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RESUMEN Parte 2
Elementos de Mecánica Estadística
La Mecánica Estadística estudia los sistemas de muchas partículas interactuante. Permite determinar las propiedades macroscópicas(temperatura, presión, viscosidad, ...) en términos de las microscópicas(interacciones entre partículas, cantidad de movimiento, spin,...)
La Mecánica Estadística estudia los sistemas de muchas partículas interactuante. Permite determinar las propiedades macroscópicas(temperatura, presión, viscosidad, ...) en términos de las microscópicas(interacciones entre partículas, cantidad de movimiento, spin,...)
El Resultado general de la mecánica cuántica
El espéctro de energia de un sistema de partículas ligadas es discreto
En el límite clásico la energía puede tratarse como una cantidad continua.
Bl λ
La Mecánica Estadística estudia los sistemas de muchas partículas interactuante. Permite determinar las propiedades macroscópicas(temperatura, presión, viscosidad, ...) en términos de las microscópicas(interacciones entre partículas, cantidad de movimiento, spin,...)
El estado de cada partícula se caracteriza no tan solo por la energía de éste, sino que por un conjunto de parámetros que incluyen spín, momento angular, etc.
{ }, , , , ,...nE n spin momentum momento angularα α α⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
≡ → =Orbital
Los estados de cada partícula de un sistema de N partículas.
El conjunto de los estados desponibles del sistema esta determinado por las propiedades internas del sistema (spin de particulas consituyentes, sus interacciones).
,nE α⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
( )ig E Degeneración del nivel (Degenerancia energética)
iE
Caracteristica del sistema
( ) 5ig E =
3( ) 4g E =
2( ) 3g E =
1( ) 2g E =
Los estados de un sistema de N partículas.
El conjunto de los estados desponibles del sistema esta determinado por las propiedades internas del sistema (spin de particulas consituyentes, sus interacciones).
El estado (microestado) del sistema esta determinado por distribución de las particulas entre los estados desponibles y se caracteriza por el número de ocupacion
( )ig E
,nE α⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
( , )i jf E α
Degeneración del nivel (Degenerancia energética)
iE
Caracteristica del sistema
Caracteristica del estado del sistema
( ) 5ig E =
3( ) 4g E =
2( ) 3g E =
1( ) 2g E =
Los estados de un sistema de N partículas.
,
( , )sis i i ji j
E E f E α=∑
,
( , )i ji j
N f E α=∑ Número de particulas
Energía del sistema
Caracteristicas de macroestado del sistema
A la temperatura T=0[K] (cero absoluto), el sistema se encuentra en su estado base: el menor estado energético posible del sistema:
( )sis part mínE E= ∑
0T =Bosones0,1,..S =
Fermiones31 , ,...2 2S =
En el caso de Fermiones, el Principio de Exclusión de Pauli permite tener una sola partícula por. Así que el estado de mínima energía del sistema se consigue colocando una partícula por estado, partiendo desde el menos energético E1, y siguiendo en forma creciente.
El estado de mínima energía del sistema se logra con todas las partículas en el estado E1
Equilibrio térmico a Temperaturas T>0[K]
Cuando T>0[K], el sistema aumenta su energía interna, con lo cual las partículas se distribuyen hacia los estados energéticos superiores, hasta alcanzar una distribución de equilibrio (estacionaria).
A B
BAE
ABE
0T ≥0T ≥
AB BAE E= Equilibrio
0AB BAT T T= = ≥
,A BE const E const= =La temperatura es un parametro termodinámicoque caracteriza la energía interna total promedio del sistema en un estado de equilibrio térmico.
Energia interna total promedio
Equilibrio térmico a Temperaturas T>0[K]
Cuando T>0[K], el sistema aumenta su energía interna, con lo cual las partículas se distribuyen hacia los estados energéticos superiores, hasta alcanzar una distribución de equilibrio (estacionaria).
A
BAE
ABE
AB BAE E= Equilibrio
0AB BAT T T= = ≥
0T ≥0T ≥
termómetro
,A BE const E const= =La temperatura es un parametro termodinámicoque caracteriza la energía interna total promedio del sistema en un estado de equilibrio térmico.
Energia interna total promedio
Equilibrio térmico a Temperaturas T>0[K]
Cuando T>0[K], el sistema aumenta su energía interna, con lo cual las partículas se distribuyen hacia los estados energéticos superiores, hasta alcanzar una distribución de equilibrio (estacionaria).
En equilibrio térmico, en promedio, el número de ocupación total de cualquier estado energético E, solo depende de la energía del estado:
( , )nf E T El número promedio de particulasen un estado.
Función =de distribución
nE.................................
iE.................................
El número de los estados con la misma energía
2E ( )ng E1E
, ,i i in E T f E T g E⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=El número promedio de particulas con iE
Algunas características de un sistema estadistico en equilibrio térmico
( , )nf E T El número promedio de particulasen un estado.
Función =de distribución
nE.................................
iE.................................
El número de los estados con la misma energía
2E ( )ng E1E
, ,i i in E T f E T g E⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=El número promedio de particulas con iE
El número total de partículas ( ) ( ) ( ), ,i i i
i i
n E T f E T g EN == ∑ ∑
( ) ( ) ( ), ,tot i i i i ii i
E n E T E f E T g EE ⋅ = ⋅= ∑ ∑Energía interna total(promedio)
Funciones de Distribución.Hay dos realizaciones para las funciones de distribución(en equilibrio térmico), dependientes del tipo de partícula.
