Resistencia de Materiales Tema 2

Resistencia de Materiales

Tema 2 - Esfuerzo y Deformación

SEMINARIO DE DISEÑO

MECANICO ESTRUCTURAL

Tema 2 Esfuerzo - Deformación

______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESIME AZCAPOTZALCO

Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama

Índice de contenido Tema 2 - Esfuerzo y Deformación

Índice de contenido

• Introducción

• Sección 1 - Concepto de Esfuerzo

• Sección 2 - Deformaciones

• Sección 3 - Ensayo de tensión

• Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación

• Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas

• Sección 6 - Esfuerzos de origen térmico

• Sección 7 - Resumen de ecuaciones

• Sección 8 - Ejemplos

ESIME AZCAPOTZALCO

Introducción

En cursos previos al presente, hemos aprendido las condiciones

necesarias para que un cuerpo se encuentre en equilibrio. En forma

sencilla, podemos citarlas de la siguiente forma:

Donde el término ‘F’ representa las fuerzas aplicadas sobre el

cuerpo en las direcciones ‘x’, ‘y’, ‘z’ de un sistema coordenado ortogonal.

Análogamente, el término ‘M’ está referido a los momentos que se ejercen

en el cuerpo, en las direcciones ‘x’, ‘y’, ‘z’.

0yF 0zF

0yM 0zM

ESIME AZCAPOTZALCO

Supongamos que tenemos un cuerpo que se encuentra en

equilibrio, con cargas (fuerzas, momentos) aplicadas sobre el mismo. Si le

hacemos un corte transversal imaginario dividiéndolo en dos partes,

observaremos que deben generarse fuerzas internas en su sección

transversal para que pueda mantenerse en equilibrio.

Introducción

ESIME AZCAPOTZALCO

Las fuerzas internas que se

generan en la sección transversal se

denominan esfuerzos. Para

determinar éstos, se hace necesario

definir las cargas que están ejercidas

sobre dicha sección; esto se logra

aplicando las condiciones de estática

que recordamos líneas atrás.

Tendremos entonces que, en la

sección de interés, están aplicados

una fuerza y un momento resultante

(‘FR’ y ‘MR’ respectivamente).

Introducción

ESIME AZCAPOTZALCO

Realicemos ahora una descomposición de la fuerza resultante

sobre la sección de interés. Obtendremos una fuerza que es normal al

plano de la sección; ésta es la carga axial (P). El resto de fuerzas están

contenidas en el plano, y se llaman cortantes (V). Observe que la fuerza

cortante total es la sumatoria vectorial de las fuerzas contenidas en el

plano de la sección.

Introducción

ESIME AZCAPOTZALCO

Desarrollemos ahora el mismo procedimiento para el momento

resultante. Obtendremos una componente que es normal al plano de la

sección; ésta representa el momento torsor (T). Las componentes

restantes de momento están contenidas en el plano, y se denominan

momentos flectores (M). La la sumatoria vectorial de todos los momentos

contenidos en el plano resulta en el momento flector total en la sección.

Introducción

ESIME AZCAPOTZALCO

En resumen, podemos tener cuatro tipo de cargas sobre una

sección transversal:

- Carga Axial. Es la componente normal al plano de la fuerza

resultante sobre el mismo.

- Fuerza Cortante. Es la componente de la fuerza resultante

contenida en el plano de la sección transversal.

- Momento Torsor. Es la componente normal al plano del

momento resultante sobre el mismo.

- Momento Flector. Es la componente del momento resultante

contenida en el plano de la sección transversal.

Introducción

ESIME AZCAPOTZALCO

Concepto de Esfuerzo

Sección 1 - Concepto de Esfuerzo

Esfuerzos son las fuerzas internas que se generan dentro de

cuerpos sometidos a cargas.

Para brindar una

definición matemática a este

concepto, tomaremos un

cuerpo cargado

representando las fuerzas

internas que en él aparecen.

Elegiremos un diferencial de

área de la sección

transversal, en la que actúa

una fuerza interna finita

como se muestra.

