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7/21/2019 Procesamiento de Seales Digitales 1ra Edicion Thomas J. Cavicchi
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Digital Signal Processing
Solutions Manual
Thomas J. Cavicchi
Grove City College
John Wiley & Sons, Inc.
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Digital Signal ProcessingSolutions Manual
Thomas J. Cavicchi
Table of Contents
Begins on pageChapter 2......................................................1
Chapter 3....................................................50
Chapter 4..................................................120
Chapter 5..................................................220
Chapter 6..................................................283
Chapter 7..................................................408
Chapter 8..................................................494
Chapter 9..................................................582
Chapter 10................................................658
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0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Time t in sec.
xc(t)
Continuous-time input xc(t).
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0 5 10 15-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Time (secs)
Amplitude
Simulated output yc(t) for input xc(t).
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Time t in sec.
xc(t)
Continuous-time input xc(t-t0), where t0 = 5.
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0
0.05
0.1
0.15
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0.25
0.3
0.35
Time (secs)
Amplitude
Simulated output yc(t) for input xc(t-t0) where t0 = 5
0 5 10 15-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
Time (secs)
Amplitude
Simulated output yc(t) for inputs xc(t) and xc(t-t0) where t0 = 5.
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0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time t (s)
yc(t)andestimates
* stems = lsim result; dt = 0.2s, Nintmax = 10Solid = exact sol., O stems = rectang. rule est.;
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-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-8
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-3
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-1
0
Time t (s)
yc(t)
Result of continuous-time convolution.
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0 1 2 3 4 5
0
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0.8
1
Time t (s)
xc(t)
Square-wave generated using "rem" function of Matlab.
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0 20 40 60 80 100-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Time index n
y(n)
O stems = result using conv routine; * stems = closed-form expression; a = 0.4.
0 20 40 60 80 100-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Time index n
y(n)
O stems = result using conv routine; * stems = closed-form expression; a = 0.95.
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0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time index n
h(n)
Stairs = dimpulse result, O stems = analytical solution result.Unit sample response of system y(n) - 0.2y(n-1) - 0.63y(n-2) = x(n).
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0 10 20 30 40 50-0.5
0
0.5
1
Time index n
y(n)
* stems = result of filter w/conv to neg z powers.O stems = res. of dlsim; + = res. of dimpulse;
0 10 20 30 40 50-0.5
0
0.5
1
Time index n
y(n)
O stems = result of filter; * stems = result of dimpulse = result of dlsim.
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0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
No. of Samples
Amplitude
Unit sample response: stairs = dstep, stems = calc using text solution equation.
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
No. of Samples
Amplitude
Unit step response: stairs = dstep, stems = calc using text solution equation.
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0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
No. of Samples
A
mplitude
* stems = eigenvalue methodh(n): stairs = dimpulse, O stems = calc using state-space soln. eq.;
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0 10 20 30 40 50-1
-0.5
0
0.5
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Time index n
y(n)
O stems = result of dlsim; * stems = sum of modes.
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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t, sec.
* = direct calculation from state-space eq. soln. in text.
solid = v output RL,cO = discretized
RL with dt = 0.002 sec
x = solution points using dlsim;
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-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
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1.5
Real Axis
ImagAxis
The sixth roots of z = -3 + j4.
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-2-1
01
2 -2
-1
0
1
2
-2
0
2
4
6
x = Re{z}
jy = jIm{z}
|ln(z)|
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-2 -10
12 -2
-1
0
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-6
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-2
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2
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x = Re{z}
jy = jIm{z}
Im{ln(z)}
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-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x = Re{z}
y=
Im{z}
Solid = Re{w(z)}, --- = Im{w(z)} where w(z) = x^2+jy^2 where z=x+jy.
0.214
0.107
0.5360.429
0.2140.322
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-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
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-0.5
0
0.5
1
1.5
x = Re{z}
y=Im
{z}
Solid = Re{w(z)}, --- = Im{w(z)} where w(z) = z^2.