Distribución de Bose-Einstein (BE):...para sistemas de Bosones
(spin entero)1
exp 1iBE
iBE
B
f EEC k T
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=−
Distribución de Fermi-Dirac (FD):
1
exp 1iFD
iFD
B
f EEC k T
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=+
...para sistemas de Fermiones
(spin semi entero)
La Constante de Boltzmann:
231,38 10BJk K⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
−= ⋅
Las constantes de normalización se ajustan al número de partículas en el sistema:
;BE FDC C C C⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
− += =
Distribución de Bose-Einstein.
La función de distribución BE dice cual es el número promedio de partículas en un estado:
1
exp 1iBE
iBE
B
f EEC k T
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=−
Cuanto menor es la constante de normalización, mayor es la cantidad de partículas que acceden al estado energético i-ésimo.
Si tomamos en cuenta que la cantidad (promedio) de partículas que pueden haber es siempre un número positivo o cero, entonces se encuentra una cota inferior para CBE
exp 1iBE
B
EC k T⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
≥ 1BEC ≥
1
exp 1
máxBE BE
i
B
f fE
k T
≤ =⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
0iBEf E⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
≥ 0iE =
Distribución del gas de fotones
1
exp 1
máxBE BE
i
B
f fE
k T
≤ =⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
La Distribución de Bose-Einstein de un gas de Bosones, no puede alojar a más partículas por estado con que el número .iE máx
BEf
( ) ( ) ( ), , 0máxBE i BE i i i
i i
n E T f E T g E con EN = >= ∑ ∑
Una pregunta intrigante es que pasa cuando el número de partículas N excede el límite anterior. La respuesta es que las partículas excedentes pasan a formar parte de otro estado de la materia, el “Estado Condensado de Bose”, que es el conjunto de los Bosones en E=0.
cond BENN N= +En el estado condensado de Bose.
Partículas distribuidas según la estadística de BE.
Para el 4He, a la temperatura de 2,2[K] los Ncond átomos forman un estado líquido superfluído, es decir un líquido que no tiene viscosidad.
Distribución de Fermi-Dirac.
1
exp 1iFD
iFD
B
f EEC k T
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=+
Donde es el número promedio de partículas por estado con energía EiFDf
La función de distribución cumple el Principio de Exclusión que solo permite tener a una partícula por estado cuántico.
Para el número de ocupación
promedio este requiremiento resulta en: 1 exp 0FiFD FD
B
Ef E C k T
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
≤ → = − ≥
Distribución de Fermi-Dirac.
1 1
exp 1 exp 1iFD
ii FFD
B B
f EE EEC k T k T
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =−+ +
Donde es el número promedio de partículas por estado con energía EiFDf
La función de distribución cumple el Principio de Exclusión que solo permite tener a una partícula por estado cuántico.
Para el número de ocupación
promedio este requiremiento resulta en: 1 exp 0FiFD FD
B
Ef E C k T
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
≤ → = − ≥
A se le denomina Energía de Fermi..., pero
¿Cuál es el significado físico de ?FE
FE
Veamos cuál es el comportamiento de la función de distribución a T=0[K]:
0
0
1 1 1exp 1exp 10
1 1 0exp 1exp 1
FD F
i F B
FD F
i F B
f E EE E k T
Tf E E
E E k T
⎧⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠
⎣ ⎦⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎨
⎛ ⎞⎪⎜ ⎟⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩
=
=
< = = =−∞ +
− − += →
> = = =+∞ ++ − +
Distribución de Fermi-Dirac.
Conclusiones:
Un gas de Fermiones (p.ej. Electrón) a temperatura T=0 tiene a todas sus partículas en los estados energéticos comprendidos entre 0 y EF
A T=0, el electrón con más energía tendrá la energía de Fermi EF
23
FNE V
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∼
Los Fermiones a T=0 tienen energía no nula (energía de punto cero), o sea
¡Los electrones se mueven a T=0 !
En contraste, los Bosones y las partículas clásicas a T=0 están en reposo(en estado de mínima energía)
Funciones de Distribución.Hay dos realizaciones para las funciones de distribución(en equilibrio térmico), dependientes del tipo de partícula.
Distribución de Bose-Einstein (BE):...para sistemas de Bosones
(spin entero)1
exp 1iBE
iBE
B
f EEC k T
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=−
Distribución de Fermi-Dirac (FD):
1
exp 1iFD
iFD
B
f EEC k T
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=+
...para sistemas de Fermiones
(spin semi entero)
La Constante de Boltzmann:
231,38 10BJk K⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
−= ⋅
Las constantes de normalización se ajustan al número de partículas en el sistema:
;BE FDC C C C⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
− += =
Los estados de cada partícula de un sistema de N partículas.
El conjunto de los estados desponibles del sistema esta determinado por las propiedades internas del sistema (spin de particulas consituyentes, sus interacciones).
,nE α⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
( )ig E Degeneración del nivel (Degenerancia energética)
iE
Caracteristica del sistema
( ) 5ig E =
3( ) 4g E =
2( ) 3g E =
1( ) 2g E =
Algunas características de un sistema estadistico en equilibrio térmico
Espéctro de Energia Discreto.
