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7/18/2019 Proyecto para matematica avanzada
http://slidepdf.com/reader/full/proyecto-para-matematica-avanzada 1/17
Escuela Politécnica
Nacional
Facultad De Ingeniería Mecánica
Matemática Avanzada
Nombres:
Quinapallo Rodríguez Edison Xavier Legña Oyacato Lizbeth Mariuxy
Gruo: GR!
!" E#$A#I%N DE #A&'(La barra posee una distribuci"n inicial de te#peratura h$x%& la
constante de di'usi"n t(r#ica )& *eter#inar el co#porta#iento de la
te#peratura de la barra con respecta al tie#po+
B n=2
L∫0
Lh( x )sin(
nπ L
x)dx
u ( x , t )=∑n=1
∞
Bn sin( nπ
L x)e
−k (nπ
L )2
t
clc
clear
close all
syms n x t A0 = 0;
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An = 0;
k=1;
Bn = ((4*sin(n*pi/2)-n*pi*cos(n*pi/2)+n*pi*(-1^n))/((pi^2)*n^2) );
Arm = 20;
or n=1!Arm
(n"!) = s#m (exp((-t)*pi^2*n^2)* sin(n*pi*x) *((4*sin(n*pi/2)-
n*pi*cos(n*pi/2)+n*pi*((-1)^n))/((pi^2)*n^2) ) ) ;en$
$isp (s#m())
x = linspace(0%1"1"&);
t = linspace(0%1"0%&"&);
or '=1!lent'(t)
x = s#m(s#s(" t" t(')));
s#plot(2" 2" 4)"plot(x" s#s(x" x" x)" ,olor" ran$(1")"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(t));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
xlael(x);
title(n #ncion $e x para $istintos t)
or '=1!lent'(x)
t = s#m(s#s(" x" x(')));
s#plot(2"2"2)"plot(t" s#s(t" t" t)" ,olor" ran$(1" )"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(x));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
title(n #ncion $e t para $istintos x)
xlael(t);
= simple(s#m());
s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30 "0%0&"0%2"0%&);
title (6iarama (x"t) );
'ol$ on;
,onclusiones-
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• .e observa /ue partiendo de una te#peratura t #0xi#a& en el
transcurso del tie#po esta te#peratura se va a estabilizar+• En la placa se llega a una te#peratura 1un pico2 #0xi#o por la
distribuci"n de la te#peratura& parte de una x inicial hasta una x
3nal $longitud de la placa%+
)" E#$A#I'N DE #A&'(
Encuentre la te#peratura u( x ,t ) de una varilla de longitud L si la
te#peratura inicial h( x ) y sus extre#os est0n aislados+
A0=2
L∫0
L
h ( x ) dx
A n=2
L∫0
L
h( x)cos(nπ L
x)dx
u ( x , t )= A0+∑n=1
∞
A n∗cos( nπ
L x)∗e
−k ( nπ
L )2
t
clc
clear
close all
syms n x t
A0 = 0;An = ((sin(n*pi/2)/(n*pi))-(2/((n^2)*pi^2))+(2*(-1^n)/(n^2*pi^2)));
7= 2;
l=1;
Bn = 0;
lon = 10;
or n=1!lon
(n"!) = (s#m (((sin(n*pi/2)/(n*pi))-(2/((n^2)*pi^2))+(2*(-1^n)/
(n^2*pi^2))) *exp(-2*t*pi^2*n^2)* cos(n*pi*x) ) ) ;
en$
$isp (s#m())
x = linspace(0%&"1%&"&);
t = linspace(0%2"0%&"&);
or '=1!lent'(t) x = s#m(s#s(" t" t(')));
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s#plot(2" 2" 4)"plot(x" s#s(x" x" x)" ,olor" ran$(1")"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(t));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
xlael(x);title(n #ncion $e x para $istintos t)
or '=1!lent'(x)
t = s#m(s#s(" x" x(')));
s#plot(2"2"2)"plot(t" s#s(t" t" t)" ,olor" ran$(1" )"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(x));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
title(n #ncion $e t para $istintos x)
xlael(t);
= simple(s#m());
s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30 "0%0&"0%2"0%&);
title (6iarama (x"t) );
'ol$ on;
,onclusiones-
• .e observa /ue partiendo de una te#peratura t #0xi#a& en el