-0.536
-0.321
0.321
0.107
-1.07
-0.643
1.070.643
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-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
|z|^2 + 2ang(z) - jang(z)cos(4|z|) (analytic now
Solid = Re{w(z)}, --- = Im{w(z)} where
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-1
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0
0.5
1
1.5
|z|^2 + 2ang(z) - jang(z)cos(4|z|) (analytic now
Solid = |w(z)|, --- = angle{w(z)} whereSolid = |w(z)|, --- = angle{w(z)} whereSolid = |w(z)|, --- = angle{w(z)} where
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0 5 10 15 20 25 30-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10* stems = result from "filter" w/conv to neg z powers.
Stairs = dlsim result; O stems = direct calc;
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-2-1
01
2 -2
0
2-2
0
2
4
6
x = Re{z}jy = jIm{z}
|X(z)| where X(z) = ZT{[(1-exp(-sig n)/n]u(n)}; sig = 0.8.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
Angle of z in radians
|X(z)|anditsestimate
Solid = exact |X(z)|; ---- = finite-sum estimate; |z| = 2.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
1
2
3
4
5
6
7
8
Angle of z in radians
|X(z)|anditsestimate
Solid = exact |X(z)|; ---- = finite-sum estimate; |z| = 1.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0.5
1
1.5
2
x 1044 ---- = finite-sum estimate; |z| = 0.7.
Angle of z in radians
|X(z)|anditsestimate
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105
0 5 10 15 20 25 30-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Time index n
y(n)
O stems = analytical solution; * stems = result using dlsim.
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0 20 40 60 80 100-100
-50
0
50
100
150
Time index n
y(n)
O stems = analytical solution; * stems = result using dlsim.
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ZIR ZSR
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0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Time index n
y(n)
O stems = analytical result; stairs = dlsim result.
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0 1 2 3 4 5 6 7-5
-4
-3
-2
-1
0
Time index n
h(n)
Lines = result from dimpulse; stems = results from analytical calculation.Unit sample response: num chosen for freqz.
0 1 2 3 4 5 6 7-5
-4
-3
-2
-1
0
Time index n
h(n)
Lines = result from dimpulse; stems = results from analytical calculation.Unit sample response: num chosen for dimpulse.
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0 5 10 15 20 25 30 35 400
1
2
3
4
5
6
Time index n
y(n)
O stems = analytical solution; * stems = dlsim with correct initial conditions.
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0 2 4 6 8 10-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Time t (sec).
gc(t)
Solid = analytical result; ---- = result of impulse{num,den,t}.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Frequency w (rad/s)
|Hc(jw)|
Magnitude of frequency response of given system
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0 1 2 3 4 5 6-2
0
2
4
6
8
10
12
14
Time t (sec)
xc(t)
xc(t) formed from Fourier series coefficients X(k) = alf^|k|, |k|
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131
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time t (sec)
xc(t)
xc(t) formed from Fourier series coefficients X(k) = alf |k|, |k|
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-1 -0.5 0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time t (s)
xc(t)
Solid = triangle wave FS reconstr.; --- = exact triangle; Nk = 50
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137
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Time t (s).
xc(t)
Reconstructed xc(t) using FS (cosine plus shifted triangle wave).
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time t (s)
xc(t)andFSestimate
One period of half-wave-rectified sine wave; solid = 50-term FS, --- = exact xc(t)
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4.12 65.6
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144
101
102
103
104
105
106
-30
-60
-90
0
Frequency (rad/sec)
Phasede
g
101
102
103
104
105
106
-20
0
20
40
Frequency (rad/sec)
GaindB
Hc(s) = 4.136e+005(s+8000)(s+3400)/[(s+5e+004)(s+1.5e+004)(s+300)
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147
101
102
103
104
105
106
-90
-180
0
90
Frequency (rad/sec
Phased
eg
101
102
103
104
105
106
-40
-20
0
20
Frequency (rad/sec
GaindB
Hc(s) = 6e+009s(s+1000)/[(s+500)(s+300)(s^2+1.6e+004s+6.464e+009)]
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153
0 50 100 150 200-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Time index n
Inputsignalx(n)
Input signal = 1.5cos(2 pi 0.02n) + 2cos(2 pi 0.2n+0.2pi) - sin(2 pi 0.4n).