( , )nf E T El número promedio de particulasen un estado.
Función =de distribución
nE.................................
iE.................................
El número de los estados con la misma energía
2E ( )ng E1E
, ,i i in E T f E T g E⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=El número promedio de particulas con iE
El número total de partículas ( ) ( ) ( ), ,i i i
i i
n E T f E T g EN == ∑ ∑
( ) ( ) ( ), ,tot i i i i ii i
E n E T E f E T g EE ⋅ = ⋅= ∑ ∑Energía interna total(promedio)
Algunas características de un sistema estadistico en equilibrio térmico.Espéctro de Energia Continuo.
E El número promedio de particulasen un estado.
( , )f E T
( )g E dEEl número de los estados con la energía dentro de
.................................
E dE±
, ,( , )dN E T n E T dE f E T g E dE⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =El número promedio de particulas con E dE±
( ) ( ) ( )0 0
, ,n E T dE f E T g E dEN∞ ∞
== ∫ ∫El número total de partículas
( ) ( ) ( )0 0
, ,tot E n E T dE E f E T g E dEE∞ ∞
⋅ = ⋅= ∫ ∫Energía interna total(promedio)
Radiación Térmica y la Mecámica Estadística.
Emisión Térmica a T>0.
Recordemos que una carga eléctrica acelerada emite radiación electromagnética.
Por lo tanto se puede esperar que debido al movimiento térmico de los electrones y los núcleos de los átomos constituyentes de un material se radien energía en forma de ondas electromagnéticas.
Radiación electromagnética
0T >
Radiación de Cuerpo Negro
Absorción y Reflexión:
Cuerpo Real (común y corriente) Cuerpo Negro (Idealización)
Un “Cuerpo Negro” es objeto ideal, que absorbe en todas las frecuencias del espectro electromagnético.
Modelo de de Cuerpo Negro.
Cuerpo Negro Agujero pequeño en una cavidad≈
Absorbe tota la radiación incidente
Radiación incidente
Modelo de de Cuerpo Negro.
Lo más cercano que se puede llegar en la construcción de un emisor de cuerpo negro corresponde a una cavidad con un pequeño agujero.
La radiación que cruce el agujero hacia el exterior de la cavidad será la radiación de cuerpo negro.
La radiación emitida por la cavidad a través del agujero se origina a partir de la radiación electromagnética que se presenta dentro de la cavidad con la temperatura de sus paredes T>0.
La radiación está en equilibrio térmico con las paredes.
Este equilibrio se logra debido a las múltiples interacciones de la radiación con las paredes interiores(cada vez que rebota). Como la luz se mueve muy rápido, ocurren muchos choques por segundo.
Si el tamaño del agujero es lo suficientemente pequeño, se alcanzará un estado de equilibrio entre la radiación y las paredes a temperatura T.
Se podrá considerar que
la radiación dentro de la cavidad es
un gas de fotones en equilibrio.
Gas de Fotones dentro de una Cavidad.
Los fotones por ser Bosones, seguirán la estadística de Bose-Einstein con la función de distribución
1
exp 1BE
B
f EE
k T
γ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=−
El número promedio n(E) de fotones, por unidad de energía es:
BEn E f E g Eγ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
El número promedio de fotones, por unidad de frecuencia es ( ):( )n ν E hν=
( ) ( )BEn f h gγν ν ν⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
=
¿Qué hay acerca de la densidad de estados en los fotones?
Los fotones al interior de una cavidad se comportan como ondas estacionarias, cuyos nodos se encuentran en las paredes.
Consideremos un caso fácil de resolver; el de una cavidad cúbica de arista L.
( )g ν
El momentum de los fotones se puede escribir en términos del número de onda en cada dirección:
x
,2
0,1,2,3,....
L n
n
λ= ⋅
=
x x x
y y y
z z z
p k nLp k nLp k nL
π
π
π
= =
= =
= =
Cada estado fotónico se caracteriza por tres números cuánticos enteros:
, , 0,1,2,...zx yn n n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
...y adicionalmente por dos estados de polarización.
La energía de cada estado viene dada por:
2 2 2 2 2 2z zx y x ycE cp E c p p p n n nLπ= → = + + = + +
Estimemos el número N(E) de estados fotónicos con energía menor que un valor dado E.
2 2 2zx yc cE n n n RL Lπ π= + + = L Ec π=
Como cada punto está asociado a un volumen igual a 1, el número de estados será aproximadamente igual al volumen del octante de radio R, (multiplicado por 2, dado que hay dos estados de polarización):
Calculemos el número de puntos al interior de un octante positivo de radio R. La suposición que usaremos es que R es mucho mayor que 1.
