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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 1
PROGRAMACI ÓN LI NEAL
GRÁFICA DE DESIGUALDADES
EJERCICIO N° 1
2X1 + 4X2 ≤ 12
1) Convertir la desigualdad en igualdad 2X1 + 4X2 = 12
2) Graficar una recta Recta.- representa una ecuación de 1° Curva.- representa una ecuación de 2°
X1
X2
0 6
3 0
3) Escojo un punto de ensayo. Recomendado: P(0,0)
4) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad
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EJERCICIO N°2 3x1 + 6x2 ≥ 17
3X1 + 6X2 = 17
X1
X2
0 5
2.8 0
P (0,0) 3(0)+6(0) ≥17
0 ≥ 17 FALSO
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RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
EJERCICIO N° 3
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de Empresas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de $300. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de $100. El máximo de liquidaciones mensuales disponible es de 60.
LIQUIDACIONES AUDITORÍAS DISPONGO DE:
X1 X2 HORAS DE TRABAJO 8 40 800 HORAS DE REVISIÓN 5 10 320
UTILIDAD 100 300
FUNCIÓN OBJETIVO MAXIMIZAR: Z=100X1+300X2
S.a.
8X1+40X2 ≤ 800 5X1+10X2 ≤ 320
X1 ≤ 60 Cond. Téc. X1, X2 ≥ 0 8X1+40X2 = 800
X1
X2
0
100
20 0
8(0)+40(0) ≤ 800
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0 ≤ 800 VERDADERO 5X1+10X2 = 320
X1
X2
0 64
32 0
5(0)+10(0) ≤ 320 0 ≤ 320 VERDADERO X1 = 60
PUNTO X1 X2 Z
A 0 0 0
B 0 20 6000
C 40 12 7600
D 60 2 6600
E 60 0 6000
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Para calcular los puntos C Y D por el método de eliminación 8X1+40X2 = 800 5X1+10X2 = 320 (-4) 8X1 + 40X2 = 800 -20X1 - 400X2 = -1280 -12X1 = - 480 X1 = 40
8(40) + 40X2 = 800 40X2 = 800 -320 X2 = 12 X1 = 60
5(60) + 10X2 = 320 10X2 = 320 – 300 X2 = 2
Solución Óptima (SO): Z =7600
Restricciones Activas (RA): 1,2
Restricciones Inactivas: (RI): 3
Variables Óptimas (VO): X1 = 40; X2 = 12
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COMPROBACIÓN 1) 8 X1 + 40 X2 ≤ 800 8(40)+40(12) ≤ 800 320 + 480 ≤ 800 800 ≤ 800 Hay Equilibrio 8 X1 + 40 X2 + h1 = 800
8(40) + 40 (12) + h1 = 800 800 + h1 = 800
h1 = 0
2) 5 X1 + 10 X2 ≤ 320
5(40) + 10(12) ≤ 320 200 + 120 ≤ 320 320 ≤ 320 Hay equilibrio 5 X1 + 10 X2 + h2 = 320
5(40) + 10(12) + h2 = 320 200 + 120 + h2 = 320
h2 = 0
3) X1 ≤ 60
40 ≤ 60 Hay Holgura X1 + h3 = 60
40 + h3 = 60 h3 = 20
Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de $7600. Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo de liquidaciones posibles en el mes. CONCEPTOS: Maximización: representa el punto más lejos del origen. Minimización: representa el punto más cercano al origen. Arco Convexo: Sector de posibles soluciones limitado por cada contorno de las
ecuaciones. RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS Restricciones Activas.- aquellas rectas que son parte de la solución, se cumple la
igualdad al sustituir las variables. Restricciones Inactivas.- aquellas rectas que no forman parte de la solución. HOLGURA Y EL EXCEDENTE Variable de Holgura.- representa la cantidad de recursos no utilizados, para su
cálculo se la anota como +h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Variable de excedente.- representa la cantidad por encima de un nivel mínimo
requerido. Para su cálculo se la anota como -h en el miembro izquierdo de la desigualdad.
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Ambas variables deben cumplir con la condición de no negatividad; es decir deben ser diferentes o mayores que cero.
EJERCICIO N°4
Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la Empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánicos. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio, y cuál es este?
FUNCIÓN OBJETIVO MAX: Z= 200X1 + 250X2 VARIABLES:
X1= número de mecánicos X2= número de electricistas
X1≥ X2 X1≤ 2X2
Lim. X2≤ 30
X1≤ 20
C.T X1, X2 ≥ 0 X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20
0 ≥ 0 0 ≤ 2(0) 0 ≤ 30 0 ≤ 20 verdadero verdadero verdadero verdadero
X1
X2
0 5 10 15 20
0 5 10 15 20
X1
X2
0 10 20 30 40
0 5 10 15 20
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PUNTOS X1 X2 Z
B 20 10 6500 C 20 20 9000
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 9000
V.O.
X1= 20
X2=20
RA=1, 4
RI= 2, 3
COMPROBACIÓN
1. X1≥ X2
20≥20 Hay equilibrio
2. X1≤ 2X2
20 ≤ 2(20)
20 ≤ 40 Hay holgura X1 + H1 = 2X2
20 + H1 = 2(20)
20 + H1 = 40
H1 = 40-20
H1 = 20
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3. X2≤ 30
20 ≤ 30 Hay holgura X2 + H2 = 30 20 + H2 = 30 H2 = 10
4. X1≤20
20 ≤ 20 Hay equilibrio
PROFESIONALES DISPONIBLES HOLGURA EXCEDENTE
MECÁNICOS 20
ELECTRICISTAS 30 10
EJERCICIO N°5
TIPOS DE SOLUCIONES
Solución única
Función objetivo:
MIN: Z = 2X + 3Y
S.a. -3x+2y ≤ 6
x +y ≤ 10.5
-x+2y ≥ 4
C.T. X, Y ≥ 0
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1) -3x+2y =6 2) X +y=10.5 3)-x+2y=4
0 ≤ 6 0 ≤ 105 0 ≥ 4
verdadero verdadero falso
PUNTOS X Y Z
A 0 2 6
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z=6
V.O.
