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Teorema (Teorema del valor intermedio)
Sea f continua en un intervalo cerrado [a, b] y sea N un numero entref (a) y f (b). Entonces existe un numero c entre a y b, tal que f (c) = N.
Ejemplo Mostrar que hay una raız de la ecuacion
4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0
entre 1 y 2.
() 9 de mayo de 2012 1 / 8
Teorema (Teorema del valor intermedio)
Sea f continua en un intervalo cerrado [a, b] y sea N un numero entref (a) y f (b). Entonces existe un numero c entre a y b, tal que f (c) = N.
Ejemplo Mostrar que hay una raız de la ecuacion
4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0
entre 1 y 2.
() 9 de mayo de 2012 1 / 8
Consideramos el lımite
lımx 7→0
1
x2
Haciendo una tabulacion para valores de x cercanos a 0, obtenemos que
x 1x2
±1 1±0,5 4±0,2 25±0,1 100±0,05 400±0,01 1000±0,001 1000000
Luego el lımite no existe pues no se acerca a ningun valor, al contrariocada vez que x esta cerca de 0, f (x) es mas grande.
() 9 de mayo de 2012 2 / 8
Consideramos el lımite
lımx 7→0
1
x2
Haciendo una tabulacion para valores de x cercanos a 0, obtenemos que
x 1x2
±1 1±0,5 4±0,2 25±0,1 100±0,05 400±0,01 1000±0,001 1000000
Luego el lımite no existe pues no se acerca a ningun valor, al contrariocada vez que x esta cerca de 0, f (x) es mas grande.
() 9 de mayo de 2012 2 / 8
DEFINICION. La notacion
lımx 7→a
f (x) =∞
significa que el valor de f (x) puede volverse lo suficientemente grande,cada vez que x este cercano a a, pero no igual a a. Esta definicion segeneraliza a limites laterales de manera analoga.
Ejemplos
lımx 7→01x2
=∞lımx 7→0+
1x =?
lımx 7→0−1x =?
Graficamente identificamos estos lımites como decaimientos asintoticos arectas verticales.
() 9 de mayo de 2012 3 / 8
DEFINICION. La notacion
lımx 7→a
f (x) =∞
significa que el valor de f (x) puede volverse lo suficientemente grande,cada vez que x este cercano a a, pero no igual a a. Esta definicion segeneraliza a limites laterales de manera analoga.
Ejemplos
lımx 7→01x2
=∞lımx 7→0+
1x =?
lımx 7→0−1x =?
Graficamente identificamos estos lımites como decaimientos asintoticos arectas verticales.
() 9 de mayo de 2012 3 / 8
DEFINICION. La notacion
lımx 7→a
f (x) =∞
significa que el valor de f (x) puede volverse lo suficientemente grande,cada vez que x este cercano a a, pero no igual a a. Esta definicion segeneraliza a limites laterales de manera analoga.
Ejemplos
lımx 7→01x2
=∞lımx 7→0+
1x =?
lımx 7→0−1x =?
Graficamente identificamos estos lımites como decaimientos asintoticos arectas verticales.
() 9 de mayo de 2012 3 / 8
DEFINICION. La lınea x = a es llamada una asintota vertical de lacurva y = f (x), si se cumple una de las siguientes condiciones
lımx 7→a
f (x) =∞ lımx 7→a+
f (x) =∞ lımx 7→a−
f (x) =∞
lımx 7→a
f (x) = −∞ lımx 7→a+
f (x) = −∞ lımx 7→a−
f (x) = −∞
EJEMPLOSHallar si existen, las asintotas verticales de las siguientes funciones
f (x) = 2xx−3 .
g(x) = x−1x2−1 .
h(x) = ln x
i(x) = tan x
() 9 de mayo de 2012 4 / 8
DEFINICION. La lınea x = a es llamada una asintota vertical de lacurva y = f (x), si se cumple una de las siguientes condiciones
lımx 7→a
f (x) =∞ lımx 7→a+
f (x) =∞ lımx 7→a−
f (x) =∞
lımx 7→a
f (x) = −∞ lımx 7→a+
f (x) = −∞ lımx 7→a−
f (x) = −∞
EJEMPLOSHallar si existen, las asintotas verticales de las siguientes funciones
f (x) = 2xx−3 .