-100 -50 0 50 100-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4Truncated digital high-pass filter unit sample response; M = 100
Time index n
h(n)
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0 50 100 150 200-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Time index n
Desiredoutputsignal
Desired output signal: -sin(2 pi 0.4n).
-100 0 100 200 300 400-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Time index n
Outputoffilter,y(n)
O stems = output of truncated filter; * stems = ideal output; M = 100.
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155
0 20 40 60 80 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Time index n
Outputoffilter,y(n)
O stems = output of truncated filter; * stems = ideal output; M = 3.
0 20 40 60 80 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Time index n
Outputoffilter,y(n)
O stems = output of truncated filter; * stems = ideal output; M = 100
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156
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157
-2-1
01
2 -2
0
2-100
-50
0
50
100
150
200
x = Re{z}jy = jIm{z}
|X(z)| where X(z) = ZT{[ln(a)^n/n!]u(n)}; a = 0.05.
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158
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Digital frequency f (cycles/sample)
|X(exp(j2pif)
|X(exp(j2pif)| where x(n) = [ln(a)^n]/n!, where a = 0.05.
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0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time index n
x(n)
x(n) = [ln(a)^n]/n!, where a = 10.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Digital frequency f (cycles/sample)
|X(exp(j2pif)|
|X(exp(j2pif)| where x(n) = [ln(a)^n]/n!, where a = 10
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161
-60 -40 -20 0 20 40 600
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3x(n) = DTFT-1{triangular spectrum}
Time index n
x(n)
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-0.5 0 0.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Digital frequency f
|X(exp(j2pif))|
Solid = exact X(exp(j2pif)); ----- = DTFT{truncated x(n)}
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167/725
164
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Time index n
y(n)
y(n) = x(n)*h(n)
-0.5 0 0.50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Digital frequency f
|Y(exp(j2pif))|
Solid = exact Y(exp(j2pif)); ----- = DTFT{truncated y(n)}.
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165
3000 3050 3100 3150 3200
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time index n
y(n)
O stems = exact y(n); * stems = convolution of causal sinusoid with h(n).
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400 420 440 460 480 500-30
-20
-10
0
10
20
30
Time index n
y(n)
O stems = analytical result; * stems = truncated "conv" result
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171
-3 -2 -1 0 1 2 3-1
0
1
Re{z}
jIm{z}
Pole-zero diagram of H(z) = -0.0625(z-2.646)(z+2.646)/[(z-0.5)(z-0.25)].
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-400
-300
-200
-100
0
Normalized frequency (Nyquist == 0.5)
Phase
(degrees)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-15
-10
-5
0
Normalized frequency (Nyquist == 0.5)MagnitudeR
esponse(dB) H(z) = -0.0625(z-2.646)(z+2.646)/[(z-0.5)(z-0.25)].
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172
0 2 4 6 8 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
No. of Samples
Amplitude
Unit sample response. Lines = dimpulse; stems = analytical solution.
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175
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Digital frequency f
angleofX(exp(j2pif))(radians)
Angle of DTFT of damped impulse train; a = 0.98, N = 20.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Digital frequency f
|X(exp(j2pif))|
Mag. of DTFT of damped impulse train; a = 0.98, N = 20.
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177
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1L = 10 rep s of finite-length geom. seq. alf n for n on 0, N-1; alf = 0.9, N = 10.
Time index n
Lrepetitionsofx(n)
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181
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1estimate using ZT-1 contour integration (* stems); |zc| = 1.5.
time index n
Comparison between x(n) (O stems) and
0 5 10 15 20 25 30-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
estimate using ZT-1 contour integration (* stems); |zc| = 0.9.
time index n
Comparison between x(n) (O stems) and
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0 5 10 15 20-1
-0.8-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time index n
x(n)
x(n) = cos(2pi f0 n) where f0 = 0.5 cycle/sample.
