 2(8) 2 ( 1) 5 ( 3)33
' 1 1'
3 3
81'
3 3
( 1)( )
( )
8 2 8 25 5
1 3 1 3
( 1) 8 25
1 3( )
x
x
ln ln x ln x
yy y
y
y
xy ln y x
x
x x x x
x x x x
x x x
x xx
e
e
b) ( )ln x
y x
( )
2 ' 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )( ) [ ( )] ' '
ln xy ln x y ln x ln x
ln y ln x y yy x x x
x
5) La ecuación de demanda de cierto producto es 2 2
1( ) , 1x p p p
donde x unidades son vendidas a un precio de p lempiras cada una. Utilice la
elasticidad de la demanda para determinar si un aumento en el precio o disminución en el mismo aumentará o disminuirá el ingreso total para cada uno de los precios siguientes.
a) p = 2 Lempiras b) p = 6 Lempiras
2 2
2 2 2
2
11 1)
1
11)
2 1) 2 1
1) 2 1) 2 1)
1 1 11)
2 1) 2 1 )2 1)
2 1 5.
1( ) (
((
( ( (
(( ((
) . :
p p px p p x p p p p
p x x p
p ppdx p p p
dp p p p p p
p dx p p pp p
x dp p pp p
a p La demanda es elástica Un aumen
7 0 7.
,
.
) . :
,
to en el precio provoca
que el ingreso disminuya mientras que una disminución
del mismo causa un incremento en el ingreso
b p La demanda es inelástica Un aumento en el precio causa
un incremento en el ingreso mientra
.
s que una disminución
del mismo provoca una disminución en el ingreso UNAH/FCE/9–enero –2005
(16%)
(12%)
(12%)
– 19 –
SEPTIEMBRE DEL AÑO 2005
1) Dada la función 3 2
3( ) 4 :f x x x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
2
3 2
3 2
3 2
3 6 3 2 0 0 2
6 6 0 1
0 1 1
2 2 3 2 4 8 12 4 0
1 1 3 1 4 1 3 4 2
0 0 3 0 4 4
'( ) ( ) .
''( ) .
: , : .
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x x x x x x ó x
f x x x
Puntos críticos x ó x Posible punto de inflexión x
f
f
f
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es
decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. (5%)
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos
dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la
gráfica de f. (5%)
Tabla Resumen:
Intervalo f(x) f’(x) f’’(x) Conclusión Grafo
] – ∞, – 2 [ + – f es creciente y cóncava hacia abajo
x = – 2 0 0 – Punto máximo: (– 2, 0)
] – 2, – 1 [ – – f es decreciente y cóncava hacia abajo
x = – 1 – 2 – 0 Punto de inflexión: (– 1, – 2)
] – 2, 0 [ – + f es decreciente y cóncava hacia arriba x = 0 – 4 0 + Punto mínimo: (0, – 4)
] 0, + ∞ [ + + f es creciente y cóncava hacia arriba
Algunos Cálculos:
2
2
2
3 3 3 6 3 27 18 9
1 3 1 6 1 3 6 3
1 3 1 6 1 3 6 9
3 6 3 6 18 6 12
1 6 1 6 6 6 12
'( ) ( ) ( )
'( ) ( ) ( )
'( ) ( ) ( )
''( ) ( )
''( ) ( )
f
f
f
f
f
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de
coordenadas dado a continuación). (5%)
– 20 –
2) (Utilidad) Para un monopolista, la demanda de un producto es: p = 60 – 4x
y la función de costo promedio es:
020
4( )C x
x
a) ¿Qué nivel de producción maximiza la utilidad? (15%)
2
2 2
60 4 60 4
4020 20 40
60 4 20 40 4 40 40
8 40 0 5.
8 5 8 0
5.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
'( )
''( ) ''( ) .
R x x p x x x x
C x x C x x xx
U x x x x x x
U x x x
U x U
U tiene su valor máximo cuando x
b) Verifique que la utilidad máxima ocurre cuando el ingreso
marginal es igual al costo marginal. (5%)
2
60 4 60 820 60 8
20 40 20
8 60 20
8 40
5
( ) '( )
( ) '( )
R x x x R x xx
C x x C x
x
x
x
c) ¿Cuál es el precio cuando la utilidad es máxima? (2%)
p = 60 – 4x = 60 – 4(5) = 60 – 20 = 40 Lempiras.
– 21 –
d) ¿Cuál es la utilidad máxima? (2%)
2 2
4 40 40 5 4 5 40 5 40
5 200 40
5 60 Lempiras.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 100
( )
U x x x U
U
U
3) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la curva 2 2 3 2
132x x y y en el punto (– 1, 2).
2 2 3 2
2 2 3
2 2 3
3 2 2
33 2 2
2 2
3 3
2 2 2 2
1 2 1 2 17 17
10 102 3 1 2
17 17
10 10
17
1
132
2 6 ' 4 2 '
3 ' 2 '
2 ' 3 '
22 ( 3 ) ' '
3
2 ( ) ( ) ( )
3 ( ) ( )
2 ( 1) ( 1) 2
x x x xD x D x y D D y
x x y y x y y y
x x y y x y y y
x x y y y x y y
x x yx x y y x y y y
y x y
x x ym
y x y
y x y x
y
17 20
0 10 10
17 37
10 10
x
y x
4) Utilice diferenciación logarítmica a fin de evaluar dy
dx en el caso de las funciones:
a)
23 1 2 3
4 2 2
2
1 1
( 3)
(5 ) ( )
x xx
yx x
e
2
2 1 / 23 1 2 3 4 2 2
2 13 1 2 3 4 2 2
2
2 1 13 1 2 3 4 2 2
2 2
1 3 23
2 2
2 5 1 1
2 5 1 1
2 5 1 1
3 1 2
ln( ) ln( ) ln ( 3) ln( ) ln( )
ln( ) ln( ) ln ( 3) ln( ) ln( )
ln( ) ln( ) ln( ) ln( 3) ln( ) ln( )
ln( ) ln( ) ln(
x x
x x
x x
y x x x
y x x x
y x x x
y x x x
e
e
e
4 22 5 1 1) ln( ) ln( )x x
(12%)
(16%)
– 22 –
3
2 4
3
2 4
3
2 4
33 2 20
22 42 3 5 1
2
2
23 1 2 3
4 2 2 2
6 1 21
3 40 26 1
5 1
3 40 26 1
5 1
2 3 40 26 1
51 1 1
' 2
'
3 1
'3 1
( 3)'
3 1(5 ) ( )
x x
x x
x x
y xx
y x
y x x xx
y x x x
x x xy y x
x x x
x x x xy x
x xx x x
e
b) 32 xxy x e
32
2
2
3 3
3 32 2
3 32 2
12 2 2
2 2 2 1
2 1
2 1
3
3 2 1
3 2 1
,
'ln( ) ln( ) ln( )
'ln( ) [ ln( )]
' [ ln( )]
' [ ln( )]
'
' ' ' [ ln( )]
' [ ln( )
xx
x
x
x x
x xx x
x xx x
Sean w x z e
ww x w x x x x
w x
wx x
w
w w x
w x x
z e z e
y w z w z x e x x e
y e x e x x
3 2
3 2
3 2 1
[2 1]
]
' ( [ ln( )])
' ln( )
x x
x x
y e x x
y e x x
5) (Costo promedio) El costo total de producir y comercializar x unidades de
cierta mercancía está dada por:
2 380,000 400
40,000( )
x x xC x
¿Para que valor de x es mínimo el costo promedio?
2 3 2 3 280,000 400
2 240,000 100 40,000 100 40,000
1 2 1 10
100 40,000 100 20,000 20,000 100
20,000
100
200
( )( ) ( )
'( )
x x x x x x x
x x x
C xC x x C x
x
C x
x
x
(12%)
– 23 –
2
2 1 1200 0
40,000 20,000 20,000
200.
200 200200 2 2 2 1 1
100 40,000
''( ) ''( )
( ) / .
C x C
El costo promedio es mínimo cuando x
C Lempira unidad
UNAH/FCE/18–septiembre –2005
DICIEMBRE DEL AÑO 2005
1) Dada la función 4 2( ) 2 4f x x x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
3 2
3 32 2.
3 3: .
1 3
3 9 3 3
3 3
'( ) 8 8 8 ( 1) 8 ( 1) ( 1) 0 1 0 1.
''( ) 24 8 0
1, 0, 1. : ,
f x x x x x x x x x x x
f x x x x x
Puntos críticos x x x Posibles puntos de inflexión x x
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es
decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. (5%)
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos
dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la
gráfica de f.
(5%)
Intervalo f(x) f ‘ (x) f “ (x) Conclusión Trazo
, 1 – + f es decreciente y cóncava hacia arriba
1x – 2 0 + Punto mínimo: ,( 1 2)
1, 3 / 3
+ + f es creciente y cóncava hacia arriba
3 / 3x – 1.1 + 0 Punto de inflexión: ,( 0.6 1.1)
3 / 3, 0
+ – f es creciente y cóncava hacia abajo
0x 0 0 – Punto máximo: ,(0 0)
0, 3 / 3
– – f es decreciente y cóncava hacia abajo
3 / 3x – 1.1 – 0 Punto de inflexión: ,(0.6 1.1)
3 / 3,1
– + f es decreciente y cóncava hacia arriba
1x – 2 0 + Punto mínimo: ,(1 2)
1, + + f es creciente y cóncava hacia arriba
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de
coordenadas dado a continuación). (5%)
– 24 –
2) El Costo fijo de una empresa es 2,500 lempiras, los costos variables son de 50 lempiras por cada unidad producida y la ecuación de demanda se estima
por 500,p x determine:
a) ¿Qué nivel de producción maximiza la utilidad? (12%)
2
2
( ) (500 ) (50 2,500) 500 50 2,500
450 2,500
'( ) 2 450 0 225
U x x x x x x x
x x
U x x x
b) Utilice criterios de derivación para verificar que dicho nivel de producción realmente maximiza la utilidad. (6%)
Intervalo U (x) U ‘ (x) Conclusión
0, 225 + U es creciente
225x 48,125 0 Punto máximo:
225, – U es decreciente
: ''( ) 2 ''(225) 2 0 225.Además U x U U tiene un máximo en x
c) ¿Cuál es el precio cuando la utilidad es máxima? (2%)
500 500 225 . 275.00.p x L
3) Encuentre todas las tangentes verticales y todas las tangentes
horizontales de la ecuación: 2 2 12 140x y x y .
2 2 12 140 2 2 ' 12 12 ' ' 6 6 '
' 6 ' 6 '( 6 ) 6
6'
6
x y x y x y y y x y x y y y x y
y y x y y x y y x y x
y xy
y x
(20%)
– 25 –
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
: 6 0 6 :
(6 ) 12(6 ) 140 140 72 36
140 35 4 2 2.
: ( 12, 2), (12, 2)
: 6 0 6 :
(6 ) 12 (6 ) 140 140 72 36
140 35 4
Tangentes horizontales y x x y
y y y y y y y
y y y y
Puntos
Tangentes verticales y x y x
x x x x x x x
x x x
2 2.
: ( 2, 12), (2,12)
x
Puntos
4) Utilice diferenciación logarítmica a fin de evaluar dy
dx en el caso de la función:
6 4
63
2 1( 1) ( 1)
3
xe x x
yx
6 4 6 4
663
6 4 6
6 4 6
6 4
2 21/ 2 1/ 2
1/ 3
21/ 2 1/ 2 1/ 3
21/ 2 1/ 2 1/ 3
2 1 1 1
2 2 3
1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 3)3
1( ) ( 1) ( 1) ( 3)
1( ) ( 1) ( 1) ( 3)
( ) 1 ( 1) ( 1) (
x xe x x e x x
yxx
xln y ln e x x ln x
xln y ln e ln x ln x ln x
ln y x ln x ln x ln x
6
5 3 5
6 4 6
5 3 5
6 4 6
6 4 5 3 5
6 4 663
5 3 56 4 6
6 4 61 1 3
2
1 1 1
2 2 3
3)
'2
' 3 2 22
1 1 3
3 2 2' 2
1 1 3
1( 1) ( 1) 3 2 2
' 21 1 33
x x x
x x x
yx
y
y x x xx
y x x x
x x xy y x
x x x
xe x x x x x
y xx x xx
5) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva ln( ) 32( 1)
xy x
en el
punto 1
81, .
ln( ) 32 2
22
2 2
( 1) ( ) [ ( ) 3] ( 1)
' 2 1 2 [ ( ) 3] ( 1)[ ( ) 3] ( 1)
1 1
xy x ln y ln x ln x
y x x ln x ln xln x ln x
y x xx x
(20%)
(20%)
– 26 –
2 2ln( ) 32
2 2
2
2
0 0
2 [ ( ) 3] ( 1) 2 [ ( ) 3] ( 1)' ( 1)
1 1
1 2(1) [ (1) 3] ((1) 1) 1 6 (2)'
8 1 8 2 1(1) 1
3 (2) (2) 3'
8 8 8 8
( )
xx ln x ln x x ln x ln xy y x
x xx x
ln ln lny
ln lny m
y y m x x y m
0 0
( )
(2) 3 1( 1)
8 8 8
(2) 3 (2) 3 1
8 8 8 8 8
(2) 3 (2) 1
8 8 2
0.2883566024 0.4133566024
0.2884 0.4134
x x y
lny x
ln lny x
ln lny x
y x
y x
UNAH/FCE/4–diciembre –2005
ABRIL DEL AÑO 2006
1) Dada la función 4
2
8( )
xf x x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
32
42 2 2
23 2 22
(3) 3 3.2
:
2 23 3.
2 2 2 2 0 2
4 42
3 9 3 3
2 0 2
3 3
'( ) ( ) ( ) ( ) 0 .
''( ) 0
, , .
: ,
x x xf x x x x x x x x
xf x x x x
Puntos críticos x x x
Posibles puntos de inflexión x x
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es
decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. (5%)
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos
dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la
gráfica de f. (5%)
– 27 –
Intervalo f(x) f ‘ (x) f “ (x) Conclusión Trazo
2, + – f es creciente y cóncava hacia abajo
2x 2 0 – Punto máximo: ,( 2 2)
2
32, 3 / 3
– – f es decreciente y cóncava hacia abajo
2
33x 10/9 – 0 Punto de inflexión: ( 2 3 / 3, 10 / 9)
2
33, 0
– + f es decreciente y cóncava hacia arriba
0x 0 0 + Punto mínimo: ,(0 0)
0, 2 3 / 3
+ + f es creciente y cóncava hacia arriba
2
33x 10/9 + 0 Punto de inflexión: (2 3 / 3, 10 / 9)
2 3 / 3, 2
+ – f es creciente y cóncava hacia abajo
2x 2 0 – Punto máximo: ,(2 2)
2, – – f es decreciente y cóncava hacia abajo
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de
coordenadas dado a continuación). (5%)
– 28 –
2) La función de costo promedio de una empresa se estima por:
400010( ) .C x
x Si la ecuación de demanda es: 200,p x
determine:
a) ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad? (8%)
2 2
4000200 10
200 10 4000 190 4000
2 190 190 2 95.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
'( ) 0 /
U x R x C x x p x xC x x x xx
U x x x x x x
U x x x
b) Utilice criterios de derivación para verificar que dicho nivel de producción
realmente maximiza la utilidad. (3%)
2 95 2.''( ) ''( )
95
U x U
U tiene un máximo cuando se producen unidades
c) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio se obtiene? (3%)
295 95 190 95 4000 9025 18050 4000 5, 025.00
200 200 95 105.00
( ) ( ) ( ) .
.
U L
p x L
3) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuacion es:
3 3 2 28 5 4x y x y en el punto
12
2, .
2 2 2 2
2 21 1 1 12 2
2 2 2 2
1
2
1 1 1 1
1 12 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
3 24 10 10
2 3 2 24 10 2 10 2
2 6 5 20
20 6 5 12
714 7
14
2 2
1
' '
( ) ' ( ) ( ) '
1 ' '
' '
' ' '
( ) ( ) ( )
x y y x y x y y
x y y y
y y
y y
y y y
y y m x x y x y x
y x y x
(14%)
– 29 –
4) Utilice diferenciación logarítmica a fin de evaluar dy
dx en el caso de la función:
( ).
ln xy x
( ) 2
( )2 22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )]
' 1( ) ' ( ) ' ( )
ln x
ln x
ln y x ln y ln x ln x ln y ln x
yln x y y ln x y x ln x
y x x x
ln
5) Utilice propiedades de logaritmos y las reglas de derivación para encontrar la
derivada de la función: 63
2
2.
