SUMA DE CUBOS

2.2.3 Productos NotablesSon aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación.

• Cuadrado de Binomio:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Ejemplo:

La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente:

(5x – 3y)2 (5x)2

- 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2

- 30xy + 9y2

bab

a ab2

2

a b

b

a

a b

a

b

• Cubo de binomio:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando potencias...

Multiplicando...

(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3

= 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3

= 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3

(3x – 2y)3 =

• Suma por su diferencia:

Ejemplo: Aplicando la fórmula...

(a + b)∙(a – b) = a2 – b2

(5x + 6y)∙(5x – 6y) =(5x)2 – (6y)2

= 25x2 – 36y2

Producto con Termino Común:

Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

Ejemplo 1:Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

(x + a)∙(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

(x + 4)∙(x + 2) =

= x2 + 6x + 8

x2 + (4 + 2)x + 4∙2

Ejemplo 2:Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

(y - 4)∙(y + 2) =

= y2 – 2y - 8

y2 + (-4 + 2)y - 4∙2

(M - 4)∙(y + 8) M2 + (-4 + 8)M - 4∙8

Desarrollando...

= M2 +4M - 32

• Diferencia de cubos:

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

8x3 – 64y3 =(2x)3 – (4y)3

= (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 )

= (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )

Suma de cubos:

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3

= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)

= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)

DIFERENCIA DE CUBOS

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3

= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)

= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)