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Funciones

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Aprendizajes esperados

• Comprender la definición de función.

• Evaluar funciones.

• Entender la gráfica de una función en el plano cartesiano.

•Representar e interpretar información cuantitativa a través de gráficos.

•Comprender la definición de Dominio y Recorrido

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Funciones

Evaluación

Contenidos

DefiniciónGráfica

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1. Funciones

Una función es una relación entre dos variables, x y f(x), tal que, para cada valor de x existe un único valor de f(x).

Por lo general, una función tiene una fórmula asociada que nos permite, dado un valor de x, obtener el correspondiente valor de f(x).

xx2

En una función el valor de f(x) depende del valor de x. Por ello se dice que x es la variable independiente y f(x) es la variable dependiente.

Ejemplo:

i)Sea la función f(x) = 2x + 5

ii)Sea la función f(x) =

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2. Evaluación de funciones

Evaluar una función consiste en reemplazar la variable x por un valor en particular, en la fórmula de la función.

Ejemplo:

i) Sea f(x) = 3x + 5, ¿cuál es el valor de f(4)?

Como queremos obtener f(4), reemplazamos x por 4 en la fórmula.

f(x) = 3 ∙ x + 5

f(4) = 3 ∙ 4 + 5

f(4) = 12 + 5

f(4) = 17

Es decir: si x = 4 → f(4) = 17

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2. Evaluación de Funciones

ii) Consideremos f(x) = 2x + 1, ¿cuál es el valor de f(1)?

Como queremos obtener f(1), reemplazamos x por 1 en la fórmula.

f(x) = 2 ∙ x + 1

f(1) = 2 ∙ 1 + 1

f(1) = 2 + 1

f(1) = 3

Es decir: si x = 1 → f(1) = 3

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Evaluemos f(x) = 2x + 1 en otros valores:

Con x = – 3, f (– 3) = 2 ∙ (– 3) + 1

Con x = – 2 , f (– 2) = 2 ∙ (– 2) + 1

Con x = – 1, f (– 1) = 2 ∙ (– 1) + 1

Con x = 0, f (0) = 2 ∙ (0) + 1

Con x = 1, f (1) = 2 ∙ (1) + 1

Con x = 2, f (2) = 2 ∙ (2) + 1

Con x = 3, f (3) = 2 ∙ (3) + 1

= – 4 + 1 = – 3

= – 2 + 1 = – 1

= 0 + 1 = 1

= 2 + 1 = 3

= 4 + 1 = 5

= 6 + 1 = 7

Diagrama de conjuntos

x f(x)

:– 3

– 2

– 1

0

1

2

3:

: – 5

– 3

– 1

1

3

5

7:

= – 6 + 1= – 5

2. Evaluación de Funciones

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3. Gráfica de funciones

¿Se puede representar una función en un gráfico?

Claro que sí. Si juntamos las parejas de valores de x y f(x) en pares ordenados de la forma (x, f(x)), podemos situarlo en un plano, tal que:

(x, f(x))

Abscisa: la primera coordenada indica su posición a la izquierda (si es negativo) o a la derecha (si es

positivo)

Ordenada: la segunda coordenada indica su posición hacia abajo (si es

negativo) o hacia arriba (si es positivo)

Muchas veces al escribir la posición se presenta (x, y). Eso ocurre cuando se indica que f(x) = y.

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Escribamos las parejas (x, f(x)) y grafiquemos:

-6-8 -7 -4-5 -3 0-2 -1 21 3 54 76 8 ……

1

2

3

45

-5

-4

-3

-2-1

y = f(x)

x

Consideremos f(x) = 2x + 1

f(2) = 5

f(1) = 3

f(-2) = -3

f(-3) = -5

(2, 5)

(1,3)

(-2,-3)

(-3,-5)

(2,5)

(1,3)

(-2,-3)

(-3,-5)

3. Gráfica de funciones

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-6-8 -7 -4-5 -3 0-2 -1 21 3 54 76 8 ……

1

23

45

-5

-4-3

-2-1

y

x

(-3, -5)

(-2, -3)

(1,, 3)

(2, 5)

La unión de todos los puntos de la función en el plano, corresponde al gráfico de la función.

3. Gráfica de funciones

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4. Dominio y recorrido

Al indicar que una función es una relación entre dos variables, x y f(x), tal que, para cada valor de x existe un único valor de f(x), podemos definir dos conjuntos: dominio y recorrido. • El dominio es el conjunto de los valores de x para los que existe un

valor de f(x) asociado.

