Post on 01-May-2020
PROBLEMAS
MÉTRICOS
EN EL ESPACIOEN EL ESPACIO
2º Bachillerato
ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS
Ángulo entre dos vectores.
�u v u v cos(u , v)⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �
� u vcos(u , v)
⋅=
� �� �
� �
u�
v�
α � u vcos(u , v)
u v
⋅=
⋅
� �� �
u vcos
u v
⋅α =
⋅
� �
� �
v�
α
ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS
Ángulo entre dos rectas que se cortan.
su�
αru�
u u⋅� �
su�
α
s
r
r s
r s
u ucos
u u
⋅α =
⋅
� �
� �
ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS
Ángulo entre dos rectas que se cruzan.Se define como el ángulo formado por las rectas secantes paralelas alas dadas.
u u⋅� �
r s
r s
u ucos
u u
⋅α =
⋅
� �
� �
ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS
Ejemplo: Halla el ángulo formado por las rectas de ecuaciones:
ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS
Ángulo entre dos planos.
n n⋅� �
n� ′π n n
cosn n
′π π
′π π
⋅α =
⋅
� �
� �
αα
nπ
�
n ′π
�′π
π
ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS
Ejemplo: Halla el ángulo formado por los planos de ecuaciones:
ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS
Ángulo entre una recta y un plano.
( )d n
cos 90ºd n
⋅−α =
⋅
� �
� �
90º −α
n� r
α90º −α
π
d nsen
d n
⋅α =
⋅
� �
� �
ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS
x y z 2r :
x z 1
+ + =
+ =: x y 3π + =
Ejemplo: Halla el ángulo formado por la recta y el plano de ecuaciones:
ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOSEjemplo: Determina la recta r que es paralela al plano π : x − z = 3, forma 30ºcon el plano π’ : z = −2 y pasa por el punto A(0 , 3 , 5).
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO
Proyección ortogonal de un punto sobre un plano.
Se llama proyección ortogonal de un punto P sobre un plano π al punto P’ quese obtiene como intersección de la recta r, perpendicular a π que pasa por elpunto P, con el plano π.
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTOProyección ortogonal de un punto sobre un plano.
Ejemplo: Determina la proyección ortogonal del punto A(0 , 3 , 5) con el planoπ : x − z = 3.
( )n 1,0, 1π = −�
( )A 0,3,5=
x
r : y 3
z 5
= λ
= = − λz 5 = − λ
( )5 3 2 5 3 4π → λ − − λ = → λ − = → λ =
( )4 A ' 4,3,1λ = → =
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO
Proyección ortogonal de una recta sobre un plano.
Se puede obtener de dos formas diferentes:
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO
Ejemplo: Halla la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π:
( )rd 4,1, 1= −�
( )A 1, 2,3= −
Proyección ortogonal de una recta sobre un plano.
x 1 y 2 z 3r :
4 1 1
− + − += = : x y z 4π + − =
( )n 1,1, 1π = −�
( )r ( ) ( )π
La ecuación del plano π’ es:
x 1 y 2 z 3
4 1 1 0 y z 1 0
1 1 1
− + −
− = → + − =
−
Por lo tanto r es:x y z 4 0
r :y z 1 0
+ − − =
+ − =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
2 1 2 1 2 1d P,Q PQ x x y y z z= = − + − + −����
( )1 1 1P x , y ,z
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Distancia entre dos puntos.
( )2 2 2Q x , y ,z
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
d P,Q PQ 4 5 5 1 11 7 361 19u= = − + + + − − = =����
( )P 5, 1,7−
Ejemplo:
( )Q 4,5, 11−
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Distancia entre un punto y un plano. Método constructivo.
n�
P1. Hallar la recta r perpendicular a π
que pasa por P2. La intersección de π y r es el
r
π
P′2. La intersección de π y r es el
punto P’.3. La distancia entre P y P’ es la
distancia entre π y r.
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Distancia entre un punto y un plano. Expresión vectorial.
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Distancia entre un punto y un plano. Expresión analítica.
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Distancia entre un punto y un plano. Fórmula.
P ( )0 0 0P x , y , z
: ax by cz d 0π + + + =
π ( ) 0 0 0
2 2 2
ax by cz dd P,
a b c
+ + +π =
+ +
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Ejemplo: Calcula la distancia de P (3, 1, 7) a π : x −3y + 5z − 1 = 0
( )3 3 1 5 7 1 34− ⋅ + ⋅ −
( )2 2 2
3 3 1 5 7 1 34d P, 5'75u
351 3 5
− ⋅ + ⋅ −π = = ≈
+ +
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Distancia entre un punto y una recta. Método constructivo.
r
P′
d�
n� 1. Hallar el plano π perpendicular a
r que pasa por P2. La intersección de π y r es el
P
2. La intersección de π y r es elpunto P’.
3. La distancia entre P y P’ es ladistancia entre π y r.
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Distancia entre un punto y una recta. Método del punto genérico.
R1. El punto R es un punto genérico
de la recta y sus coordenadasdepende de λ.
rP
d� depende de λ.
2. Se obliga a que el vector seaperpendicular a r y por tanto a .
3. El producto escalar es 0 y sehalla λ y el punto P’.
PR����
d�
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Distancia entre un punto y una recta. Método del producto vectorial.