0 5 10 15 200
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
DFT index k
|X(k)|
20-point DFT of cos(2pi f0 n) where f0 = 0.5 cycle/sample.
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0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time index n
x(n)
x(n) = cos(2pi f0 n) where f0 = 0.25 cycle/sample.
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
20
25
DFT index k
|X(k)|
40-point DFT of cos(2pi f0 n) where f0 = 0.25 cycle/sample.
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0 20 40 60 80 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time index n
x(n)
x(n) = cos(2pi f0 n) where f0 = 0.1 cycle/sample.
0 20 40 60 80 1000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
DFT index k
|X(k)|
100-point DFT of cos(2pi f0 n) where f0 = 0.1 cycle/sample.
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0 20 40 60 80 100 120 140-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Time index n
Re{hH(n)}
* stems = closed-form result.O stems = Re{ifft calc. of Hilbert trans. unit sample resp.};
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0 20 40 60 80 100 120 140-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2x 10
-3
Time index n
Imag{hH(n)}
* stems = closed-form result.O stems = Im{ifft calc. of Hilbert trans. unit sample resp.};
0 20 40 60 80 100 120 140-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time index n
cos(w1n)
x(n) = cos(w1n) where w1 = 2piM/N with M = 5 and N = 128.
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199
0 20 40 60 80 100 120 140-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Time index n
Hilbert-filteredcos(w1n)andsin(w1n)
O stems = [y(n) = cos(w1n)*hH(n)]; w1 = 0.1pi, N = 128; O stems = sin(w1n).
0 20 40 60 80 100 120 140-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time index n
cos(w1n)
x(n) = cos(w1n) where w1 = 0.1pi with N = 128.
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200
0 20 40 60 80 100 120 140-1
-0.5
0
0.5
1
Time index n
Hilbert-filteredcos(w1n)andsin(w1n)
M = 5, N = 128; O stems = sin(w1n).O stems = [y(n) = cos(w1n)*hH(n)]; w1 = 2piM/N,
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0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
vCc(t) for vBc(t)=uc(t)-uc(t-T) in RC circuit with tau=RC= 0.1s,T = 0.5s, and vCc(0) = 0V.
Time t (s)
vCc(t)(V)
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0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
vCc(t) for vBc(t)=uc(t)-uc(t-T) in RC circuit with tau=RC= 0.01s,T = 0.5s, and vCc(0) = 0V.
Time t (s)
vCc(t)(V)
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
vCc(t) for vBc(t)=uc(t)-uc(t-T) in RC circuit with tau=RC= 0.1s,T = 0.5s, and vCc(0) = 2V.
Time t (s)
vCc(t)(V)
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time t (s)
vC
c(t)andvC(n)
Solid = vCc(t), stems = vC(n); T = 0.5 s, tau = 0.1 s, and dt = 0.005 s.
0 0.5 1 1.5 20
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25T = 0.5s, and vCc(0) = 0V.
Time t (s)
vCc(t)(V)
vCc(t) for vBc(t)=uc(t)-uc(t-T) in RC circuit with tau=RC= 2s,
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0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time t (s)
vCc(t)andvC(n)
Solid = vCc(t), stems = vC(n); T = 0.5 s, tau = 0.1 s, and dt = 0.2 s.
0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time t (s)
vCc(t)andvC(n)
Solid = vCc(t), stems = vC(n); T = 0.5 s, tau = 0.1 s, and dt = 0.1 s.