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Definiremos entonces como Esfuerzo Normal (σ) a la cantidad

de fuerza por unidad de área actuando en dirección normal a ‘ΔA’.

Matemáticamente, puede expresarse de la siguiente forma:

Si ‘ΔFn’ “sale” de la sección transversal, el esfuerzo normal es de

tracción y se denota con signo positivo. De lo contrario, el esfuerzo normal

es de compresión y se escribe con signo negativo.

FLim n

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Como el esfuerzo está integrado en unidades de fuerza sobre

área, se expresa en Pa (N/m2) según el Sistema Internacional y en psi

(Lbf/in2) según el Sistema Inglés.

El Esfuerzo Tangencial ó Cortante (t) es la cantidad de fuerza

por unidad de área actuando en dirección tangencial a ‘ΔA’.

Matemáticamente, puede expresarse de la siguiente forma:

FLim t

A diferencia de ‘ΔFn’ ,

cuya dirección puede ser una sola,

‘ΔFt’ puede tener cualquier

dirección en el plano.

El esfuerzo cortante

tendrá la misma dirección y sentido

de ‘ΔFt’.

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Esfuerzo normal promedio en barras cargadas axialmente

La distribución de esfuerzos normales en una sección transversal

de una barra cargada axialmente no es completamente uniforme. Sin

embargo, para este caso específico, podemos definir un esfuerzo normal

promedio en toda la sección transversal, sin temor a cometer un gran error

con esta aproximación. Dicho esfuerzo viene dado por la siguiente

expresión:

Donde ‘P’ es la carga axial y ‘A’ el área de sección transversal de la

barra. Si la carga ‘P’ es de tracción, el esfuerzo normal es positivo y

viceversa. Es importante recordar que, como el esfuerzo es normal, el área

es perpendicular a la fuerza aplicada.

(1.1.1)

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Esfuerzo normal de aplastamiento en elementos de unión

pasantes

Observemos la figura que se muestra. En las superficies de

contacto entre el remache y las placas (donde se transmiten fuerzas entre

ellos), se generan esfuerzos de aplastamiento. Estos aparecen en todas

las situaciones similares a la ilustrada (con pernos, pasadores, entre

cojinetes y ejes…).

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En principio, este esfuerzo

puede parecer difícil de identificar

pues a primera vista puede

observarse que el área de contacto

(Acontacto = 2πrL) no es siempre

perpendicular a la fuerza que se

ejerce sobre la misma.

Para calcular este esfuerzo,

proyectamos el área de contacto

sobre un plano normal a la fuerza y

tomamos el valor del área

proyectada, que ahora sería

‘Aproyectada = 2rL’.

Finalmente, el esfuerzo de aplastamiento vendría dado por la

expresión:

PROYECTADA

NTOAPLASTAMIE A

(1.1.2)

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Esfuerzo cortante promedio en elementos de unión pasantes

Considerando el mismo

caso que se nos presentaba en el

apartado anterior, se generan

también esfuerzos cortantes en la

sección transversal del elemento de

unión. Esto se debe a la acción de

una fuerza cortante que intenta

“cizallar” el elemento, tal como se

observa en la figura.

El esfuerzo cortante promedio vendría dado por la expresión:

En este caso, la fuerza es paralela ó tangente al área.

P tecor

PROMEDIO

(1.1.3)

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Deformaciones

Sección 2 - Deformaciones

Los cuerpos completamente rígidos no existen. Todo elemento se

deforma ante la presencia de cargas sobre él, aunque sea en una

proporción muy pequeña.

Si aplicamos una carga axial de tensión a un cuerpo, observaremos

que éste tenderá a alargarse en el sentido de dicha carga.

Si la carga fuese de compresión, el cuerpo se acortaría en la

dirección de la carga. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

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Se llama Alargamiento () al cambio de longitud que experimenta

un cuerpo debido a una carga axial aplicada sobre el mismo. Según la

figura presentada anteriormente, se puede plantear así:

A partir del Alargamiento, podemos establecer un concepto que nos

será muy útil en el estudio de los materiales: la Deformación Unitaria

Normal (ε). Esta se establece de la siguiente forma:

Es importante mencionar que, como el Alargamiento y la

Deformación Unitaria Normal se deben a cargas axiales, estos conceptos

están íntimamente relacionados con los esfuerzos normales.

