Post on 25-Mar-2020
Repaso Probabilidad
Repaso Probabilidad
Introducción
Repaso Probabilidad
Matemáticas II 2º Bachillerato
Wikipedia. Leyes de Mendel (CC0)
La probabilidad estudia la posibilidad de que ocurra un hecho, es una medida de la incertidumbre.
Cuando se piensa en probabilidad lo primero que consideramos son los juegos de azar, pero en ciencia aparece en multitud de situaciones,
muchas veces ligada a la estadística. La herencia genética (leyes de Mendel) depende del azar, en estudios médicos para determinar la
efectividad de un medicamento la estadística y la probabilidad juegan un importante papel para su evaluación, en física los orbitales atómicos
son regiones del espacio donde existe cierta probabilidad de encontrar a los electrones.
Con la entrada en vigor de la LOMCE la probabilidad vuelve a figurar en los planes de estudios de Matemáticas II, los ejemplos de exámenes
corresponden a Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, ya que no existe precedente para el Bachillerato de Ciencias.
Flickr. Maria Firsova. Atomium
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Repaso combinatoria
Diagramas de árbol
Sucesos. Espacio muestral
La combinatoria estudia cómo contar con la cabeza en lugar de contar con las manos. Recuerda que no siempre es necesaria, con esquemas
y diagramas de árbol en muchas situaciones se pueden estudiar los casos posibles.
No será necesario su uso en los ejercicios que veremos, pero en ocasiones puede ayudar. Recuerda el siguiente esquema de cursos
anteriores.
Autoría propia (CC BY-SA)
Los diagramas de árbol son un método gráfico para contar los posibles resultado de un experimento aleatorio: primero se fija la primera
posibilidad de elección, y de cada una se sacan las ramas necesarias para la segunda elección, ...
Por ejemplo, tenemos dos pantalones (Azul y Negro) y tres camisetas (Blanca, Roja y Morada) y nos preguntamos de cuántas formas distintas
nos podemos vestir.
Así el espacio muestral será (de arriba a abajo) E={NR,NB,NM,AR,AB,AM}
Autoría propia. Ejemplo diagrama de árbol (CC
BY-SA)
Si cuando realizamos repetidamente un experimento en las mismas condiciones, obtenemos siempre el mismo resultado, decimos que es un
experimento determinista. Si el resultado depende del azar, se dice que es un experimento aleatorio.
Un suceso es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Al conjunto de resultados de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral (E).
Suceso elemental es aquel que no se puede descomponer en otros más simples.
Suceso compuesto si se puede descomponer, si está formado por dos o más resultados del experimento.
Suceso seguro es aquel que siempre se realiza, por tanto coincide con el espacio muestral.
Suceso imposible el que nunca se presenta (Ø).
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Operaciones con sucesos
Probabilidad
Propiedades
Ejemplo
Solución
Resolvemos aplicando propiedades.
Son sucesos compatibles los que se pueden realizar a la vez. Sucesos incompatibles el caso contrario.
Dentro del espacio de sucesos podemos considerar algunas operaciones
Unión. La unión de dos sucesos A y B, es el suceso en el que se presenta al menos uno de los dos. ( )
Intersección. La intersección de dos sucesos A y B, es el suceso en el que se presentan los dos a la vez. ( )
Suceso contrario o complementario de A es el que se realiza cuando no se presenta A. ( )
Recordemos algunas propiedades importantes:
�̅̅�̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅= 𝐴
𝐴 ∩ 𝐵̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ =̅ �̅̅̅� ̅∪ �̅̅�̅̅ ̅
𝐴 ∪ 𝐵̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ =̅ �̅̅̅� ̅∩ �̅̅�̅̅ ̅
La probabilidad de un suceso mide la posibilidad de que ocurra dicho suceso.
En un espacio en el cual los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de un suceso A se define como el número de casos que
le son favorables a A, dividido entre el número de sucesos elementales. Esto se conoce como regla de Laplace.
𝑃�𝐴� = ������ �� ����� ���������� � ������� �� ����� ��������
Se pueden deducir las siguientes propiedades para la probabilidad.
Si 𝐴 ⊂ 𝐵, entonces 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)
Para cualquier suceso 𝐴 se cumple que 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1. (La probabilidad es un número entre cero y uno)
Si �̅̅̅� ̅es el suceso contrario de 𝐴 se cumple que 𝑃��̅̅̅� ̅�̅ = 1 − 𝑃�𝐴�
Consecuencia de las anteriores: 𝑃(𝐸) = 1, 𝑃(∅) = 0.
