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Francisco Ismael Pinillos Nieto
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Matemática II
FACULTAD DE INGENIERÍA
06 de junio de 2011
SESIÓN 11.
ECUACIONES DE VARIABLES
SEPARABLES Y HOMOGÉNEAS
11.1 ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES. ..................................................... 2
11.2 MÉTODO PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES ...... 3
11.3 FUNCIONES HOMOGÉNEAS. ............................................................................... 6
11.4 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS ................................................. 7
11.5 MÉTODO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA ...... 8
11.6 HOJA DE TRABAJO 11 ...................................................................................... 11
Contenidos:
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Una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden se representa como
),( yxfdx
dy
Ésta ecuación, también puede ser expresada en su forma extendida como
0),(),( dyyxNdxyxM ;
donde M y N son funciones de x e y .
Ejemplo 11.1. Dada la ecuación diferencial de primer orden 22 yxdx
dy ésta, también puede
ser representada como 0)( 22 dydxyx ; en este caso 22 yxM y 1N
Ejemplo 11.2. Dada la ecuación diferencial de primer orden senxy
xx
dx
dy2
2 cos , ésta también puede ser
representada como 0cos 22 dysenxydxxx ; en este caso xxM cos2 y senxyN 2
11.1 ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES.
Definición 11.1. Si el lado derecho de la ecuación ),( yxfdx
dy se puede expresar como el producto
de una función )(xg que sólo depende de x , y una función )(y que sólo depende de y , la
ecuación diferencial es llamada Ecuación diferencial de Variables Separables.
En otras palabras una ecuación diferencial de primer orden es de variables separables, si ésta se
puede escribir en la forma
)().( yxgdx
dy ; donde
)(
1)(
yhy .
Definición 11.2. Si la ecuación está representada como 0),(),( dyyxNdxyxM , diremos que ésta
es de variables separables, si cada una de las funciones ),( yxM y ),( yxN se pueden representar
como el producto de dos funciones una que dependa de la variable x y otra que dependa de la
variable y ; es decir: )().(),( 11 yxgyxM y )().(),( 22 yxgyxN
Ejemplo 11.3. La ecuación diferencial )( QBkdt
dQ , que corresponde al Modelo de Mitsherlich..
Donde )(tQ es el tamaño de un cultivo y B es el tamaño máximo del cultivo, podemos comprobar
que ésta ecuación diferencial es de variables separables.
En efecto,
dtkQB
dQQBk
dt
dQ
)(
Ejemplo 11.4. La ecuación diferencial )( EPkEdt
dE , corresponde a la Propagación de un Chisme.
Donde E representa a la cantidad de personas ya enteradas y P la cantidad de personas.
Podemos comprobar que ésta ecuación es de variables separables.
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En efecto,
dtkEPE
dEEPkE
dt
dE
)()(
Ejemplo 11.5. Dada la ecuación diferencial
2
2
cos3 rr
r
ee
senesen
d
dr
, mostraremos que esta ecuación
es de variables separables.
En efecto,
222
2
cos31cos3
1
dsen
e
dre
e
esen
d
drr
r
r
r
Ejemplo 11.6. Sea la ecuación diferencial yey
xx
dx
dy
cos
126 5
, mostraremos que es de variables
separables.
En efecto,
dxxxdyey y 126cos 5
Ejemplo 11.7. Afirmamos que la ecuación diferencial 323
665
.
.cos6
ysenxxy
yxyx
dx
dy
es de variables
separables.
En efecto,
dxsenxx
xx
y
dy
senxxy
xxy
dx
dy
2
5
323
56 cos6cos6
Ejemplo 11.8. La ecuación diferencial
cos21
2
r
senr
d
dr
no es de variables separables.
Ejemplo 11.9. La ecuación diferencial xydx
dy 3 no es de variables separables.
11.2 MÉTODO PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES
En primer lugar debemos agrupar la variable independiente con su diferencial a un lado de la
ecuación y la variable dependiente con su respectivo diferencial al otro lado de la ecuación. Una
vez separadas, integramos a ambos lados de la ecuación, obteniendo así la solución de la ecuación
diferencial.