0LLL f

(1.2.1)

(1.2.2)

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Cuando un cuerpo se deforma en una dirección, se producen

también deformaciones en las dos direcciones ortogonales a la primera.

Estas deformaciones pueden determinarse utilizando el módulo de Poison

Si se aplica una carga axial en la dirección de x, se tendrá una

deformación εx, y se producirán deformaciones ‘εy’ y ‘εz’, las cuales pueden

calcularse mediante las relaciones:

(1.2.3a)

(1.2.3b)

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Ensayo de Tensión

Sección 3 - Ensayo de Tracción

Se define como Propiedades Mecánicas a los valores

característicos de esfuerzo, dureza, deformación ó energía con los que un

material responde ante la aplicación de una carga sobre el mismo.

Vale decir que, la selección del material del cual se mecanizará un

elemento dado depende en gran medida de sus propiedades mecánicas; he

allí su importancia.

Existen numerosos ensayos mecánicos con los que se pueden

determinar las propiedades mecánicas de un material; sin embargo, el más

utilizado de ellos, es el Ensayo de Tracción. Este consiste en aplicar una

carga axial de tracción sobre una probeta hecha del material de estudio,

aumentando muy lentamente el valor de dicha carga desde cero hasta que

la probeta se rompa. Cada valor de carga se registra junto con el

alargamiento respectivo que produce. Luego, con los datos obtenidos, se

calcula el esfuerzo normal (σ) ejercido por la carga y la deformación unitaria

(ε) relativa al alargamiento experimentado por la probeta. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

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Posteriormente, con los valores de esfuerzo y deformación

calculados, se construye una gráfica que se conoce como Curva Esfuerzo-

Deformación. Es a partir de esta gráfica que pueden obtenerse varias

propiedades mecánicas del material.

Las dimensiones y características de la probeta dependen de la

normativa que se siga. La figura muestra una probeta según las normas

Covenín, donde Do = 12,5mm; L = 50mm; R = 10mm; L’ ≥ L + Do.

Sección 3 - Ensayo de Tracción

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Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación

Como se expuso anteriormente, es una gráfica donde se observa la

variación del esfuerzo normal (σ) respecto a la deformación unitaria (ε) a

partir de los resultados obtenidos en un ensayo de tracción.

Aunque estas curvas pueden tener múltiples comportamientos

según el material del que se trate, las tendencias que nos interesa estudiar

se muestran abajo.

Curva Esfuerzo - Deformación

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Con una mirada superficial sobre las curvas, podemos observar

dos cosas. En primer lugar, los materiales frágiles se deforman muy poco

antes de romperse, a diferencia de los materiales dúctiles. Por otro lado, los

materiales dúctiles pueden presentar ó no zona de fluencia. Si el material es

un metal puro, la curva no presentará este fenómeno, y viceversa si se trata

de una aleación.

Siendo más detallistas, podremos notar que podemos dividir la

curva en varias zonas. Para esto, centraremos nuestra atención en los

materiales con zona de fluencia (por poseer la curva más compleja).

ESIME AZCAPOTZALCO

En primer lugar, podemos

dividir la curva en dos zonas

generales.

La zona elástica (AB) se caracteriza

porque las deformaciones

producidas en esta sección son de

carácter elástico.

Por otro lado, en la zona plástica

(BE) las deformaciones producidas

son permanentes.

En la zona plástica ocurren tres fenómenos:

- Fluencia (tramo BC)

- Endurecimiento por deformación (tramo CD)

- Formación de cuello o estricción (tramo DE).

Estudiaremos ahora cada zona con mayor detenimiento.

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Donde E es el módulo de

Young ó módulo de elasticidad del

material. Este comportamiento

elástico se cumple hasta el límite de

elasticidad (σE), el cual es un valor

de esfuerzo bastante difícil de

conseguir, y es apenas un poco

superior al límite de proporcionalidad

del material.

