Post on 13-Mar-2016
description
En esta primera edición hablaremos un de los vectores y su importancia en
el álgebra, además podrán ver u total de 5 ejercicios resueltos para el
análisis de vectores. Para conocer un poco de la importancia de ellos que
siempre dejamos a un lado y no notamos que serán importantes en nuestro
desarrollo profesional como ingenieros.
Se tocaran unos temas a fondo como sus normas y como reconocer algunas
de sus características. Los invito a leer un poco más de ALGEBRA MAGAZINE
y asi profundizar el mundo del algebra y los vectores.
Todo esto realizado en la “Universidad Fermín Toro” editado por el
estudiantes de ALGEBRA LIEAL.
Contreras Ronald.
Un vector es una magnitud física tal que,
una vez establecida una base, se representa por
una secuencia de números o componentes
independientes tales que sus valores sean
relacionables de manera sistemática e inequívoca
cuando son medidos en diferentes sistemas de coordenadas.
Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos
de recta dirigidos o flechas en planos o ; es decir, bidimensional
o tridimensional.
Operaciones con vectores:
a) Suma de vectores.
b) Regla del paralelogramo
c) Producto de un vector por un escalar.
d) Método del triángulo
Un vector es un elemento de un espacio vectorial para el que, en ocasiones,
especialmente en Física y Geometría, interesa conocer su longitud. Esto es lo
que hace el operador norma: determina la longitud del vector bajo
consideración.
Definición de norma euclídea
En un espacio euclídeo ordinario los vectores son representables como
segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un
espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como la distancia
entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. De hecho, en un espacio
euclídeo la norma de un vector coincide precisamente con el módulo del
vector AB.
Definición matemática general
La definición general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales
abstractos de la noción de módulo de un vector de un espacio euclídeo. A
partir de las propiedades de la norma euclídea definida más arriba se extraen
algunas condiciones razonables que debe cumplir la "longitud de un vector" o
norma.
En álgebra lineal, el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt es un
algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio
prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal
de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.
Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y
Erhard Schmidt. Por ejemplo. Se considera uno de los vectores como fijo, y
será respecto del cual se ortogonalizaran los otros “n” restantes.
Sea V un K-espacio vectorial con producto interno y = {v1,…,v2}una base
de V entonces:
= {v1,…,v2} es ortogonal y satisfacen la siguiente ecuación vectorial:
1) Determinar si el siguiente conjunto es ortogonal {(-1,4,-3),(3,-4,-7),(5,2,1)}
Primero se comprobara qie los vectores sean ortogonales, para ello usaremos productos de
unos y ceros. ( ) ( ) ( ) De tal manera que:
) ) )
Por lo tanto tenemos que:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Por lo tanto decimos que NO es ortogonal a
Ahora
( ) ( )
Por lo tanto decimos que es ortogonal con
Ahora
( ) ( )
Por lo tanto decimos que es ortogonal con
Dado que no son ortogonales el conjunto no es ortogonal.
2) Determina si el siguiente conjunto de vectores es ortonormal:
u = (0,1,0), v = (0,-1,0)
Solución: Son ortogonales si se cumple que ( ) ( ) de manera que
Se observa que U no es ortogonal a V por lo tanto podemos afirmar que no son
ortonormales pues.
U = 1 = √ = √ = 1 y V = √ ( ) = √ = 1
Se observa que el resultado de U y de V es 1 pero ellos no son ortogonales por lo
tanto no pueden formar un conjunto. Esto se debe a que el producto interno U.V ≠ 0 y por
lo tanto no forman un conjunto ortogonal.
3) Dada la base, construir su respectiva base ortonormal por el procedimiento
de Gram-Schmidt, B = { ( - 2 , 6 ) , ( - 3 , 8 ) }
Solución: El proceso de Gram Schmidt consist en llamar a un vector W cualquiera
siendo ( ) por lo tanto ( ) posteriormente se realiza la
proyección sale W, obteniendo de la siguiente ecuación:
lo que sería lo mismo que expresar
( ) asi tenemos que:
( ) ( ) ( )
[( ) ( )] ; ( )
( ) ( )
( ) ( )
; ( )
( )
Entonces ( ) (
) Así ( ) (
)
Arrojando que (
) Por lo tanto (
)
Una vez conseguido y los analizamos haciendo
y
de tal
manera que {
}
( )
√
√ (
)
( ⁄ ⁄ )
√ ⁄ ⁄
( ⁄
⁄ )
√
De donde {(
) ( ⁄ ⁄ )}
4) Determine si el siguiente conjunto forma una base para R3. {(2, 1, 3), (1, 2, 1), (1, 1, 4),
(-1, 1, 5)} y verifique al conjunto base, si genera al vector (2, 1, 3).
Solución:
Para ser el conjunto dado una base ellos deben ser linealmente independiente (Li) y además
generar el espacio. Ahora si el vector (2, 1, 3) no es combinación lineal de los vectores que
forman el conjunto ya que el mismo forma parte del conjunto, lo cual no hace a los 4 vectores
dados linealmente independientes por lo tanto sobre dependencia lineal, Dimensión de espacio
vectorial podemos afirmar que la dimensión de R3 debe ser 3, es decir, que hay 3 vectores Li y
capaces de generar todo R3 en caso de ser Li entonces el vector (2,1,3) es igual al vector nulo ya
que (1, 2, 1) + 2 (1, 1, 4) + 3 (-1, 1, 5) = (0, 0, 0) y por lo tanto (2, 1, 3) ≠ (1, 2, 1) +
2 (1, 1, 4) + 3 (-1, 1, 5).
Así podemos afirmar que el conjunto (2, 1, 3); (1, 2, 1); (1, 1, 4); (-1, 1, 5 no forma una
base para
Por otra parte es decir, si probamos que los vectores Fm Li. Debemos hacer la combinación
lineal de estos e iguala a cero y si conseguimos L1=L2=L3=L4=L0 Fm Li así:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Resolviendo el sistema tenemos:
Aplicando el método de Gaus Jordan tenemos:
[
] [
]
[
]
F3=F3-3F1 [
]
[
⁄
]
[
⁄
⁄
⁄ ]
[
⁄
⁄
⁄ ]
[
⁄
⁄
⁄ ]
Así el sistema reducido queda:
⁄
⁄
⁄
Observemos que dependen de por lo tanto si decimos que
Tenemos que ls vectores no limitan Li ya que ⁄ ; ⁄ ; ⁄ y
No son ceros. Por lo tanto no forman base
5) Utilizando el método de los mínimos cuadrados, calcular la solución aproximada del
sistema de ecuaciones.
{
Solución: Partiendo de ( ) tenemos que:
(
) Matriz de los coeficientes
(
)Transpuesta de A
( ) Términos independientes
Calculo de At . A
(
) (
) ; (
) ; (
)
Así tenemos que (
)
Ahora el calculo de (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
Ahora
( ) (
) Así tenemos
(
) (
) ( )
Luego
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
De esta manera calculamos:
(
) ( ) (
)
(
) ( ) (
)
Podemos decir que:
;
Algebra
Bases
Dimensión
Gram
Longitud
Matriz
Schmidt
Sub espacios
Vectores