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+ +
+
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0 5 10 15 200
0.5
1
Time index n
x(n-2)
x(n-n0) and phase{DTFT{x(n-n0)}} for n0 = 2
-3 -2 -1 0 1 2 3-500
0
500
Digital frequency (rad/sample)
-a],
dyc(t)/dt# = -ayc(n)t) + bxc(n)t) = -ay(n) + bx(n). Also, #t=n)t
dyc(t)/dt# = -ayc((n-1))t) + bxc((n-1))t) = -ay(n-1) + bx(n-1). Also, #t=(n-1))t
Thus,y(n) = ()t/2)[-ay(n)+bx(n)-ay(n-1)+bx(n-1)] + y(n-1), or
Y(z){1 + a)t/2(1+z-1) - z-1} = (b)t/2)(1+z-1)X(z), or
(b)t/2)(1+z-1)H(z) = 1-z-1+ (a)t/2)(1+z-1)
)t b = 2 1 - z-1
a)t/2 +
1 + z-1 334http://librosysolucionarios.net
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0 2 4 6 8 10-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Time t (s)
Simulation using predictor-corrector; dt = 0.1 s
---*--- = predictor-corrector estimate of yc(t)
solid = exact yc(t)
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Time t (s)
Simulation using predictor-corrector; dt = 0.2 s
---*--- = predictor-corrector estimate of yc(t)
solid = exact yc(t)
0 2 4 6 8 10-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Simulation using predictor-corrector; dt = 0.3 s
---*--- = predictor-corrector estimate of yc(t)
solid = exact yc(t)
0 2 4 6 8 10-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time t (s)
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Clock
tsim
To Workspace1
Sine Wave
cos1
To Workspace2
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0 10 20 30 40 50 60 700
5
10
15
20
25
30
35
k
|X(k)|
N = 64, L = 10, theta = 0.DFT mag of sampled sinusoid sin(w1n) where w1N=2piL+theta
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0 10 20 30 40 50 60 700
5
10
15
20
25
30
35
k
|X(k)|
N = 64, L = 10, theta = 0.7854DFT mag of sampled sinusoid sin(w1n) where w1N=2piL+theta
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Digital frequency f
|X(exp(j2pif))|
Mag of freq resp of h(n) = u(n)-u(n-4); curves=DTFT calc; * = DFT calc
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413
0 5 10 15 20 25 30 350
100
200
300
400
500
DFT index k
|X(k)|
x(n) = n for 0
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
100
200
300
400
500
Digital frequency f
|X(exp(j2pif)
stems = |X(k)|. x(n) = n for 0
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
1
2
3
4
5
6
7
8
Digital frequency f
DFTF def, by analyt calc., by zero-padding, & by interp{DFT}; N = 16, M = 1024x(n) = triang. Stems = |X(k)|; other (identical) curves are: |X(exp(j2pif))| viax(n) = triang. Stems = |X(k)|; other (identical) curves are: |X(exp(j2pif))| viax(n) = triang. Stems = |X(k)|; other (identical) curves are: |X(exp(j2pif))| viax(n) = triang. Stems = |X(k)|; other (identical) curves are: |X(exp(j2pif))| viax(n) = triang. Stems = |X(k)|; other (identical) curves are: |X(exp(j2pif))| via
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Digital frequency f
|XL(k)|/Land|X(exp(j2pif))|
Stems = |XL(k)|/L and solid = |X(exp(j2pif))| for bandpass filter; #reps = L = 5
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
1
2
3
4
5
6
Digital frequency f
|XL
(k)|/Land|X(exp(j2pif))|
Stems = |XL(k)| via L-point FFT of L-repetitions-repeated h(n).Solid = |HL(exp(j2pif))| using property, --- = using direct sum calc of DTFT{hL(n)}Solid = |HL(exp(j2pif))| using property, --- = using direct sum calc of DTFT{hL(n)}Solid = |HL(exp(j2pif))| using property, --- = using direct sum calc of DTFT{hL(n)}
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Digital frequency f
|X(exp(j2pif))|and|XN(exp(j2pif))|
x(n) = a^nu(n), where a = 0.94, N = 128Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
1.5
2
Digital frequency f
|X(exp(j2pif))|and|XN(exp(j2pif))|
x(n) = a^nu(n), where a = 0.5, N = 16.Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|Solid = |X(exp(j2pif))|, --- = |XN(exp(j2pif))|, ... = window conv result, stems = |X(k)|
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0 5 10 15 20 25 30-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Time index n
h(n)
Digital FIR filter h(n).
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.53
3.5
Time index n
y(n)
O stems: y(n) = conv(x,h); * stems: y(n)=DFT-1{XH} with N = 30.