Es decir, dada la ecuación )().( yxgdx
dy ; primero despejamos las variables obteniendo
dxxgy
dy)(
)(
, al hacer
)(
1)(
yyh
y sustituyendo obtenemos dxxgdyyh )()( .
Ahora integramos a ambos lados de la ecuación final dxxgdyyh )()( .
Obteniendo CxGyH )()( como solución de la ecuación diferencial de variables separables.
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Ejemplo 11.10. Un ambientalista encontró que cierto tipo de árbol crece de manera que su altura
)(th después de t años cambia a una razón de tt 3/22.0 pies por año. Si el árbol tenía 3 pies
cuando fue plantado, ¿qué altura tendrá dentro de 20 años?
En efecto,
ttdt
dhttth 3/23/2 2.02.0)('
dtttdhdtttdh 3/23/2 2.02.0
Cttth 2/33/5
3
2
25
3)(
Ahora, tenemos como condición inicial la altura del árbol al momento de ser plantado 3 pies de
altura, es decir 3)0( h
33)0(3
2)0(
25
3)0( 2/33/5 CCh
Por lo tanto 33
2
25
3)( 2/33/5 ttth es una solución particular, que expresa la altura del árbol en un
determinado tiempo.
Dentro de 20 años el árbol tendrá una altura de 803)20(3
2)20(
25
3)20( 2/33/5 h pies.
Ejemplo 11.11. Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiará a una
razón de 3/254 t personas por mes. Si la población actual es de 5000 personas, ¿cuál será la
población dentro de 10 meses?
En efecto, la ecuación diferencial que describe el problema es 3/254 tdt
dP , la cual es una
ecuación de variables separables.
dttdP 3/254
dttdP 3/254
Por lo tanto CtttP 2/524)( es la solución general de la ecuación diferencial; pero tenemos las
siguientes condiciones iniciales, la población actual es de 5000 personas, esto se representa como
5000)0( P
5000)0(2)0(4)0( 2/5 CP ; entonces 5000C .
Finalmente la solución particular es:
500024)( 2/5 tttP
Como la interrogante es determinar la población dentro de 10 meses, sustituimos 10t en la
función que describe la población en un determinado tiempo.
56735000)10(240)10( 2/5 P personas.
Ejemplo 11.12. Hallamos la solución de la ecuación diferencial 3
1
rd
dr
.
En efecto, separando las variables obtenemos ddrr 13 ; ahora integramos a ambos lados
de la igualdad:
Cr
ddrr
24
124
3
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Por lo tanto la solución general de la ecuación es: 4
2
24
Cr
Ejemplo 11.13. Hallar la solución de la ecuación
2
2
cos3 rr
r
ee
senesen
d
dr
.
En efecto, en primer lugar separamos las variables
22 cos31
dsen
e
drer
r
, ahora integramos a
ambos lados de la igualdad
22 cos31
dsen
e
drer
r
.
Para poder integrar debemos realizar los siguientes cambios de variables: dredueu rr y
dsendtt cos , luego sustituyendo en las respectivas integrales obtenemos:
C
tu
t
dt
u
du
3arctan
3
1arctan
31 22
Por lo tanto la solución general de la ecuación es: Cer
3
cosarctan
3
1arctan
Ejemplo 11.14. Hallar la solución de la ecuación 0)(22 dyyedxxyx x .
En efecto, separando las variables dyy
ydx
e
xdyyedxyx
x
x
)1(0)1(
2
22
2
, ahora
integramos a ambos lados de la igualdad:
dyy
ydx
e
x
x )1( 22.
Para poder integrar debemos realizar los siguientes cambios de variables: dxxduxu 22 y
dyydtyt 21 2 , ahora sustituyendo en las respectivas integrales obtenemos:
tduet
dt
e
du u
uln
2
1
2
1
2
1
2
1
Finalmente obtenemos: 21lnlnln2
yCeCte xu
Por lo tanto la solución general de la ecuación es: 21ln2
yCe x
Ejemplo 11.15. Hallar la solución de la ecuación 0cos1 dxsenxyedyy x .
En efecto, separando las variables obtenemos dxsenxey
dy xcos
2 ; ahora integramos a ambos lados
de la igualdad:
dxsenxey
dy xcos
2.