Zona Elástica

Como se mencionó anteriormente, las deformaciones producidas

en esta zona son elásticas, es decir: desaparecen si se retira la carga.

Durante el primer tramo, esta zona exhibe un comportamiento lineal hasta el

límite de proporcionalidad (σP), a partir del cual cambia su tendencia. Se

cumple entonces hasta el valor de esfuerzo mencionado anteriormente la ley

de Hooke:

(1.4.1)

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Zona de Fluencia

Se presenta en los metales aleados. Está caracterizada por dos

valores de esfuerzo: el punto superior de fluencia y el punto inferior de

fluencia. En esta zona y en las siguientes, las deformaciones serán

permanentes, al igual que todos los cambios en sus propiedades mecánicas

sufridos debido a dicha deformación.

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Zona de Endurecimiento por Deformación

Durante esta etapa, ocurre una disminución uniforme de la sección

transversal de la probeta a lo largo de su longitud L. Para continuar

deformando la probeta, se debe aumentar notablemente el valor de la carga

aplicada, por ello se dice que el material en esta zona se endurece. El

esfuerzo último (σU) marca el final de esta etapa.

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Zona de formación de cuello ó Estricción

En esta fase final ocurre la estricción, que consiste en una

reducción del área de la sección transversal en una zona específica.

Debido a esta reducción, la carga que debe ejercer la máquina de ensayo

para deformar la probeta se hace cada vez menor, aunque en realidad el

esfuerzo en la probeta va en aumento hasta que ocurre la ruptura.

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La curvas mostradas hasta ahora desprecian el fenómeno de

estricción en la probeta. Por ello, se les denomina Curvas Nominales de

Esfuerzo-Deformación. Al considerar la formación de cuello en la probeta, el

esfuerzo real no presenta un valor máximo luego de la fluencia, sino que

aumenta hasta la ruptura del material.

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Finalmente, de las Curvas Nominales de Esfuerzo-Deformación

pueden obtenerse las siguientes propiedades mecánicas:

- Límite de proporcionalidad

- Límite de elasticidad

- Límite(s) de fluencia

- Tenacidad

- Resiliencia.

Ya hemos hablado de las tres primeras propiedades.

Procederemos a brindar una reseña de las restantes.

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La Tenacidad (T0) es la capacidad del material de absorber

energía de deformación plástica antes de romperse, y retener esa energía

aún después que ha cesado la carga que le ha producido la deformación

plástica.

Para calcularla de la forma más precisa posible, se utilizaría la

expresión:

Donde la Tenacidad queda expresada como energía por unidad de

volumen. Como encontrar una expresión del esfuerzo en función de la

deformación para toda la curva es muy complicado, para materiales dúctiles

se utiliza la expresión:

MAXUYT

(1.4.2a)

(1.4.2b)

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Para materiales frágiles, se utiliza la fórmula:

La Resiliencia (U0) es la capacidad del material para absorber

energía cuando es deformado elásticamente, y luego devolver esa energía

al ser descargado. Se calcula mediante la relación:

Donde el esfuerzo y la deformación son los valores máximos de la

zona elástica. Al igual que la Tenacidad, la Resiliencia está expresada en

términos de energía por unidad de volumen.

MAXUYT 3

(1.4.2c)

(1.4.3)

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Estructuras estáticamente

indeterminadas

Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas

Al plantear las condiciones de equilibrio para la barra doblemente

empotrada que se muestra en la figura, despreciando su peso, nos queda:

Notemos que las condiciones de estática no son suficientes para

resolver este sistema. Tenemos dos incógnitas (la carga F es conocida), y

apenas una ecuación que las relaciona.