1
xy
xx
lne
6
6 6
5 51 1 1 1 1 12
3 2 3 2 2
6 22) 2 2
2 2( ( ) ( 1) ' '
x x
x xy ln x ln x x y x y x
x x
6) Utilice reglas de derivación y la regla de la cadena para hallar la derivada de
la función: 234
1( ) .xf x x e DEJE SU RESPUESTA EN FORMA
SIMPLIFICADA Y SIN EXPONENTES NEGATIVOS.
41/ 3 1/ 3 2 / 32 2 2 24 3
51/ 3 2 / 32 2 23
2 23 23 2/ 3
2 2 22
1 4 1 1 23
24 1 1
3
2 6 12
1 6 13
( ) '( ) ( )
'( )
'( ) '( )
xx x x xf x x f x x x
xx x xf x x
x xx xx x x xf x x f x
e e e e
e e e
e ee e e
2/ 32
3 1xe
7) Encuentre la derivada de la función: 4 2
4 2
2 1( ) .
3 1
x xf x
x x
4 2 3 4 2 3
4 2 2
7 5 5 3 3 7 5 5 3 3
4 2 2
7
3 4 4 2 4 6
3
4 4 12 12 4 4 4 6 8 12 4 6
3
4
( 1) ( ) ( 1) ( )'( )
( 1)
'( )( 1)
'( )
x x x x x x x xf x
x x
x x x x x x x x x x x xf x
x x
xf x
5 5 34 12 12x x x 3 7
4 4 4x x x 5 5 36 8 12x x x 3
4 2 2
5 3 5 3 5 3
4 2 2 4 2 2
4 6
3
8 4 4 2 4 6 10 8 2
3 3
( 1)
'( ) '( )( 1) ( 1)
x x
x x
x x x x x x x x xf x f x
x x x x
UNAH/FCE/Depto de Métodos Cuantitativos/23–abril –2006
(14%)
(14%)
(14%)
(10%)
– 30 –
JULIO DEL AÑO 2006
1) Dada la función:
423
3212
( )x
f x x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
3 3 2
2
9 9 3 33
3 3 3 3
3 3 3
3 0 3
3 3
( ) ( )( )'( )
''( ) ( )( )
cos : , , .
: , .
x x x x x x x xf x x
f x x x x
Números críti x x x
Posibles puntos de inflexión x x
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es
decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. (5%)
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos
dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la
gráfica de f. (5%)
Intervalo f(x) f ‘ (x) f “ (x) Conclusión Trazo
3, – + f es decreciente y cóncava hacia arriba 3x – 3.75 0 + Punto mínimo: ,( 3 3.75)
3, 3
+ + f es creciente y cóncava hacia arriba
3x – 0.75 + 0 Punto de inflexión: ( 3, 0.75)
3, 0
+ – f es creciente y cóncava hacia abajo
0x 3 0 – Punto máximo: ,(0 3)
0, 3
– – f es decreciente y cóncava hacia abajo
– 31 –
Intervalo f(x) f ‘ (x) f “ (x) Conclusión Trazo
3x – 0.75 – 0 Punto de inflexión: ( 3, 0.75)
3, 3
– + f es decreciente y cóncava hacia arriba
3x – 3.75 0 + Punto mínimo: ,(3 3.75)
3, + + f es creciente y cóncava hacia arriba
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de
coordenadas dado a continuación). (5%)
2) (Utilidad) Para un monopolista, la demanda de un producto es:
p = 600 – 2x
y la función de costo promedio es:
200
0.2 28( ) xC xx
a) Encuentre la producción y el precio que maximizan la utilidad. (15%)
2
2 2
2
600 2 600 2
600 2 200
200
600 2
2000.2 28
0.2 28
2.2 572
5724.4 572 0 130, 130 340.00
4.4
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
'( ) ( ) .
x
x
x
x
R x x p x x x x
C x x C x xx
U x R x C x x x x
U x x
U x x p L
– 32 –
b) Utilice criterios de derivación para verificar que la utilidad es máxima
y encuentre dicha utilidad máxima.
''( ) 4.4 ''(130) 4.4 130
130 . 33,600.00( ) L
U x U U tiene un máximo en x
U
3) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la curva 2 2 3 2
8( )x y y en el punto ( – 1, 1).
2 2 3 2
2 2 2
2 2 21) 1 1 1 1
32
32 3
1 3 1)) 3 4
8
3 2 2 16
3 2 2 32
3 4 2 2
24 24
( )
( ) ( ') '
(( ) [ ( ) ( ) '] ( ) '
( )( ') '
' ' '
( (
x y y
x y x yy yy
y y
y y
y y y
y x y x
(NO SE PIDE GRAFICAR LA CURVA)
4) Utilice diferenciación logarítmica a fin de evaluar dy
dx en el caso de las funciones:
a)
3
2
2 4 6
3 1 4
3 5
2
( )
x x
x xy
xe
3
2
3
2
2 4 6
3 1 4
1 12 6 2 4
3 2
5 3
2 6 4
5 3
2 6 4
2 4 6 5
2 63 1 4
3 5
2
3 5 3 1 2
8 2 42 3
3 5 2
8 2 42 3
3 5 2
3 5 8 22
3 52
4
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
'
'
( )'
x x
x x
x xln y
x
ln y ln x ln x x x ln x
y x x xx
y x x x
x x xy y x
x x x
x x x xy x
x xx
e
e
ln
3
4
43
2
x
x
(15%)
(5%)
(15%)
b) 2( 1) 3 5 2
( 1)x x x
y x e
2
2
2
( 1) 3 5 2
( 1) 3 5 2
1 1 3 5 2
1 1 6 5 1 6 6
1 6 6
1 6 6
( 1)
( ) ( ) ( )
'( ) ( )
' ( )
' ( 1) ( )
x x x
x x x
y x e
ln y x ln x x x
yln x x ln x x
y
y y ln x x
y x e ln x x
5) (Costo promedio) La función de costo total de un fabricante está dada por:
2
3 4004
( )x
C x x
donde C es el costo total de producir x unidades. ¿Para qué nivel de
producción será el costo promedio por unidad un mínimo? Verifíquelo y determine cuál es este mínimo.
2
1
22
2 2
2
3
3 3
3 4004004 3 3 400
4 4
400 1, 600400
4 4
1, 600 0 40 40 40
800 800800 40 0.0125 0
40
40
40 440 3
4
1 1
( )
'( )
''( ) ''( )
, ( ) , :
( )
x
x x
x
x x
x
x
x
C x xx x
C x x
x ó x x
C x x C
Por ta nto C x tiene un mínimo en x cuyo valor es
C
00
10 3 10 2340
. / .L unidad
UNAH/FCEAYC/23–julio –2006
(15%)
(15%)
– 34 –
OCTUBRE DEL AÑO 2006
1) Dada la función 3 2
6 9( )f x x x x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
2 23 12 9 3 4 3 3 3 1
6 12 6 2
1 3. : 2
'( ) ( ) ( )( )
''( ) ( )
: , .Posible punto de inflexión x
f x x x x x x x
f x x x
Números críticos x x
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es
decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. (5%)
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos
dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la
gráfica de f. (5%)
Tabla Resumen:
Intervalo f(x) f ‘ (x) f “ (x) Conclusión Trazo
1, + – f es creciente y cóncava hacia abajo
1x 4 0 – Punto máximo: 1, 4( )
1 2, – – f es decreciente y cóncava hacia abajo
2x 2 – 0 Punto de inflexión: 2, 2( )
2 3, – + f es decreciente y cóncava hacia arriba
3x 0 0 + Punto mínimo: 3, 0( )
3, + + f es creciente y cóncava hacia arriba
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de
coordenadas dado a continuación). (5%)
– 35 –
2) Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es:
42 4p x
y la función de costo promedio es
802( ) .C x
x
Determine:
a) ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad? (8%)
2
2
802
5.
42 4
42 4 2 80
4 40 80
40'( ) 8 40 0 8 40
8
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
5 .
U x
U x R x C x p x x C x x x xx
U x x x x
U x x x
x x x x
La utilidad se maximiza al producir unidades
b) Utilice criterios de derivación para verificar que dicho nivel de
producción realmente maximiza la utilidad. (4%)
'( ) 8 '(5) 8 50 .U x U La utilidad es realmente máxima en x
c) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio se obtiene? (3%)
25 4 5 40 5 80 100 200 80 100 80 20.
42 4 5 42 20 22.
20.00 22.00.
( ) ( ) ( )
( )
. .
U
p
La utilidad máxima es L y ocurre al precio de L
– 36 –
2 2 2
2 22 2
2 2 2 2
2 2 22 2 2
4 6 2 6 2 4 4 2 6 2 2
4 4
2 8 12 4 2 12 8 2( 6 4)
4 4 4
( )( ) ' ( )( ) ' ( )( ) ( )( )'( )
'( ) '( )
z z z z z z zh z
z z
z z z z z z zh z h z
z z z
d) Verifique que cuando la utilidad es máxima, el ingreso marginal es
igual al costo marginal. (5%)
2
5 5
802
5
5 5
42 4 42 4 42 8
42 8 2 /
2 80 2
2 /
,
( ) ( ) '( )
'( ) ( )
( ) ( ) '( )
'( )
'( ) '( ).
lemp unid
lemp unid
Por lo tanto
R x p x x x x x R x x
R
C x x C x x x C xx
C
R C
3) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva
2 2 3 216( )x y y en el punto 0 2, .
2 2 2
22 2
16
16
3 2 2 2
2 3 2 2
( ) ' '
' '
x y x y y y y
x y x y y y y
2 2 23 2( ) ( ')x y x y y
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
16
16
16
16
16
3
3( 3
3 ( 3 (
3 ( 3 (
'
( ) ( ') '
) ( ) ' '
' ) ' )
' ) )
y y
x y x y y y y
x y x x y y y y y
y y x y y y x x y
y y x y y x x y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 3 2
16 16
16
16
3 ( 3 0 0 2
3 ( 3 2 0 2 2
0 00
96 32
0 2 0
) ( )( ( ) ( ) )'
) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )
' ' :
( ) ( , ) .
x x yy
y x y y
y y La pendiente de la recta tangente a la curva
x y y en el punto es m
4) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso simplifique al máximo su respuesta.
a) 2
6
4
2( )
zh z
z
(12%)
(12%)
– 37 –
b) 7 3
6 1 2 3( ) ( )y x x
7 3 7 3' (6 1) (2 3) ' (6 1) '(2 3)
7 2 6 3' (6 1) 2 3(2 3) 7 6(6 1) (2 3)
6 2' 6(6 1) (2 3) (6 1) 7(2 3)
6 2' 6(6 1) (2 3) (20 20)
6 2' 120(6 1) (2 3) ( 1)
y x x x x
y x x x x
y x x x x
y x x x
y x x x
c)
2
24
1
1.
xy
xln
2 22 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
1 / 41 1
4 4
1 1
4 4
2
4 2
2
1 11 1
1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
2
1 1
1 1
) )
'
') )
') )
')
( (
( (
( (
( (
x xy x x
x x
x x x xy
x x x x
x x xxy
x x x x
xy
x x
xy
x
ln ln ln ln
2 )x
d) 23 4 4
( )r r
f r e
2
2
3 4 46 4
3 4 46 4
'( ) ( )
'( ) ( )
r r
r r
f r r
f r r
e
e
UNAH/FCE/Depto de Métodos Cuantitativos/12–octubre–2006
(12%)
(12%)
(12%)
ABRIL DEL AÑO 2007
1) Dada la función 3 4
3( ) 4f x x x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
2 3 23 4
23
'( ) 12 12 12 1( ) 4
''( ) 24 36 12 2 3
: 0, 1.
2: 0, .
3
f x x x x xf x x x
f x x x x x
Números críticos x x
Posibles puntos de inflexión en x x
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es
decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. (5%)
f es creciente en el intervalo ] – , 1[ y f es decreciente en el intervalo ]1, + [. Punto máximo: (1, 1).
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos
dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la
gráfica de f.
f es cóncava hacia arriba en el intervalo 2
30,
y f es cóncava
hacia abajo en el intervalo 2
3, 0 , + .
Puntos de
inflexión: (0, 0), 2 16,
3 27.
(5%)
– 39 –
Tabla Resumen:
Intervalo f(x) f ‘ (x) f ‘’ (x) Conclusión
, 0 + – f es creciente y cóncava hacia abajo
x = 0 0 0 0 Punto de inflexión: (0, 0)
2
30,
+ + f es creciente y cóncava hacia arriba
x = 2
3
16
27 + 0 Punto de inflexión: 2 16
,3 27
.
2
3, 1
+ – f es creciente y cóncava hacia abajo
x = 1 1 0 – Punto máximo: (1, 1)
1 , + – – f es decreciente y cóncava hacia abajo
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de
coordenadas dado a continuación). (5%)
2) Para el producto de un monopolista, la función de costo es
3( ) 0.004 20 5,000C x x x
y la función de demanda es:
450 4p x
Determine:
– 40 –
a) ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad? (8%)
2
2 3
3 2
2
2 2 2,150
3
450 4 450 4
450 4
4 430
( )
( ) ( ) ( ) 0.004 20 5,000
( ) 0.004 5,000
'( ) 0.012 8 430 0
4 8 ( 8) 4( 0.012) (430)
2 2( 0.012)50
x
x
R x p x x x x
U x R x C x x x x
U x x x x
U x x x
xb b a cx
ax
La utilidad se maximiz
50 .a cuando se producen unidades
b) Utilice criterios de derivación para verificar que dicho nivel de producción realmente maximiza la utilidad. (5%)
8 8 8.20 0.
( ) 0.
( ) 0.024 (50) 0.024(50)
''(50)La función U x tiene un máximo porque
U x x U
U
c) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio se obtiene? (5%) 3 2
4 430(50) 0.004(50) (50) (50) 5,000 6,000 .
450 4(50) 450 200 250 .
U Lempiras
p Lempiras
3) Encuentre la Ecuación de la recta tangente a la curva
2 2 5y xy x en el punto 4 3, .
1 1
1 1
2 2
22 ' ' 2 0 '(2 ) 2 '
2
2(4) 3 5 1
2(3) 4 10 2
( ) 3 ( 4) 1
x yy y x y y x y y x x y y
y x
m
y y m x x y x y x
4) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta.
a) 3 3( ) (4 2 5)( 7 4)g x x x x x (Regla del producto)
3 2 2 3
5 3 3 2 5 3 2 3
5 3 2
'( ) (4 2 5)(3 7) (12 2)( 7 4)
'( ) 12 28 6 14 15 35 12 84 48 2 14 8
'( ) 24 120 33 28 27
g x x x x x x x
g x x x x x x x x x x x
g x x x x x
(10%)
(12%)
– 41 –
b)
2
32
3
2
8xy
x
(Reglas de la cadena y del cociente)
1 22 2
2 23 3
2 2 22
22 3 33
2 22
22 3
2 22
2 33 3
2 2 2
2
3 2
2
3 2
(16 ) 8 (2 )8 1 8'
3
1 16 32 16 6'
3 8
1 38'
3 8
x x x xx xy y
x x x
x x x x xy
x x
x xy
x x
c) 2 3 9y x xln (Propiedades de logaritmos y derivadas de
funciones logarítmicas)
1
22 1
23 9 2 3 9
2 3 2 3 2 1 4( 3)'
2(3 9) 6( 3) 2( 3) 2 ( 3)
5 12'
2 ( 3)
y x x x x
x xy
x x x x x x x x
xy
x x
ln ln ln
d) 2
2( )x
f x x e (Reglas del producto y derivadas
de funciones exponenciales)
e)
22
2
1
2
x xy
x
(Diferenciación logarítmica)
2 2
2 2
22
2 2 2 22
1
2
' 1 4( ) ( ) 2 (1 ) (2 )
1 2
11 4 1 4
' '1 2 1 22
y x xln y ln x ln x ln x
y x x x
x xx x x x
y y yx xx x x xx
UNAH/FCE/Depto de Métodos Cuantitativos/15–abril–2007
(10%)
(10%)
(10%)
(10%)
2 2 2 2 2
2 3 2'( ) ( 2 ) 2 2 2 '( ) 2 1x x x x x
f x x x x x x f x x xe e e e e
DICIEMBRE DEL AÑO 2007
1) Dada la función 4 2
3
12 2( )
x xf x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
2
2
3
3 3 3
3 3 3 3
3 3
3 9 3 3 0 3 0 3
3
3 0 3.