Para poder integrar debemos realizar el siguiente cambio de variable dxsenxduxu cos
Ahora sustituyendo en la respectiva integral obtenemos:
Cey
Cey
duey
dy xuu cos
332 3
1
3
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Por lo tanto la solución general de la ecuación es: Cey
x cos
33
1
11.3 FUNCIONES HOMOGÉNEAS.
Definición 11.3. Una función ),( yxf se llama homogénea de grado n respecto a las variables x
e y , si IR , se verifica la identidad IRnyxfyxf n ;),(),(
Ejemplo 11.16. Dada la función 3 33),( yxyxf comprobamos si es homogénea.
3 3333 33333 33),( yxyxyxyxf
),(),( 3 33 yxfyxyxf
Por lo tanto, la función ),( yxf es homogénea de grado 1.
Ejemplo 11.17. Dada la función 2tan),( yy
xxyyxf
comprobar si es homogénea.
2222tantan),( y
y
xxyy
y
xyxyxf
),(tan),( 222 yxfyy
xxyyxf
Por lo tanto, la función ),( yxf es homogénea de grado 2.
Ejemplo 11.18. Dada la función xyyxyxf 22),( comprobar si es homogénea.
xyyxyxyxyxf 2222222),(
),(),( 2222 yxfxyyxyxf
Por lo tanto, la función ),( yxf es homogénea de grado 2.
Ejemplo 11.19. Dada la función
cos21,
2
r
senrrf
comprobar si es homogénea.
cos21,
2
r
senrrf
Por lo tanto, la función rf , no es homogénea.
Ejemplo 11.20. Dada la función 22
22
),(yx
yxyxf
, comprobamos que es una función de grado cero
222
222
2222
2222
22
22
),(yx
yx
yx
yx
yx
yxyxf
),(),(),( 0 yxfyxfyxf
Por lo tanto la función ),( yxf es homogénea de grado 0.
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En efecto,
x
y
x
yyxf lnln),(
),(),(),( 0 yxfyxfyxf
Por lo tanto, la función ),( yxf es homogénea de grado 0.
Ejemplo 11.21. yx
yxyxf
22
),( , es una función de grado cero
En efecto,
yx
yx
yx
yx
yx
yxyxf
222222222
),(
yx
yx
yx
yxyxf
2222
),(
),(),(),( 0 yxfyxfyxf
Por lo tanto, la función ),( yxf es homogénea de grado 0.
11.4 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
Definición 11.4. Una ecuación diferencial de la forma ),( yxfdx
dy se llama homogénea si ),( yxf
es una función homogénea de grado cero.
La ecuación homogénea siempre se puede representar de la forma
x
y
dx
dy (15.1)
Definición 11.5. La ecuación de primer orden, de la forma 0),(),( dyyxNdxyxM , es homogénea,
si las funciones ),( yxM y ),( yxN son homogéneas y además tienen el mismo grado.
Ejemplo 11.22. Dada la ecuación yyxyx 22' afirmamos que es homogénea.
En efecto:
x
yyxy
22
' ; entonces x
yyxyxf
22
),(
x
yyx
x
yyx
x
yyxyxf
)()()(),(
222222222
x
yyx
x
yyxyxf
2222
),(
),(),(
22
yxfx
yyxyxf
Por lo tanto la ecuación diferencial es homogénea debido a que la función ),( yxf es homogénea
de grado cero.
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Ejemplo 11.23. Dada la ecuación 023 22 xydydxyx afirmamos que es homogénea.
En efecto:
Identificamos las funciones 22 3),( yxyxM y xyyxN 2),( .
1º. ),(33)(3)(),( 2222222222 yxMyxyxyxyxM
Por lo tanto la función ),( yxM es homogénea de grado 2.
2º ),()2(2))((2),( 222 yxNxyxyyxyxN
Por lo tanto la función ),( yxN es homogénea de grado 2.
Finalmente podemos concluir que la ecuación diferencial es homogénea, debido a que las
funciones ),( yxM y ),( yxN son homogéneas y tienen el mismo grado 2.