Si 𝐴 y 𝐵 son sucesos compatibles (𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅), se cumple: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Caso práctico
Se sabe por exámenes anteriores de acceso a la universidad, que la probabilidad de que aparezca un ejercicio en el que haya que
aplicar el teorema de Bolzano es de 0'28, la probabilidad de que haya un ejercicio en el que sea necesario el uso del teorema de Rolle
es del 0'21, y la probabilidad de que aparezcan los dos del 0'15.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos aparezca?a.
¿Cuál es la probabilidad de que ninguno aparezca?b.
Planteamiento
Es importante tratar de "traducir" de forma sencilla el enunciado a una notación clara, teniendo especial cuidado con expresiones del
tipo: "al menos", "ninguno", "por lo menos uno", ...
Llamemos a los sucesos:
𝐴: Aparecer teorema de Bolzano
𝐵: Aparecer teorema de Rolle
Los datos que no indican en el enunciado son:
𝑃(𝐴) = 0'28 𝑃(𝐵) = 0'21 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0'15
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Que aparezca al menos uno es la unión: o uno sólo, o el otro sólo, o los dos.
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0'28 + 0'21 − 0'15 = 0'34
a.
Que no aparezca ninguno de los dos es el suceso contrario de que aparezca al menos uno de ellos, así:
𝑃��̅̅̅� ̅ ∩̅ �̅̅̅��̅ = 𝑃�𝐴 ∪ 𝐵̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅�̅ = 1 − 𝑃�𝐴 ∪ 𝐵� = 1 − 0'34 = 0'66
b.
Probabilidad condicionada
Solución
Sea A: salir 5, y llamemos B: salir impar
𝑃�𝐴� = �� 𝑃�� �� =
�(�� �∩�����)�(�����)
=�(�� �)�(�����)
=� �� �
= �� ≠ 𝑃�𝐴�
Sucesos independientes
Teorema de la probabilidad total
La probabilidad de que ocurra un suceso B condicionado a que haya ocurrido un suceso A
𝑃�� �� =�(�∩�)�(�)
= ������ �� ����� ���������� � �∩������� �� ����� ���������� � �
El hecho de que ya se haya realizado A, cambia las probabilidades, puesto que para que ocurra B disponemos de nueva información que
cambia la incertidumbre
Reflexión
En un juego se gana si se saca un 5 al tirar un dado. Podemos calcular la probabilidad de ganar, pero si me informan de que ha salido
un número impar, ¿cómo ha cambiado la probabilidad? ¿es la misma?
Regla del producto. Si despejemos la probabilidad de la intersección de la definición de la probabilidad condicionada:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(� �) = 𝑃(𝐵) ⋅ 𝑃(� �)
Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la ocurrencia de un suceso no está condicionada por la ocurrencia o no de otro
suceso; esto ocurre si y sólo si:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵)
Lo contrario: sucesos dependientes-
Si tenemos una serie de sucesos 𝐴�,𝐴�, ..., 𝐴�, tales que:
Son incompatibles entre sí: 𝐴� ∩ 𝐴� = ∅, si 𝑖 ≠ 𝑗
Su unión es el espacio muestral 𝐴� ∪ 𝐴� ∪ ... ∪ 𝐴� = 𝐸
Entonces la probabilidad de un suceso 𝐵 es:
𝑃(𝐵) = ∑�=��
𝑃(𝐴�) ⋅ 𝑃(𝐵/𝐴�)
Caso práctico
Volvamos al ejemplo de diagrama de árbol.
Tenemos dos pantalones (Azul y Negro) y tres camisetas (Blanca, Roja y Morada) y nos preguntamos de cuántas formas distintas nos
podemos vestir.
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Solución
El teorema de la probabilidad total lo que nos dice es:
𝑃( " Roja " ) = 𝑃( " Pantalón Azul " ) ⋅ 𝑃( " Roja " / " Pantalón Azul " ) + 𝑃( " Pantalón Negro " ) ⋅ 𝑃( " Roja " / " Pantalón Negro " )
Teorema de Bayes
Solución
𝑃� " Pantalón Azul " / " Roja " � =�(��������� ���� � ) ⋅�( ������ / ��������� ���� � )
�( ��������� ���� � ) ⋅�( ������ / ��������� ���� � )+�(��������� ������ ) ⋅�( ������ / ��������� ������ )
PAEG-2016 Jun.5A CCSS II
Nos preguntamos por la probabilidad de llevar camiseta roja.
Intenta plantearlo con este teorema, y observa el diagrama de árbol.
