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Pruebas preliminares del Modelo de Volterra, Proyecto de Grado, Asesor Juan Diego Correa Blair
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Resumen— Este artículo presenta las pruebas preliminares
del modelo de Volterra.
Palabras Clave—Modelo de Volterra, filtro adaptativo,
algoritmo LMS, parámetro de convergencia, orden de filtro,
longitud de filtro, señales de prueba.
I. INTRODUCCIÓN
na característica importante que se debe tener en
cuenta durante el proceso de modelamiento de
sistemas es la flexibilidad que éste tiene para
identificar diversas variaciones de estructuras. En particular, la
flexibilidad depende del número de parámetros del modelo y
la capacidad de variación en el modelamiento que introduce
cada uno. El presente laboratorio consiste en identificar los
parámetros del Modelo de Volterra y realizar pruebas
preliminares de ajustes de cada parámetro.
II. OBJETIVO
Realizar pruebas triviales de la estructura de modelo propuesto
para verificar que la estructura logre modelar las propiedades
mínimas esperadas.
III. MARCO TEÓRICO
A. Serie de Volterra
La versión causal y truncada de tiempo-discreto del filtro de
Volterra está dada por la siguiente expresión:
( ) ∑ [ ]
( ) ∑ ∑ [ ] ( ) ( )
∑ ∑ ∑ [ ] ( ) ( )
( )
∑ ∑ ∑ [ ] ( )
( )
(1)
Donde el conjunto { } son denominados núcleos de Volterra.
Bajo ciertas condiciones cada término de la sumatoria se
conoce como Funcionales de Volterra.
B. Propiedades de la Serie de Volterra
La serie de Volterra tiene las siguientes propiedades:
Linealidad respecto a los núcleos: A pesar de la no-
linealidad respecto a la entrada, la propiedad de linealidad
respecto a los núcleos permite aplicar métodos de la teoría
de filtros lineales.
Convolución multidimensional: El modelo de Volterra
puede ser escrito como convolución multidimensional. El
enfoque multidimensional aplica tanto a los núcleos como
a cada orden, en particular cada término superior puede
considerarse un sistema multidimensional lineal con
entrada separable simétrica.
No caracterización por respuestas al impulso: Las
respuestas al impulso no son suficientes para identificar
todos los núcleos del modelo.
C. Interpretación práctica del modelo de Volterra
A continuación se ilustra la interpretación en bloques del
modelo de Volterra: La interpretación por bloques facilitará
posteriormente realizar el proceso de ajuste del modelo a partir
de los bloques de forma independiente. Esta interpretación se
basa en una propiedad conocida como la Independencia de
Bloques.
Fig. 1. Interpretación del modelo de Volterra.
Pruebas preliminares del Modelo de Volterra
Luis F. Gulfo, Juan F. Valencia.
Ingeniería de Sonido,
Facultad de Ingenierías
Universidad de San Buenaventura Medellín
U
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D. Parámetros del Modelo de Volterra
En la práctica, la serie necesita ser truncada de dos formas
para lograr implementación digital: En orden y en iteración
dentro de los funcionales. Ambos truncamientos se convierten
en parámetros.
El número de iteraciones dentro de los funcionales está
determinado por , que a su vez representa el número
de muestras de la señal de entrada utilizadas para el
proceso de identificación. El filtro de Volterra en
general necesita combinaciones de las muestras de
entrada para los términos de orden superior.
El orden de truncamiento determina el orden de no-
linealidad máximo que puede representar la estructura
del modelo.
E. Proceso de adaptación y Algoritmo LMS
A continuación se ilustra la configuración más utilizada para
realizar procesos de adaptación.
Fig. 2. Configuración y proceso de adaptación.
El algoritmo LMS permite optimizar el proceso ilustrado
arriba. En resumen el algoritmo LMS está determinado por la
siguiente ecuación:
( ) ( ) ( ) ̂( ) (2)
Donde es el vector de coeficientes del filtro, es la matriz
de convergencia, es el error y ̂ el vector de muestras de
entrada usadas por el filtro (obtenido de combinaciones del
vector de entrada). La matriz de convergencia es una matriz
diagonal, como se muestra a continuación.