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0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Time index n
y(n)
O stems: y(n) = conv(x,h); * stems: y(n)=DFT-1{XH} with N = 59
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426
0 10 20 30 40 50 60 70-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Time index n
x(n)
x(n) = cos(5pi n/(3N)) - 2sin(5pi n/(2N) + pi/4); N = 64
0 10 20 30 40 50 60 70-20
-15
-10
-5
0
5
10
Time index n
h(n)
h(n) = bandpass filter with cutoffs at f = 0.22 and 0.45.
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427
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
10
20
30
40
50
60
Digital frequency f
|H(exp(j*2pif))|
|H(exp(j*2pif))|.
0 10 20 30 40 50 60 70-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Time index n
ype
r(n)=N-periodicconvolution.
DFT-1{X(k)H(k)} = N-periodic convolution.
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428
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Digital frequency f (corresponding to DFT index)
|X(k)|
|X(k)| with zero-padding
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
10
20
30
40
50
60
Digital frequency f (corresponding to DFT index)
|H(k)|
|H(k)| with zero-padding.
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429
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Digital frequency f (corresponding to DFT index)
|Y(k)|
|Y(k)| where y(n) = x(n)*h(n); aperiodic convolution resul
0 20 40 60 80 100 120 140-15
-10
-5
0
5
10
Time index n
y(n)
* stems = zpadded DFT result.
O stems = y(n) = x(n)*h(n); aperiodic conv using conv(x,h)
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430
0 10 20 30 40 50 60 70-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Time index n
yN(n)
O stems = DFT-1{X(k)H(k)}; * stems = N-aliased y(n).
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432
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Time index n
x(n)andaliasedx(n)
O stems = original x(n); * stems = aliased x(n) (by DFT and formula); N = 10
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time index n
x(n)andaliasedx(n)
O stems = original x(n); * stems = aliased x(n) (by DFT and formula); N = 30.
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0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time index n
x(n)andalias
edx(n)
O stems = original x(n); * stems = aliased x(n) (by DFT and formula); N = 10
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0 10 20 30 40 50 60 700
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Time index n
x(n)andDFT-1{MsamplesofDTFT}
N = 64, M = 32O stems = x(n); * stems = samples of DFT-1{M samples of XN(exp(jw))
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0 100 200 300 400 500 600-40
-20
0
20
40
60
80
Time index n
x(n)
Sample of speech data.
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Digital frequency f
|H(exp(j*2*pi*f))|
Bandpass filter magnitude frequency response
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Digi tal frequency f
|X(exp(j*2*pi*f))|(DFT
magnitude)
Magnitude of DFT{x(n)}.
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Digital frequency f
|Y(exp(j*2*pi*f))|
Filtered data magnitude spectrum.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Digital frequency f
|Shifted-spectrumY|
Magnitude of frequency-shifted, filtered data spectrum.
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Digital frequency f
|Y(exp(j*2*pi*f))|
Cleaned-up frequency-shifted, bandpass-filtered data magnitude spectrum.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Digital frequency f
|H(exp(j*2*pi*f))|
Lowpass filter magnitude frequency response
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0 20 40 60 80 100-2
0
2
4
6
8
10
Time t in sec.
xc(ndt)
Sampled continuous-time function; dt = 1 s
0 20 40 60 80 1000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
DFT index k
|X(k)|
DFT of N=100-point sample of continuous-time function
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441
0 200 400 600 800 10000
50
100
150
200
250
300
350
400
450
DFT index k
|Xzp(k)|
Zero-padded DFT array for time-domain interpolation.
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0 200 400 600 800 1000-2
0
2
4
6
8
10
Time index n
xe(n)
xe(n) = zero-interlaced version of x(n) used for time-domain interp.; L = 10.
0 200 400 600 800 10000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
DFT index k
|Xe(k)|
M-point DFT of xe(n)
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0 200 400 600 800 10000
50
100
150
200
250
300
350
400
450
DFT index k
|Xi(k)|
Xi(k) = lowpass version of M-point DFT of xe(n)
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0 20 40 60 80 100-2
0
2
4
6
8
10
Time t in sec.
xc(ndt)
O stems = exact samples every dt = 1 s; * stems = downsample{upsample{x(ndt)}}.
