Post on 05-Mar-2018
Procesamiento digital de señales Semana 5.
DFT
Dra. María del Pilar Gómez Gil
Otoño 2017
Coordinación de computación
INAOE Versión: 11 de Octubre 2017
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 1
Tema La transformada Discreta de Fourier
(tarea: leer los capítulo 8 y 9 del libro de texto)
Gran parte del material de esta presentación fue tomado de:
Smith, Steven The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing W. , Second Edition, 1999, California Technical Publishing
Smith, Steven W. Digital Signal Processing. A Practical Guide for Engineers and Scientist. Amsterdam: Newnes, Elsevier Science. 2003. ISBN: 0-750674-44-X.
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 2
Fasor
O Es la representación de un número
complejo a través de un vector que gira a
cierta velocidad en el plano real-imaginario
O Se puede escribir como:
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 3
a
bbabja 122 tan
cis = “Coseno + i Sen “
Representación de un número complejo
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 4
Real
Imag.
a
b
a
bbabja 122 tan
Ecuación ó Identidad de Euler
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 5
1
constante
)()(
j
w
wtjSenwtCose jwt
fasor un es jwte
Proyección de un fasor en el eje de los números reales
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 6
Animación de la
proyección de la parte
real de un número
complejo que gira, lo
cual dibuja un coseno !!!
By Gonfer at English
Wikipedia, CC BY-SA 3.0,
https://commons.wikim
edia.org/w/index.php?c
urid=11313700
Transformaciones de señales
O Una señal se puede descomponer en la
combinación de otras señales base
O Una transformación es la representación de
una señal utilizando algún otro sistema de
funciones base
O En PDS se utilizan mucho las tranformaciones.
Las mas comunes son las transformadas
discretas de Fourier (DFT), Laplace, Z, Hilbert,
wavelets (WT) y Coseno (DCT)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 7
El concepto de “funciones base” base, con un ejemplo de “kinder”
Para hacer plastilina “verde” cuando no tienes…
Verde = 0.4 x Azul + 0.6 x Amarillo
8
e
d
r
e
v
amarillo
rojo
azul
6.0
0
4.0
La familia de Transformadas de Fourier
O El análisis de Fourier debe su nombre a Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
O Fourier estaba interesado en la propagación del calor, y en 1807 publicó un artículo sobre como usar sinusoides para representar distribuciones de temperatura.
O Allí aseguró que cualquier señal periódica podría representarse como la suma de ondas sinusoidales, escogidas correctamente.
(Smith, 1999)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 9
Tipos de FT
Tipo de Señal Discreta Continua
Periódica
Transformada de
Fourier Discreta (DFT)
Serie de Fourier
Aperiódica Transformada de
Fourier en tiempo
discreto (Discrete
Time Fourier
transform, DTFT)
Requiere un número
infinito de sinusoides!
Transformada de
Fourier
Requiere un número
infinito de sinusoides!
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 10
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 11 (Smith, 1999)
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
(El único tipo que pueden usar las computadoras, pues
solo manejan señale discretas y finitas)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 12
DFT
Señal en el
tiempo (n)
f(n)
Señal en la
frecuencia (u)
F(u)
Transformada Discreta de Fourier (cont.)
f(n)n)K(u,F(u)
u = 0,1,2, ..., N-1
1
0
2
)()(N
n
unN
j
enfuF
13
K se conoce como el “núcleo” de la transformada
DFT expandida
O La DFT puede expandirse en n (dominio del tiempo),
o en u (dominio de la frecuencia)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017
14
1
0
12
1
0
12
1
0
02
)()1(
)()1(
)()0(
N
n
nNN
j
N
n
nN
j
N
n
nN
j
enfNF
enfF
enfF
DFT expandida (cont.)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 15
12
12
02
)1()1()0()(
Nu
Nju
Nju
Nj
eNfefefuF
Kernel o núcleo de transformación
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 16
)1(
)1(
)0(
)1(
)1(
)0(2
Nf
f
f
e
NF
F
Fun
N
j
<---- n -------->
u
unN
j
e2
W Núcleo de transformación
Ejemplo
O Calcular la DFT de {2, 0, 1, 3}
Para este ejemplo N=4, entonces
ya que, por la ecuación de Euler:
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 17
jjjSenCosej
022
2
ununjunN
j
jee
2
2
W
Cálculo del kernel para el ejemplo
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 18
jjj
j
)1(111
111
3
2
Recodar que…
Cálculo del kernel para el ejemplo (cont.)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 19
jjjjjjjj
jjjjjj
jjj
jjjjj
jj
jj
j
)(11
1)(11
11)1(11
)1(11
1)1(11
1
33399
23366
2244
233
222
1
0
Cálculo del kernel para el ejemplo (cont.)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 20
jj
jj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
11
1111
11
1111
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
9631
6420
3210
0000
W
Ejemplo (cont.)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 21
2490.110
0
2490.110
06
31
0
31
6
3102
3102
3102
3102
3
1
0
2
11
1111
11
1111
j
j
j
j
jj
jjF(u)
Ejemplo sobre manejo de números complejos en Matlab y uso de función “fft” (código aquí)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 22
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 23
Ejemplo sobre manejo de números complejos en Matlab y uso de función “fft” (cont.)