transcurso del tie#po esta te#peratura se va a estabilizar+• En la placa se llega a una te#peratura 1un pico2 #0xi#o por la
distribuci"n de la te#peratura& parte de una x inicial hasta una x
3nal $longitud de la placa%+
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*" E#$A#I'N DE 'NDA4na cuerda de longitud L cuyos extre#os est0n anclados al e5e x
posee una de'or#aci"n inicial h ( x ) así co#o ta#bi(n una velocidad
inicial v ( x ) si las vibraciones /ue va a presentar la cuerda son
transversales+ *eter#inar la 'unci"n /ue describa las vibraciones con
respecto al tie#po+
A n=2
L∫0
L
h( x)sin( nπ
L x )dx
B n= 2
anπ ∫0
L
V ( x )sin ( nπ
L x)dx
u ( x , t )=∑n=1
∞
Ancos( anπ
L t )+Bn sin( anπ
L t ) sin( nπ
L x )
clc
clear
close all
syms n x t
k=1;
a=1;
A0 = 0;
An = ((4*sin(n*pi/2)-n*pi*cos(n*pi/2)+n*pi*(-1^n))/((pi^2)*n^2) );l=1;
Bn = ((-2*(-1^n))/(n*pi));
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a=1;
lon = 10;
or n=1!lon
(n"!) = s#m ((((4*sin(n*pi/2)-n*pi*cos(n*pi/2)+n*pi*(-1^n))/
((pi^2)*n^2) )*cos(n*pi*t)+((-2*(-1^n))/
(n*pi))*sin(n*pi*t))*sin(n*pi*x)) ;
en$$isp (s#m())
x = linspace(0%4"1"&);
t = linspace(0%1"0%&"&);
or '=1!lent'(t)
x = s#m(s#s(" t" t(')));
s#plot(2" 2" 4)"plot(x" s#s(x" x" x)" ,olor" ran$(1")"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(t));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
xlael(x);title(n #ncion $e x para $istintos t)
or '=1!lent'(x)
t = s#m(s#s(" x" x(')));
s#plot(2"2"2)"plot(t" s#s(t" t" t)" ,olor" ran$(1" )"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(x));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
title(n #ncion $e t para $istintos x)
xlael(t);
= simple(s#m());s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30 "0%4"0%&"1);
title ($iarama);
'ol$ on;
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,onclusiones-
• Mientras el tie#po va avanzado se observa /ue la cuerda se
estabiliza en el punto Xo• 6or la vibraciones existentes las ondas van a variar hasta llegar a la
longitud de la onda
+" E#$A#I'N DE 'NDA
.e sabe /ue la cuerda del e5ercicio anterior tiene una longitud π
ade#0s parte del reposo+ .e sabe ta#bi(n /ue las vibraciones
transversales tienen lugar en un #edio /ue e5erce una resistencia
proporcional a la velocidad+ Encuentre el desplaza#iento de cada uno
de los puntos de la cuerda con respecto al tie#po+
B n=2
π ∫0
π
h( x )sin (nx ) dx
qn=√ n2+ β2
u ( x , t )=e− βt ∑
n=1
∞
Bn[cos(qn t )+ β
qn
sin(qn t )]sin (nx)
clc
clear
close all
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syms n x t
A0 = 0;
An = 0;
B= 1;
l=pi;
8n=(s8rt(n^2 - 1));
Bn = (((4*sin(n*pi/2)-n*pi*cos(n*pi/2))/(pi*n^2))+ ((-1)^n)/n);lon = 10;
or n=2!lon
(n"!) = exp(-t)* s#m (((((4*sin(n*pi/2)-n*pi*cos(n*pi/2))/
(pi*n^2))+ ((-1)^n)/n)*(cos((s8rt(n^2 - 1))*t)+(1/(s8rt(n^2-
1)))*sin((s8rt(n^2-1))*t)) )*sin(n*x)) ;
en$
$isp ()
x = linspace(0"1%9"&);
t = linspace(0"2"&);
or '=1!lent'(t)
x = s#m(s#s(" t" t(')));
s#plot(2" 2" 4)"plot(x" s#s(x" x" x)" ,olor" ran$(1")"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(t));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
xlael(x);
title(n #ncion $e x para $istintos t)
or '=1!lent'(x)
t = s#m(s#s(" x" x(')));
s#plot(2"2"2)"plot(t" s#s(t" t" t)" ,olor" ran$(1" )"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(x));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
title(n #ncion $e t para $istintos x)