0 CA RFR

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Sabemos que la barra, por estar doblemente empotrada, no puede

sufrir ningún alargamiento, bien sea positivo o negativo. Entonces, sería útil

establecer alguna relación entre las cargas a las que está sometida la barra

y las deformaciones que ésta experimenta. Asumiendo que dichas

deformaciones ocurren en el rango elástico, se cumpliría la ley de Hooke:

Sustituyendo los términos σ y ε, nos quedaría:

Finalmente:

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Hemos conseguido una expresión que nos permite determinar el

alargamiento en una barra, si conocemos sus características geométricas (L,

A), el módulo de rigidez del material (E) y la carga axial a la que está

sometida (P).

Recordando el problema propuesto, condición del mismo era que el

alargamiento total de la barra fuese nulo. A partir de la figura, podemos

observar que el tramo AB está sometido a una carga axial distinta a la del

tramo BC. Entonces, la segunda condición se basaría en las deformaciones

y sería la siguiente:

Nuestro interés reside ahora en encontrar las cargas axiales a las

que están sometidos los tramos AB y BC.

0 BCAB

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Para calcular la fuerza axial sobre

el tramo AB de la barra, tomamos la carga

que hay aplicada en el extremo A (RA) y

planteamos una fuerza imaginaria (PAB) en

B, justo antes del punto de aplicación de la

carga F. Esta fuerza imaginaria, la

asumiremos siempre como una carga de

tracción.

Entonces, establecemos la condición de equilibrio del tramo AB,

tomando el sentido izquierdo (tracción PAB) como positivo:

Y planteamos la ecuación del Alargamiento del tramo AB:

AABABA RPPR 0

ABABAB

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Procediendo de forma similar con el tramo BC, se tendría:

Igualmente, planteamos la deformación de la barra para el tramo

0 BCA PFR

BCBCBC

FRP ABC

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Finalmente, como la deformación total debe ser cero, nos queda:

Y recordando la condición de equilibrio:

Tenemos ahora un sistema lineal de dos ecuaciones y dos

incógnitas. Podemos hallar las reacciones RA y RC.

ABABCAB

0 CA RFR

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Tensiones de origen térmico

Sección 6 - Tensiones de origen térmico

Cuando un cuerpo experimenta cambios de temperatura, sufre

variaciones en sus dimensiones (dilataciones y contracciones).

En el caso de una barra que experimente una variación de

temperatura, se puede determinar el alargamiento de la misma mediante la

relación:

Donde α es el coeficiente de dilatación térmica y ΔT es la variación

de temperatura que experimenta el cuerpo.

Cuando el alargamiento está restringido (existe algún(os)

elemento(s) que lo prohíben), pueden generarse esfuerzos en el material. Si

el alargamiento producido por ΔT se halla dentro del rango elástico, el

esfuerzo generado puede encontrarse utilizando la ley de Hooke.

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Resumen de ecuaciones

Sección 7 - Resumen de ecuaciones

Esfuerzo normal promedio debido a carga axial:

: Esfuerzo normal promedio en la sección transversal

P: Carga axial sobre la sección (perpendicular a la sección)

A: Área de sección transversal

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Esfuerzo cortante promedio debido a fuerza cortante:

t: Esfuerzo cortante promedio en la sección transversal

P: Fuerza cortante sobre la sección (tangencial a la sección)

A: Área de sección transversal

PPROMEDIO t

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Alargamiento normal en un elemento:

: Alargamiento normal en un elemento

Lf: Longitud final del elemento

Li: Longitud inicial del elemento

0LLL f

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Deformación unitaria normal en un elemento:

: Deformación unitaria normal

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Alargamiento normal en un elemento:

0LLL f

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Ley de Hooke:

: Esfuerzo normal

E: Módulo de Elasticidad ó de Young

: Deformación unitaria normal

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Relación de Alargamiento debido a carga axial:

: Alargamiento normal

P: Carga axial

E: Módulo de Elasticidad ó de Young

L: Longitud del elemento

A: Área de sección tranversal

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Relación de Alargamiento debido a cambios térmicos:

: Alargamiento normal

: Coeficiente de dilatación térmica

L: Longitud del elemento

T: Variación de temperatura

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Resiliencia de un material:

U0: Resiliencia

E: Esfuerzo normal máximo de la zona elástica

E: Deformación unitaria normal máxima de la zona elástica

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Tenacidad de un material:

T0: Tenacidad

u, y: Esfuerzos normales último y de fluencia, respectivamente

MAX: Deformación unitaria normal máxima

MAXUYT

MAXUYT 3

(materiales dúctiles)

(materiales frágiles)

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Ejemplo 1

Sección 8 - Ejemplo 1

La figura muestra dos barras empotradas como se muestra en la

figura. La barra AB está hecha de Acero ( E = 200E6 MPa) y tiene un

diámetro de 2 cm. La barra BC, de Aluminio ( E = 70E6 Mpa), tiene un

diámetro de 4 cm. Ambas barras tienen 10 cm de longitud. Se aplica una

carga F = 5000 N entre ambas, como se muestra.

Determine las reacciones en los empotramientos y las

deformaciones de las barras.

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En primer lugar, establecemos la condición de equilibrio estático en

el sistema:

Donde tenemos dos incógnitas. Procederemos ahora a utilizar las

condiciones de deformación para encontrar una relación más.

05000 CA RR

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En la barra AB se tendría:

Planteamos la deformación de la barra AB:

0 ABA PR

ABABAB

AAB RP

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En el tramo BC, se tendría:

Igualmente, planteamos la deformación de la barra BC:

05000 BCA PR

BCBCBC

)5000(

5000 ABC RP

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Finalmente, como la deformación total debe ser cero, nos queda:

Sustituyendo todos los términos, resulta:

RA = - 2083,33 N

El signo negativo indica que el sentido real de RA es contrario al

propuesto en el esquema.

0)5000()(

ABABCAB

0))04,0(25,0()970(

)1,0()5000(

))02,0(25,0()9200(

)1,0()(22

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Ahora, utilizando la condición de equilibrio, obtenemos RC:

Sustituyendo, nos queda:

RC = 2916,67 N

0 AA RFR

0500033,2083 AR

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Para el cálculo de las deformaciones, recordamos la condición de

deformación:

Esto significa que el valor de ambos alargamientos es el mismo;

sólo que uno es positivo (producido por tracción) y el otro es negativo

(debido a compresión). La barra AB está sometida a tracción y la barra BC a

compresión.

BCABBCAB

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El valor de la deformación será:

Sustituyendo todos los términos, resulta:

AB = BC = 3,3157E-6 m

ABABCAB

))2,0(25,0()9200(

)1,0()33,2083(2mPaE

mNBCAB

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Ejemplo 2

Un tubo de aluminio (E = 73,1E9 Pa; α =

23E-6 ºC-1) con área transversal de 600 mm2 se

usa como camisa para un perno de acero (E =

200E9 Pa; α = 12E-6 ºC-1) con área transversal

de 400 mm2. La longitud de la camisa es de 15

Inicialmente, la temperatura es de 15ºC

y la fuerza axial debido al apriete en el perno es

despreciable. Luego se incrementa la

temperatura a 80ºC. Determine el esfuerzo

normal promedio en el perno y la camisa.

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Condición de equilibrio en este problema, es que la carga axial

sobre el tornillo (Fp) debe ser de igual magnitud que la carga sobre la

camisa (Fc), con la diferencia de que el tornillo estará a tracción y la camisa

a compresión. Podemos plantear entonces:

Por otro lado, el alargamiento debe también ser igual para ambos.

En este caso, dicho alargamiento será producido por cambio de temperatura

y por carga axial. Por superposición de efectos, nos queda:

Desarrollando cada término:

tempcfuerzactemppfuerzapcp )()()()(

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Utilizando la condición de equilibrio y sustituyendo cada término,

nos queda:

Fp = Fc = 20,26E3 N

Podemos calcular ahora el esfuerzo normal en el perno:

)º75()15,0()º623()6600()91,73(

)15,0(

)º75()15,0()º612()6400()9200(

)15,0(

CmCEmEPaE

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σp = 50,6E6 Pa

Y en la camisa:

σc = - 33,8E6 Pa

)6400(

)326,20(2mE

)6600(

)326,20(2mE

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Resistencia de Materiales Tema 2

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