33 31 42 8 3 3 3
LN E R R cπ π π
π⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= × ⋅ = =
La densidad de estados se obtiene derivando:
R
xn
yn
zn
( )N E =El número de los puntos al interior del octante positivo del radio R
33 3
83
VN E Eh cπ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
=
( ) 33
83
VNcπν ν=
( ) 23
8c
g Vπν ν=( ) 23
8dN VdN dd cg d dν πν ν ν νν= = =
El número de fotones por unidad de frecuencia:
( ) ( )2
38
exp 1BE
B
Vn f h gc h
k T
γ π νν ν νν
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= =−
La densidad volumétrica de energía radiante, por unidad de frecuencia, al interior de la cavidad será:
( ) ( ) ( )3
38
exp 1B
h n hV c h
k T
ν ν π νε ν ε νν
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⋅= → =
−
La Irradiancia Expectral S(v) corresponde a la potencia de la radiación por unidad de área y de frecuencia:
( ) ( )S cA tεν ε νν
∆= ⋅∆ ∆ ∆ ∼
( ) ( ) ( )3
22
4exp 1
B
c hS SA t c hk T
ε π νν ε ν νν ν⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∆= = ⇒ =∆ ∆ ∆
−
La frecuencia a la que ocurre la máxima potencia de emisión de radiación es:
0 2,8max
BmaxkdS Td hν
νν
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⇒ ≈ Ley de Wien
Como consecuencia, a mayor temperatura, se emitirá el máximo de radiación a una frecuencia mayor, o sea se radiará en promedio a frecuencias mayores.
Ello se puede comprobar al calentar un metal; a medida que su temperatura va aumentando, habrán cambios de color en la secuencia:
Infrarrojo + Rojo + Amarillo +... Blanco
La potencia de la radiación (Irradiancia) corresponde a la energía emitida por unidad de área:
( )5 43 4
2 3 20 022 ...15
exp 1
B
B
kh dS S d Tc h ch
k T
ππ ν νν νν
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∞ ∞= = = =
−∫ ∫
Así se obtiene la llamada Ley de Stefan- Boltzmann:
5 44
3 22;15
BkS Th c
πσ σ= =
En el límite de baja frecuencia es de aplicación la ley de Rayleigh-Jeans:
( ) 22
21 exp 1 BB B B
h h h S k Tk T k T k T cπν ν ν ν ν
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ − ≈ → =
Esta ley puede derivarse a partir de la Electrodinámica Clásica y por lo tanto no contiene a la constante de Planck h, que es un atributo de la Mecánica Cuántica.
Sólidos
Tipos de Enlaces en una red Cristalina.
Enlace Iónico. Por ejemplo la sal común NaCl.
La atracción se da entre los iones opuestamente cargados:
Enlace Covalente. Por ejemplo el Silicio Sólido.
La atracción se da a través de los electrones de valencia compartidos entre los átomos vecinos:
Enlace Metálico. Por ejemplo el sodio(Na) metálico, el Magnesio (Mg), etc.
Las fuerzas de interacción se dan entre los iones(núcleos) y los electrones libres, que se encuentran distribuidos por todo el material:
Teoría de BANDAS.
Ella explica la diferencia en la conductividad eléctrica de los sólidos y la formación de la red cristalina, en términos de las propiedades de sus átomos constituyentes.
Estudiemos como se modifican los niveles energéticos de los átomos cuando ellos se juntan al formar un sólido.
Cuando los átomos están muy separados, no interaccionan entre si y mantienen sus propios niveles de energía, como si fueran átomos libres.
1S
2S2P
3S
3P
FUNCIONES DE ONDAELECTRÓNICAS
ENERGÍAPOTENCIAL
NIVELES DE ENERGÍA DE CADA
ÁTOMO.
ESTADOBASE(1S)
¿Qué pasa cuándo los átomos se acercan? Los electrones de cada átomo comienzan a interactuar con los de los otros átomos y cambian sus niveles de energía:
Cuando el número de átomos por unidad de volumen se compara al número de Avogadro, los niveles se hacen pseudocontinuos y se reagrupan en bandas.
N
3 pE
3 p iE + ∆
3 1pE − ∆
3 3pE − ∆3 p kE ∆
3 p kE ± ∆
Energía potencialde interacción entreElectrón y atomos vecinos
230 310A
atomoN Nm
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∼ ∼
Así mismo, cada nivel atómico forma su BANDA de energías en un sólido.
Los electrones de las bandas, pertenecen a todos los átomos de la red (la función de onda está extendida).
Cuando las bandas son muy estrechas, los electrones están más bien localizados en sus propios átomos.
Estados electrónicos disponibles en Bandas.
N atomos interactuantesen un solido N atomos libres
1s
2s
2 p
3s
3p
Ocupación electronica en Bandas.
Ocupación de Bandas en Sodio (Na):
Estadosdesponibles
Número de electrónes
Subcapa Semillena
Subcapa llena
Subcapa llena
Subcapa llena
Conducción Eléctrica en Sólidos (Teoría de Bandas)
Conductividad eléctrica Los electrones en un sólido pueden responder al campo eléctrico E externo y aumentar su energía cinética, moviéndose en la dirección opuesta al campo.
La corriente I, se debe al movimiento de los electrones y se define su dirección como la contraria a la que efectivamente tienen las cargas eléctricas (electrones).
Conducción Eléctrica en Sólidos (Teoría de Bandas)Teoría de Bandas Los electrones pueden aumentar su energía solo si se encuentran disponibles(desocupados) estados de energía superior dentro de la banda que ellos ocupan
gE
gE
pequeño
0T =
Conducción Eléctrica en Sólidos (Teoría de Bandas)
Teoría de Bandas Los electrones pueden aumentar su energía solo si se encuentran disponibles(desocupados) estados de energía superior dentro de la banda que ellos ocupan
gE
Terminología usada
Banda de Conducción (BC)
Banda no totalmente llena.