g(x) = x−1x2−1 .
h(x) = ln x
i(x) = tan x
() 9 de mayo de 2012 4 / 8
Tambien podemos estudiar el comportamiento de las funciones cuando elvalor de x es lo suficientemente grande(∞). Consideremos la funcion
f (x) = x2−1x2+1
y elaboramos la tabla
x f (x)±0 −1±1 0±2 0,6±5 0,923077±10 0,980198±50 0,9992±100 0,9998±1000 0,999998
Notemos que a medida que x toma valores grandes, f (x) se acerca a 1.Simbolicamente podemos describir este comportamiento como
lımx 7→∞
x2 − 1
x2 + 1= 1
() 9 de mayo de 2012 5 / 8
Tambien podemos estudiar el comportamiento de las funciones cuando elvalor de x es lo suficientemente grande(∞). Consideremos la funcion
f (x) = x2−1x2+1
y elaboramos la tabla
x f (x)±0 −1±1 0±2 0,6±5 0,923077±10 0,980198±50 0,9992±100 0,9998±1000 0,999998
Notemos que a medida que x toma valores grandes, f (x) se acerca a 1.Simbolicamente podemos describir este comportamiento como
lımx 7→∞
x2 − 1
x2 + 1= 1
() 9 de mayo de 2012 5 / 8
Tambien podemos estudiar el comportamiento de las funciones cuando elvalor de x es lo suficientemente grande(∞). Consideremos la funcion
f (x) = x2−1x2+1
y elaboramos la tabla
x f (x)±0 −1±1 0±2 0,6±5 0,923077±10 0,980198±50 0,9992±100 0,9998±1000 0,999998
Notemos que a medida que x toma valores grandes, f (x) se acerca a 1.Simbolicamente podemos describir este comportamiento como
lımx 7→∞
x2 − 1
x2 + 1= 1
() 9 de mayo de 2012 5 / 8
DEFINICION. Sea f una funcion definida en algun intervalo (a,∞).Entonces
lımx 7→∞
f (x) = L
significa que el valor de f (x) se acerca a L, cada vez que x es mas grande.
Graficamente se ve que la funcion se acerca a la recta y = L cada vez quex toma valores grandes.
DEFINICION. La recta y = L es llamada una asintota horizontal de lacurva y = f (x) si
lımx 7→∞
f (x) = L o lımx 7→−∞
f (x) = L
Ejemplos
f (x) = arctan x
g(x) = x2−1x2+1
h(x) = 1x
() 9 de mayo de 2012 6 / 8
DEFINICION. Sea f una funcion definida en algun intervalo (a,∞).Entonces
lımx 7→∞
f (x) = L
significa que el valor de f (x) se acerca a L, cada vez que x es mas grande.
Graficamente se ve que la funcion se acerca a la recta y = L cada vez quex toma valores grandes.
DEFINICION. La recta y = L es llamada una asintota horizontal de lacurva y = f (x) si
lımx 7→∞
f (x) = L o lımx 7→−∞
f (x) = L
Ejemplos
f (x) = arctan x
g(x) = x2−1x2+1
h(x) = 1x
() 9 de mayo de 2012 6 / 8
DEFINICION. Sea f una funcion definida en algun intervalo (a,∞).Entonces
lımx 7→∞
f (x) = L
significa que el valor de f (x) se acerca a L, cada vez que x es mas grande.
Graficamente se ve que la funcion se acerca a la recta y = L cada vez quex toma valores grandes.
DEFINICION. La recta y = L es llamada una asintota horizontal de lacurva y = f (x) si
lımx 7→∞
f (x) = L o lımx 7→−∞
f (x) = L
Ejemplos
f (x) = arctan x
g(x) = x2−1x2+1
h(x) = 1x
() 9 de mayo de 2012 6 / 8
DEFINICION. Sea f una funcion definida en algun intervalo (a,∞).Entonces
lımx 7→∞
f (x) = L
significa que el valor de f (x) se acerca a L, cada vez que x es mas grande.
Graficamente se ve que la funcion se acerca a la recta y = L cada vez quex toma valores grandes.