P
h
Área Base Altura= ⋅
RP d d h× = ⋅���� � �
r
R d�
h
( )RP d
dist P, r hd
×= =
���� �
�
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Ejemplo: Calcula la distancia del punto P (5, −1, 6) ax 1 2
r : y
z 5
= − λ
= −λ = + λ
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Ejemplo: Calcula la distancia del punto P (5, −1, 6) ax 1 2
r : y
z 5
= − λ
= −λ = + λ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
P 3,1,4 d P, r d P,P 3 5 1 1 4 6 12 u′ ′= → = = − + + + − =
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Ejemplo: Calcula la distancia del punto P (5, −1, 6) ax 1 2
r : y
z 5
= − λ
= −λ = + λ
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Distancia de una recta a un plano.
P 1. Si la recta corta al plano ladistancia es 0.
2. Si es paralela al plano la distancia
r
π
P′
2. Si es paralela al plano la distanciaes la de cualquier punto de larecta al plano.
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Distancia entre dos planos.
P 1. Si los planos son secantes ladistancia es 0.
2. Si son paralelos la distancia es la′π
π
P′
2. Si son paralelos la distancia es lade cualquier punto de uno de losplanos al otro.
DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.
Distancia de entre dos rectas que se cortan o son paralelas.
1. Si las rectas se cortan la distanciaes 0.
2. Si son paralelas la distancia es la
r
s
P
P′
2. Si son paralelas la distancia es lade cualquier punto de una de lasrectas a la otra.
r
s
DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.
Distancia de entre dos rectas que se cruzan. Método plano paralelo.
Ps
1. Hallamos el plano π paralelo a sque contiene a r.
2. La distancia de un punto de s a π
π
P′r
2. La distancia de un punto de s a πes la distancia entre las dosrectas.
( ) ( )d r,s d s,= π
DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.
Distancia de entre dos rectas que se cruzan. Método vector variable.
S
s 1. Un punto genérico de s S.Depende de λ.
2. Un punto genérico de s S. Dependede µ.
0S
R r
de µ.3. Se le impone que el vector sea
perpendicular a r y a s. Nos da R0
y S0.
RS����
( ) ( )0 0d r,s d R ,S=
0R
DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.Distancia de entre dos rectas que se cruzan. Método producto mixto.
Q
h
s
v�
v�
( ) ( )u, v,PQVol. paralelepípedo
d r,s d Q, hÁrea de la base u v
= π = = =×
����� �
� �
πr
Pu�
DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.Ejemplo: Calcula la distancia entre las rectas: x 5
r : y 1
z 8 2
= + λ
= − = + λ
x 4 3
s : y 3
z 5 4
= + µ
= − µ = + µ
DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.Ejemplo: Calcula la distancia entre las rectas: x 5
r : y 1
z 8 2
= + λ
= − = + λ
x 4 3
s : y 3
z 5 4
= + µ
= − µ = + µ
DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.Ejemplo: Calcula la distancia entre las rectas: x 5
r : y 1
z 8 2
= + λ
= − = + λ
x 4 3
s : y 3
z 5 4
= + µ
= − µ = + µ
PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.
r
rd�
� �
r sd d� �
t
rP
π ′πs
sd�
rd�
( )s s r sPlano : P ,d ,d dπ ×� � �
( )r r r sPlano : P ,d ,d d′π ×� � �
sP
( )
( )s s r s
r r r s
Plano : P ,d ,d dRecta t :
Plano : P ,d ,d d
π ×
′π ×
� � �
� � �
PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.
Ejemplo: Calcula la perpendicular común de las rectas cruzadas:
x
r : y 1
z 1
= λ
= + λ = − − λ
x 2 2
r : y 0
z 1
= − λ
= = + λ
MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.
Área de un paralelogramo del que se conocen los vértices.
B C
AB����
AAD����
Área paralelogramo ABCD AB AD= ×���� ����
D
MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.
Área de un triángulo del que se conocen los vértices.
B
AB����
A CAC����
� 1Área triángulo ABC AB AC
2= ⋅ ×
���� ����
MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.
Ejemplo: Hallar el área del triángulo de vértices:
( )A 5,2,1= − ( )B 1,7,5= ( )C 1,0,4= −
( )
( )( )
AB 6,5,4AB AC 23, 2, 32
AC 4, 2,3
= → × = − −
= −
�������� ����
����( )AC 4, 2,3= −
2 2 2 21 1 1Área triángulo AB AC 23 2 32 1557 19,73 u
2 2 2= ⋅ × = + + = ≈
���� ����
El área del triángulo es, aproximadamente, 19,73 unidades cuadradas
MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.
Volumen de un paralelepípedo del que se conocen los vértices.
AC����
AD����
AB����
AC����
Volumen del paralelepípedo AB,AC,AD =
���� ���� ����
MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.
Volumen de un tetraedro del que se conocen los vértices.
A
B
AB����
DAD����
A
CAC����
1Volumen del tetraedro AB,AC,AD
6 = ⋅
���� ���� ����
D
MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.
Ejemplo: Hallar el volumen del tetraedro de vértices:
( )A 3,5,7= ( )B 1,0, 1= − ( )C 7, 1,4= −
( ) ( ) ( )BA 2,5,8 BC 6, 1,5 BD 10,4, 5= = − = −���� ���� ����
( )D 11,4, 6= −
3
2 5 81 1 642
Volumen del tetraedro BA, BC,BD 6 1 5 107 u6 6 6
10 4 5
= ⋅ = ⋅ − = = −
���� ���� ����
LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO.
Plano mediador.
Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremosdel segmento AB.
( ) ( )d X,A d X,B=