Banda de Valencia (BV)
Banda superior
(energéticamente)
con electrones.
Observación:
En los conductoresla BC y la BV son equivalentes.
gE
pequeño
Electrones en un Conductor.
Hay muchos estados disponibles en la Banda de Conducción (BC) para que los electrones puedan aumentar su energía cinética y moverse, como un gas de electrones libres.
Los electrones en la BC pueden tratarse como un gas de Fermiones libres libres, descritos por la estadística de Fermi-Dirac:
1 1
exp 1 exp 1iFD
i i FFD
B B
f EE E EC k T k T
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =−+ +
exp FFD
B
EC k T⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= −con
En que fFD es el número promedio de partículas por estado con energía E a temperatura T.
BC
El Principio de Exclusión impone:
Energía de Fermi depende del número de partículas del sistema.
¿Cuál es el significado físico de EF? Esto se aclara a temperatura T=0:
1FDf E⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
≤
FE
0
0
1 1 111
0
1 1 011
0
FD F TF
B
FD F TF
B
f E E expE Eexp
k T
f E E expE Eexp
k T
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥
⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥
⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
=
=
< = = =−∞ +− −
+× →
> = = =+∞ ++ −
+× →
BC
0T =
Los estados disponibles son llenados con electrones.
Como llenar un vaso de agua.
Más particulas
FEpartN
Más particulas
FE
partN
Energía de Fermi de los electrones libres.
La energía de Fermi se determina por el número de electrones totales en el sistema(Banda):
partest FN E N⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
FE E<Número de estados con Número total de electrones.
A T=0, todos los estados con energía menor a la de Fermi están ocupados.
22 32323 2F eeNE Vmπ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=El resultado es:
Energía de un gas de electrones a Temperatura T=0.
La energía de un Gas de Fermi ( ) a T=0 (Energía de punto cero) ese−
O bien:
´ 3 12 2´0 3 3
0 0 0 03 52 2
3 3
( ) ( ) 1 22
1 25
F F F
part est
Fest
EE E ETot
e
e F
E E dN dEdEVE E dN E dN E E m E dE
Vm E
π
π
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
== ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅
=
∫ ∫ ∫ ∫
´035
TotFE NE=
Cada estado esta ocupado por un electrón
22 32323 2F eNE Vmπ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
La energía cinética promedio por electrón sería:
´0´0
35
Tot
FEE EN= =
El movimiento de los electrones a T=0 se denomina “Movimiento de Fermi”.
Un ejemplo es la plata (Ag) cuya densidad electrónica es:
28 35,8 10eN mV⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
−≈ ×
Ha de tener:
´05,4 3,24FE eV E eV⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= → =
La diferencia energética debida a movimiento térmico de un gas ideal clásico a 300[ºK] con la de un gas de electrones a T=0, es de varios ordenes de magnitud:
´03 0,038 3,242T BE k T eV E eV⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = =
En el gas de electrones de un metal, los efectos térmicos son pequeños. Entonces, el modelo de gas electrónico a T=0 es una muy buena aproximación para las temperaturs T>0 hasta el punto de fusión.
Semiconductores (Teoría de Bandas)Teoría de Bandas Los electrones pueden aumentar su energía solo si se encuentran disponibles(desocupados) estados de energía superior dentro de la banda que ellos ocupan
gE
gE
pequeño
Semiconductores:
Tipos de Semiconductores.
Semiconductores Intrínsecos (puros):
Ejemplos son el Silicio y el Germanio, cuyos gap energéticos son de 1,14 y 0,67[eV] respectivamente:
he intnn n= =0T >
B.C.
B.V.
ne
nh
Tipos de Semiconductores.
Semiconductores Extrínsecos (dopados):
El dopamiento consiste en agregar pequeñas cantidades de impurezas. Con lo cual se consigue controlar la conductividad del material.
Semiconductores tipo n impurezas donadoras de electrones, tales como los elementos del grupo V (As, P, Sb,...).
he intnn n> =
B.C.
B.V.
ne
nh
Semiconductores tipo p impurezas aceptoras de electrones, tales como los elementos del grupo IV (B, Ga, In,...).
eh intnn n> =
B.C.
B.V.
ne
nh
Juntura semiconductor tipo n con semiconductor tipo pVista Simplificada:
Hay una diferencia en las concentraciones de electrones y huecos a los lados de la juntura; causando DIFUSIÓN de portadores de carga.
CVAparece el potencial de contacto
Diodo: Vista Simplificada.
Polaridad inversa
Diodo: Vista Simplificada.U
U
+
+
−
−+−Polaridad inversa
0invI ≈
Diodo: Vista Simplificada.
0invI ≈
0dirI ≠
Polaridad inversa
Polaridad directa
+−
U
U
+
+
−
−
Aplicación Electrónica.
Rectificador de medio ciclo:
+
−
p n
Aplicación Electrónica.
Rectificador de medio ciclo:
+
−0=
Transistor n-p-n. Vista Simplificada:
Emisor Colector
Base CI
11
c EB BC
E BC
I II I I
I I Iαα α βα
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎯⎯⎯⎯→⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
≤== =−= +
Para un transistor típico, el factor de amplificación es del orden de:
1 ; 500β β ≈
c bi iβ= ⋅
1 ; 500β β ≈
El Transistor de Efecto de Campo (MOSFET)
La corriente de la fuente al drenaje se controla con la diferencia de potencial entre la fuente y el drenaje, y por la carga en la compuerta. No pasa la corriente por la compuerta.