X =0
Y= 2
RA=3
RI=1, 2
X1
X2
0 -4
2 0
X1
X2
0 -2
3 0
X1
X2
0
10.5
10.5 0
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COMPROBACIÓN:
1) -3x+2y ≤ 6
-3(0)+2(2) ≤ 6
4 ≤ 6 Hay holgura -3(0)+2(2)+H1=6
4+H1=6
H1=3
2) x +y ≤ 10.5
0+2 ≤ 10.5
2 ≤ 10.5 Hay holgura (0)+2+H2=10.5
2+H2=10.5
H2=8.5
3) -x+2y ≥ 4
-0+2(2) ≥ 4
4 ≥4
EJERCICIO N°5
Solución múltiple
Función objetivo:
MAX: Z = 5/2X1 + X2
S.a.
3x1 + 5x2 ≤ 15
5x1 + 2x2 ≤ 10
C.T. x1; x2 ≥ 0
1) 3x1+5x2 ≤ 15 2)5X1 +2x2 ≤ 10
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0 ≤ 15 0 ≤ 10
verdadero verdadero
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z=5
V.O
X1 =20/19
X2= 45/19
RA=1; 2
POSIBLES SOLUCIONES ÓPTIMAS
X1 Desde 20/19 Hasta 45/19
20/19 ≤ X1 ≤ 2
X2 0 ≤ X2 ≤ 45/19
Donde
Z = 5
Para calcular el Punto C
X1
X2
0 5
3 0
X1
X2
0 2
5 0
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3x1+5x2 =15 (-2)
5X1 +2x2=10(5)
-6x1 - 10x2 =-30
25x1 +10x2 =50
19x1 0 =20
x1=20/19
3(20/19)+5x2 =15
60/19+5x2 =15
x2 =45/19
PUNTO C= (20/19; 45/19)
COMPROBACIÓN:
1) 3x1+5x2 ≤ 15
3(20/19)+5(45/19) ≤ 15
15 ≤ 15
2) 5X1 +2x2 ≤ 10
5(20/19)+2(45/19) ≤ 10
10 ≤10
EJEMPLO N°7
NO ACOTADO
Una de las variables de decisión puede asumir calores indefinidamente.
Función objetivo:
MAX: Z= 5000A + 4000B
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S.a.
A+B≥5
A-3B≤0
30A+10B≥135
C.T. A; B ≥ 0
1) - A+B = 5 2) A-3B ≤ 0 3) 30A+10B = 135
A=3B
0 ≥ 5 0 ≤ 0 0 ≥ 135
Falso Verdad Falso
No acotada no hay solución
EJERCICIO N° 8
Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos
mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo
venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada
contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista
B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de
A
B
0 5
5 0
A
B
0 5
5 0
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manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia y
el mayorista B se encuentra a 300 Km, calcular cuántos contenedores habrá
que comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar tiempo y dinero,
reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.
FUNCIÓN OBJETIVO Z = 150A + 300B
RESTRICCIONES
S.a.
8A + 2B ≥ 16
A + B ≥ 5
2A + 7B ≥ 20
C.T. A, B ≥ 0
1) 8A + 2B ≥ 16 2) A + B ≥ 5 3) 2A + 7B ≥ 20
0 ≥ 16 0 ≥ 5 0 ≥ 20
Falso Falso Falso
PUNTOS X1 X2 Z
B 1 4 1350 C 3 2 1050
A
B
0 2
8 0
A
B
0 5
5 0
A
B
10 0
0 2.86=3
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SOLUCIÓN OBJETIVO
Z= 1050
V.O.
A= 3
B= 2
RA= 2,3
RI= 1
COMPROBACIÓN
1. 8A +2B ≥ 16
8(3)+2(2) ≥ 16
24+4 ≥ 16
28 ≥ 16 Hay Excedente 8A +2B - H1 = 16
8(3)+2(2) - H1= 16
28 – H1 = 16
H1 = 12
2. A + B ≥ 5
3 + 2 ≥ 5
5 ≥ 5
3. 2A+7B ≥ 20
2(3)+7(2) ≥ 20
6+14 ≥ 20
20 ≥ 20
Este es un problema no acotado, pero si tiene solución.
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EJERCICIO N°9
PROBLEMAS NO FACTIBLES
Tienen un conjunto factible vacío
FUNCIÓN OBJETIVO
MAX: Z= 3000E + 4000F
S.a.
E +F ≤ 5
E -3F ≤ 0
10E + 15F ≤ 150
20E + 10F ≤ 160
30E +10F ≥ 150
C.T. E,F ≥0
1.- E +F = 5 2.- E -3F = 0 3.- 10E + 15F = 150
0 ≤ 5 0 ≤ 0 0 ≤ 150
verdadero verdadero verdadero
4.- 20E + 10F = 160 5.- 30E +10F = 150
0 ≤ 160 0 ≥ 150
verdadero falso
E F
3 6
1 2
E F
0 5
5 0
E F
15 0
0 10
E
F
0 8
16 0
E F
0 5
15 0