[
]
La longitud de la diagonal es igual a la longitud del filtro de
Volterra. Dependiendo de qué tan detallado se desee realizar
la adaptación se pueden escoger diferentes parámetros de
convergencia para el aprendizaje de cada término. En las
siguientes pruebas se utilizarán parámetros de convergencia
acordes a la interpretación en bloques de la estructura, para
aprovechar la independencia de bloques.
IV. MONTAJE EXPERIMENTAL
Equipamiento
:
Software Matlab.
Algoritmo LMS con Modelo de Volterra.
Audios de señales de prueba.
Software Pro Tools.
EQ API 550-B (Hardware).
Waves API 550-B (Plugin).
Blue Cat’s FreqAnalyst Pro.
Procedimiento.
1. Diseñar las señales de prueba.
Se diseñan dos tipos de señales:
Señales de referencia (entrada): En este caso se crearon las
siguientes señales de prueba utilizando el generador de señales
de Pro Tools: señal pura con frecuencia 2.3 Khz y nivel -6
dBFS, ruido blanco, ruido rosa, señal compuesta con múltiples
frecuencias.
Señales deseadas (procesadas): En este caso se crearon las
señales deseadas al procesar las señales de referencia con el
EQ API 550-B (Hardware) y el Waves API 550-B (Plugin).
2. Proceso de aprendizaje
Como muestra la figura 2, se realizó el proceso de aprendizaje
utilizando el algoritmo en Matlab a partir de las señales de
pruebas correspondientes (referencia y procesada). Se
realizaron repeticiones con las mismas señales de prueba pero
variando los parámetros del Modelo de Volterra como se
explica a continuación:
Pruebas con Waves API 550-B:
1. Variación de orden:
Señal de referencia: 2.5 khz a -6 dBFS (pico).
Señal deseada: API waves en modo FLAT.
Señales estimada: Utilizando Modelo de Volterra de
orden-1, Modelo de Volterra de orden-2 y Modelo de
Volterra de orden-3. Se mantiene constante p=6 y
mu1=0.01, mu2=0.02, mu3=0.03.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
2. Variación de longitud:
Señal de referencia: 2.5 Khz a -6 dBFS (pico).
Señal deseada: API waves en modo FLAT.
Señales estimada: Modelo de Volterra de orden-3.
Utilizando p=3, p=6. Se mantiene constante
mu1=0.01, mu2=0.02, mu3=0.03.
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Medición: Blue Cat en precisión 6.
3. Variación de parámetro de convergencia:
Señal de referencia: 2.5 Khz a -6 dBFS (pico).
Señal deseada: API waves en modo FLAT.
Señales estimada: Modelo de Volterra de orden-3. Se
mantiene constante p=6. Se utilizan todos los
parámetros de convergencia en 0.01, y luego en 0.5.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
4. Señal compuesta:
Señal de referencia: Señal compuesta por 100 Hz,
240 Hz, 800 Hz y 2500 Hz.
Señal deseada: API waves en modo FLAT.
Señales estimadas: Modelo Volterra de orden-3 con
p=6 y parámetros mu1=0.01,mu2=0.02,mu3=0.03.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
Opción de ajuste de coeficientes: Con ajuste a=1/50
para el bloque de tercer orden.
5. Ruido blanco:
Señal de referencia: Ruido blanco a -6dB pico.
Señal deseada: API waves preset 2 (definido en el
laboratorio 2).
Señales estimadas: Modelo de Volterra de orden-3
con p=6 y paràmetros 0.01,0.02,0.03.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
Opción de ajuste de coeficientes: Con ajuste
a=1/1000 para la estructura de tercer orden.
Pruebas con API 550-B:
Para las pruebas realizadas se reducen las perturbaciones por
ruido eléctrico observadas a la salida del API 550-B ya que
èstas señales provienen de las instalaciones eléctricas del
Estudio y afecta la relación entre las señales de prueba. En
este caso la reducción de ruido se realiza con el waves x-noise.
6. Senoidal pura:
Señal de referencia: 2,5 a -6dB pico.