MOSFET de metal-oxide-semiconductor field-effect transistor (transistor de efecto de campo metal-óxido-semiconductor).Leer el libro F.R.Sears, M.W. Zemansky, H.D. Young, R.A. Freedman, Física Universitaria, Vol.2, sección 42.7.
El Transistor de Efecto de Campo (MOSFET)
La corriente de la fuente al drenaje se controla con la diferencia de potencial entre la fuente y el drenaje, y por la carga en la compuerta. No pasa la corriente por la compuerta.
Q
I I
MOSFET de metal-oxide-semiconductor field-effect transistor (transistor de efecto de campo metal-óxido-semiconductor)
Física Nuclear
El núcleo Atómico.
Núcleo Átomo
e-
1510 1NucR m fm⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− =∼ 1010 1 ºAR m A⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− =∼
1 fm = femtómetro o Fermi.1 Aº = Angstrom.
Estructura Nuclear.
• Z : Número Atómico = Nº de Protones.
• A : Número Másico = Nº de Nucleones.
• A-Z = Número de Neutrones.
Núcleo consiste de
protones p y neutrones n.
2
2
1: 1 , , 938,321: 0 , , 939,62
p
n
q s m c MeV
q s m M
p
c eVn
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
=+ = =
= = =Nucleones :
El protón es estable.
El neutrón libre es inestable y decae según: ; 14,7libre
nn p ne miν τ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦−+→ + + ≈
El Neutrón en estado ligado en un núcleo, puede ser estable.
Él no decae debido al principio de exclusión de Pauli.
νes la antipartícula del neutrinoν electrón20 1m c eVν< ≤ 52 5 10em c eV≈ ×El neutrino es una partícula muy liviana
El neutrino no tiene carga eléctrica 10 ; 2q sν = =
Isótopos.
Notación:
Cada tipo o especie de núcleo se denomina núclido.
Núclido: AZ X
Símbolo Químico.
1 2 3, , , ...A A AZ Z ZX X X⎧ ⎫⎪ ⎪
⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
Isótopos
Cuando diferentes núclidos tengan el mismo número de protones Z, pero diferente A , o sea diferente número de neutrones, se dirá que son diferentes isótopos del mismo elemento.
;p nN Z N A Z= = −
Los isótopos estables tienen:
Si la diferencia entre el número de protones y neutrones es significativa, entonces el núcleo es inestable y decae:
402 p nAZ N N para A≈ → ≈ ≤
0 100 ...A A
p n ZZN N X X− ⇒ → +
Algunas Propiedades de los Núcleos Atómicos.
Información sobre las propiedades de los núcleos.
, , , ...e α γ−
, , , ...e α γ−Experimento: dispersion de particulas por el núcleo
La forma de la mayoría de los núcleos es aproximadamente esférica.
El Radio de los núcleos se estima como:1 153
0 0; 1,2 10NucR R A R m⎡ ⎤⎣ ⎦
−≈ ≈i i
es prácticamente una constante para todos los núcleos.
El volumen es proporcional al número másico: 33
0 04 43 3Nuc NucV R R A V Aπ π
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎝ ⎠
= = = i
0R
Los nucleones están estrechamente empaquetados, como bolas del mismo volumen
3 45 30 0
4 1,12 103V R mπ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
−= ≈ i0V
0V0V0V
Densidad de materia nuclear:
183
0010p pNuc
NucNuc
M m A m kgV VV A m
ρ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= ≈ = ≈ii
Comparar:
Una esfera de 112 metros de radio cuya densidad fuese la de un núcleo atómico, tendría la misma masa que el planeta tierra.
Fuerza Nuclear.
¿Cómo puede existir esta configuración?
Hay una tremenda fuerza de repulsión coulombiana entre los protones:
La configuración se mantiene debido a la llamada Fuerza Nuclear, la cual es otra clase de interacción, diferente a la Gravitatoria y la Electromagnética.
La fuerza nuclear es capaz de equilibrar a la repulsión eléctrica.
Propiedades de la Fuerza Nuclear (Interacción Fuerte)
Es atractiva entre los nucleones a distancias menores a 1 femtómetro.
.ijF Rep Coulomb
La Fuerza Nuclear no depende de la carga eléctrica:
nnp np pF F F= =
La Fuerza Nuclear es de corto alcance. No se extiende más allá de distancias de alrededor de 1 (fm).
A muy corta distancia entre los nucleones, la fuerza nuclear pasa a ser repulsiva.
El modelo de potencial Nuclear toma la forma:
MeV∼
Energía de Enlace.Masa de un núcleo:
2 2 2;AZ n n p pX
p nXbM c N m c N m c
N Z N AEX
Z
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
→ = + −= = −
Energía de Enlace.
XbX
bbb
EE Aεε
===
Energía potencial de atracción entre nucleones < 0
Energía de enlace por nucleón = energía potencialde un nucleon
bε
Decaimientos Nucleares (Radioactividad).
