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Propagación numérica de ondas de choqueacústicas
Informe semestral
Roberto Velasco Segura1
Director: Dr. Pablo Luis Rendón Garrido1
1Centro de Ciencias Aplicadas y Desarrollo TecnológicoUniversidad Nacional Autónoma de México
Posgrado en Ciencias Físicas, 2012
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Objetivo
Modelar numéricamente propagación de ondas de choqueen la atmósfera terrestre.Particularmente: cáusticas de ondas de choque generadaspor un avión.
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Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Contenido
1 Marco teórico
2 Esquema numérico
3 Resultados preliminares
4 Administración de información
5 Perspectivas
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 3/27
Marco teóricoHamilton, Blackstock (ed.), Nonlinear acoustics, 1998,Academic Press.
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
¿Qué ecuación vamos a modelar numéricamente?gas heterogéneono linealdisipativados o tres dimensiones(conveniente para tratamiento numérico)
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Conservación de masa
∂ρ
∂t+∇ ·
(ρ~u)
= 0
(no tiene aproximaciones)
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Conservación de momento
∂ρ~u∂t
+∇ · (ρ~u ⊗ ~u) = ~B +∇ · σ
Hipótesis de fluido newtoniano: la fuerza de fricción esproporcional a la velocidad relativa.La dependencia de µ y µB, con respecto a lascoordenadas espaciales es baja.~B = 0.
∂ρ~u∂t
+∇ · (ρ~u ⊗ ~u) = −∇p + µ∇2~u +
(µB +
13µ
)∇(∇ · ~u
)
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Conservación de energía
∂
∂t
(12ρu2 + ρE
)+∇ · ~u
(12ρu2 + ρE
)= ∇ ·
(σ · ~u − ~q
)Heredamos la hipótesis de fluido newtoniano.El cambio de κ con respecto a las coordenadas espacialeses bajo.Ley de Fourier para conducción térmica.
ρTDsDt
= κ∇2T + µB(∇ · ~u)2 +12µ
(∂ui
∂xj+∂uj
∂xi+
23δij∂uk
∂xk
)2
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Ecuaciones de estado
p = p(ρ, s)
T = T (ρ, s)
Los tiempos de relajación son más cortos que los cambiosinvolucrados en nuestras soluciones.
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Paso de mecánica de fluidos a acústica
Se asume un valor de equilibrio y una perturbación, para cadauna de las variables.
ρ = ρ0 + ρ′
p = p0 + p′
T = T0 + T ′
s = s0 + s′
∃ ε� 1 tal que ε ∼ ρ′
ρ0∼ p′
p0∼ T ′
T0
Las variables ~u y s se manejan diferente
ε ∼ uc0
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Primer orden
Ecuación de onda lineal
�2p′ = 0
Hipótesis principales:Se cumplen leyes de conservación y ecuación de estado aorden ε.s′ = 0.
(involucra una sola variable)
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Segundo orden
Ecuación de Westervelt
�2p′ +δ
c40
∂3p′
∂t3 =−βρ0c4
0
∂2(p′)2
∂t2
Hipótesis:Fluido newtonianoNo hay fuerzasexternasLey de FourierTiempos derelajación cortosX ′
X0es del orden de ε
Se cumplen leyes deconservación y ecuación deestado a orden ε2 y s′
µ, µB y κ son constantesNos encontramos lejos de lasparedes, y esto implica ∇× ~u = 0La no linealidad acumuladadomina a la local
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Adimensionalización
�2p = −Θ∂3p∂ t3− ∂2p2
∂ t2
Nuevas variables
p =βp′
c20ρ0
x =xλ
y =yλ
z =zλ
t = tc0
λ
Parámetro adimensional
Θ =δ
c0λ
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Comparación
Una dimensiónlineal
ut + c0ux = 0
no lineal (Burgers)
ut + uux = νuxx
Dos o más dimensioneslineal
�2p = 0
no lineal (Westervelt)
�2p = −Θ∂3p∂t3 −
∂2p2
∂t2
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Esquema numérico
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Aproximaciones de diferencias finitas
∂2p∂x2 '
Pni−1,j − 2Pn
i,j + Pni+1,j
∆x2 + O((∆x)2)
∂2p∂y2 '
Pni,j−1 − 2Pn
i,j + Pni,j+1
∆y2 + O((∆y)2)
∂2p∂t2 '
Pn−1i,j − 2Pn
i,j + Pn+1i,j
∆t2 + O((∆t)2)
∂3p∂t3 '
−Pn−2i,j + 3Pn−1
i,j − 3Pni,j + Pn+1
i,j
∆t3 + O(∆t)
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Esquema numérico
Pn+1i,j =
−K1 ±√
K 21 − 4K0
2
Explícito2DSegundo orden espacialPrimer orden temporalMalla cartesiana ∆x = ∆yImplementado en paralelo sobre un GPU
Karamalis et al., Fast ultrasound image simulation using thewestervelt equation, 2010, Springer.
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Resultados preliminares
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Observaciones
Para amplitudes bajas 10−6 los resultados numéricosreproducen cualitativamente el caso lineal.Para amplitudes grandes 10−1 se observa formación deondas de choque en distancias muy cortas.Se observa interacción de ondas de choque provenientesde direcciones no paralelas.
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Administración de información
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http://dondecae.net/t2
ReferenciasFichasConceptosIdeas sueltasResultados
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Perspectivas
Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Marco teórico
Introducir heterogeneidades buscando modelarcondiciones atmosféricasAlternativas a la ecuación de Westervelt
Partiendo directamente de las ecuaciones de conservación
∂Q∂t
+∇ · F = 0
Christov et al., Modeling Weakly Nonlinear Acoustic WavePropagation, Q. Jl Mech. Appl. Math, Vol. 60. No. 4, 2007.
Propagación numérica de ondas de choque acústicas 23/27
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Método numérico
Esquema tipo Godunov (volumen finito)Aprovechar herramienta CLAWPACK (LeVeque)
AdaptativoImplementado en GPULenguaje estandarizado
Condiciones de frontera absorbentes
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Otras aplicaciones
Aplicaciones médicas: ultrasonidodiagnósticotratamiento
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Marco teórico Esquema numérico Resultados preliminares Administración de información Perspectivas
Muchas gracias
Hamilton, Blackstock (ed.), Nonlinear acoustics, 1998,Academic Press.Pierce, Acoustics, 1989, ASA.Rudenko, Theoretical Foundations of Nonlinear Acoustics,1977, Consultants Bureau.Naugholnykh, Nonlinear Wave Processes in Acoustics,1998, Cambridge University Press.LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems,2002, Cambridge University Press.Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for FluidDynamics, 2009, Springer.
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Ecuaciones de estado
p = p(ρ, s)
T = T (ρ, s)
Series de Taylor
p′ = c20ρ′ +
c20ρ0
B2A
(ρ′)2 +
(∂p∂s
)ρ,0
s′
T ′ =
(∂T∂ρ
)s,0ρ′
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Parámetros de disipación
viscosidad dinámica µ.viscosidad de bulto µB.coeficiente de conductividad térmica κ.difusividad acústica
δ =1ρ0
(43µ+ µB
)+
κ
ρ0
(1cv− 1
cp
)Para aire
µ
µ0=
(TT0
)3/2 T0 + TS
T + TS⇒ µ′
µ0' −3
2T ′
T0
[Pierce], donde TS = 110,4K .
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