Señal deseada: 2.5 khz API 550-B con x-noise.
Señales estimadas: Modelo de Volterra de orden-3
con p=6 y parámetros 0.01,0.02,0.03.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
7. Señal compuesta:
Señal de referencia: Señales -6dB.
Señal deseada: Seña compuesta API 550-B con x-
noise.
Señales estimadas: Volt 3p6. Parámetros
0.01,0.02,0.03.
Medición: Blue Cat en precisión 6.
V. RESULTADOS
1. Variación de orden:
Fig. 3. Curva de aprendizaje y estructura con Volterra-1.
Fig. 4. Salida con Volterra-1.
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Fig. 5. Curva de aprendizaje y estructura con Volterra-2.
Fig. 6. Salida con Volterra-2.
Fig. 7. Curva de aprendizaje y estructura con Volterra-3
Fig. 8. Salida con Volterra-3
2. Variación de longitud:
Fig. 9. Salida con variación de longitud con P=3 y Volterra-3.
Fig. 10. Señal de aprendizaje con longitud P=3 y Volterra-3
.
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Fig. 11. Curva de aprendizaje y estructura con longitud P=3 Volterra=3.
Fig. 12. Salida con variación de longitud con P=6 Volterra-3.
Fig. 13. Señal de aprendizaje longitud con P=6 y Volterra-3.
Fig. 14. Curva de aprendizaje y estructura con longitud P=6 y Volterra=3.
3. Variación de parámetro de convergencia:
Fig. 15. Curva de aprendizaje y estructura con parámetro de
convergencia 0.01
Fig. 16. Salida con variación de parámetro de convergencia 0.01.
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Fig. 17. Curva de aprendizaje y estructura con parámetro de convergencia 0.5
Fig. 18. Salida con variación de parámetro de convergencia 0.5.
4. Señales compuestas:
Fig. 19. Curva de aprendizaje y estructura con señal compuesta
Fig. 20. Señal de referencia compuesta
Fig. 21. Salida Señal de API Waves multiseno
Fig. 22. Señal procesada multiseno con Volterra
Fig. 23. Señal procesada multiseno con Volterra y ajuste 1/50 en
bloque de tercer orden.
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5. Ruido blanco:
Fig. 24. Ruido blanco de referencia.
Fig. 25. Salida API con ruido blanco
Fig. 26. Curva de aprendizaje y estructura con ruido blanco.
6. Senoidal pura:
Fig. 27. Curva de aprendizaje y estructura para senoidal pura.
Fig. 28. Señal procesada senoidal pura
7. Señal compuesta:
Fig. 29. Curva de aprendizaje y estructura para señal compuesta
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Fig. 30 Señal procesada con señal compuesta de entrada
CONCLUSIONES
Prueba 1:
Aumentar el orden del modelo permite aumentar el
número de componentes armónicas modeladas.
Aumentar el orden no tiene efecto considerable en las
componentes modeladas por modelos de orden
inferior.
No hay diferencias importantes en el tiempo de
adaptación.
Prueba 2:
El tiempo de adaptación disminuye con el aumento
de la longitud del filtro.
La precisión de la estructura de armónicos superiores
aumenta con la longitud del filtro (precisión en
amplitud y componentes creadas).
Prueba 3:
No se observan cambios apreciables en la estructura
armónica.
Al aumentar el parámetro de convergencia disminuye
el tiempo de aprendizaje.
Pruebas 4 y 5:
Aumentar el número de entradas dificulta el
aprendizaje del modelo.
Las señales de espectro ancho dificultan el
aprendizaje del modelo debido al gran número de
armónicos intermodulantes creados.
Pruebas 6 y 7:
El aprendizaje depende en gran medida de las
condiciones ideales del proceso, en particular es
sensible y muestra dificultades antes perturbaciones
externas al sistema (en este caso el ruido eléctrico
como ruido de fondo del laboratorio).
VII. REFERENCIAS
[1] Adaptive Filtering. Diniz. Kluwer Academic Publishers. Ed. 2008.
[2] Adaptive Nonlinear System Identification, Volterra and Wiener Model
Approaches. Ogunfunmi. Springer. Ed. 2007.