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Las cuádricas

Son superficies que corresponden a gráficas de expresiones del tipo P(x,y,z) = 0 donde P(x,y,z)

es un polinomio de segundo grado en tres variables.

• Es estudio de la cuádricas ha sido tradicionalmente una disciplina correspondiente al ÁlgebraLineal y su estudio completo se hace de forma matricial y usando conocimientos propios de dichadisciplina.

• Lo que veremos aquí es un resumen de tales superficies y nos ocuparemos exclusivamente decuádricas cuyos ejes principales de simetría son paralelos a los coordenados. Esto se traduce en

sus ecuaciones en la ausencia de productos de variables distintas: xy  , xz , yz cuya presenciaindicaría un posición girada de la cuádrica respecto de los ejes de coordenadas.

• En el resumen, aparece como eje básico de las cuádricas el de dirección OZ. Fácilmente podre-mos traducir esas ecuaciones cuando el eje básico sea paralelo a OX o a OY.

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Esfera de centro (α , β ; γ) y radio r  :

(x −α)2+ (y − β)2

+ (z − γ)2= r 2

Caso general: Ax2+By 2+Cz2

+Dx+Ey +F z+G = 0 dondeA , B y C  son no nulos e iguales. Completando cuadradosen x , y  , z y operando, obtenemos la forma canónica.Como casos especiales se puede obtener un punto o unaesfera imaginaria.

Elipsoide de centro ( α , β ; γ) y semiejes: a paralelo a OX, b paralelo a OY y c

paralelo a OZ.

(x −α)2

a2+

(y − β)2

b2+

(z− γ)2

c2= 1

Caso general: Ax2+ By 2 + Cz2

+Dx + Ey + Fz +G = 0donde A , B y C  son no nulos y de igual signo. Comple-tando cuadrados en x , y  , z y operando, obtenemos laforma canónica. Como casos especiales se puede obtenerun punto o un elipsoide imaginario.

Paraboloide parabólico de vértice (α , β ; γ) y eje paralelo a OZ.

z− γ = ±

(x −α)2

a2+

(y − β)2

b2

(Con signo “− "en la parte derecha de la ecuación canóni-ca, se obtiene una gráfica simétrica a la de la figura, haciaabajo)Caso general: Ax2

+ By 2 + Dx + Ey  + F z + G = 0donde A y B son no nulos y de igual signo y F  no nulo.Completando cuadrados en x , y  y operando, obtenemosla forma canónica.

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Paraboloide hiperbólico de vértice (α , β ; γ) y eje paralelo a OZ.

z − γ = ±

(x −α)2

a2−

(y − β)2

b2

(Con signo “− "en la parte derecha de la ecuación canóni-ca, se obtiene una gráfica simétrica a la de la figura, haciaabajo)Caso general: Ax2

+ By 2 +Dx + Ey + F z +G = 0 dondeA , B y F  son no nulos y de distinto signo y F  no nulo.Completando cuadrados en x , y  y operando, obtenemosla forma canónica.

Hiperboloide de una hoja de centro (α , β ; γ) y eje paralelo a OZ.

(x −α)2

a2+

(y − β)2

b2−

(z − γ)2

c2= 1

Caso general: Ax2+ By 2 + Cz 2

+Dx + Ey + F z +G = 0donde A y B tienen signo distinto que C  y son todos no

nulos . Completando cuadrados en x , y  , z y operando,obtenemos la forma canónica. Este caso general es comúncon el hiperboloide de dos hojas.

Hiperboloide de dos hojas de centro (α , β ; γ) y eje paralelo a OZ.

−(x −α)2

a2

−(y − β)2

b2

+(z − γ)2

c2

= 1

Caso general: Ax2+ By 2 + Cz 2

+Dx + Ey + F z +G = 0donde A y B tienen signo distinto que C  y son todos nonulos . Completando cuadrados en x , y  , z y operando,obtenemos la forma canónica. Este caso general es comúncon el hiperboloide de una hojas.

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Cono elíptico de vértice (α , β ; γ) y eje paralelo a OZ

(z − γ)2=

(x −α)2

a2+

(y − β)2

b2

Caso general: Ax2+ By 2 + Cz2

+Dx + Ey + Fz +G = 0donde A y B tienen signo distinto que C  y son todos nonulos . Completando cuadrados en x , y  , z y operando,obtenemos la forma canónica. Este caso general es el mis-mo que para los hiperboloides, con lo que no obtendremos

su caracterización hasta tener la forma canónica.

Cilindros en general

Toda ecuación polinómica de dos variables Ax2+ By 2 +

Cx + Dy  + E  = 0 representa en el espacio un cilindrode generatrices paralelas al eje cuya variable falta, en estecaso OZ, y directriz la ecuación dada en el plano corres-pondiente, en este caso el plano XY. En la figura adjunta se

representa el cilindro hiperbólico(y − β)2

b2−

(x −α)2

a2= 1

Cuádricas de revolución

En todas las ecuaciones anteriores si los parámetros a y b son iguales, las cuádricas son derevolución , es decir, se obtienen girando una cónica sobre un eje paralelo al eje OZ

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