xlael(t);
= simple(s#m());
s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30"0%9"0"0%9);
title ($iarama);
'ol$ on;
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,onclusiones-
• Mientras el valor del tie#po siga au#entando la cuerda se
estabilizara hasta llegar al e/uilibrio+• X de5a de variar en un deter#inado t y esto lo pode#os observar en
la gra3ca
," E#$A#I'N DE E-.A/I&IDADEncuentre la distribuci"n de te#peratura de una placa rectangular
cuyos extre#os verticales est0n aislados #ientras /ue sus extre#os
superior e in'erior se #antienen a te#peraturah ( x )
y 7respectiva#ente se sabe /ue la placa se encuentra en estado
estable+
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A0= 1
ab
∫0
a
h ( x )dx
A n= 2
a sinh( nπ
a b)∫0
a
h( x)cos( nπ
a x)dx
u ( x , y )= A0 y+∑n=1
∞
Ansinh( nπ
a y)cos( nπ
a x)
clcclear
close all
syms n x y
a= 1;
= 1;
A0 =x ;
An = ((2/sin(n*pi))*(sin(n*pi))/(n^2*pi^2));
Bn = 0;
lon = 10;
or n=1!lon
(n"!) = x+s#m (((2/sin(n*pi))*(sin(n*pi))/
(n^2*pi^2))*(sin'(n*pi*y))*cos(n*pi*x)) ;
en$$isp ()
x = linspace(0%:&"0%9&"&);
y = linspace(0%9"1"&);
or '=1!lent'(y)
x = s#m(s#s(" y" y(')));
s#plot(2" 2" 4)"plot(x" s#s(x" x" x)" ,olor" ran$(1")"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(y));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
xlael(x);
title(n #ncion $e x para $istintos y)or '=1!lent'(x)
y = s#m(s#s(" x" x(')));
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s#plot(2"2"2)"plot(y" s#s(y" y" y)" ,olor" ran$(1" )"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(x));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
title(n #ncion $e y para $istintos x)xlael(y);
= simple(s#m());
s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30%:& "0%9&"0%9"1);
title ($iarama);
'ol$ on;
,onclusiones-
• La distribuci"n de te#peratura au#enta hasta un #0xi#o valor x
pero se estabilizara debido a los aisla#ientos+• *ebido a /ue el tie#po va au#ento los valores de y de la distribuci"n
de calor au#entara debido al au#ento exponencial del tie#po+
0" E#$A#I'N DE E-.A/I&IDADEncontrar la distribuci"n de te#peratura de la placa indicada en la
3g+
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An=200
nπ [1−(−1 )n ]
B n=200
nπ [1− (−1 )n ][ 2−cosh (nπ )
sinh (nπ ) ]
u ( x , y )=∑n=1
∞
[ A ncosh (nπy )+Bnsin (nπy ) ]sin(nπy)
clc
clear
close all
syms n x y
A0 = 0;
An = ((200/(n*pi))*(1-(-1^n)));
B= 1;
l=pi;
Bn = ((200/(n*pi))*(1-(-1^n))*(2-sin'(n*pi)/cos'(n*pi)));
lon = 10;
or n=1!lon
(n"!) = s#m ( (((200/(n*pi))*(1-(-1^n)))*cos'(n*pi*y) + ((200/
(n*pi))*(1-(-1^n))*(2-sin'(n*pi)/cos'(n*pi)))*sin'(n*pi*y))
*sin(n*pi*x)) ;
en$
$isp ()
x = linspace(0"0%1"&);
y = linspace(0%9"1"&);
or '=1!lent'(y)
x = s#m(s#s(" y" y(')));
s#plot(2" 2" 4)"plot(x" s#s(x" x" x)" ,olor" ran$(1")"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(y));
en$'ol$ on; ri$ on; ox on
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xlael(x);
title(n #ncion $e x para $istintos y)
or '=1!lent'(x)
y = s#m(s#s(" x" x(')));
s#plot(2"2"2)"plot(y" s#s(y" y" y)" ,olor" ran$(1" )"
.inei$t'" 2);
'ol$ on; leen$(n#m2str(x));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
title(n #ncion $e y para $istintos x)
xlael(y);
= simple(s#m());
s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30"0%1&"0"0%1);
title ($iarama);
'ol$ on;
,onclusiones-
