Área: Geometría

Tema: Repaso

Profesor:

Ronald L. Guerra M.

Fecha de Elaboración:

27 de octubre de 2011.

CONCEPTOS IMPORTANTES:

Ángulo: Queda determinado

por dos semirrectas con unorigen común (el vértice)que se pueden superponermediante un giro.

Recta: Es un conjunto de

puntos en el cual un puntoque se encuentra entreotros dos tienes la mínimadistancia a éstos, seprolonga al infinito enambas direcciones.

Línea: Estructura con una

extensión en una soladirección

Segmento: Figura geométrica, parte de una

recta delimitada por dos puntos.

Cuerda: Segmento rectilíneo que une dos

puntos de una curva.

Secante: Recta que corta una

circunferencia en dos puntos.

Tangente: Recta que corta la

circunferencia en un punto.

Vértice: Punto de intersección de los lados

de un ángulo.

CONCEPTOS IMPORTANTES

Punto: Configuración geométrica

fundamental sin extensión(dimensión cero).

Paralela : Propiedad posicional de

varias rectas entre sí, la cualtienen la misma dirección.

Curva: Es una línea arbitraria sobre

el plano, la trayectoria de unpunto móvil, la intersección dedos superficies.

Perpendicular: Recta o segmentoque corta a otra rectaformando un ángulo de 90º.

Ángulo Recto: Ángulo cuyos

lados son perpendiculares

entre sí, mide 90 grados.

Ángulo Obtuso: Mide más de 90º

y menos de 180º.

Ángulo Agudo: Son los que miden

menos de 90º grados.

Ángulo Llano: Mide media vuelta,

esto es, 180º.

ÁNGULOS

a) Ángulos rectos: = 90 grados.

b) Ángulo agudo: < 90 grados.

c) Ángulo obtuso: < 180 grados > 90 grados

d) Ángulo llano: = 180 grados.

e) Ángulo entrante: < 360 grados >180 grados.

1. Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados

dan 90 grados.

2. Ángulos suplementarios: Son dos ángulos que sumados

dan 180 grados.

ÁNGULOS

< A o C = < B o D

Ángulos opuestos por el vértice.

C B C B

0

A D A D

< C o B + < B o D=<180 grados

ángulo adyacente.

Son dos ángulos que comparten un mismorayo en medio de sus lados. Además son complementarios osuplementarios.

LÍNEAS

Paralelas:

Diagonales:

Es una recta que no puede ir horizontal ni

vertical.

EJEMPLO

X +2y 4y

4y

92° 4y

x+2y = 92° por ser ángulos correspondientes

x = 92º - 2y

92°+4y = 180°

4y = 180º - 92º

4y = 88°

y = 88°/ 4= 22°

Verificación:

x+2y = 92°

48°+2(22) = 92°

92° = 92°

TRIÁNGULOS

Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a

180°.

Demostración: Partiendo de la teorema de dos paralelas y una secante

tenemos.

Ángulo llano o de 180°

Teorema: El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los

ángulos interiores no adyacentes.

EJEMPLOS

C B

75° 75°

A D

< AoC=75°

< BoD=75°

< AoC=<BoD

<CoA=<BoD

105°

75°

<CoB=?

<AoB=?

<CoB=105° por ser

suplementarios por el

ángulo de 75°

PROBLEMAS PROPUESTOS

B

55 30

Y X

D A E C

Y= 55+X

X=30+40

X=70

Y=55+70

Y=125°

X

100°

80° Y

180°-80=100

X=100/2

Y=50°+80°

Y=130° por ser un ángulo exterior.

TEOREMA DE PITAGORAS

B

a c

C A

b

C2=a2+b2

A2=c2-b2

B2=c2-a2

C2=a2+b2

C= a2+b2

A2=c2-b2

A= c2-b2

B2=c2-a2

B= c²-a²

POLIGONOS

Triángulos,Cuadrilateros,Pentágonos,Hexágonos,Octágonos,Décágonos,etc.