'( ) ( ) ( )( ) , ,
' '( ) ( )( ) ,
: , ,
: ,
x x xf x x x x x x x x
f x x x x x x
Puntos críticos x x x
Posibles puntos de inflexión en x x
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es
decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. (5%)
27 27
4 4
] 3, 0 [ ] 3, [. ] , 3[ ] 0, 3[.
: 3, , 3, . : (0, 0).
f es creciente en f es decreciente en
Puntos mínimos Punto máximo
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos
dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la
gráfica de f.
15 15
4 4
] , 3[ ] 3, [.
] 3, 3 [. : 3, , 3, .
f es cóncava hacia arriba en f es cóncava hacia
abajo en Puntos de inflexión
(5%)
– 43 –
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de
coordenadas dado a continuación). (5%)
2) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva
3 3
3 3x y xy en el punto 1 2, .
23 3
2
2 21 1
2 2
2 2
2 2
2
2
2 1 2 1 13 3
4 1 32 1
3 3 3 0
10 2 1
3
10 2
3 3
1
3 3
3 3
( )
( )
' ' ( )
' ' ( )
' '
'( ) 2
5'
y y
y
y
d d d dx y xy m
dx dx dx dx
x y y xy y m x x
x y y xy y x
xx y y xy y
xy y x y x y
y x xy y
y x
(20%)
– 44 –
3) Si
22
2
(24 3),
( 1)
xx e
yx x
utilice diferenciación logarítmica para encontrar
'y .
1 12 2 22 2 24 4
2 2 2
2 22 2 2 2
2
1
4
1 1 1
4 4 4
1
4
(2 (2 (2
(2 (2
(2
3) 3) 3)( ) ( )
( 1) ( 1) ( 1)
( ) 3) ( 1) ( ) 3) ( 1)
( ) 3)
x x x
x x
x e x e x ey ln y ln y
x x x x x x
ln y x e x x ln y x e x x
ln y x
ln ln
ln ln ln ln
ln ln
2 2
2
2
2
2 2
1
4
1 1
4 4
1 1 1 1 1 1
4 2 2 4 4 2 2 4
1 1
2 2 4 2 2
(2 2 2
4 1 1(2
12
1 1 1 1
12 2
( ) ( ) ( 1)
( ) 3) ( ) ( 1)
'( ) 3) ( ) ( 1)
3
''
( )3 3
xe x x
ln y x x x x
x y xln y x x x
y x xx
y x xy y
y x x xx x
ln ln
ln ln ln
ln ln ln
22
2 2
4
1
2 2 4
1
(2 1 14
12
( )
3)'
( )( 1) 3
x
x
x e xy
x xx x x
4) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas indicadas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta, dejando todas sus respuestas sin exponentes negativos.
a) 2 2
7 3( ) ( )( 1)g x x x x x Regla del producto (8%)
2 2 2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
3 2
7 3 7 3
7 2 3 2 7 3
2 3 14 21 2 6 2 7 21
4 12 40
'( ) ( ) ( 1) ' ( ) '( 1)
'( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)
'( ) 7
'( ) 7
g x x x x x x x x x
g x x x x x x x
g x x x x x x x x x x
g x x x x
b) 33
3
1y t
t (Reglas de la potencia y de la cadena) (8%)
11 2
3 3 3 43 3 3 23 33
2 26
3 34 43 6 3 6
3 3 2
34 3
3
1 1
3
1 1 1
31
3 3
13 1 1
'
' ' '
y t t t y t t t tt
ty t t t y t t t y
t t
t tt
(20%)
– 45 –
c) 2
1
4
xy
xln
(Propiedades logarítmicas y derivadas de funciones logarítmicas) (8%)
1
12
22 2
2
2 2
1
2
1
2
11 4 1 4
4
1 2 1 2
1 2 1)4 4' '
(
xy x x x x
x
x xy y
x xx x
ln ln ln ln ln
d) 2( )
xf x x e
(Regla del producto y derivadas de funciones exponenciales) (8%)
2 2
2
2
1 2
2
2
'( ) ' '
'( ) ( ) ( )
'( )
'( ) ( )
x x
x x
x x
x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
e e
e e
e e
e
e)
2
2
1( )
1
x xf x
x x
(Regla del cociente) (8%)
2 2 2 2
2
2 2
2
3 2 2 3 2 2
2
3 2 2 3 2 2
2
2
2
2
2
2 1 2 1
2
2 2 2 1 2 2 2 1
2
2 2 2 1 2 2 2 1
2
2 2
2
2(
1 1 ' 1 1 ''( )
1
1 1'( )
1
'( )
1
'( )
1
'( )( 1)
'( )
x x x x x x x xf x
x x
x x x x x xf x
x x
x x x x x x x x x xf x
x x
x x x x x x x x x xf x
x x
xf x
x x
xf x
2
1)
2( 1)x x
– 46 –
JULIO DEL AÑO 2008
1) Dada la ecuación: 3 2 2 4
,4 27x x y y encuentre 'y . (20%)
2 2 2 3
2 2 3 2
2 2 3 2 2 2 2)
2 2) )
2 2 2 2
3 8 8 4
3 8 4 8
3 8 4 8 (3 8 4 2
(3 8 (3 8
4 2 4 2
' '
' '
( ) ' ( ) '
' '( ) ( )
x
x x
x x y y xy y y
x xy y y x y y
x xy y x y y x y y y x y
x y x yy y
y y x y y x
2) Si
2
27
4 1
4xx
yx
e
a. Utilice diferenciación logarítmica para encontrar 'y . (16%)
1 / 2
1 / 2 1 / 2
1 / 2
2 22
2
12
2
12
2
27 2727 4 1
4 1 4 1
27 4 1
27 4 4 1
27 4 4 1
1
4 44
( ) ( ) ( )( ) ( )
4( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
'
x xx x x
y ln y ln y x xx x
xln y x x
ln y x x x
ln y x x x
y
y x
e ee
e
e
ln ln ln
ln ln ln ln
ln ln ln ln
ln ln ln
1
2
2
4 1 22 2
4 1 4 1
1 2 27 1 22 2
4 1 4 14 1
4
' '
x xx x x
xx
y y x y xx x x xx
e
b. Determine la Ecuación de la Recta Tangente a la curva
2
27
4 1
4xx
yx
e
en el punto donde x = 2. (6%)
2
1 1
2
1 1
2 2
2 027 2 27 2
2 18 2 1834 2 1
227 2 2 2
2 2 18 4 9 72 4 774 2 1 94 2 1
( ) 4( ) ( )
( )
( ) 4( )
( )( )( )
x y x y
m m
e e
e
1 118 77 2 18 77 154
77 154 18 77 136
( ) ( )y y m x x y x y x
y x y x
– 47 –
3) Dada la función 4 2
2 4 1( )f x x x
a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. (5%)
3 2
8 82 2
3 3
3 3
3 3
8 8 8 1 8 1 1 0
24 8 9 3 3 3 3 3
1, 0 1.
'( ) ( ) ( )( )
''( )
: ,
: ,
f x x x x x x x x
f x x x x x
Números críticos x x x
Posibles puntos de inflexión en x x
b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es decreciente,
así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. (5%)
Intervalo Valor de prueba Signo de f’ Conclusión
] – , –1 [ x = – 2 – f es decreciente
] – 1, 0 [ x = – 0.5 + f es creciente
] 0, 1 [ x = 0.5 – f es decreciente
] 1, + [ x = 2 + f es creciente
4 2
4 2
4 2
1 2 1 4 1 1 2 4 1 3.
0 2 0 4 0 1 0 0 1 1.
1 2 1 4 1 1 2 4 1 3.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f
f
f
1 0 1
1 0 1
1
1 3 1 3
: ] , [ ] , [.
: ] , [ ] , [
: (0, ).
: ( , ), ( , ).
f es creciente en
f es decreciente en
Punto máximo relativo
Puntos mínimos relativos
c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos dónde f es
cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)
Intervalo Valor de prueba Signo de f’’ Conclusión
3
3,
x = – 1 + f es cóncava hacia arriba
3 3
3 3,
x = 0 – f es cóncava hacia abajo
3
3,
x = 1 + f es cóncava hacia arriba
4 2
4 2
3 3 3 19
3 3 3 9 3 9
3 3 3 19
3 3 3 9 3 9
2 42 4 1 1 2.11.
2 42 4 1 1 2.11
f
f
– 48 –
3 3 3 3
3 3 3 3
3 19 3 19
3 9 3 9
: , , . : ,
: , , ,
f es cóncava hacia arriba en f es cóncava hacia abajo en
Puntos de inflexión
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a
continuación). (5%)
4) Encuentre el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto de la función:
1 33 4
3 22( )f x x x
en el intervalo cerrado [ –1, 1 ]. (16%)
12 3 2
.6
6 1 6 0 0,'( ) :f x x x x x Números críticos x x
x 1 33 4
3 22( )f x x x
– 1 1 3 1 3 13 4
3 2 3 2 61 2 1 1 2 0.17( ) ( ) ( )f
0 1 33 4
3 20 2 0 0 2 0 0 2( ) ( ) ( )f
1
6
3 41 1 1 3 1 5185
6 3 6 2 6 25922 2.0004f
1 1 3 1 3 53 4
3 2 3 2 61 2 1 1 2 0.83( ) ( ) ( )f
Valor mínimo absoluto: 1
60.17 Valor máximo absoluto:
5185
25922.0004
– 49 –
5) Dadas la función de costo promedio: 3010
( )C xx
y la ecuación de demanda:
2,030 100p x de una empresa.
a. Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad. (12%)
2
2
2,030 100 30 2,030 100 30 10
100 2,000 10 200 2,000 200 10 0 10.
10 .
10( ) ( )
( ) '( ) ( )
x unidades
U x x x x x x xx
U x x x U x x x x
El nivel de producción que máximiza la utilidad es
b. Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción realmente
maximiza la utilidad de la empresa. (6%)
200 10 200 0 10
0 10 10 10
''( ) ''( ) ( ) .
, ] , [ ] , [ ( ) .
U x U U es un máximo
Además U crece en el intervalo y decrece en U es un máximo
Por lo tanto, ya sea por el criterio de la segunda derivada como por el criterio de la
primera derivada, el nivel de producción que maximiza la utilidad es x = 10 unidades.
c. ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre? (4%)
210 100 10 2,000 10 10 10,000 20,000 10 9,990.00.
2,030 100 10 2,030 1,000 1,030.00
( ) ( ) ( ) .
( ) .
U L
p L
La utilidad máxima es de L. 9,990.00 y ocurre al precio de L. 1,030.00 UNAH/FCEAC/DMC/20 de julio de 2008.
NOVIEMBRE DEL AÑO 2008
1) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas indicadas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta, dejando todas sus respuestas sin exponentes negativos.
a) 243( )f x x x
(Regla de la potencia y regla de la cadena) (6%)
2 2 34 4 3
33
24
3
3
4
2
1 / 3 2 / 31
3
2 / 33
2 / 3
3
4 2
4 2
24
1
( ) '( )
'( )
'( )
f x x x f x x x x x
x xf x
x x
xxf x
xx
– 50 –
b)
2 2
( )x
xf x e
(Regla de exponencial y regla de la cadena) (6%)
2
2 22
2'( )x
xf x xx
e
c) 24
2 3( )
3 1
xf x
xln
(Propiedades logarítmicas y derivada de función logarítmica) (6%)
2
24
1 / 42
2
2
1
4
1
2 3
2 3
2 3
2 6
42 3 3 1
2
2 3 2
( ) 3 1
( ) 3 1)
( ) 3 1)
'( )
3'( )
(3 1)
(
(
f x x x
f x x x
f x x x
xf x
x x
xf x
x x
ln ln
ln ln
ln ln
2) Dada la ecuación en dos variables: 3 3 2 2
2 3 18x y x y .
a. Utilice diferenciación implícita para encontrar '.y (16%)
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
3 6 6 6
6 6 6 3
6 3 2
3 2 2
6 2
' '
' '
'( ) ( )
( ) ( )' '
( ) ( )
x y y x y y xy
y y x y y xy x
y y y x x y x
x y x x y xy y
y y x y y x
b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de la ecuación 3 3 2 2
2 3 18x y x y en el punto (- 2, 1). (6%)
2
2
1 1
2 2 1 2 8 4
6 32 1 2
4 4 82
3 3 3
4 8 4 11
3 3 3 3
[ ( ) ( )]
( ) [1 ( ) ]
( ) 1 [ ( )] 1
1
m
y y m x x y x y x
y x y x
– 51 –
3) Si
12 23
2 6(3
( 1),
2)
xe x
yx
encuentre 'y por diferenciación logarítmica. (20%)
12 12 122 2 2
2 6 2 6 2 6
12 2 2 6
12 2 2 6
1
3
1 1
3 3
1 1 1
3 3 3
1 / 3 1 / 3
(3 (3 (3
(3
(3
( 1) ( 1) ( 1)( ) ( )
2) 2) 2)
( ) ( 1) 2)
( ) ( 1) 2)
(
x x x
x
x
e x e x e xy ln y ln y
x x x
ln y e x x
ln y e x x
ln
ln ln
ln ln
ln ln ln
2
2
12 23
2 2 6 2
1 2 6
3 3 3
2
3
2 2
3 3
12 (3
4 2 (3
12 124 4
1 13 (3 3
) ( ) ( 1) 2)
( ) ( 1) 2)
' ( 1)'
( ) ( )2 2) 2
x
y x x x
ln y x x x
y x e x xy
y x xx x x
ln ln
ln ln
4) Dada la función: 4 /3 1 /3
4( )f x x x
a) Verifique que
2 /3 5 /3
4 1 4 2
3 9'( ) ''( ) .
x xf x y f x
x x
Luego, halle los números críticos y
posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)
1 / 3 2 / 3 2 / 3
2 / 3
2 / 3 5 / 3 5 / 3
5 / 3
44 4 4
3 3 3 3
44 8 4
9 9 9 9
11
22
0 1
2 0
( )'( ) ( )
( )''( ) ( )
: , .
: , .
xf x x x x x
x
xf x x x x x
x
Números críticos x x
Posibles puntos de inflexión en x x
b) Complete la siguiente tabla: (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o
decrecimiento de f
] – , 0 [ x = – 1 – f es decreciente
] 0, 1 [ x = 1 / 8 – f es decreciente
] 1, + [ x = 8 + f es creciente
¿Cuáles son los intervalos donde f crece? ¿Cuáles son los intervalos donde f decrece? ¿Cuáles son
los puntos extremos relativos de la gráfica de f?
f es decreciente en ] – , 1 [, f es creciente en ] 1, + [.
Punto mínimo: (1, – 3)
– 52 –
c) Complete la siguiente tabla: (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidad de f
] – , – 2 [ x = – 8 + f es cóncava hacia arriba
] – 2, 0 [ x = – 1 – f es cóncava hacia abajo
] 0, + [ x = 1 + f es cóncava hacia arriba
¿Cuáles son los intervalos donde f es cóncava hacia arriba? ¿Cuáles son los intervalos donde f es
cóncava hacia abajo? ¿Cuáles son los puntos de inflexión de la gráfica de f?
f es cóncava hacia abajo en: ] – 2 , 0 [, f es cóncava hacia arriba en: ] – , – 2 [ ] 0, + [
Puntos de inflexión: (– 2, 7.6), (0, 0).
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a
continuación). (5%)
5) Dadas la función de costo promedio: 400
0.2 4C xx
y la ecuación de demanda:
400 2p x de una empresa.
a. Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad. (10%)
2 2
2
400400
400
90
90
400 2 0.2 4 2 400 0.2 4
2.2 396
3964.4 396 4.4 396 0
4.4
( ) ( )
( )
'( )
U x x x x x x x x xx
U x x x
U x x x x x
La función de utilidad se maximiza cuando se producen unidades
b. Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción realmente
maximiza la utilidad de la empresa. (6%)
4.4 90 4.4 0
90 0, 90
''( ) ''( )
''( ) .