El teorema de Bayes calcula probabilidades después de realizar un experimento (probabilidad a posteriori). De alguna manera se pregunta de
qué antecedentes se deriva la aparición de un suceso.
Teorema de Bayes
Si tenemos una serie de sucesos (sistema completo de sucesos) 𝐴�,𝐴�, ..., 𝐴�, tales que:
Son incompatibles entre sí: 𝐴� ∩ 𝐴� = ∅, si 𝑖 ≠ 𝑗
Su unión es el espacio muestral 𝐴� ∪ 𝐴� ∪ ... ∪ 𝐴� = 𝐸
Entonces sabiendo que ha sucedido el suceso B, se tiene:
𝑃�𝐴�/𝐵� =�����⋅���/���
∑�=�� �����⋅���/���
Caso práctico
Volvamos al ejemplo de diagrama de árbol, pero esta vez nos preguntamos por la probabilidad, sabiendo que levamos una camiseta
roja, por la probabilidad de llevar pantalón azul.
Intenta expresarlo en lenguaje matemático adecuado con el teorema de Bayes.
Ejercicio 5A
Ejercicio típico de aplicación del teorema de la probabilidad total y Bayes
En una empresa de Toledo se producen dos modelos de vajillas: A y B. El 10 % de las vajillas son del modelo A y el 90 % del modelo
B. La probabilidad de que una vajilla del modelo A sea defectuosa es 0.02 y de que una vajilla del modelo B sea defectuosa es 0.01
a) Elegida una vajilla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
b) Se escoge al azar una vajilla y resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo A?
Planteamiento
Realizando un diagrama de árbol, el ejercicio es muy sencillo. Vamos a llamar A: modelo A de vajilla, B: modelo B de vajilla, D:
defectuosa
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Solución
a) Elegida una vajilla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐷/𝐴) + 𝑃(𝐵) ⋅ 𝑃(𝐷/𝐵) = 0.1 ⋅ 0.02 + 0.9 ⋅ 0.01 = 0.011
b) Se escoge al azar una vajilla y resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo A?
𝑃�𝐴/𝐷� =𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐷/𝐴)
𝑃(𝐷)=
0.1 ⋅ 0.02
0.011= 0.1818
PAEG Junio 2016-5B CCSS II
Solución
a) 𝑃� " las cuatro avería " � = 𝑃�𝐴� ∩ 𝐴� ∩ 𝐴� ∩ 𝐴�� = 𝑃�𝐴�� ⋅ 𝑃�𝐴�� ⋅ 𝑃�𝐴�� ⋅ 𝑃�𝐴�� = 0.1� = 10−� = 0.0001
b) 𝑃� " ninguna " � = 𝑃��̅̅�̅�̅ ∩ �̅̅̅��̅ ∩ �̅̅�̅̅�̅ ∩ �̅̅̅��̅� = 𝑃��̅̅̅��̅� ⋅ 𝑃��̅̅�̅̅�̅� ⋅ 𝑃��̅̅̅��̅� ⋅ 𝑃��̅̅�̅�̅� = (1 − 0.1)� = 0.9� = 0.6561
c) 𝑃( " al menos una " ) = 1 − 𝑃( " ninguna " ) = 1 − 0.6561 = 0.3439
PAEG Septiembre 2016-5A CCSS II
Solución
a) Calcula la probabilidad de que un alumno de ese instituto elegido al azar haya aprobado la PAEG. Nos dan el complementario, así
que:
Autoría Propia. Diagrama de árbol (CC BY-SA)
Ejercicio
Se sabe que una máquina determinada tiene una probabilidad de tener una averı́a de 0.1. Tenemos una empresa con 4 máquinas
como las anteriores que funcionan de forma independiente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro tengan una averı́a?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna tenga una averı́a?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las máquinas tenga una averı́a?
En primer lugar notar que una máquina no se estropea porque la de al lado se estropee o no: con sucesos independientes.
Vamos a llamar al suceso "tener una avería" A, y Ai avería la máquina i.
Ejercicio
De un total de 80 alumnos de un instituto que se han presentado a la PAEG, 6 no han aprobado la PAEG.
a) Calcula la probabilidad de que un alumno de ese instituto elegido al azar haya aprobado la PAEG.
b) Calcula la probabilidad de que si seleccionamos tres alumnos distintos al azar de este instituto, ninguno resulte suspenso.
c) Si elegimos cuatro alumnos distintos al azar y el primero y el segundo han suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que el tercero y el
cuarto sean suspensos?