• La distribuci"n de te#peratura au#enta hasta un #0xi#o valor x
pero se estabilizara debido a los aisla#ientos+
• *ebido a /ue el tie#po va au#ento los valores de y de la distribuci"nde calor au#entara debido al au#ento exponencial del tie#po+
1" (esolver el roblema de valores de la 2rontera si se conoce
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k d2
u
d x2 + A e
−Bx=du
dt
u ( x , t )=V ( x , t )+ (x Ѱ )
(x)= Ѱ A
k B2 [ (e−B−1) x+1−e
−Bx ]
V ( x , t )=∑n=1
∞
B nsin (nπx ) e−k (nπ )2t
B n=2∫0
1
[ h (t )− (x) Ѱ ] sin(nπx )dx
u ( x , t )= (x)+ Ѱ ∑n=1
∞
Bn sin ( nπx) e−k (nπ )2t
clc
clear
close allsyms n x y t
A0 = 0;
An = (0);
A= 1;
B=1;
7=1;
l=pi;
Bn = ((142409&<&<:<1*sin(pi*n*x))/(22&1:91<9&249*pi^2*n^2) -
(sin(pi*n*x)*exp(-x))/(pi^2*n^2 + 1) -
(142409&<&<:<1*x*cos(pi*n*x))/(22&1:91<9&249*pi*n) - (pi*n*exp(-
x)*cos(pi*n*x))/(pi^2*n^2 + 1));
psi=(exp(-1)*x-exp(-x)+1);
lon = &;or n=1!lon
(n"!) = (exp(-1)*x-exp(-x)+1) + s#m
(((142409&<&<:<1*sin(pi*n*x))/(22&1:91<9&249*pi^2*n^2) -
(sin(pi*n*x)*exp(-x))/(pi^2*n^2 + 1) -
(142409&<&<:<1*x*cos(pi*n*x))/(22&1:91<9&249*pi*n) - (pi*n*exp(-
x)*cos(pi*n*x))/(pi^2*n^2 + 1))*sin(n*pi*x)*exp(-((n*pi)^2)*t )) ;
en$
$isp ()
x = linspace(0"0%001"&);
t = linspace(0"4"&);
or '=1!lent'(t)
x = s#m(s#s(" t" t(')));
s#plot(2" 2" 4)"plot(x" s#s(x" x" x)" ,olor" ran$(1")".inei$t'" 2);
'ol$ on;
7/18/2019 Proyecto para matematica avanzada
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leen$(n#m2str(t));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
xlael(x);
title(n #ncion $e x para $istintos t)
or '=1!lent'(x)
t = s#m(s#s(" x" x('))); s#plot(2"2"2)"plot(t" s#s(t" t" t)" ,olor" ran$(1" )"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(x));
en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
title(n #ncion $e t para $istintos x)
xlael(t);
= simple(s#m());
s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30"0%001"0"4);
title (6iarama (x"t) );
'ol$ on;
,onclusiones-
• 6si arreglo un proble#a de no ho#ogeneidad y obtuvi#os los #is#os
resultados /ue un proble#a de estabilidad+
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3" (esolver el siguiente e4ercicio
k d2
u
d x2 =
du
dt
u ( x , t )=V ( x , t )+ (x Ѱ )
(x)=10 Ѱ 0
V ( x , t )=∑n=1
∞
B n e−k (nπ )2 t
sin (nπx )
B n=2∫0
1
[− (x) Ѱ ]sin(nπx)dx
u ( x , t )= (x)+ Ѱ ∑n=1
∞
Bn e−k ( nπ )2 t
sin (nπx )
clc
clear
close all
syms n x y t
A0 = 0;
An = (0);
7=1;
l=pi;
Bn = (200*(-cos(pi*n*x)/(pi*n)));
psi=(100);
lon = 10;
or n=1!lon
(n"!) = s#m ( 100+(200*(-cos(pi*n*x)/
(pi*n)))*(exp( t*(n*pi)^2))*sin(n*pi*x)) ;
en$
$isp ()
x = linspace(0%&"1"&);
t = linspace(0%1"1"&);
or '=1!lent'(t)
x = s#m(s#s(" t" t(')));
s#plot(2" 2" 4)"plot(x" s#s(x" x" x)" ,olor" ran$(1")"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(t));
en$'ol$ on; ri$ on; ox on
xlael(x);
7/18/2019 Proyecto para matematica avanzada
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title(n #ncion $e x para $istintos t)
or '=1!lent'(x)
t = s#m(s#s(" x" x(')));
s#plot(2"2"2)"plot(t" s#s(t" t" t)" ,olor" ran$(1" )"
.inei$t'" 2);
'ol$ on;
leen$(n#m2str(x));en$
'ol$ on; ri$ on; ox on
title(n #ncion $e t para $istintos x)
xlael(t);
= simple(s#m());
s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30%1"1"0%&"1);
title ($iarama);
'ol$ on;
,onclusiones-
• *e igual #anera en cual/uier t tie#po x llegara a un estado estable