U x U
ComoU la utilidad es máxima en x unidades
– 53 –
c. ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre? (4%)
240090 2.2 90 396 90
400 2 400 2 90 400 180
( ) ( ) ( ) .
.
U L
p x L
17,420.00
220.00
ABRIL DEL AÑO 2009
1) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas indicadas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta, dejando todas sus respuestas sin exponentes negativos.
a)
3
1( )
xf x
x
(Regla de la potencia y regla del cociente) (12%)
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
4
1) ( 1) 1) (1 1) 1 1
1 1) 1) 1) 1)
1 1
1 1 1 1) 1) 1)
3
1)
( ) ' ( ' ( ) (( ) '( )
( ( ( (
'
'( ) 3 3 3( ( (
'( )(
x x x x x x x x xu x u x
x x x x x
x x x xf x
x x x x x x
xf x
x
b) 2 2
3
3
2 3
( )( )
( )
xf x
x xln
(Propiedades logarítmicas y derivada de función logarítmica) (12%)
c)
2 23
2( )
x xxf x e
(Regla de exponencial y regla de la cadena) (12%)
2 2 3
2 2 3
2 2 3
2
2 2
3 2 3
3 2 3
3 2 3
2 3 3 2 3
2 1 2 4 3 22 3
2 3 2 33 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
'( ) '( )
f x x x x
f x x x x
f x x x x
f x x x x
x xf x f x
x x x xx x
ln ln
ln ln ln
ln ln ln
ln ln ln
2 22 2
2 2
3 32 23 3
4 1 4 1'( ) '( )x x x x
x xf x x f x xx x
e e
– 54 –
2) Si 2 3
62
2 3
3
( )
2
x xy
x
encuentre 'y por diferenciación logarítmica. (12%)
1 12 3 2 3 2 36 6
2 2 2
2 3 2 2 3 2
2
1
6
1 1
6 6
1
6
2 3 2 3 2 3
3 3 3
2 3 3 2 3 3
2 3 2 3 3
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( 2)
( ) ( ) ( 2)
'
x x x x x xy ln y ln y
x x x
ln y x x x ln y x x x
ln y x x x
y
ln ln ln ln ln
ln ln ln
ln ln
2
2 2
2 36
2 2
1
6
2 2 63
2 3 3
1 1 1 1
3 2 3 3 2 33 3
2 3 1 1
3 2 33 3
2
''
2 2
( )'
2 2
x
y x x x
y x xy y
y x x x xx x
x x xy
x xx x
3) Dada la ecuación en dos variables: 2 3 2 2
.2 2x x y y .
a. Utilice diferenciación implícita para encontrar '.y (8%)
3 2 2 2 2 2 3
3 2 2
3 2
3 2
2 2
3 3
2 2 6 4 2 2
4 2 2 6
2 ( 2 1 2 1 3
( 2 1 1 3
1 3 1 3
( 2 1 (1 2
' '
' '
' ) ( )
' ) ( )
( ) ( )' '
) )
x y y x x y x y y y y x
x y y y y x x y
y y x x xy
y y x x xy
x xy x xyy y
y x y x
b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de la ecuación 2 3 2 2
.2 2x x y y en el punto (1, 1). (6%)
2 2
3 3
1 1 1 1
1 1 1
1 3 1 3 44
1(1 2 (1 2
1 4 1 4 1 1 4 4 1
4 5
( ) ( )
) )
( ) ( )y x y x y x
y x
xx xym m m
yy x
– 55 –
4) Dada la función: 1 14 3
8 2( )f x x x
a) Verifique que 1 2
23'( ) ( )f x x x
3
22''( ) ( )f x x x . Luego, halle los números críticos y posibles
puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)
1 3 13 2 2
2 2 2
3 32
2 2
1 14 3
8 2
3
3 2 0 3.
0 0 2 2 2 2 4 2. 0 0 2 2
'( ) ( )
''( ) ( ). : ,
( ) , ( ) ( ) ( ) : ( , ), ( , ).
f x x x x x
f x x x x x Números Críticos x x
f f Posibles puntos de inflexión
b) Complete las tablas siguientes: (10%)
Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de f
] – , 0 [ x = – 1 – f es decreciente
] 0, 3 [ x = 1 – f es decreciente
] 3, + [ x = 4 + f es creciente
Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidad de f
] – , 0 [ x = – 1 + f es cóncava hacia arriba
] 0, 2 [ x = 1 – f es cóncava hacia abajo
] 2, + [ x = 3 + f es cóncava hacia arriba
TABLA RESUMEN:
Intervalos f(x) Signo de
f ‘ (x)
Signo de
f “ (x) Conclusión Trazo
0, – + f es decreciente y cóncava hacia arriba
0x 0 0 0 Punto de inflexión: (0, 0)
0 2, – – f es decreciente y cóncava hacia abajo
2x – 2 – 0 Punto de inflexión: (2, – 2 )
2 3, – + f es decreciente y cóncava hacia arriba
3x – 3.4 0 + Punto mínimo relativo: (3, – 3.4)
3, + + f es creciente y cóncava hacia arriba
– 56 –
c) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a
continuación). (5%)
5) Dadas la función de costo promedio: 100
10C xx
y la ecuación de demanda:
500 4p x de una empresa.
a. Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad. (8%)
2 2
2
10010
10
500 4
500 4 100
5 490 100
10 490 0 49
49
( ) ( )
( )
( )
'( )
El nivel de producción que máximiza la utilidad es unidades
U x p x C x x x x xx
U x x x x x
U x x x
U x x x
x
b. Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción
realmente maximiza la utilidad de la empresa. (6%)
10
49 10 0.
49 0, ,
49
''( )
''( )
''( )Como por el criterio de la segunda derivada la utili
dad se maximiza cuando se producen y venden unidades
U x
U
U
– 57 –
c. ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre? (4%)
2 2 2 249 5 49 490 49 100 5 49 10 49 100 5 49 100 11,905.
500 49 500 196 304
11,905.00 304.00
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4( )
. .
U
p
La utilidad máxima es de L y ocurre cuando el precio es de L
Agosto del año 2009
1) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas indicadas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta, dejando todas sus respuestas sin exponentes negativos.
a) 4 2 3 2
5 4 2 4 6 3( ) ( )( )f x x x x x x (Regla del producto) (8%)
4 2 3 2 4 2 3 2
4 2 2 3 3 2
6 5 4 4 3 2
6 5 4 3 4 3 2
6
5 4 2 4 6 3 5 4 2 4 6 3
5 4 6 8 6 20 8 2 4 6 3
30 40 30 24 32 24
40 80 120 60 16 32 48 24
30 40
'( )
'( )
'( )
'( )
( )( ) ' ( ) '( )
( )( ) ( )( )
f x x x x x x x x x x x
f x x x x x x x x x x
f x x x x x x x
x x x x x x x x
f x x
5 4 3 2 6 5 4 3 2
6 5 4 3 2
54 32 24 40 80 136 92 48 24
70 120 190 124 72 24'( )
x x x x x x x x x x
f x x x x x x x
b)
2
2
3 2
2 1( )
xxf x
x
(Regla del cociente) (8%)
2 2 2 2
2 2
2 2 3 2 3 2
2 2 2 2
3 2 3 2 2
2 2 2 2
2 1 3 2 3 2 2 1
2 1
2 1 2 3 3 2 4 4 6 2 4 12 8
2 1 2 1
4 6 2 4 12 8 6 10
2 1 2 1
' ''( )
3'( )
3 3'( ) '( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
x x
x
x x x xf x
x
x x x x x x x x x xf x
x x
x x x x x x x xf x f x
x x
c)
2
24
2
2( )
xf x
x ( ) (8%)Regla de la potencia
2 2
2 2 3
1 / 4 3 / 41
4
2 2 42 2
( ) '( )x x
f x x f x x x x
– 58 –
2 2 32
2 3 2
2
1 / 4 3 / 41
3 / 44
4
2 42
2 2 24
2
( ) '( ) '( )
xx x x
f x x f x x f xx x x
x
d)
22
( )x
xf x e
( ) (8%)Regla exponencial y de la cadena
2 22 2
2 2
2 12 2 1'( ) '( )
x xx x
x x
f x f xe e
e)
3 2
2 42
1( )
( 2)
x xf x
x xln
( ) (8%)Propiedades de logaritmos y derivada de logaritmo
3
1/ 23 2
1 / 22 2 4
2 4
2 2
2 2 2 2
1
2
3 1 2 3
2
22
3 4 2
2 2 8 84
2 2
1( ) 1 2
( 2)
( ) ( ) ( 1) ( 2)
'( ) '( )1 2 1 2
( ) ( ) ( )x x
f x x x x xx x
f x x x x x
x x x xf x f x
x x x x x x x x
ln ln ln
ln ln ln ln
2) Dada la ecuación en dos variables: 2
21( ) .x y xy
a. Utilice diferenciación implícita para encontrar '.y (14%)
2 2 2 2 221 2 21 21
2 22 2 0 2 2
2 2
( )
' ' ( ) ' ' '
x y xy x xy y xy x xy y
x y x yx xy y y y x y y x y y y
x y x y
b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de la ecuación
221( )x y xy en el punto (5, - 4). (6%)
2 5 4 62
5 2 4 3
4 2 5 4 2 10 2 10 4 2 14
( ) ( )
( )
( ) ( )
m
y x y x y x y x
– 59 –
3) Si 12
36 3
4,
1( )x
xy
e x
encuentre 'y por diferenciación logarítmica. (20%)
3
1/ 3 1/ 312 12 12
6 6 63 3 3
12 6 3
3
1
3
1
3
1 1
3 3
' 1
3
4 1 4 1 4
4 1
12 6 4 1 4 3 4 1
4 123
( ) ( )1
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )x x x
x
x x xy ln y lln y
e x e x e x
ln y x x
ln y x x x ln y ln x x ln x
y x
y x
ln ln e ln
ln ln
ln ln
2 2
3 3
2 2
3 3
123
6 3
' 4 43
4 1 4 1
4 4 4 43 3
4 1 4 14' '
1( )x
y x
x y x x
xx xy y y
x x x xe x
4) 4 2 3 2
1
2
2 4 8 8 24 8.: ( ) : '( ) , ''( )Dada la función f x x x y sus derivadas f x x x f x x
a) Halle los números críticos y posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)
3 2
2 2.
, ,
1
3 3 3 3 3
11 11
3 18 3 18
8 8 0 8 1 0 8 1 1 0 1 0 1
3 3 3 324 8 0 24 0 24 0
1 0 1
3 3
.
: , , .
: , ,
ó ó
ó
x x x x x x x x x x
x x x x x x
números críticos x x x
Posibles puntos de inflexión aproximadam
, ,0.58 0.61 0.58 0.61: ,ente
b) Complete las tablas siguientes: (10%)
Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de f
] – , - 1 [ x = – 2 – f es decreciente
] - 1, 0 [ x = – 0.5 + f es creciente
] 0, 1 [ x = 0.5 – f es decreciente
] 1, + [ x = 2 + f es creciente
Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidad de f
3,
3
x = – 1 + f es cóncava hacia arriba
3 3,
3 3
x = 0 – f es cóncava hacia abajo
3,
3
x = 1 + f es cóncava hacia arriba
– 60 –
TABLA RESUMEN:
Intervalos f(x) Signo de
f ‘ (x)
Signo de
f “ (x) Conclusión Trazo
1, – + f es decreciente y cóncava hacia arriba
1x – 1.5 0 + Punto mínimo: ,( 1 1.5)
13
,3
+ + f es creciente y cóncava hacia arriba
3
3x – 0.61 + 0 Punto de inflexión: , 0.61
3
3
3, 0
3
+ – f es creciente y cóncava hacia abajo
0x 0.5 0 – Punto máximo: ,( 0 0.5 )
30,
3
– – f es decreciente y cóncava hacia abajo
3
3x
– 0.61 – 0 Punto de inflexión:
, 0.613
3
13
,3
– + f es decreciente y cóncava hacia arriba
1x
– 1.5 0 + Punto mínimo: ,(1 1.5)
1, + + f es creciente y cóncava hacia arriba
c) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a
continuación). (5%)
– 61 –
Noviembre del año 2009
1) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas indicadas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta, dejando todas sus respuestas sin exponentes negativos.
a) 3 2 2
2 3 1 5 7( ) ( )( )f x x x x x (Regla del producto) (10%)
3 2 2 3 2 2
3 2 2 2
4 3 3 2 4 3 2 3 2
4 3 2
2 3 1 5 7 2 3 1 5 7
2 3 1 2 5 6 6 5 7
4 10 6 15 2 5 6 30 42 6 30 42
10 52 3 44 5
'( )
'( )
'( )
'( )
( )( ) ' ( ) '( )
( )( ) ( )( )
f x x x x x x x x x
f x x x x x x x x
f x x x x x x x x x x x x
f x x x x x
b)
2
2
3
2 1( )
x
xf x
x
(Regla del cociente) (10%)
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2 2
2 2 2 2
2 1 3 3 2 1
2 1
2 1 2 3 2 2
2 1
2 4 2 2 2 6 6
2 1
2 4 2 2 2 6 6 2 8 6
2 1 2 1
' ''( )
'( )
'( )
'( ) '( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
x x
x
x
x
x
x x
x x x xf x
x
x x x xf x
x
x x x x x xf x
x
x x x x x x x xf x f x
x x
f
2
2 2
2( 4 3)
2 1'( )
( )x
x xx
x
c)
102
2( )
xf x
x
(Regla de la potencia) (10%)
1 1 2
2
1
2
1 2
2
10 9
2 10 2 22 2
92
102
( ) '( )
'( )
x x
x
x
f x x f x x x
f xx
– 62 –
d) 4 2 52 4
( )x xx
f x e
(Regla exponencial y de la cadena) (10%)
4 2 5 3
4 2 53
2 44 4 4
2 44 1
'( )
'( )
( )
( )
x x
x x
x
x
f x x x
f x x x
e
e
e)
2
3
21( )
( 1)
x xf x
xln
(Propiedades de logaritmos y derivada de logaritmo) (10%)
2
1/ 221/ 22 3
3
1/ 22 3
2
2
1
2
1 1
2
1
1 21 2 1
1
1 2 1
1 2 3 1
4 13
11 2
2 3
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
'( )
'( )11 2
( )[ ( ) ]
( )
x
x xf x x x x
x
f x ln x x x
f x ln x ln x x
xf x
xx
xf x
x xx
ln ln ln
ln ln
ln
2) Dada la ecuación en dos variables: 2 2
1 .x y x y
a. Utilice diferenciación implícita para encontrar '.y (10%)
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
1 1
1 0
1 2 2 0
1 2 2 0
1 2 1 2
1 2
1 2
'
' ( ') ( )
' '
'( )
'
( )' ( )'
x y x y x y x y
y x y x y
y x y y x y
y x y y x y
y x y x y
x yy
x y
– 63 –
b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de la ecuación 2 2
1x y x y en el punto (– 1, 1). (5%)
2 2
2 2
1 1
1 2 1 2 1 1 1 2 1
1 2 31 2 1 2 1 1
11 1
3
11
3 3
11
3 3
4
3 3
( ) ( )'
( ) ( )
( ) [ ( )]
x yy m
x y
y y m x x y x
xy
xy
xy
3) Si
2
3 105 1
xe
yx x
encuentre 'y por diferenciación logarítmica. (15%)
2 2
1/ 5 1/ 53 10 3 10
1/ 52 3 10
1/ 52 3 10
1/ 52 3 10
101
52 3
2
( )
1 1
( ) 1
( ) 1
( ) 1
( ) ( ) ( ) 1
( )
( ) ( )
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) ( ) ( )
( )
x x
x
x
x
e ey ln y
x x x x
ln y e x x
ln y e x x
ln y e x x
ln y x ln e ln x x
ln y x
ln ln
ln ln ln
ln ln ln
ln
ln
9
10
9
10
9
10
10
9101
10 1
2
3 105
1
5
1
5
3 2
3 2
3 2
3
2 3
2
2
2
( ) 1
'
'
1
'1
'11
( )
x
ln x x
y xxy x
y x
y x x
xy y
x x
e xy
x xx x
ln
– 64 –
4) 3 2
6 9 .: ( ) 2Dada la función f x x x
a) Halle los números críticos y posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)
2
1
2
1
2
18 18 18 1
18 1 0
18 0 1 0
0 1.