Llamemos A al suceso aprobar
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𝑃�𝐴� = 1 − 𝑃��̅̅̅��̅ = 1 − ��� = 1 − 0.075 = 0.925
b) Calcula la probabilidad de que si seleccionamos tres alumnos distintos al azar de este instituto, ninguno resulte suspenso.
𝑃�ninguno de tres� = 𝑃�𝐴� ∩ 𝐴� ∩ 𝐴�� = 𝑃�𝐴�� ⋅ 𝑃�𝐴�/𝐴�� ⋅ 𝑃�𝐴�/𝐴� ∩ 𝐴�� = ���� ⋅ ���� ⋅ ���� = 0.7890
c) Si elegimos cuatro alumnos distintos al azar y el primero y el segundo han suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que el tercero y el
cuarto sean suspensos? Como sabemos que el primero y segundo han suspendido, quedan 4 suspensos de 78 alumnos restantes:
𝑃 = 𝑃��̅̅�̅�̅ ∩ �̅̅̅��̅� = ��� ⋅ �
�� = 0.0020
PAEG Septiembre 2016-5B CCSS II
Solución
Diagrama de árbol
Autoría propia. Diagrama de árbol (CC BY-SA)
a) Calcule la probabilidad de que un futbolista, elegido al azar, hable castellano.
𝑃(𝐶) = 𝑃( " Asiático " ) ⋅ 𝑃(𝐶/ " Asiático " ) + 𝑃( " Africano " ) ⋅ 𝑃(𝐶/ " Africano " ) + 𝑃( " Europeo " ) ⋅ 𝑃(𝐶/ " Europeo " )
𝑃(𝐶) = 0, 05 ⋅ 0, 10 + 0, 25 ⋅ 0, 20 + 0, 70 ⋅ 0, 25 = 0, 23
b) Si nos encontramos con un futbolista que no habla castellano, ¿cuál es la probabilidad de que sea europeo?
𝑃� " Europeo " /𝐶�� =������������⋅����/ ����������
�����= ����⋅����
�−�(�)= �����
�−���� = 0, 6818
Modelo Universidades Madrid 2016-17
Ejercicio
En una liga de fútbol se sabe que el 5 % de los futbolistas son asiáticos, el 25 % son africanos y el resto son europeos. También se
sabe que el 10 % de los futbolistas asiáticos, el 20 % de los futbolistas africanos y el 25 % de los futbolistas europeos hablan
castellano.
a) Calcule la probabilidad de que un futbolista, elegido al azar, hable castellano.
b) Si nos encontramos con un futbolista que no habla castellano, ¿cuál es la probabilidad de que sea europeo?
Realiza un diagrama de árbol, y utiliza los teoremas de la probabilidad total y de Bayes.
Llamaré C: hablar castellano
Modelo Universidades Madrid 2016-17
En una población de cierta especie de cérvidos, el 43 % de los adultos son machos y el 57 % hembras. Se sabe que el 11 % de los
machos adultos y el 4 % de las hembras adultas sufre alguna afección ocular. Se supone que se captura al azar un ejemplar adulto y
se pide:
a) (1 punto) Determinar la probabilidad de que tenga alguna afección ocular.
b) (1 punto) Si el ejemplar capturado padeciere una afección ocular ¿cuál sería la probabilidad de que fuera un macho?
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Solución
Autoría propia. Diagrama de árbol (CC BY-SA)
a) Determinar la probabilidad de que tenga alguna afección ocular. Llamando A: tener afección, M: macho y H: hembra, y usando el
teorema de la probabilidad total:
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝑀) ⋅ 𝑃(𝐴/𝑀) + 𝑃(𝐻) ⋅ 𝑃(𝐴/𝐻) = 0.43 ⋅ 0.11 + 0.57 ⋅ 0.04 = 0.0701
b) Si el ejemplar capturado padeciere una afección ocular ¿cuál sería la probabilidad de que fuera un macho? Usando el teorema de
Bayes:
𝑃�M/𝐴� =𝑃(𝑀) ⋅ 𝑃(𝐴/𝑀)
𝑃(𝐴)=
0.43 ⋅ 0.11
0.0701= 0.6748
Algunos enlaces
Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir igual 4.0
I.E.S. Ramón Giraldo
Probabilidad condicionada. Teoremas de la probabilidad total y Bayes.
Haced diagrama de árbol.
Si quieres repasar algunos conceptos básicos, esta página de 3º de ESO te puede ser útil.
Para este curso, es más interesante la siguiente, además tiene ejercicios con soluciones.
http://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/EstadisticaProbabilidadInferencia/Probabilidad/1Introduccion.html
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