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0 5 10 15 20 25 30 35-3
-2
-1
0
1
2
3
Time index n
x(n)
O stems = ifft result; * stems = closed-form expression for x(n).
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447
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Time t (sec.)
xc(t)an
ditssamples
Solid curve = xc(t); stems = x(n) = xc(ndt).
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0 20 40 60 80 100 120 140-3
-2
-1
0
1
2
3
Time index n
xe(n)
xe(n) = zero-interlaced version of x(n); L = 4.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Digital frequency f (= w/(2pi))
|Xe(exp(jw)|
|Xe(exp(jw))| = |DTFT{xe(n)}|; L = 4.
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0 20 40 60 80 100 120 1400
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
DFT index k
H(k)
H(k) = L times (0.5/L)-LPF for interpolation; L = 4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
10
20
30
40
50
60
70
80
Digital frequency f (= w/(2pi)
|Xi(exp(jw)|
|Xi(exp(jw))| = L times (0.5/L)-LPF version of |Xe(exp(jw))|; L = 4.
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450
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Time t (sec.)
xc(t)anditssamples
Solid curve = xc(t); O stems = x(n) = xc(ndt); * stems = upsampled xi(n); L = 4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Time t (sec.)
xc(t)anditssamples
M = 3, L = 4.Solid = xc(t); stems = M-downsampled after L-upsampled ~= xc(n(M/L)dt);
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0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time index n
h(n)andh`(n)
O stems = h(n); * stems = h`(n).
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0 10 20 30 40 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Time index n
h(
n)andh(n-n0)
* stems = h(n-n0) where n0 = 8; O stems = h(n).
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457
0 20 40 60 80 10-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Lag index k
rhh1(k)andrhh(k)
O stems = rhh1(k) where n0 = 8; * stems = rhh(k).
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459
0 20 40 60 80 100 120 140-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Time index n
x(n)andx(n-n0)
O stems = x(n); * stems = x1(n) = x(n-n0); n0 = 10
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-150 -100 -50 0 50 100 150-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag index k
rxx1(k)
O stems = result using time-domain calc; * stems = DFT method.rxx1(k) where x1(n) is n0-delayed version of x(n); n0 = 10.
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462
0 20 40 60 80 100 120 140-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Time index n
x1(n)andnoise-corrupte
dx1`(n)
O stems = x1(n); * stems = noise-corrupted x1`(n); SNR = 0 dB.
-150 -100 -50 0 50 100 150-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag index k
rxx1`(k)
of x(n); n0 = 10; SNR = 0 dB.rxx1 (k) where x1 (n) is n0-delayed and noise-corrupted version
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0 20 40 60 80 100 120 140-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Time index n
x1(n)andnoise/conv-corruptedx1``(n)
Filter is highpass with cutoff = 0.02O stems = x1(n); * stems = noise/conv-corrupted x1``(n); SNR = 10 dB
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464
-150 -100 -50 0 50 100 150-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Lag index k
rxx1``(k)
n0 = 10; SNR = 10 dB. Filter is highpass with cutoff = 0.02rxx1``(k) where x1``(n) is n0-delayed and noise/conv-corrupted version of x(n);
0 20 40 60 80 100 120 140-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Time index n
x1(n)andnoise/conv-corruptedx1``(n)
Filter is highpass with cutoff = 0.1O stems = x1(n); * stems = noise/conv-corrupted x1``(n); SNR = 10 dB
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-150 -100 -50 0 50 100 150-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Lag index k
rxx1``(k)
n0 = 10; SNR = 10 dB. Filter is highpass with cutoff = 0.1.rxx1``(k) where x1``(n) is n0-delayed and noise/conv-corrupted version of x(n);
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472/725469
0 50 100 150 200-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Time index n
y(n)
O stems = exact aperiodic conv y(n) = x(n)*h(n); * stems = overlap-add result.
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