0 1
36 18 18(2 1
18(2 1 0
2 1 0
2 1
'( )
: ,
''( ) )
)
.
:
( )
( )
ó
ó
f x x x x x
x x
x x
x x
Números críticos x x
f x x x
x
x
x x
Posible punto de inflexión x
b) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función :f (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de
f
0] , [ 1x +
0 1] , [ 0.5x –
1] , [ 2x +
Escriba, en la casilla que está a
la derecha, todos los puntos
extremos relativos de la gráfica
de la función.
Punto máximo relativo: (0, 2)
Punto mínimo relativo: (1, – 1)
– 65 –
c) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos dónde la función f es cóncava hacia arriba
y dónde la función f es cóncava hacia abajo. (5%)
Intervalos Valor de
prueba Signo de ''f Concavidad de f
1
2,
0x –
1
2,
1x +
Escriba, en la casilla que está a
la derecha, todos los puntos de
inflexión de la gráfica de la
función.
Punto de inflexión: ,1 1
2 2
d) Haga un bosquejo de la gráfica de f (Utilice el sistema de coordenadas dado a continuación). (5%)
– 66 –
Abril del año 2010
1) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas
indicadas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta, dejando todas sus respuestas sin exponentes negativos.
a)
3
1( )
xf x
x
(Regla de la potencia y regla del cociente) (12%)
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
4
1) ( 1) 1) (1 1) 1 1
1 1) 1) 1) 1)
1 1
1 1 1 1) 1) 1)
3
1)
( ) ' ( ' ( ) (( ) '( )
( ( ( (
'
'( ) 3 3 3( ( (
'( )(
x x x x x x x x xu x u x
x x x x x
x x x xf x
x x x x x x
xf x
x
b) 2 2
3
3
2 3
( )( )
( )
xf x
x xln
(Propiedades logarítmicas y derivada de función logarítmica) (12%)
c)
2 23
2( )
x xxf x e
(Regla de exponencial y regla de la cadena) (12%)
2 2 3
2 2 3
2 2 3
2
2
2
3 2 3
3 2 3
3 2 3
2 3 3 2 3
2 1 22 3
2 33
4 3 2
2 33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
'( )
'( )
f x x x x
f x x x x
f x x x x
f x x x x
xf x
x xx
xf x
x xx
ln ln
ln ln ln
ln ln ln
ln ln ln
2 22 2
2 2
3 32 23 3
4 1 4 1'( ) '( )x x x x
x xf x x f x xx x
e e
– 67 –
2) Si 2 3
62
2 3
3
( )
2
x xy
x
encuentre 'y por diferenciación logarítmica. (12%)
1 12 3 2 3 2 36 6
2 2 2
2 3 2 2 3 2
2
1
6
1 1
6 6
1
6
2 3 2 3 2 3
3 3 3
2 3 3 2 3 3
2 3 2 3 3
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( 2)
( ) ( ) ( 2)
'
x x x x x xy ln y ln y
x x x
ln y x x x ln y x x x
ln y x x x
y
ln ln ln ln ln
ln ln ln
ln ln
2 2
2 36
2 2 2
1
6
2 2 6 1 13
2 3 3 2 33 3
1 1 2 3 1 1
3 2 3 3 2 33 3 3
'
2 2
( )' '
2 2 2
x y x
y x x y x xx x
x x x xy y y
x x x xx x x
3) Dada la ecuación en dos variables: 2 3 2 2
.2 2x x y y .
a. Utilice diferenciación implícita para encontrar '.y (8%)
3 2 2 2 2 2 3 3 2 2
3 2 3 2
2 2
3 3
2 2 6 4 2 2 4 2 2 6
2 ( 2 1 2 1 3 ( 2 1 1 3
1 3 1 3
( 2 1 (1 2
' ' ' '
' ) ( ) ' ) ( )
( ) ( )' '
) )
x y y x x y x y y y y x x y y y y x x y
y y x x xy y y x x xy
x xy x xyy y
y x y x
b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de la ecuación 2 3 2 2
.2 2x x y y en el punto (1, 1). (6%)
2 2
3 3
1 1 1 1
1 1 1
1 3 1 3 44
1(1 2 (1 2
1 4 1 4 1 1 4 4 1 4 5
( ) ( )
) )
( ) ( )y x y x y x y x
xx xym m m
yy x
4) Dada la función: 1 14 3
8 2( )f x x x
a) Verifique que 1 2
23'( ) ( )f x x x
3
22''( ) ( )f x x x . Luego, halle los números críticos y posibles
puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)
1 14 31 3 13 2 2
8 22 2 2
3 32
2 2
0 0 2 2 2 2 4 23
0 3.
3 2
0 0 2 2
( ) , ( ) ( ) ( )'( ) ( )
cos : ,
''( ) ( )
: ( , ), ( , ).
f ff x x x x x
Números Críti x x
f x x x x x
Posibles puntos de inflexión
– 68 –
b) Complete las tablas siguientes: (10%)
Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de
f
] – , 0 [ x = – 1 – f es decreciente
] 0, 3 [ x = 1 – f es decreciente
] 3, + [ x = 4 + f es creciente
Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidad de f
] – , 0 [ x = – 1 + f es cóncava hacia arriba
] 0, 2 [ x = 1 – f es cóncava hacia abajo
] 2, + [ x = 3 + f es cóncava hacia arriba
TABLA RESUMEN:
Intervalos f(x)
Signo de
f ‘ (x)
Signo
de f “
(x)
Conclusión Trazo
0, – + f es decreciente y cóncava hacia arriba
0x 0 0 0 Punto de inflexión: (0, 0)
0 2, – – f es decreciente y cóncava hacia abajo
2x – 2 – 0 Punto de inflexión: (2, – 2 )
2 3, – + f es decreciente y cóncava hacia arriba
3x – 3.4 0 + Punto mínimo relativo: (3, – 3.4)
3, + + f es creciente y cóncava hacia arriba
– 69 –
c) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a
continuación). (5%)
5) Dadas la función de costo promedio: 100
10C xx
y la ecuación de demanda:
500 4p x de una empresa.
a. Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad. (8%)
2 2 2
10010
10
500 4
500 4 100 5 490 100
10 490 0 49
49
( ) ( )
( ) ( )
'( )
El nivel de producción que máximiza la utilidad es unidades
U x p x C x x x x xx
U x x x x x U x x x
U x x x
x
b. Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción realmente maximiza la utilidad de la empresa. (6%)
10 49 10 0.
49 0, ,
49
''( ) ''( )
''( )Como por el criterio de la segunda derivada la utili
dad se maximiza cuando se producen y venden unidades
U x U
U
c. ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre? (4%)
2 2 2 249 5 49 490 49 100 5 49 10 49 100 5 49 100 11,905.
500 49 500 196 304
11,905.00 304.00
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4( )
. .
U
p
La utilidad máxima es de L y ocurre cuando el precio es de L
`
– 70 –
Agosto del año 2010
1) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas indicadas
que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta, dejando todas sus respuestas sin exponentes negativos.
a) 4 2 3
2 1 3( ) ( )( )f x x x x x (Regla del producto) (8%)
4 2 3 4 2 3
3 3 4 2 2
6 4 4 2 6 4 4 2 2
6 4 2
2 1 3 2 1 3
4 4 3 2 1 3 3
4 12 4 12 3 3 6 6 3 3
7 25 21 3
( )
( )
( )
( )
' ( )'( ) ( )( )'
' ( )( ) ( )( )
'
'
f x x x x x x x x x
f x x x x x x x x
f x x x x x x x x x x
f x x x x
b)
2
23 1
( )x
f xx
(Regla del cociente) (8%)
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
3 3
2 2
2 2
3 1 3 1
3 1
3 1 2 6
3 1
6 2 6
3 1
2
3 1
' ''( )
'( )
'( )
'( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
x x x xf x
x
x x x xf x
x
x x xf x
x
xf x
x
c) 23 3 3 5( )f x x x (Regla de la potencia y regla de la cadena) (8%)
1 / 32
2 / 32
2 / 32
2 / 32
2 / 32
1
3
1
3
3 3 5
3 3 5 6 3
3 3 5 2 1
2 1 3 3 5
2 1
3 3 5
( )
'( )
'( ) 3
'( )
'( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
f x x x
f x x x x
f x x x x
f x x x x
xf x
x x
– 71 –
d)
14
( ) xx
f x e
(Regla de la exponencial y regla de la cadena) (8%)
14
14 23
143
2
4
14
( )
'( )
'( )
( )
x
x
x
x
x
x
f x
f x x x
f x xx
e
e
e
e)
2
2
1( ) 2
1
xf x
xln
(Propiedades de logaritmos y derivada de función logarítmica) (8%)
1
2 22
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
3 3
2 2 2 2
1 1( ) 2 ( )
1 1
( ) 1 1
2 2 2 1 2 1'( ) '( )
1 1 1 1
2 2 2 2 4'( ) '( )
1 1 1 1
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
x xf x f x
x x
f x ln x ln x
x x x x x xf x f x
x x x x
x x x x xf x f x
x x x x
ln ln
2) Dada la ecuación en dos variables: 3 2 2
.2 7x x y
a. Utilice diferenciación implícita para encontrar '.y (8%)
2 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2
2
2 2
2
3 2 2 0 3 4 4 0
3 44 3 4
4
3 4 3 4
44
'
' '
' '
( )' ( )
( )
x x y x y x x y x y y
x x yx y y x x y y
x y
x x y x yy y
x yx y
b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de la ecuación
3 2 2.2 7x x y en el punto (– 1, 2). (2%)
2
1 1
1 1
13
8
13 13 13
8 8 8
13 13 13 29
8 8 8 8
3 1 4 2 16 131 2
4 1 2 8 8
2 1 2
2
( ) ( ) 3, ,
( ) ( )
( ) ( )( )
x y m
y y m x x y x y x
y x y x
– 72 –
3) Sea4
5
2 4.
( 3) 1
xy
x x
Encuentre y’ por diferenciación logarítmica. (12%)
5
1 / 42 4
5 1 / 45 2 4
1 / 42 4
1 / 45 2 4 2 4
2 4
1
4
11
4
5
25 5
( 3) 1
( ) ( ) 3 1
( 3) 1
( ) 3 1 ( ) ( ) 3 1
'( ) ( ) 3 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
[ ] [ ]
xy
x x
xln y ln y x x x
x x
ln y x x x ln y ln x x x
y xln y ln x x x
y x x
ln ln ln
ln ln
ln ln ln
ln ln
4
3
2 4
3 3
2 4 2 4
5 3
2 42 4
41
4
5 5
5
2 2
2
3 1
''
3 1 3 1
'3 1( 3) 1
x
x
y x x x xy y
y x xx x x x
x x xy
x x xx x
4) Dada la función: 4 3
2 4( )f x x x
a) Halle los números críticos y posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)
3 2 2
2
8 12 4 2 3
24 24 24 1
0 1.5
: 0 0 1 2
'( )
''( )
: ,
( , ), ( , )
( )
( )
f x x x x x
f x x x x x
Números críticos x x
Posibles puntos de inflexión
b) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función :f (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de f
0] , [ 1x –
0 1.5] , [ 1x –
1.5] , [ 2x +
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los
puntos extremos relativos de la gráfica de la función. Punto mínimo relativo: (1, – 3.4)
– 73 –
c) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos dónde la función f es cóncava hacia arriba
y dónde la función f es cóncava hacia abajo. (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidad de f
0] , [ 1x +
0 1] , [ 0.5x –
1] , [ 2x +
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los
puntos de inflexión de la gráfica de la función. Punto de inflexión: (0, 0), (1, – 2)
d) Haga un bosquejo de la gráfica de f (Utilice el sistema de coordenadas dado a continuación). (5%)
5) Dadas la función de costo promedio: 1603,000
C xx
y la ecuación de demanda:
400 2p x de una empresa.
a. Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad. (6%)
Función de ingreso: 2400 4002 ) 2 .(R x p x x x x x
Función de costo: 2160
3,000160 3,000.C x C x x x x x
x
Función de utilidad: 2 2400 160 3,000( ) ( ) ( ) 2U x R x C x x x x x
– 74 –
2240 3,000
240 240 0 40
40
3
' 6 6
U x x x
U x x x x
El nivel de producción que maximiza la utilidad es de x unidades
b. Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción
realmente maximiza la utilidad de la empresa. (2%)
6
40 6
6
''
''
, ,
.
U x
U
Por lo tanto por el criterio de la segunda derivada la utilidad
es máxima cuando se producen y venden x unidades
c. ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre? (2%)
6) La ecuación de la demanda para un cierto producto es: 2
108 0 10.,x p p Establezca
una ecuación para la elasticidad puntual de la demanda en términos del precio:
2
2
2 2
108 2
22
108 108( )
dxx p p
dp
p dx p pp
x dp p p
Complete la siguiente tabla: (2% cada línea = 6%)
p Clasificación
de la demanda
Variaciones pequeñas
en el precio Efecto en el ingreso
3 – 0.18 0.18 Inelástica El precio disminuye Disminuye el ingreso
9 – 6 6 Elástica El precio disminuye Aumenta el ingreso
6 – 1 1 Unitaria El precio disminuye No se afecta el ingreso
(2%)
240 40 240 40 3,000 4,800 9,600 3,000 40 1,800.00
400 2 40 400 80 320.00
1,800.00 320.00
3 .
.
. .La utilidad es máxima es de y ocurre al pecio de
U U L
p p L
L L
– 75 –
Noviembre del año 2010
1) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas indicadas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta, dejando todas sus respuestas sin exponentes negativos.
a) 25 5 10 2( )f x x x (Regla de la potencia y regla de la cadena) (11%)
1 / 52
4 / 51 2
5
10 0
4 / 52 10 2
( 1)
4 / 52 10 2
( 1)
4 / 52 10 2
5 10 2
5 10 2 10 10
5 5
10
5 5
2
5
( )
'( )
1'( )
'( )
'( )
x x
x
x x
x
x x
f x x x
f x x x x
xf x
f x
f x
b)
23 23 4( ) x
x x xf x e
(Regla de la exponencial y regla de la cadena) (11%)
13 2
13 2 22
23 22
2
3 4 2
3 4 23 6
3 43 6
( )
'( ) 4 2
2'( ) 4
( )
x
x x x x
x x x x
x x x
f x
f x x x x
f x x xx
e
e
e
c)
4 2
2 2
2 1
3 1
( )
( )
x xf x
x
ln
4 2 2 2
4 2 2 2
1 / 24 2 2 2
12 2
2
1
2 22 1 1
2 21 1
2 1 3 1
2 1 3 1
2 1 3 1
4 2 1 2 3 1
4 4 62
2 3
4 2 12
2 3
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
'( )
'( )
( )
( )
x x
x x
x
x
f x x x x
f x x x x
f x x x x
f x ln x x x
x xf x
x xf x
ln ln
ln ln ln
ln ln ln
ln ln
(Propiedades de logaritmos y derivada de función logarítmica) (11%)
– 76 –
2) Dada la ecuación en dos variables: 2
3 2 3 2.2 8 9x y x y
a. Utilice diferenciación implícita para encontrar '.y (12%)
23 2 3 2 6 3 2 4 3 2 6 4 3 2
5 3 3 2 2 3 3 2 2 5
2 3 2 2 3
2 2 36 2
2 8 9 4 4 8 9 4 4 9
6 16 8 12 16 8 12 6
8 2 6 2
' ' ' '
'
'x y x
x y x y x x y y x y x y x y
x y y x y y x y y y x y y x y x
y y y x x y x
y
2 38 2y y x
2 26 3
8 4
' 'x x
y y
y y
b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de la ecuación
2
3 2 3 22 8 9x y x y en el punto (– 1, – 1 ). (4%)
2(
(
1 1
3 1 31 1
4 1 4
3 3
4 4
3 3 3 3 3 7
4 4 4 4 4 4
)'( , )
)
( ) ( 1) ( ( 1) ) 1 ( 1)
1 1
m y
y y m x x y x y x
y x y x y x
3) Sea
6 3 43
34 22
1
2
( ).