• El recorrido es el conjunto de todos los valores de f(x) que entrega la función.

Ejemplo:

En este ejemplo, x NO puede tomar el valor de 1, por lo tanto el dominio de la función son todos los números reales, menos el 1, o bien:

f(x) =1 + 5xx – 1

_____

Dom f(x) = IR – {1}

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Recuerda que en una función, para cada valor de x hay un único valor de y = f(x) asociado.

x

y

x

y

x

y

Es función Es función NO es función

x

y2

y1

5. Reconocimiento de una función

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¿Cuál es la alternativa correcta?

1. Si f(x) = 2x2 + 2x + 2 , entonces f(– 2) es igual a

A) – 18B) – 10 C) 6D) 10E) 14  

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Resolución:

Habilidad: Aplicación

C

f(x) = 2x2 + 2x + 2 (Evaluando x = – 2)

f(– 2) = 2 ∙ (– 2 )2 + 2 ∙ (– 2) + 2

f(– 2) = 2 ∙ 4 + 2 ∙ (– 2) + 2 (Desarrollando)

f(– 2) = 8 – 4 + 2

f(– 2) = 4 + 2

f(– 2) = 6

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¿Cuál es la alternativa correcta?

2. Sea h una función en los números reales, definida por h(x) = – ax + x + 3, entonces h(a) es igual a A) a2 + a + 3B) 3a + 3 C) – a2 – a + 3D) – a2 + a + 3 E) – a + 3

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Resolución:

Habilidad: Aplicación

D

h(x) = – ax + x + 3 (Evaluando x = a)

h(a) = – a ∙ a + a + 3 (Desarrollando)

h(a) = – a2 + a + 3

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¿Cuál es la alternativa correcta?

3. Sea m una función real, tal que m(x) = 5x + 5. Si m(b) = 25, entonces el valor de b es A) 130 B) 100C) 20D) 6 E) 4

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Resolución:

Habilidad: Análisis

E

m(x) = 5x + 5 (Evaluando x = b)

m(b) = 5b + 5 (Reemplazando m(b) = 25)

25 = 5b + 5 (Despejando b)

25 – 5 = 5b

20 = 5b (Dividiendo por 5)

4 = b

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¿Cuál es la alternativa correcta?

4. Si g(x) = 4t + x y g(0) = 12, entonces ¿cuál es el valor de g(5)? A) 3B) 8C)12D)17E)Faltan datos para determinarlo.

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Resolución:

Habilidad: Análisis

D

g(x) = 4t + x (Evaluando x = 0)

g(0) = 4t + 0 (Reemplazando g(0) = 12)

12 = 4t (Despejando t)

3 = t

Luego al reemplazar t = 3, Luego la función queda f(x) = 4 ∙ t + x queda como f (x) = 4 ∙ 3 + x f(x) = 12 + x, ahora evaluando en x = 5

g(5) = 4 ∙ 3 + 5 (Desarrollando)

g(5) = 12 + 5 (Reemplazando g(0) = 12)

g(5) = 17

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¿Cuál es la alternativa correcta?

5. Respecto del gráfico de la función f(x) de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdaderas(s)?

I)f(– 4) > f(0)II)f(0) ∙ f(1) = 0III)f(4) + f(5) + f(6) >0

A)Solo IB)Solo IIC)Solo I y IIID)Solo II y IIIE)Ninguna de ellas.

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-2

2 4

2

-1-3-5-7

y

x

3

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Resolución:

Habilidad:Análisis

E

I) Falsa, ya que al mirar el gráfico podemos darnos cuenta que f(– 4) es 0, o bien, cuando x = – 4, y = 0.

Así mismo, f(0) = 2, según aparece el gráfico. Por lo tanto, f(– 4) < f(0).

II) Falsa, ya que f(0) = 2 y f( 1) es un número positivo, por lo tanto al multiplicar dos números positivos el producto será positivo, por lo tanto:

f(0) ∙ f(1) = 0, es falso, pues es positivo.

III) Falsa, ya que f(4) = – 2, f(5) = – 2 y f(6) = – 2. Por lo tanto: f(4) + f(5) + f(6) = – 2 – 2 – 2 = – 6 < 0.

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Equipo Editorial: Área Matemática