Ejecución del ejemplo
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 24
Otro ejemplo de cálculo DFT
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 25
Código
Otro ejemplo (cont.)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 26
Otro ejemplo (cont.)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 27
Sobre la parte real y parte imaginaria de la DFT
O La DFT de una función con N puntos resulta
en un número complejo con N puntos.
Entonces la DFT puede dividirse en dos
componentes: una parte real y una
imaginaria.
O La parte real corresponde a los
componentes coseno y la imaginaria a los
componentes seno.
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 28
Parte real e imaginaria de DFT
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 29
(Smith, 1999)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 30 (Smith, 1999)
En el ejemplo anterior…
z= real(fft(x));
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 31
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 32
¿Qué representa el eje horizontal de F(u)? (1/3)
O Recordemos que la forma general de una función coseno continua está dada por:
donde w es la frecuencia, dada en radianes/segundo
O 2π radianes = 360º = darle una vuelta a un circulo
Entonces:
Donde f = frecuencia en ciclos/segundo = Hertz
33
)cos()( wttx
)2cos()( fttx
34
"Sine cosine one period" by Geek3 - Own work.
Licensed under Creative Commons Attribution 3.0 via Wikimedia Commons -
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sine_cosine_one_period.svg#mediaviewer/File:Sine_cosine_one_period.svg
¿Qué representa el eje horizontal de F(u)? (2/3)
O La función coseno discreta se define como:
donde es el periodo de muestreo.
se conoce como frecuencia
normalizada ó natural
35
)2cos()( nf
fnTx
muestreo
señalmuestreo
)2cos()( muestreoseñalmuestreo nTfnTx
muestreoT
muestreo
señal
f
f2
0 N/2 N-1 Sin dimensión
(posicional) u
π 2π Radianes
0.5 1 sin dimensiones
Hz
¿Qué representa el eje horizontal de F(u)? (3/3)
36
muestreo
señal
f
f
señalf
Lo sombreado representa al rango “útil” o disponible de frecuencias
de cualquier sistema discreto
2muestreof
Frecuencia de Nyquist ! muestreof
muestreo
señal
f
f2
Funciones base de la DFT
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 37
(Smith, 1999)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 38 Figura 8.5 de (Smith, 1999)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 39 Cont. Figura 8.5 de (Smith, 1999)
Síntesis de la DFT
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 40
(Ecuaciones 8.2 y 8.3, Smith 1999)
O Se define como:
para n = 0,1 .. N-2
O Al comparar esta ecuación con la de DFT, se nota que solo el signo del exponencial es diferente!
DFT inversa
)(1
)(
21
0
uFeN
nf
unN
jN
n
41
O Obtener la transformada inversa de:
Ejemplo
jjuF 31 ,0 ,31 ,6)(
3
1
0
2
12
4
0
8
4
1
31
0
31
6
11
1111
11
1111
)(
j
j
jj
jjnf
42
O Multiplicación del primer renglón por
primera columna:
O Multiplicación del cuarto renglón por
primera columna:
Ejemplo (cont.)
8310316 jj
1266336 222 jjjjj
43
O Leer:
Ramirez-Cortés JM, Gómez-Gil MdP, Baez-López D. “El Algoritmo de la Transformada
Rápida de Fourier y su Controvertido Origen”, Revista Ciencia y Desarrollo, Vol. XXIV, No.
139, Marzo-Abril 1998.
Disponible en:
http://www-elec.inaoep.mx/~jmram/cvjmr/El algoritmo de la FFT y su controvertido 1998.pdf
Transformada Rápida de Fourier
44