( )
x xy
xxe
Encuentre y’ por diferenciación logarítmica. (15%)
4 / 3 4 / 36 3 6 3 34 / 36 3 4 2
3 34 2 4 2
34 / 36 3 4 2
34 / 36 3 4 2
2
2 2
2
2
1 11 2
2 2
1 2
1 2
6
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x x x x xy ln y ln y x x x
x xx x
xln y x x x
xln y x x x
ln y
ee e
e
e
ln ln
ln ln ln ln
ln ln ln ln
ln
4 3 3 4
3
2 34 2
3 43
2 3 2 32 2
3 4 3 4
6 3 4 2 332
3 3 44 22
1 2 2 2
1 3 46 6 2
1 2
6 4 6 46 6
1 2 1 2
1 6 46
1 22
( ) ( )
'
' 8 8'
( ) 8'
( )
x x x x
y x xx
y x x x
y x x x xx y y x
y x x x x x x
x x x xy x
x x x xxe
ln ln ln
– 77 –
4) Dada la función: 3
3 2( )f x x x
a) Halle los números críticos y posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)
x ( )f x
1 0 0 2 1 4
b) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función :f (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de f
1, 2x +
11, 0x –
1, 2x +
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los
puntos extremos relativos de la gráfica de la función.
Punto máximo relativo: 0( 1, )
Punto mínimo relativo: 4(1, )
d) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos dónde la función f es cóncava hacia arriba
y dónde la función f es cóncava hacia abajo. (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidades de f
0, 1x –
0, 1x + Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los
puntos de inflexión de la gráfica de la función. Punto de inflexión: (0 2),
d) Haga un bosquejo de la gráfica de f (Utilice el sistema de coordenadas dado a continuación). (5%)
2 23 3 3 1 3( 1)( 1). 0 1 1
''( ) 6 . 0 0.
: 1, 1.
: (0 2)
'( ) '( )
''( )
,
( )
f x
Números críticos
Posible punto de inflexión
f x x x x x f x x x
x f x x
x x
– 78 –
5) Dadas la función de costo total: 2160 2,000( )C x x x y la ecuación de demanda: 4002x p
de una empresa.
a. Determine la función de utilidad en términos de .x (6%)
2
2 2
2
400 400
400
400 160 2,000
240 2,000, 0 200
2 ( ) ( ) ( 2 )
( ) 2
( ) 2
( ) 3 ,
p x R x p x R x x x
R x x x
U x x x x x
U x x x x
b. Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad y verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel realmente maximiza la utilidad. (8%)
2
2
2
240
240
240
6 240 6 40
0 40
0 3 0 0 2,000 2,000
40 3 40 40 2,000 4,800 9,600 2,000
4,800 2,000 2,800
200 3 200 200 2,000 120,000 2,000
120,000 7
'( ) ( )
'( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 48,000
46,000
U x x x
U x x
U
U
U
4,000
Por el teorema del valor extremo, el máximo ocurre al nivel de producción de 40x unidades.
c. ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre? (2%)
224040 3 40 40 2,000 4,800 9,600 2,000
4,800 2,000 2,800 .
400 400 40 400 0 320 .
2,800 320 .
( ) ( ) ( )
2 2( ) 8
Lempiras
Lempiras
La utilidad máxima es de Lempiras y ocurre al precio de Lempiras
U
p x
x ( )U x
0 2,000
40 2,800
200 4,0007
– 79 –
ABRIL DEL AÑO 2011
1) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones, en cada caso utilice las reglas indicadas que debe aplicar y, asimismo, simplifique al máximo su respuesta.
a) 4 2( ) 2f x x xln (Propiedades de la función logarítmica y deri-vada de una función logarítmica) (15%)
1/ 24 2
1/ 24 2
1 2
2
1
22
2
4
214
4
( ) 2
( ) 2
( ) 2
'( )2
'( )2
f x x x
f x x x
f x ln x ln x
xf x
x x
xf x
x x
ln
ln ln
b)
2
2 11( )
xf x x e
(Derivada del producto y derivada de una fun-ción exponencial) (15%)
2 22
22
22
23
1 11 2 2
12 1
12
12
'( ) ( )
'( ) 1
'( )
'( )
x x
x
x
x
f x x x x
f x x x
f x x x
f x x
e e
e
e
e
2) Dada la ecuación en dos variables: 2
2 3 4.3 32y x y
a. Utilice diferenciación implícita para encontrar '.y (10%)
22 3 4 4 2 3 6 4
2 3 6 4 4 2 3 6 4
2 2 3 5 3
2 2 3 5
3 3 2 2 5
3 2 2 2 3
3 32 2 3 32
2 3 32 2 2 32
2 3 4 6 8
6 4 6 8
4 8 6 6
4 6
' '
' '
' '
' 2y
y x y y y x x y
y x x y y y x x y
y x y y x x y y
y x y y x x y y
y y x y y y x x
y x y x y x
– 80 –
22 3 4 3 2 2 2 3
2 3 2 2 3 2
3 2 3 2
3 32 4 6
6 3
4
' 2
' '2 2 2
y
y
y x y y x y x y x
x x y x x yy y
x y y x y
b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de la ecuación
2
2 3 43 32y x y en el punto (2, – 2 ). (5%)
2 3 2
3
3 2 4
3 3 3
1 1 4 4 2
3 3 3 1
4 2 4 2
3 2 2 2 12 4 3 162 2
2 2 2 2 4 16 4 16
2 2 2
2
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )'( , )
( )[[ ( ) 2( ) ] ( ) (
( ) ( ) ( )
m y
y y m x x y x y x
y x y x
3) Sea
32
46 43
2 2
4 1 1
.x
y
x x
Encuentre y’ por diferenciación logarítmica. (15%)
3 32 2
4 1 / 3 46 4 6 43
32
1 / 3 46 4
3 1 / 3 42 6 4
3 1 / 3 42 6 4
2 6 4
2
2 2 2 2
4 1 1 4 1 1
2 2
4 1 1
2 2 4 1 1
2 2 4 1 1
3 2 2 4 1 4 1
43
2
( )
( )
( )
1( ) ( ) ( ) ( )
3
'
x xy y
x x x x
xln y
x x
ln y x x x
ln y x x x
ln y ln x ln x ln x
y x
y x
ln
ln ln
ln ln ln
5 3
6 4 2 2
5 3 5 3
2 6 4 2 6 4
32 5 3
4 2 6 46 43
24 4 4 44 3 3
2 4 1 1 2 2 2( 1)
6 8 16 6 8 16
1 4 1 1 1 4 1 1
2 2 6 8 16
1 4 1 14 1 1
1,
3
''
'
x x x x
x x x x
y x x x x x xy y
y x x x x x x
x x x xy
x x xx x
– 81 –
3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 0 2 2
2 2 0 2 0 2
2, 2.
2, 2), (2, 2)
: 2 (0, 0), 2
( ) ( )
:
: (
, , , .
( )( )
Posibles puntos de inflexión
x x x x
x x x x x x
Números críticos x x
Posibles valores extremos
4) Dada la función y sus derivadas:
23 3
2 2 3 32 2 2
16 2 2 16 128 2 2
4 4 4 4
8( ) ( )( ) , '( ) , ''( ) .
( )( ) ( )x x x x xx x xf x f x f x
x x x x
a) Halle los números críticos, los posibles puntos extremos relativos y los posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)
x ( )f x
32 3
2 2
0 0
2 2
32 3
b) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función ,f así como los máximos y mínimos relativos. (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de f
2, 3x +
2 2, 0x –
2, 3x +
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función.
Punto máximo relativo: 2 2( , )
Punto mínimo relativo: 2 2( , )
e) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos dónde la función f es cóncava hacia arriba y dónde la función f es cóncava hacia abajo, así como los puntos de inflexión. (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidades de f
32,
4x +
32 0,
3x –
30 2,
3x +
32 ,
4x –
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función.
Puntos de inflexión: 3 32( , ),
3 30, 0 2( ), ( , )
– 82 –
d) Verifique que y = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f y haga un bosquejo de
la gráfica de f (Utilice el sistema de coordenadas dado en la página siguiente). (5%)
2
2
8 80
40
8 80
4
( )
( )
:x x x
x x x
es una asíntota horizontal
xf x
xx
xf x
xx
Conclusión y
Lím Lím Lím
Lím Lím Lím
5) Dadas la función de costo promedio: 100
( )C x xx
y la ecuación de demanda: 3002x p de
una empresa.
a. Determine la función de utilidad en términos de x y encuentre el nivel de producción que maxi-miza la utilidad. (12%)
Ingreso: 2300 300( ) ( 2 ) ( ) 2R x x x R x x x
Costo: 2100100( ) ( )C x x x C x x
x
Utilidad: 2 2 2 2300 100 300 100( ) 2 2U x x x x x x x
2300 100 0 150
300
300 0 50
max 50
( ) 3 ,
'( ) 6
6
.El nivel de producción que imiza la utilidad es x
U x x x x
U x x
x x
unidades
b. Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción realmente maximiza la utili-dad. (4%)
– 83 –
Intervalos Valor de prueba Signo de 'U Crecimiento o decrecimiento de U
0 50, 10x +
50 150, 60x –
Por lo tanto, U tiene un máximo en x = 50 unidades.
c. ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre? (4%)
250 50 300 50 100 7,500 15 000 100 7, 400
300 300 50 300 100 200 200
3 , .
2 2 .
U
p p
U Lempiras
x Lempiras
JULIO DEL AÑO 2011
Selección Múltiple (MARQUE SU RESPUESTA CON LÁPIZ TINTA) (Valor 5% c/u) Total 35%:
1. La función 2
4( )f x x x tiene:
a) Un máximo en 2x
b) Un mínimo en 2x
c) Un máximo en 0x
d) Un máximo en 4x
2. Cuando la segunda derivada de una función es positiva ''( ) 0 :f x
a) '( )f x es creciente
a) '( )f x es decreciente
b) '( )f x es positiva
c) Ninguna de las anteriores es correcta
3. Si 3( ) ,f x x entonces
a) f tiene un valor extremo
(máximo o mínimo) en 0x
b) 0x es un número crítico de f
c) f tiene un punto de inflexión en 0x
d) b) y c) son correctas
4 2 0 2.
2 0
2 0
2.
, .
'( )
'( )
'( )
f es creciente
f es decreciente
Como es el único máximo resulta que es máximo absoluto
f x x x
x f x
x f x
f tiene un máximo relativo en x
2
2
3 6
0 0 .
0 0
0 0
0.
3 0 0
'( ) ' '( )
'(0)
' '( ) .
' '( ) .
'( )
,
f x x f x x
f x es un número crítico de f
x f x f es cóncava hacia abajo
x f x f es cóncava hacia arriba
f tiene un punto de inflexión en x
f x x para todo x f es creciente
y por lo tanto no t
.iene valores extremos
0
0
( ) '( ), '( ) ' '( ) .
'( ) '( )
( ) '( ).
Sea g x f x entonces g x f x
g x g es creciente f x es creciente
esto ultimo es cierto porque g x f x
– 84 –
4. Si 2
23 1( ) ,f x x entonces
a) 3
28
2 3'( )
( )f x
x
b)
23
4
3
'( )1
x
xf x
c) 2
2
4'( )f
xx
x
d) Ninguna de las anteriores es correcta
5. La derivada de 23 2 5 4 ,y x x x aplicando la regla del producto es:
a) 2
24 3 17'y x x
b) 34 8 3'y x x
c)
224 4 15'y x x
d) Ninguna de las anteriores es correcta
6. La aceleración ( )a t de un objeto es la segunda derivada de la posición respecto al tiempo.
Si la función de posición de un objeto es 2
0.81 2( ) ,s t t entonces la función
aceleración es
a) 20.81( )a t t
b) 1.62( )a t t
c 1.62( )a t
d) Ninguna de las anteriores es correcta
7. La elasticidad puntual de la demanda en la ecuación: 100x p cuando 50p es:
a) Elástica b) Inelástica c) Unitaria d) Ninguna de las anteriores es correcta
II. Tipo Práctico. Total 65%:
1) Dada la ecuación en dos variables2
28( ) :x yx y (Valor Total 15%)
a) Utilice diferenciación implícita para encontrar y’. (10%)
2 2 2 2 228 2 28 28
2 22 2 0 2 2
2 2
( )
' ' ( ) ' ' '
x y xy x xy y xy x xy y
x y x yx xy y y y x y y x y y y
x y x y
2 32
1 32
1 / 31
3
2
2
1
21 2
3
4 1
3
3
4
/( )
/'( ) ( )
'( )
' )1
(
x
f x x
f x x x
xf x
f xx
x
2 2
2
2 2
2
3 2 5 3 2 5
3 2 3 4 5
12 8 15 12 20 16
24 4 15
' 4 ' ' 4
' 4 4
'
'
y x x x x x x
y x x x x
y x x x x x
y x x
20.81 2
'( ) 2 0.81 1.62
1.62
( )
' '( )
s t
s t t
t t
s t
1100 100
50 5050 1 1.
50 100 50
.dx p dx p p p
dp x dp x p p
p
– 85 –
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 2
28( ) x yx y en el punto
(6, -4). (5%)
2 6 4 84
6 2 4 2
4 4 6 4 4 24 4 24 4 4 28
( ) ( )
( )
( ) ( )
m
y x y x y x y x
2) Si 3
6
312
5 10,
( )x
x
xy
e
encuentre y’ por diferenciación logarítmica. (15%)
3 3
3
3
3
1/ 3 1/ 36 6
12 12
6
3
12
6 12
1
3
1
3
1
3
1
3
'
6 12
5 10 5 10
5 10
5 10
5 10
5 14
24
0
( ) (( )
( )
( )
( )
( ) 2
)
( )
x x
x
xx e x
x
x xy ln y
e e
xlln y
e
ln
x x
x
y
ln y x x
ln y ln x x ln
y
y
x
x
ln ln ln
ln ln
ln
ln
2 2
2
3 3
3
2
2
3
33
6
312
1 '
3 5 10 5 10
25
15 2
2
25 10
5
2 5 2
2
(
'
' 4)
4
4 ' 4
x
x y x
y x
x xy y y y
x
x x
xx x
x
e
xy
x xx
3) Dadas la función de costo promedio100
10x
C x y la ecuación de demanda
500 4p x de una empresa. (Valor Total 15%)
a) Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad. (5%)
2 2 2
10010
10
500 4
500 4 100 5 490 100
10 490 0 49
49
( ) ( )
( ) ( )
'( )
El nivel de producción que máximiza la utilidad es unidades
U x p x C x x x x xx
U x x x x x U x x x
U x x x
x
– 86 –
b) Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción maximiza la
utilidad de la empresa. (5%)
10 49 10 0.
49 0, ,
49 . 49 0,
''( ) ''( )
''( )Como por el criterio de la segunda derivada la utilidad se maximiza cuando
se producen y venden unidades Como x es el único número crítico para x
entonces el máximo de la función es absolut
U x U
U
.o
c) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre? (5%)
2 2 2 249 5 49 490 49 100 5 49 10 49 100 5 49 100 11,905.
500 49 500 196 304
11,905.00 304.00
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4( )
. .
U
p
La utilidad máxima es de L y ocurre cuando el precio es de L
4) Dada la función
4 1
3 3( ) 4 ,f x x x donde2 5
3 3
1 24( ) 4( )'( ) , ''( )
3 9
x xf x f x
x x
(Valor Total 20%)
a) Encuentre los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión. (5%)
1 / 3 2 / 3 2 / 3
2 / 3
2 / 3 5 / 3 5 / 3
5 / 3
44 4 4
3 3 3 3
44 8 4
9 9 9 9
11
22
0 1
2 0
0 0 1 3
( )'( ) ( )
( )''( ) ( )
: , .
: , .