DEFINICION. La recta y = L es llamada una asintota horizontal de lacurva y = f (x) si
lımx 7→∞
f (x) = L o lımx 7→−∞
f (x) = L
Ejemplos
f (x) = arctan x
g(x) = x2−1x2+1
h(x) = 1x
() 9 de mayo de 2012 6 / 8
OBSERVACION. Si n es un entero positivo, entonces
lımx 7→∞
1
xn= 0 lım
x 7→−∞
1
xn= 0
Ejemplos Calcular los siguientes limites
lımx 7→∞
3x2−1x2+5
.
lımx 7→∞
(√
x2 + 1− x).
OBSERVACION. Si a ∈ R y a > 0, entonces
lımx 7→−∞
ax = 0
Evaluar lımx 7→0− e1x
() 9 de mayo de 2012 7 / 8
OBSERVACION. Si n es un entero positivo, entonces
lımx 7→∞
1
xn= 0 lım
x 7→−∞
1
xn= 0
Ejemplos Calcular los siguientes limites
lımx 7→∞
3x2−1x2+5
.
lımx 7→∞
(√
x2 + 1− x).
OBSERVACION. Si a ∈ R y a > 0, entonces
lımx 7→−∞
ax = 0
Evaluar lımx 7→0− e1x
() 9 de mayo de 2012 7 / 8
OBSERVACION. Si n es un entero positivo, entonces
lımx 7→∞
1
xn= 0 lım
x 7→−∞
1
xn= 0
Ejemplos Calcular los siguientes limites
lımx 7→∞
3x2−1x2+5
.
lımx 7→∞
(√
x2 + 1− x).
OBSERVACION. Si a ∈ R y a > 0, entonces
lımx 7→−∞
ax = 0
Evaluar lımx 7→0− e1x
() 9 de mayo de 2012 7 / 8
OBSERVACION. Si n es un entero positivo, entonces
lımx 7→∞
1
xn= 0 lım
x 7→−∞
1
xn= 0
Ejemplos Calcular los siguientes limites
lımx 7→∞
3x2−1x2+5
.
lımx 7→∞
(√
x2 + 1− x).
OBSERVACION. Si a ∈ R y a > 0, entonces
lımx 7→−∞
ax = 0
Evaluar lımx 7→0− e1x
() 9 de mayo de 2012 7 / 8
La notacionlımx 7→∞
f (x) =∞
significa que f crece tanto como crece x .Ejemplos
lımx 7→∞ x =?
lımx 7→∞ ex =?
lımx 7→∞ x2 − x =?
lımx 7→∞x2+x3−x =?
() 9 de mayo de 2012 8 / 8
La notacionlımx 7→∞
f (x) =∞
significa que f crece tanto como crece x .Ejemplos
lımx 7→∞ x =?
lımx 7→∞ ex =?
lımx 7→∞ x2 − x =?
lımx 7→∞x2+x3−x =?
() 9 de mayo de 2012 8 / 8
DEFINICION. Una recta de la forma y = mx + b es una asintotaoblicua de la funcion f (x), si
lımx 7→∞
f (x)− (mx + b) = 0
Graficamente interpretamos una asintota oblicua si la curva y = f (x) seacerca a la recta y = mx + b.
Ejemplos. Encontrar la asintota oblica de las siguientes funciones
f (x) = x2+1x−1 .
g(x) = x2+sin xx−1 .
() 9 de mayo de 2012 9 / 8
DEFINICION. Una recta de la forma y = mx + b es una asintotaoblicua de la funcion f (x), si
lımx 7→∞
f (x)− (mx + b) = 0
Graficamente interpretamos una asintota oblicua si la curva y = f (x) seacerca a la recta y = mx + b.
Ejemplos. Encontrar la asintota oblica de las siguientes funciones
f (x) = x2+1x−1 .
g(x) = x2+sin xx−1 .
() 9 de mayo de 2012 9 / 8
DEFINICION. Una recta de la forma y = mx + b es una asintotaoblicua de la funcion f (x), si
lımx 7→∞
f (x)− (mx + b) = 0
Graficamente interpretamos una asintota oblicua si la curva y = f (x) seacerca a la recta y = mx + b.
Ejemplos. Encontrar la asintota oblica de las siguientes funciones
f (x) = x2+1x−1 .
g(x) = x2+sin xx−1 .
() 9 de mayo de 2012 9 / 8