REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”

SAIA BARINAS PROGRAMACIÓN NUMERICA

INTEGRACIÓN NUMERICA

Regla de Simpson

Autor: Nestor Moreno

C.I. 14.331.859

Guarenas, Agosto del 2016

Dadas las siguientes integrales:

1 − 𝑒−𝑥 𝑑𝑥

3

0

1 − 𝑥 − 4𝑥3 + 𝑥5 𝑑𝑥

4

−2

8 + 4𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑥/2

0

Resuelva las integrales utilizando la Regla de Simpson 3/8

Formula a usar:

I = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 =𝟑𝒉

𝟖

𝒃

𝒂[𝒇 𝒙𝟎 + 𝟑𝒇 𝒙𝟏 + 𝟑𝒇 𝒙𝟐 + 𝒇(𝒙𝟑)]

Donde:

h = 𝑏−𝑎

𝑛

Ejercicio N° 1

1 − 𝑒−𝑥 𝑑𝑥

3

0

Cálculo de h (ancho de los sub-intervalos)

h = 𝑏−𝑎

𝑛

Donde: a = 0 b = 3 n = 3

h = 3−0

3=

3

3 = 1

Ahora cálculo de los puntos de sub intervalos

X0 = a = 0

X1 = x0 + h = 0 + 1 = 1

X2 = x1 + h = 1 + 1 = 2

X3 = x2 + h = 2 + 1 = 3

Cálculo de f(xi)

x f(x) = 1 – e-x

X0 = 0 f(0) = (1 – e-0) = 0 = f(x0)

X1 = 1 f(1) = (1 – e-1) = 0,632120 = f(x1)

X2 = 2 f(2) = (1 – e-2) = 0,864664 = f(x2)

X3 = 3 f(3) = (1 – e-3) = 0,950212 = f(x3)

Formula de Simpson para n = 3

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =3ℎ

8

𝑏

𝑎[𝑓 𝑥0 + 3𝑓 𝑥1 + 3𝑓 𝑥2 + 𝑓(𝑥3)]

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =3(1)

8

𝑏

𝑎[0 + 3(0,632120) + 3(0,864664) + 0,950212]

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =3

8

𝑏

𝑎[1,89636 + 2,593992 + 0,950212]

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =3

8

𝑏

𝑎[5,440564]

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎2,0402115

I = 𝟏 − 𝒆−𝒙 𝒅𝒙𝟑

𝟎 = 2,0402115 valor aproximado

Ejercicio N° 2

1 − 𝑥 − 4𝑥3 + 𝑥5 𝑑𝑥

4

−2

Cálculo de h (ancho de los sub-intervalos)

h = 𝑏−𝑎

𝑛

Donde: a = - 2 b = 4 n = 3

h = 4−(−2)

3=

6

3 = 2

Ahora cálculo de los puntos de sub intervalos

X0 = a = - 2

X1 = x0 + h = -2 + 2 = 0

X2 = x1 + h = 0 + 2 = 2

X3 = x2 + h = 2 + 2 = 4

Cálculo de f(xi)

x f(x) = 1 – x – 4x-3 + x5

X0 = -2 f(0) = 1 – (-2) - 4(-2)3 + (-2)5 = 3 = f(x0)

X1 = 0 f(1) = 1 – 0 – 4(0)3 + 05 = 1 = f(x1)

X2 = 2 f(2) = 1 – 2 – 4(2)3 + (2)5 = -1 = f(x2)

X3 = 4 f(3) = 1 – 4 – 4(4)3 + 45 = 765 = f(x3)

Formula de Simpson para n = 3

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =3ℎ

8

𝑏

𝑎[𝑓 𝑥0 + 3𝑓 𝑥1 + 3𝑓 𝑥2 + 𝑓(𝑥3)]

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =3(2)

8

𝑏

𝑎[3 + 3 1 + 3 −1 + 765]

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =6

8

𝑏

𝑎[768]

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎576

𝑰 = 𝟏 − 𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝒙𝟓 𝒅𝒙𝟒

−𝟐 = 576 valor aproximado

Ejercicio N° 3

8 + 4𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑥/2

0

Cálculo de h (ancho de los sub-intervalos)

h = 𝑏−𝑎

𝑛

Donde: a = 0 b =𝜋

2 n = 3

h = 𝜋

2− 0

3= 0,17

Ahora cálculo de los puntos de sub intervalos

X0 = a = 0

X1 = x0 + h = 0 + 0,17 = 0,17

X2 = x1 + h = 0,17 + 0,17 = 0,51

X3 = x2 + h = 0,51 + 0,17 = 0,85

Cálculo de f(xi)

x f(x) = 8 + 4 senx

X0 = 0 f(0) = 8 + 4sen(0) = 8 = f(x0)

X1 = 0,17 f(1) = 8 + 4sen(0,17) = 8,011868 = f(x1)

X2 = 0,51 f(2) = 8 + 4sen(0,51) = 8,035604 = f(x2)

X3 = 0,85 f(3) = 8 + 4sen(0,85) = 8,059339 = f(x3)

Formula de Simpson para n = 3

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =3ℎ

8

𝑏

𝑎[𝑓 𝑥0 + 3𝑓 𝑥1 + 3𝑓 𝑥2 + 𝑓(𝑥3)]

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =3(0,17)

8

𝑏

𝑎[0 + 3 0,17 + 3 0,51 + 0,85]

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎0,06375 [0 + 0,51 + 1,53 + 0,85]

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎0,06375 [2,89]

I = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎0,1842375

𝟖 + 𝟒𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟒𝟐𝟑𝟕𝟓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐

𝒙/𝟐

𝟎