Triángulos

Equiláteros: sus tres lados son iguales.

Rectángulo: Tiene un ángulo de 90°.

Escaleno: Tiene dos lados iguales y uno desigual.

Isósceles: Tiene un ángulo mayor de 90°< de 180°.

Cuadriláteros

Cuadrado: Tiene sus 4 lados iguales.

Rectángulo: Tiene dos pares de lados iguales.

Trapecio: Tiene dos lados iguales y dos desiguales.

POLIGONOS

Rombo: Tiene dos pares de lados iguales.

Paralelogramo: Tiene dos pares de lados

iguales.

Axioma: El ángulo anterior de un triángulo

es igual a la suma de los ángulos interiores

no adyacentes.

TEOREMA DE TALES

3/6=5/10=1/2=1/2

7 7 3 3

7 3

Son semejantes

A A’

B B’

C C’

AA’B’B semejantes

BB’C’C

AB=A’B’

BC=B’C’

POLIGONOS REGULARES

Un polígono regular es unpolígono equilátero yequiangular, el radio de unpolígono regular es unsegmento que une al centrocon cualquiera de susvértices también llamadoradio de la circunscrita. Unaapotema es un segmento derecta perpendicular acualquiera de los lados delpolígono y que lo une con elcentro de la circunferenciacircunscrita.

Esta figura tieneapotema, circunferenciainscrita, radio y afuerade la figura se encuentrala circunferenciacircunscrita.

CUADRILATEROS

Los cuadriláteros constande dos figuras que sonParalelogramos yTrapecios; losParalelogramos puedenser las figuras deCuadrado, Rectángulo,Rombo, Romboide, etc.Y Trapecios sonTrapecio, TrapecioRectangular, TrapecioIsósceles, Trapezoide,etc.

Cuatro ángulos y lados

iguales.

Cuatro ángulos de 90°, los

lados opuestos son paralelos e

iguales.

Sus lados opuestos son

paralelos, ángulos agudos y dos

obtusos.

Dos lados opuestos son paralelos

y dos lados opuestos son

trasversales.

Dos lados opuestos son paralelos

dos lados opuestos son

trasversales e iguales.

TEOREMA DE LOS CUADRILATEROS

La suma de los ángulos de un cudrilatero es igual a 360°. Demostración:

B C ABC+ ACD=360°

A D 180°+180°=360°

360°

Teorema 1.- Propiedades del paralelogramo. Los lados opuestos de un

paralelogramo son iguales.

A B AD=BC AB=CD DB =una diagonal

D C

AD//BC DC//AB

ABD= BCD

TEOREMA DE LOS CUADRILÁTEROS

Las diagonales de un paralelogramo se corta de un punto

medio.

B C ABD= ACD

A D ABO= COD triángulos congruentes

AOD= BOC triángulos congruentes

TEOREMA 3.- Las diagonales de un rectángulo son iguales.

B C AOB= COD AB//CD

ABD= ACD BC//AD

A D ABC= BCD

O

O

PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS

TEOREMA 4.- Los ángulos continuas a cada uno de los

lados no paralelos de un trapecio son suplementarios.

La suma de los lados interiores de un polígono es igual a

180°. (n-2) 180°(n)-180°(n-2)= ángulos exteriores.

180°n-180°n+360°= ángulos exteriores.

La suma de sus < interiores y exteriores es

es igual a 180°.(n).

TEOREMA 5.- El número de diagonales de un polígono es

igual a la mitad del producto n o de n-3.

n(n-3) n(n-3)= 5(5-3)/2=5(2)/2=10/2=5/1

POLíGONOS REGULARES

Ángulos interiores180°(n-2), un ánguo interior 180°(n-2)/n, ángulos exteriores 180°(n)-180°n+360°= a un ánguloexterior 360°/n.

¿cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ladosinteriores suman 1440°?