: ( , ) ( , )
xf x x x x x
x
xf x x x x x
x
Números críticos x x
Posibles puntos de inflexión en x x
Posibles puntos extremos y
Posibles punt
32 6 2 7.6 0 0: , 2 ( , ) ( , )os de inflexión y
b) Complete la siguiente tabla:
Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o
decrecimiento de f
] – , 0 [ x = – 1 – f es decreciente
] 0, 1 [ x = 1 / 8 – f es decreciente
] 1, + [ x = 8 + f es creciente
¿Cuáles son los intervalos donde f crece? ¿Cuáles son los intervalos donde f decrece? ¿Cuáles son los puntos extremos relativos de la gráfica de f? (5%)
f es decreciente en ] – , 1 [, f es creciente en ] 1, + [. Punto mínimo: (1, – 3)
– 87 –
c) Complete la siguiente tabla:
Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidad de f
] – , – 2 [ x = – 8 + f es cóncava hacia arriba
] – 2, 0 [ x = – 1 – f es cóncava hacia abajo
] 0, + [ x = 1 + f es cóncava hacia arriba
¿Cuáles son los intervalos donde f es cóncava hacia arriba? ¿Cuáles son los intervalos donde f es cóncava hacia abajo? ¿Cuáles son los puntos de inflexión de la gráfica de f? (5%)
f es cóncava hacia abajo en: ] – 2 , 0 [,
f es cóncava hacia arriba en: ] – , – 2 [ ] 0, + [
Puntos de inflexión: (– 2, 7.6), (0, 0).
d) Grafique. (5%)
Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo. Galileo Galilei
– 88 –
OCTUBRE DEL AÑO 2011
I. Selección Múltiple (MARQUE SU RESPUESTA CON LÁPIZ TINTA) (Valor 5% c/u. Total 30%)
1. La derivada con respecto a x de la función 2
4
1 5( )
xf x
x x
es:
a) 4
5 2( )'f x
x
b)
2
2 2
4( 1)
1 5( )'
( )
xf x
x x
c)
2
2 2
4( 1)
1 5( )'
( )
xf x
x x
d) Ninguna de las anteriores es correcta
2. La derivada con respecto a x de la función 1 2
2 1)/
( ) (f x x x es:
a) 3 2
1'( )
xf x
x
b) 1 2 1 2
2 1 1/ /
'( ) ( ) ( )f x x x x
c) 2 11
'( )x
f x xx
d) Todas las anteriores son correctas.
3. La ecuación de la recta tangente a la curva 3 ( )y x ln x en el punto donde 1x es:
a) 1y x
b) 1y x
c) y x
d) 1y x
4. Si 2( 1)z ln u y 1 ,u x entonces
a)
2
11( )
dz u
dx u x
b)
1
2
dz
dx x
c)
2
1
1
dz
dx u
d) Todas las anteriores son correctas.
b)
d)
a)
a)
d) d)
2
22
2 2 2
2 22 2
2
2 2
1 5 4 4 5 2
1 5
4 20 4 20 8 4 4
1 5 1 5
4( 1)
1 5
'( )
'( )
( )'( )
x x x xf x
x x
x x x x xf x
x x x x
xf x
x x
1 2 1 21
2
1 2 1 2
1 22
2 1) 1 2 1)
1) 2 1)
3 21) 1
1
/ /'( ) ( ( ) (
/ /'( ) ( (
/'( ) ( ( )x
f x x x x
f x x x x
xf x x x
x
3 2 2 2
3 2 2
1
1 1
13 3
1 1 0, 1 3 1 1 1.
0 1 1
1
' ( ) ( )
( ) ( )y y
y x x ln x x x ln xx
y ln m ln
y m x x x
y x
1 2 1 21
2
1
1 / 22 2( 1)
2
2 2
1 1
2
2
2
/ /1 ( ) ( )
.1 1 1
1 11
1 1 1
1 11
1 1 1
x
duu x x x
dx
dz dz du u u
dx du dx u u x
xpara u x
xx x
xpara u x
u x u
– 89 –
5. La pendiente de la recta tangente a la curva
52
y xx
en 4x es:
a) 5m
b)
5
8m
c)
15
8m
d) Ninguna de las anteriores es correcta
6. La derivada con respecto a x de la función 2
2 1( ) 1( ) x
f x x e es:
a)
23 1
2( )'x
f x x e
b)
23 1
2( )'x
f x x e
c)
24 1
2'( ) 1( ) xf x x x e
d) Ninguna de las anteriores es correcta
II. Tipo Práctico. Total 70%:
1. Dada la ecuación en dos variables3 2 3 2
5,x yx y utilice diferenciación implícita para
encontrar y’. (15%)
3 2 3 2 2 2 3 2 3
2 2 2 3
2 2 2 3
2 2 2 3
2 3
2 2
5 3 2 0
3 3 2 2 0
3 3 2 2 0
3 2 3 2
3 2
3 2
( )' ( )' '
( ') ( ) '
' '
'( )
'
x y x y x y
x y y
x y y
y y
y
y
x y x y y
x y x y y
x y x y y
y x y x x
x xy
x y
2. Si 2
284 12
1
4( )
,x
xx
e x
y
encuentre y’ por diferenciación logarítmica. (15%)
c)
a)
4 411 2 1 2 1 2 3 2
2
41 1 1 3 151 2 3 2
2 4 8 8 8
2 25 2 5
25 4 4 4 5 5
4
/ / / /' '
/ /( ) ( )
y x x x x x xx x
m
2 22 2
2 22
22
23
1 1
1 12 2
12
12
( ) 1 ' 1
'( ) 1 ( )
'( ) 1 1
'( )
( ) ( )'
( ) ( )
( )
x x
x x
x
x
f x x x
f x x x x
f x x x
f x x
e e
e e
e
e
– 90 –
22
1 4 1 42 28 812 12
28 12
28 12
12
12
4
12
4
12 2
4
1 3
4 4
1 4
1 4
81
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
ln )/
(
(/
( )
( )
( )
x x
x
x
xxy
e x e
x xy
ln y x x
ln y x x
ln
x
e
y
x
e
x x xx
x
ln ln
ln ln ln
ln ln
ln
11
12
12 12
11 11
12 12
1
2
4
11
2
2
284 12
1
2 24
2 2
4
2
12
1 4
2 1 2 1
1 14
2 1 1 2 1
1 1
4
4
4
4 4
)
( ) ( )
4
4)
3
(
3
3
4' '
( )
'
x
x
x
xx
xy
ln y x x x
y x x xxx x
y x x x x
x x x xy x y
xx x xe
x xx
x
ln ln
3. La función de costo total de un fabricante está dada por2
5 100( )C x x x donde C es
el costo total de producir x unidades. (Valor Total 20%)
a) Halle el nivel de producción que minimiza el costo promedio por unidad. (10%)
22
1
2
2
2 22 2 2
5 100 1005 100 5
5 100
100100
100 0 100 0 100 0 10 10
10
( )( )
1 1
1 1 ( )
. ,
' '
( ) ó
C x x xC x x x C x
x x x
C x x
C x Cx
x x x x x x x
Se descarta x Luego el nivel de producción que posiblemente minimiza el
co
10 .sto promedio por unidad es x unidades
b) Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción encontrado
minimiza el costo promedio por unidad. (6%)
– 91 –
Intervalos Valor de prueba Signo de 'C Crecimiento o decrecimiento de C
0 10] , [ 5x C es decreciente
10] , [ 20x C es creciente
10 .
, ,
unidades
Por lo tanto por el criterio de la primera derivada el costo promedio por
unidad es mínimo cuando el nivel de producción es de x
3
3 3
200 200 200200 10 0.2 0.
1,00010
10 .
( )
, ,
'' ''
unidades
C x Cx
Por lo tanto por el criterio de la segunda derivada el costo promedio por
unidad es mínimo cuando el nivel de producción es de x
c) ¿Cuál es costo promedio por unidad mínimo y cuál es el costo total correspondiente?
(4%)
2
:
10010 10 5 10 5 10 25 /
10
: 25 10 250 , :
10 10 5 10 100 250 .
( )
( )
( ) ( ) ( )
Costo promedio por unidad mínimo
Lempiras unidad
Costo total correspondiente Lempiras que también se puede calcular por
Lempiras
C
C
4. Dada la función2 2
1 2/
( ) .x
f x e
Donde 1y es una asíntota horizontal y
además2 2
2/
( )' xf x xe
y 2 2
2 1 1/
( ) .'' ( )( )xf x x xe
(Valor Total 20%)
a) Encuentre los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión. (5%)
2 0 0 0 3
1 1 0 1 1 1 2.2 1 2.2
. ( , ) .
: ( , ), ( , )( )( ) ó
x x es un punto crítico y un Posible punto extremo
x x x x Posibles puntos de inflexión
b) Complete la siguiente tabla: (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de f
1, 0x +
1, 2x –
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función.
Punto máximo relativo: 0 3( , )
c) Complete la siguiente tabla: (5%)
– 92 –
Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidad de f
3, 2x +
1 1, 0x –
1, 2x +
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función.
Puntos de inflexión:
1 2.2( , ) y 1 2.2( , )
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función. (5%)
El máximo relativo, en este caso, también es máximo absoluto porque resulta ser el único máximo y supera cualquier otro valor de la función. Esta curva es una versión de la curva NORMAL, ampliamente utilizada en ESTADÍSTICA.
UNAH/FCEAC/Métodos Cuantitativos/30-octubre-2011
– 93 –
3 21
2
2
2 2 5 2 3 2 10 0
6 10 3
6 2 10 2 3 24 23 1
0 1 2 2
( ) ( ) ( )
'( )
( ) ( )m
y
f x x x
y x y x
MARZO DEL AÑO 2012
I. Selección Múltiple (MARQUE SU RESPUESTA CON LÁPIZ TINTA) (Valor 5% c/u. Total 30%)
1. La recta tangente a la gráfica de la función 3 2
2 5 3 10,( )f x x x x en el punto donde
2,x tiene por ecuación:
a) 2y x
b) y x
c) 2y x
d) Ninguna de las anteriores es correcta.
2. Si 3
37( ) ,f x x x entonces el valor de 2'( )f es:
a) 500
b) 400
c) 600
d) Ninguna de las anteriores es correcta.
3. Si 2
5 ,x
y xe
entonces
a) 22
5 1 2'x
xy e
b) 2
2
5 10'
x
xy
e
c) Las respuestas a) y b) son correctas.
d) Ninguna de las anteriores es correcta.
4. Si
2
2
3,
u uz
u u
entonces la derivada de z con respecta a u está dada por:
a) 2
4
1( )
dz
du u
b) 2
4
1( )
dz
du u
c) 6
2
1
1
dz u
du u
d) Ninguna de las anteriores es correcta.
c)
23 2
23 2
2
3 7 3 7
2 3 2 7 2 3 2 7
2 3 6 5 3 6 6 5
2 18 30 540
'( )
'( ) ( ) ( ) ( )
'( )
'( )
f x x x x
f
f
f
d)
2 2
22
2 2
2 2
5 5 2
5 2
5 2 5 10
'
' 1
1'
x x
x
x x
y x x
y x
x xy
e e
e
e e
c)
2
2
2
2 2
3 3 1 3 1
1 1
1 3 3 1 1
3 3 3 1 4
( )
( )
( )( ) ( )( )
1
1 1
( )
( ) ( )
u u u u uz
u u uu u
dz u u
du u
dz u u
du u u
a)
– 94 –
5. Si 2ln 3 1z u y u x , entonces
a) 3
3 1
dz
dx x
b) 3
3 1
dz x
dx x
c) 3
3 1
dz
dx x
d) Ninguna de las anteriores es correcta.
6. La pendiente de la recta tangente a la curva 8( )y x ln x
en 9x es:
a) 5m
b) 3m
c) 1
3m .
d) Ninguna de las anteriores es correcta
II. Tipo Práctico. Total 70%:
1. Dada la ecuación en dos variables: 2 2
2 3 2 35 2 ,
x yx y y e
utilice diferenciación
implícita para encontrar y’. (25%)
2 22 3 2 3
2 2 2 22 3
2 2 2 22 2 3
2 2 2 22 2 3
2 23
2 22 2
3
3 3
3 3
3 3
3
3
2 0 2 6 2
3 2 2 12 4
3 2 4 2 12
3 2 4 12 2
12 2
3 2 4
' ' ' '
' ' '
' ' '
'
'
x yx y x y x
x y x yy y x
x y x yx y y x
x y x yx y x y
x yx y
x yx y
y y y y
y x y y y y
y y y y y x
y y y x
xy
y y
e
e e
e e
e e
e
e
1
2
1
2
2
11
22 2
11
22 2
6
6
3
ln 3 1 ,
3 1
3 1
3 1
x
x
z u u x x
dz dz du u
dx du dx u
dz x
dx x
dz
du x
a)
1
2
1
12
2
8
88
88
99 9 8 3
9 8 9
( )
1' ( )
2
1' ( )
2
1'( ) ( )
2
y x ln x
xy x ln x
x
xy ln x
x x
y ln
b)
– 95 –
2. Si 22 4
24 84
4
1
,
( )
xx e
x
y
x
encuentre y’ por diferenciación logarítmica. (25%)
2 22 4 2 4
1 424 8 24 84
22 41 422 4 24 8
1 424 8
2 22 4 24 8 2 4 24 8
22 4
4 4
1 1
44 1
1
4 1 4 1 4 1 4 1
4 1
(/
/( )
/
( )
(
) ( )
( )
( )
/ ( ) (
)
/ )
/
x x
x
x
x x
x
x e x e
x x x x
x eln y x e x x
x x
ln y x e x x x e x x
ln y x e
y
ln ln
ln ln ln ln ln ln
ln ln
ln
2
2
24 8
2 8
2 8
7 7
2 8 2 8
7
2 8
22 4
24
4 1 4 1
4 1 4( ) 1 4 1
4 1
4 24
4 6 4 1
2 8 2 21 4
4 1 4 1
2 2
4
6 68
6
1
4
8
8
/ ( )
/ / ( )
/ ( )
' '/
'
'
(
( )
(
)
x
y x y x
y
x x
ln y x x e x x
ln y x x x x
x xx x
x x x x x x
xx
y
xy y
x x x
xy
e
x
ln ln
ln ln ln ln
ln ln ln
7
8 2 84
2 2
1
68
4 1)
xx
x x x x
x
3. Dada la función 2 43
21 3( ) .f x x x (Valor Total 20%)
a) Encuentre los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión. (5%)
2 4 3 2
3 2
2 2
3
2
2 20
6
1 3 6 6 6 18
6 6 0 6 1 0 6 0 1 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1
1 2.5 0 1 1 2.5
6 18 0 18
( ) '( ) ''( )
( )
: , , .
: , , ( , ), ,
ó ó
ó ó ó
f x x x f x x x f x x
x x x x x x x x
x x x x x
números críticos x x x
Posibles puntos extremos relativos
x x
6 1 1 1 12
18 3 3 3 3
1 1, , , ,
3 3
11 11
6 6
6
0.6 1.8 0.6 1.8: ,
óx x x x
Posibles puntos de inflexión
– 96 –
b) Complete la siguiente tabla: (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de f
] – , - 1 [ x = – 2 +
] - 1, 0 [ x = – 0.5 –
] 0, 1 [ x = 0.5 +
] 1, + [ x = 2 –
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función.
Puntos máximos relativos:
1 2.5 1 2.5, , , Punto mínimo relativo: 0 1( , )
c) Complete la siguiente tabla: (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidad de f
1
3,
x = – 1 –
1 1
3 3,
x = 0 +
1
3,
x = 1 –
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función.
Puntos de inflexión:
1 1
, , , ,3 3
11 11
6 60.6 1.8 0.6 1.8,
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función. (5%)
UNAH/FCEAC/Métodos Cuantitativos/30-marzo-2012
– 97 –
JULIO DEL AÑO 2012
I. Selección Múltiple (MARQUE SU RESPUESTA CON LÁPIZ TINTA) (Valor 5% c/u. Total 20%)
1. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 2
2
7
1
( )x x
f xx
en el punto (2, -2) es:
a) 4 2y x
b) 4y x
c) 5 2y x
d) 2y x
2. Si 2 32( ) 1 ,f x x x x entonces
a) 4 25 3 2'( )f x x x
b) 3 2 22 1 22 3( )'( () )f x x xx x x
c) 2 2 31 3 2 22( )( ) ( )' x x xf x x x
d) Todas las anteriores son correctas.
3. La pendiente m de la recta tangente a la curva de la función 2 x
y x e
en 1x
es:
a) 3m e
b) 3m e
c) 1
m e
d) Ninguna de las anteriores es correcta.