1 21 2 ...A A A
e eZ Z ZNucleos
X X X n e n e n nν νγ ν ν− +→ + + + + + + +
Conservación de la Energía 2 2 2 21 2 ... e e eX X XM c M c M c n n m c Q⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + + + +
La energía liberada Q lo hace en forma de radiación y energía cinética de los productos:
KQ E Eγ= +
( )1 2 ... e eZ Z Z n n= + + + −Conservación de la Carga Eléctrica
Conservación del Número másico A 1 2 ...A A A= + +
Tipos de decaimientos Nucleares.
Radiación Gama: Núcleo Excitado.
A AZ ZX X γ∗→ +
Radiación Beta:
1 ;A AZ ZX X e ν β⎧ ⎫⎪ ⎪
⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
−−+→ + +
14 1476 C N e ν−→ + +Ejemplo
1 ;A AZ ZX X e ν β⎧ ⎫⎪ ⎪
⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
++−→ + +
9 956C B e ν+→ + +Ejemplo
en p ν−+→ + +
Netrones en exceso:Np=6, Nn=8
np e ν+ +→ + +
Protones en exceso:Np=6, Nn=3.
Radiación Alfa:42
4 422 ;A A
Z ZX X eHe Hα⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
−− =→ +
238 23492 90U Th α→ +
Ley de decaimiento Exponencial.
Los decaimientos son espontáneos e independientes, con la misma probabilidad:
Probabilidad λ∼
La constantede desintegración
( )N t tEl número de núcleos radiactivos en el instante
[ , ]t t dt+El número de núcleos desintegrados dentro
( ) ( ) ( )N t dt N t N tdt
λ+ −= − ⋅
( ) ( ) ( )N t N t dt N t dt
00
ln0
N t t
N
N tdN dN dNN dt dt tN Ndt Nλ λ λ λ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
′=− → =− → =− → =−′′∫ ∫
λ− + = ⋅ ⋅
( ) 0 tN t N e λ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
−=Ley exponencial
0N ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 02N ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 04N ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 08 N ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
12
T 12
2T 12
3T
( )N t
t
La vida media T1/2 , es el tiempo requerido para que la cantidad de núcleos padre N(0) disminuya al 50%
Vida Media (T1/2).
12
1 12 2
1 0 02T
N T N N T N eλ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−= → =
Ej.
Relación entre Vida Media y la Constante de Decaimiento
121 0 02
TN N e
λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−=
12
2 0,693lnT λ λ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= ≈1
2236
12
146 1
2
14,1
1626
5730
libn T min
Ra T año
C T año
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
→ =
→ =
→ =
Neutrón libre:
Isótopo de carbono
Radio
Razón de Decaimiento R. (Actividad Radiactiva)
( ) ( ) ( ) ( )N t N t dt N t dt N t dNR dt dt dt− + + −= =− =− 0 tR t N e N tλλ λ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
−= =
( ) 0 tN t N e λ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
−= 0 tR t R e λ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠−=R t N tλ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
Donde: 0 0R Nλ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
Materialradiactivo
,e α
,e α
,e α,e α
detectores
Medición de radiactividad
Generalización:
00
)(t tR t R t e λ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −=
00 0 tR t R e λ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−=
Unidades de medición para la Actividad R:
• Becquerele [Bq] 1 [Bq] = 1 decaimiento cada segundo. (SI)
• Curie [Ci 101 3,7 10Ci Bq⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
= ×]
Fechado Radiactivo.Es el método que se utiliza para determinar la antigüedad de especies arqueológicas de origen orgánico.
En la atmósfera terrestre existen los isótopos de carbono 12 y 14:
126
146 1
25730
C estable
C radiactivo Tinestab añole⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠
←
← =
En la atmósfera, la abundancia relativa de ambos isótopos se puede considerar como constante en el tiempo (ver Nota 1). Su valor empírico es:
14614 12
126
1,3 10atm
N C
N Cη
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
−= ≈ ×
Los organismos vivos, como animales o árboles, intercambian con el ambiente de modo que la abundancia relativa entre los isótopos de carbono es igual a la que existe en la atmósfera.
Cuando muere, cesa este intercambio y la cantidad relativa de desminyue por desintegración. Con la determinación del contenido de de una muestra, mediendo su radiactividad es factible estableser cuando murió el organismo.
2CO
14C14C
2CO2CO
2CO2CO
14 14org atmvivo η η→ ≈
14atmη
14 140 org atmmuerte t η η⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
→ <( )14org tη
( )14org tη
Se mide
1 0 mexpt t tR R λ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎝
⎜⎛
⎠
⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎟⎝ ⎠
= −
0t 1t
mt
t
14atmη
( )14org tη
12 10,693 3,94 105730
saño
λ ⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
− −= ≈ i
La constante de decaimiento es conocida:
Se calcula de 14atmη
En equilibrio conla atmósfera
Ejercicio.
Se tiene una muestra arqueológica de carbono de masa . La radioactividad actual es:
14 14AdecR Bqs⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
1[ ]m kg=
Determinar su edad.
0 mAR R t exp tλ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠= −
140 0 6R t N Cλ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
12 23 1 256 12
6
16,02 10 5 10
12
kgmN C molesgM C mol
⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
−= = × ≈i i
140 614 14
126
org atm
N C
N Cη η
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= = 14 14 120 6 6atmN C N Cη⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
14 120 6( ) atmR t N Cλη ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
=
14 126 matmAR N C exp tλη λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= −14 12
61m
A
N Ct ln R
ληλ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ = 44802 año⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
≈
Nota 1
El suministro de a la atmósfera constantamente esrepuesto por el bombardeo de los rayos cósmicos por la reacción
14C
14n N C p+ → +
De modo que aunque la concentración de varia durante largos periodos, este metodo puede usarse cerca de unos 40000 años más.