1440°=180°(n-2)

1440°/180°=n-2 1440°/180°+2=n

1140°=180° (n-2)ángulos interiores de un poligono

180° (n-2) 1440|=180° (n-2)

1440°=180°n-360°

1440+360=180°n

1800=180°n 1800/1800=n 10°=n

LA CIRCUFERENCIA

La circuferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan deun punto interior llamado centro. El circulo es la superficie planalimitada por la circuferencia. La circuferencia divide al plano que lacontiene dos partes un exterior y la otra interior.

Ángulos en la circuferencia:

Ángulo central. Tiene su vértice en el centro de la circunferencia y suslados son radios. La medida del arco que se subtiende los extremosde los radios es igual al ángulo central.

Ángulo inscrito.-Es aquel que cuyo vértice coincide con cualquier puntode la circuferencia , existen tres casos:

1.-Con unos de sus lados que pasan por el centro de la circunferencia.

2.-El centro de la circunferencia se localiza en medio del ángulo inscritoo al interior de sus lados.

3.-El centro se encuentra fuera del ángulo inscrito.

LA CIRCUFERENCIA

1.- 2.- 3.-

ANGULOS Excéntricos.- También llamados interior, es

aquel que esta dentro de la circuferencia pero su vértice no

coincide con el vértice de esta.

LA CIRCUFERENCIA

Ángulo exterior.-Es aquel cuyo vértice se encuentra en la

parte exterior y sus lados pueden ser secantes o tangentes a

la circuferencia existen tres casos:

1.- Esta formado 2.-Esta formado por 3.-Esta formado

por dos secantes. una secantes y tangentes. Por 2 tangentes

LA CIRCUFERENCIA

El ángulo seminscrito tiene por medida la mitad del arco

superior de cuerda subtendido.

A

D <ABC=AB/2 AD//CB

<B=< A por ser alternos internos

C B AB=BD <BAD=un ángulo inscrito.

Ángulo excéntrico o interior tiene por medida la mitad de la

suma de los arcos comprendidos entre sus lados y la

prolongación de estos. D

<ABC=AC+DE/2

CD=cuerda <DCE=ángulo inscrito

C A

B

EL CIRCULO

Dos círculos son iguales y tiene radios iguales si los radios del mismo

circulo son iguales. Dos arcos son iguales cuando tiene los mismos

radios y coinciden sus extremos.

TEOREMA1.- Si una recta es perpendicular a un radio en el extremo de

este, la recta es tangente al circulo.

Radio DC=radio OC I AB

AB es tangente a la circuferencia

A C B

TEOREMA2.-La perpendicular trazada por el centro de un circulo a una

cuerda, biseca y los arcos subtendidos.

AB=cuerda OA=radio OB=radio

AOB es isósceles AOC rectángulo

A B OCB rectángulo

O

O

EL CIRCULO

TEOREMA 3.- En todo circulo dos paralelas intersecadas

arcos iguales.

G E H

C D

A B

AG-EC=CA EB-ED=BD CA=BD

AB//CD CD// GH AB y CD son secantes

EF= diámetro

F

PERÍMETRO Y ÁREA

Al referirnos a los cuerpos geométricos señalamos las caras

o limites de los sólidos se llama superficie las cuales

determinan su forma. El limite de la superficie señala el

perímetro.

Perimetro.-Es en consecuencia, el resultado al medir el

contorno de una figura geométrica que se representara con

una “P” mayúscula.

a b a b d

c b a c

P=a+b+c P=pi d P=4a P=a+b+c+d+f

P=2pi r P=a+a+b+b

df

PERIMETRO Y AREA

Formulas.-Una formula es la expresión de una ley o de un

principio general, simbolos o letras. Ejemplo: Area de un

triángulo, b*h/2, en donde “b” es igual a la base, “h” y el

“2” establece la mitad.

H

b b

AREA:

A A=a2 h A= b*h A=b*h

a A=a*a b b

A=&

h

h

PERIMETRO Y AREA

A= b*h/2 A=d*d/2 A=(b+b)h/2

A=pi r2

h

r