4. Si 2
2
1( ) ,
1
xf x ln
x
entonces
a) 8
'( 2)15
f
b) 8
'( 2)15
f
c) 8'(2)
15f
d) Ninguna de las anteriores es correcta.
b)
2 2 2
2 22 2
225
2252
1 2 7 7 2 7 2 7
1 1
7 2 2 2 71 2) 1
2 1
2
( ) ( )'( )
( ) ( )( 2
( )
2 2 2 4
x x x x x x xf x
x x
m y x
y x y x y x
d)
2 2 3
4 2 2 4 2
4 2
1 3 2 2
3 2 3 2 2 4
5 3 2
2'( )
'( )
'(
( ) ( )
)
x x x x x
x
f x
f x
f x
x x x x
x x
2 2
1 2
1
2 2
1 1 2 1
2 3 3
'
( )'( ) ( ) ( )
1 ( )
x x xy x x x x
m y
m e e m e
e e e
e
2 2
2 2 2 2
1 1 2 8
5 3 15 15
1 1 2 8
5 3 15 15
1 1
2 2 1 12
1 1 1 1
2 4 4
2 4 4
( )
'( )
'( )
'( )
f x ln x ln x
x xf x x
x x x x
f
f
a)
a)
– 98 –
II. Tipo Práctico y completación. Total 70%:
1) Dada la función 62
2( ) ,f x x
x utilice la regla de la potencia para hallar '( ).f x
Deje su
respuesta simplificada y sin exponentes negativos. (20%)
31 2 1 26 12 2 32 2 2
1 22 2 22
33 3
1 2 6 62 2622 22
2 126 6 2 12
2 6
612 622
22
/ /( ) '( )
/
'( ) '( ) '( )/
x xf x x x x f x x x x x
x x x
xx xxx xf x f x f x
x xxx xx
2) Dada la ecuación en dos variables: 2 2 23 4 ,x ln y y x utilice diferenciación implícita
para encontrar y’. Deje su respuesta simplificada y sin exponentes negativos. (20%)
22 2 2
22
2
2
2 2
3 4 2 8 2
2 2 0 8 2 8 2
8 22 2 8
2
8 2
2
'' ' ' ' '
'' '
'' '
'
x yx ln y y x y y x x ln y
y
y xx x ln y y y x y y x x ln y
y y
x x ln yx yx ln y y y x y
y xy
y
x y x y ln yy
x y
3) Si
12 66
234
4 3,
( )( )
xy
x x
x e
encuentre y’ por diferenciación logarítmica. (20%)
212 6 1 6 1 63 12 66
2 434
2 1 6 1 63 12 62 1 6 1 63 12 6 4
4
2 1 6 1 63 12 6 4
1 12 12 6
6 6
4 3 4 3
4 34 3
3
43
4
/ /
/ // /
( )
/ /( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) (
x
x
xx
x
x x e x x
xx e
e x xln y e x x x
x
ln y e x x x
n y x ln e ln x ln x
y
ln ln ln
ln ln ln ln
43 ( )) ln x
– 99 –
11 5
12 6
11 5
12 6
11 5
12 6
1 12 12 6
6 6
11 51 1 1
12 66 6
12 66
234
4 3
4
3 4
412 66 4 6
46
46
3
4 3
( ) ( )
' 2
2'
2'
4 3
4 3
4 3
( ) ( )
( )( )
x
x
x
x
x
ln y x ln x ln x ln x
y x xxx x
x xy x xx
x xy y x
x x
x x x xy x
x xx e
4) Dada la función1 6 4
63( ) .f x x x (Valor Total 20%)
a) Encuentre los números críticos y los posibles puntos de inflexión. (5%)
5 31 6 4
6 4 2
43
5 12
'( )( )
'( )
f x x xf x x x
f x x x
5 3 3 2 34 0 4 0 2 2 0.
: 2 0 2., ,Números críticos
x x x x x x x
x x x
12 12 124 2 2 2 2
5 5 5
12 124 2
5 5
5 12 0 5 0 5 0
5 12 0 1.55 0 1.55, ,
x x x x x x x
x x x x x
x ( )f x
2 7
32.33
12
5
57
1250.456
0 3
12
5
57
1250.456
2 7
32.33
Posibles puntos de inflexión:
(-1.55, -0.456)
(0, 3)
(1.55, -0.456)
– 100 –
b) Complete la siguiente tabla: (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de 'f Crecimiento o decrecimiento de f
] – , - 2 [ x = – 3 –
] - 2, 0 [ x = – 1 +
] 0, 2 [ x = 1 –
] 2, + [ x = 3 +
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función.
Punto máximo relativo (0, 3) Puntos mínimos relativos;
(-2, -2,33), (2, -2.33)
c) Complete la siguiente tabla: (5%)
Intervalos Valor de prueba Signo de ''f Concavidad de f
] – , 12
5 [ x = – 2 +
] 12
5 , 0 [ x = – 1 –
] 0, 12
5 [ x = 1 –
] 12
5, + [ x =2 +
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función.
Puntos de inflexión:
(-1.55, -0.456), (1.55, -0.456)
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función. (5%)
UNAH/FCEAC/Métodos Cuantitativos/15-julio-2012
– 101 –
NOVIEMBRE DE 2012
1) Encuentre la derivada de la función: 2
1( ) .
xf x
xln
(20%)
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
1 2 1 1) 2 1 2 1
1 1 1 1
( ) ( )
( ( )'( ) '( )
f x ln x ln x
x x x x x x xf x f x
x x x x x x x x
2) Encuentre la derivada de la función: 2
( ) .x x
f x e
(20%)
1 22
1 2 1 2 22 21 1 11 2
1 / 22 222 2 2
/( )
/ //
'( ) ( )xx
x xf x
x xx x x xf x x x x f x x
e
e e e
3) Dada la ecuación: 2 3
,2 5x xy y encuentre 'y . (20%)
2 3 2
2 2
2
2 2
2 5 2 2 2 3 0
2 2 2 3 0 2 3 2 2
2 2 22 3 2 2
2 3 2 3
' ' ' ' ( ) ' ( ) ' '
' ' ' '
( )' ' '
x xy y x x y x y y y
x x y y y y x y y y x y
x y x yy x y x y y y
x y x y
4) Si
2
4
3 1,
xxy
x
e
Utilice diferenciación logarítmica para encontrar 'y .(20%)
2
2 1 2
1 2
2 1 2
1 12 2
2 2
1
2
4
4 3 1
3 1
4 3 1
4 3 1 4 3 1
1 3 10 2
3 1
/( ) ( ) ( )
/( )
/( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' '
xx
xln y ln y x x
x
xln y ln ln x x
ln y ln ln x x ln ln x ln y ln ln x x ln x
y yx
y x x y x
ee
e
e
ln ln ln
ln ln
2
1 2
3 1 32 2
2 3 1 2 3 1
4 1 32
2 3 13 1
'( ) ( )
'/ ( )( )
x y y xx x x
xxy x
x xx
e
5) Dada la función 3 2
4 6 1( )f x x x
a) Halle los números críticos y posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)
– 102 –
2
1 1
2 2
3 21 1 1 1 33 2
2 2 2 2 2
3 2
12 12 12 1 0 0 1
24 12 24 0
0 4 0 6 0 1 0 0 1 1. 4 6 1 1 0.
1 4 1 6 1 1 4 6 1 1.
0 1.
'( ) ( ). '( ) .
''( ) . ''( ) .
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
: ,
ó
Posible punto de inflex
f x x x x x f x x x
f x x x f x x
f f
f
Números críticos x x
1
2: 0, .( )ión
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función :f (5%)
Números críticos
0
1
Intervalos ], 0[ ]0, 1[ ]1, +[
Valor de prueba x = 1 x = 0.5 x = 2
Signo de f’ + +
Crecimiento o decrecimiento de la función
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función.
Punto máximo relativo: (0, 1)
Punto mínimo relativo: (1, 1)
c) Determine los intervalos donde la función f es cóncava hacia arriba y los intervalos donde la
función f es cóncava hacia abajo. (5%)
Valores donde f’’ es cero o no existe
1
2
Intervalos ], [ ] , +[
Valor de prueba x = 1 x = 1
Signo de f’’ +
Concavidad de la función
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función.
Punto de inflexión: ( , 0)
– 103 –
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (use el sistema de coordenadas dado a continuación). (5%)
ABRIL DE 2013
I. Selección Múltiple (MARQUE SU RESPUESTA CON LÁPIZ TINTA) (Valor 5% c/u. Total 25%)
1. La recta tangente a la gráfica de la función 4 2
5 3 6 1,( )g x x x x en el punto donde
1,x tiene por ecuación:
a) 11 20y x
b) 11 20y x
c) 20 11y x
d) 11 20y x
2. Si 4 22 3( ) ,f x x x x x entonces
a) 4 3 22 2 3 4 2 3( )( ) ( )' ) (( )x x x xx x xf
b) 4 33 2 5 2 4( )'( )f x x xx x
c) 5 4 26 15 6 12'( ) x x xf xx
d) Todas las anteriores son correctas.
3. Si 23 2 5
( ) ,x x
h x e entonces el valor de '(2)h es
a) 13
10e
b) 13
10e
c) 1310e
d) Ninguna de las anteriores es correcta.
3
3
4 21
1 1
'( ) 20 6 6
'( 1) 20 1 6 1) 6 20
5 1 3 1 6 1 1 9
9 20 1
9 20 20 20 20 9
20 11 11 20
( ) (
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )]
g x
m g
y
y x
x x
y m x y x
y x y x
y x y x
4 3 2
5 4 2
5 4 2
5 4 2
4 3
4 2 4 2
2 2 3 4 2 3
2 3 4 6
4 12 2 6
2 3 2
6 15 6 12
3 2 5 2 4
3
( )( ) ( )(
( ) ' '
'( )
'( )
'( )
)
'( )
x x x x x x
x x x x
x
f x x x x x x x x x
f x
f x
f x
x x x
x x x x
x xf x xx
a)
d)
2
2
13 13
3 2 56 2
3 2 2 2 52 6 2
2 10) 2 10
'( ) ( )
( ) ( )'( ) [ (2) )
'( ) ( '( )
x xh x x
h
h h
e
e
e e
b)
– 104 –
4. La pendiente m de la recta tangente a la curva de la función 1
1
xy
xln
en
1
2x
es:
a) 8
3m
b) 3
8m
c) 8
3m
d) Ninguna de las anteriores es correcta.
5. La derivada de la función 1
( ) ,x
f x x es
a) 2
3 2 2
1
2 1/
'( )f xx
x x
b) 2
3 2 2
1
2 1/
'( )f xx
x x
c) 2
2 1
'( )x
fx
x
d) Ninguna de las anteriores es correcta.
II. Tipo Práctico y completación. Total 75%:
1. Dada la ecuación: 2 2 3 2,6 2 10x x y y utilice diferenciación implícita para encontrar
y’. Deje su respuesta simplificada y sin exponentes negativos. (17%)
2 2 3 2 2 2 3
2 3 2 3 2 2 3
2 2 3 2 3
3
2 2 3
2
6 2 10 12 6 4 2 0
12 2 2 2 0 6 2 4 12
12 2 3 4 2 0 2 3 1 4 3
4 3 412 6 4 2 0 '
2 3 1
' ' ' ' ' '
' ' ' ' '
' ' '
' ' y
x x y y x x y y x y y y
x x y x y y y x y y y y x y x
x x y y x y y y y y x y x y
x yx x y y x y y y
y x y
2
33
2
x y
12
3
2
3 1
2 3'
3 1y
y x y
x y
y x y
1 1
2 2
2 8
1 3 3 3
2 2
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 12
( ) ( )
'
y ln x ln x
yx x x x
m
m m
c)
b)
1 2
1 21 1
2
1 22
1 2
2
1 2
1
222
1 2 21
1 2 22 2
2
3 2 2
1
1
1
1
2 1
/( )
/'( ) '
/1
'( ) 1
/
'( ) 1
1
/1
'( )/
1
'/
( )
x
x
x
f x x
f x x x x
xf x x
x
xf x
x
x
x
x xf x
x
x
x
f x
– 105 –
2. Si 2
4
53
2
,
xx
yx
e
Utilice diferenciación logarítmica para encontrar 'y . (18%)
5
3 3
4 4
2 21 22 5 4
1 2 1 24 4
1 2 12 4 4
2
21
42
5 53 3
3 2
2 2
3 2 3 2 5 2
2 2 4 2 245 5 5
2
/( ) ( )
/ /
/( ) ( ) ( ) ( )
''
2 2
x
xx x
x xy ln y ln y x x
x x
ln y ln ln x ln e ln x ln y ln ln x x ln x
y x xxy y
xy x x x x x
e eln ln e ln
3
4
2
1 24
53 2 2
5
2
'/ 2
xx x
yx xx
e
3. Dada la función 3 22 3 2( )f x x x (Valor Total 20%)
a) Halle los números críticos y posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%)
2
1
2
1 1
2 2
'( ) 6 6 6
''( ) 12 6 12
'( ) 0 6 0 0 1
''( ) 0 12 0
( 1).
( 1)
f x
f x
f x ó
f x
x x x x
x x
x x x x
x x
x f (x)
1 1 Números críticos: 1, 0x x
1
2
3
2
Posible punto de inflexión: 1 3,
2 2
0 2
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función :f (5%)
Números críticos
1
0
Intervalos 1, 1 0, 0,
Valor de prueba 2x 1
2x 1x
Signo de f’
Crecimiento o decrecimiento de la función
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función.
Punto mínimo relativo: ( 1, 1) Punto máximo relativo: (0, 2)
– 106 –
c) Determine los intervalos donde la función f es cóncava hacia arriba y los
intervalos donde la función f es cóncava hacia abajo. (5%)
Valores donde f’’ es cero o no existe
1
2
Intervalos 1
2,
1
2,
Valor de prueba 1x 0x
Signo de f’’
Concavidad de la función
Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función.
Punto de inflexión: 1 3,
2 2
d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a continuación). (5%)
4. Dadas la función de costo total2
28 50C x x y la ecuación de demanda
100 5p x de una empresa.
a) Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad. (10%)
2
2 2
2
100 5 28 50
100 5 28 50
6 72 50
'( ) 12 72
'( ) 0 12 72 0 12 6 0 6 0 6
, , 6
Función de ut (ilidad :
)
( )
( )
)
(
U x
U x
La utilidad máxima ocurre posiblemente cuando se producen
x x x
x x x
x x
x
x x x x
x unid
U x x
U x x
e
U
d
x
a s
– 107 –
b) Verifique, utilizando criterios de derivación, que tal nivel de producción maximiza realmente la utilidad de la empresa. (6%)
De acuerdo a la función de demanda, el intervalo donde está definida dicha función es [0, 20] tal como puede verse gráficamente.
Método 1: Teorema del valor extremo.
x ( )U x
0 50
6 166
20 1,010
Por tanto, la utilidad máxima absoluta ocurre cuando se producen 6x unidades y
además, dicha utilidad máxima es de L. 166.
Método 2: criterio de la primera derivada.
Números críticos
6
Intervalos 60, 6 20,
Valor de prueba 1x 7x
Signo de U’ Crecimiento o decrecimiento de la función
'(1) 12(1) 72 12 72 60'( ) 12 72
'(7) 12(7) 72 84 72 12
UU x
Ux
Por tanto, la utilidad máxima relativa ocurre cuando se producen 6x unidades y
además, debido a que es el único máximo relativo en el intervalo [0, 20], la utilidad máxima es también absoluta y ocurre cuando se producen 6x unidades.
Interceptos de la recta: 100 5p x
con los ejes coordenados:
0 100 5 0 100
0 100 5 5 100
100 5
20
/
0
( )
x x
x
x p p
p
x
2
2
2
0 6 0 72 0 50 50
6 6 6 72 6 50 216 432 50 166
20 6 20 72 20 50 2, 400 1, 440 50 1,010
( ) ( ) ( ) L.
L.
L.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
U
U
U
– 108 –
Método 3: criterio de la segunda derivada.
'( ) 12 72 12 6 12 0.''( ) ''( )U x x U x U
Por tanto, la utilidad máxima relativa ocurre cuando se producen 6x unidades y además,
debido a que es el único máximo relativo en el intervalo [0, 20], la utilidad máxima es también absoluta y ocurre cuando se producen 6x unidades.
c) ¿Cuál es la utilidad máxima y a qué precio ocurre? (4%)
26 6 6 72 6 50 216 432 50 166
100 5 6 100 30 70
( ) ( ) ( )
( )
L.
L.
U
p
Por tanto, la utilidad máxima absoluta es de L. 166 y ocurre al precio de L. 70.