14C
Reacción de Fisión Nuclear en Cadena.Análoga a la combustión química (Carbón,...)
Combustibles Nucleares de importancia práctica:235 233 23992 92 94, ,U U Pu⎧ ⎫⎪ ⎪
⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
235 1 292 1 1 2 2
Proceso básico de combustión nuclear:
A AZ ZU X kn nX+ → + + i
0,1i
nE MeV⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦∼ 2,3 , 2,5k k= = 1
fnE MeV⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦∼
Promedio
{ }
La probabilidad de capturar un neutrón n es inversamente proporcional a su energía cinética:
1f
n
Prob capturarnE
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∼
200[ ]Q MeV≈Energía liberada
Reacción en cadena: Explosión.
(0) 1nN = (1)nN (3)
nN(2)nN→ → →
1℘>(2)(1)
nn
NN
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
℘= Bomba Atómica:Coeficiente de Multiplicación:
Condición Supercrítica.
Reacción Estable: Controlada.
1℘=Reacción Controlada (Reactor nuclear):Condición Crítica.
Sin medidas especiales la reacción no se desarrolla.
Dejan el material
Se absorben por los núcleos de contaminación
Secundarios son rápidos:
La probabilidad de captura es:
1nE MeV∼
1nE
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∼
Neutrones
El enriquecimiento de uraneo natural: 23892
23592 [90%] ...[0.7%] UU ++
23592 ...[ 90%]U hasta +
Sin medidas especiales la reacción no se desarrolla.
Dejan el material
Se absorben por los núcleos de contaminación
Secundarios son rápidos:
La probabilidad de captura es:
1nE MeV∼
1nE
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∼
Neutrones
¿Cómo estimular la fisión? Disminuyendo el número de n que salen del material:
1℘≥
23592 53
18: C
C
R cm
kgU
M ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎨ ⎬
⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
≈
≈
Reduciendo la superficie.
Condición Crítica.
Masa crítica.
3( )( ) 'ndN prodprod a V a Rdt
ℜ = = ⋅ = ⋅
2( )( ) 'ndN escapescap b S b Rdt
ℜ = = ⋅ = ⋅
( ) ( )prod escapℜ ≥ℜ
3 2' 'a R b R
Condición crítica
⋅ ≥ ⋅ '' C
bR Ra
≥ =
Reflector de Neutrones permite reducir el radio crítico.
18CR cm⎡ ⎤⎣ ⎦<′
Reflectorde Neutrones.
Bomba Atómica.
23592U
23592U
2CM
2CM
Explosivoquímico
Explosivoquímico
Material fisionable enriquecido hasta 90%
1iE MeV⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
∼ 0,1fE MeV⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
∼
Reactor Nuclear.Hay que moderar los neutrones secundarios para aumentar la probabilidad de captura.
Moderador: H2O, D2O, grafito
Moderador
Uranio
Blindaje
Varillas de Control
1℘=
Fusión Nuclear
La reacción más importante que explica el brillo de las estrellas y del Sol, en particular, es la fusión de hidrógeno cuando protones se unen para formar núcleos de helio – 4 con producción de energía :
1 1 21 1 11 2 31 1 21 3 41 2 2
H H H e
H H He
H He He e
ν
γ
ν
+
+
+ → + +
+ → +
+ → + +
424 2 2p He e ν+→ + +
( )( )
1 1 21 1 1
1 2 31 1 2
3 3 4 1 12 2 2 1 1
2
2
H H H e
H H He
He He He H H
ν
γ
+× + → + +
× + → +
+ → + +
426 2 2 2p He e pν+→ + + +
424 2 2p He e ν+→ + +
Fusión Nuclear
La reacción más importante que explica el brillo de las estrellas y del Sol, en particular, es la fusión de hidrógeno cuando protones se unen para formar núcleos de helio – 4 con producción de energía :
1 1 21 1 11 2 31 1 21 3 41 2 2
H H H e
H H He
H He He e
ν
γ
ν
+
+
+ → + +
+ → +
+ → + +
424 2 2p He e nν γ+→ + + + ⋅
( )( )
1 1 21 1 1
1 2 31 1 2
3 3 4 1 12 2 2 1 1
2
2
H H H e
H H He
He He He H H
ν
γ
+× + → + +
× + → +
+ → + +
Efecto neto
Ciclo protón-protón
Fusión Nuclear
Energía liberada en el ciclo protón-protón :
24' [4 ( 2 )] 23,7[ ]p He eQ M M m c MeV−= − + ⋅ ≈4
24 2 2p He e nν γ+→ + + + ⋅
2 2 4e e γ+ −+ →
En la materia del Sol los dos positrones se encuentran con dos electrones y aniquilan
2e+ 2e−
produciendo más energía liberada en forma de los cuatro fotones adicionales.Por tanto, la energía total liberada es:
2 24' [4 ( 2 )] 4 23,7[ ] 2,044[ ] 25,744[ ]p He e eQ M M m c m c MeV MeV MeV−= − + ⋅ ≈ + ≈