11.5 MÉTODO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Introduciendo una nueva variable x
yv , la ecuación (15.1) se reduce a la ecuación con variables
separables: vvdx
dvx )(
Observación Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas a la forma
(1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución dvxdxvdyvxy ; con lo cual se
conseguirá obtener una ecuación diferencial de variables separables; procediendo para su
solución como en el caso para variables separables.
Ejemplo 11.24. Resolver la siguiente ecuación homogénea: yyxyx 22' .
Primera Opción
Si dividimos toda la ecuación por x , obtenemos x
y
x
yy
2
1' , luego al hacer el cambio de
variable vxvyx
yv '' , obtenemos la siguiente ecuación de variables separables
vvvxv 21' . Solucionando la ecuación tenemos:
dxxv
dvdxx
v
dvv
dx
dvx
1
111
22
2
Finalmente la solución de la ecuación homogénea es: Cxx
yarcsen
)ln(
Segunda Opción
Realizamos directamente el cambio de variable dvxdxvdyvxy ; en la respectiva
ecuación diferencial
En efecto:
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vxxvxdx
dvxdxvxyyx
dx
dyx
22222
vxvxdx
dvxvxvxvx
dx
dvxvx
)1()1( 222
)1()1( 22 vdx
dvxvv
dx
dvxv
x
dx
v
dvv
dx
dvx
)1()1(
2
2
x
dx
v
dv
)1( 2
Al realizar la integración obtenemos la misma solución que la primera opción.
Ejemplo 11.25. Resolver la siguiente ecuación homogénea: 023 22 xydydxyx
Primera Opción:
Si dividimos toda la ecuación por dxx2 , obtenemos 0231
2
dx
dy
x
y
x
y, luego al hacer el
cambio de variable vxvyx
yv '' , obtenemos la siguiente ecuación de variables separables
0'231 2 vxvvv . Solucionando la ecuación tenemos:
x
dx
v
dvvv
dx
dvxvvvvxv
2
222
1
212312'2
Cxx
yCxvCxtCxt
x
dx
t
dt
dvvdtvtx
dx
v
dvv
22
2
2
11lnlnln
21;1
2
Finalmente la solución de la ecuación homogénea es: Cx
yx
3
22
Segunda Opción:
Realizamos directamente el cambio de variable dvxdxvdyvxy ; en la respectiva ecuación
diferencial.
0)(2)(3 22 xdvvdxxvxdxvxx
0223 322222 dvvxdxvxdxxvdxx
02)231( 3222 dvvxdxxvv
dvvxdxxv 322 2)1(
dvv
v
x
dx21
2
Al realizar la integración obtenemos la misma solución que la primera opción.
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Ejemplo 11.26. Resolver la siguiente ecuación homogénea: yx
yxy
22
' .
Podemos comprobar que la ecuación no es homogénea, dado que la función ),( yxf es homogénea
de grado 1. En efecto:
),(),(),(
),(),(
22
22222222222
yxfyxfyx
yxyxf
yx
yx
yx
yx
yx
yxyxf
yx
yxyxf
Finalmente no podemos resolver la ecuación mediante el cambio de variable, para esto
necesitaremos de otras técnicas de solución.
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11.6 HOJA DE TRABAJO 11
I. Formular, y resolver cada una de los siguientes problemas
1. Un estudio ambiental realizado en cierta comunidad revela que dentro de t años el nivel de
monóxido de carbono en el aire cambiará a una razón anual de 1.01.0 t partes por millón. Si el
nivel actual del monóxido de carbono en el aire es 3.4 partes por millón. ¿Cuál será el nivel de
monóxido dentro de 5 años?
2. Un conservacionista halló que la población )(tP de una especie en vía de extinción crece a una
razón de te 03.051.0 , donde t es el número de años después de empezar a llevar registros. Si la
población inicial es de 250, ¿cuál será la población en 10 años?
3. La población de cierta comunidad aumenta a una razón constante de 600 personas por año. Si
inicialmente tenemos una población de 1800 personas, ¿cuántas personas habrá dentro de 10
años?
4. Después de t años de trasplantado, un árbol crece a una razón de 12
11
2
xx metros por año.
Transcurridos dos años alcanza una altura de 5 metros. ¿Qué altura tenía cuando fue
trasplantado?
5. La compañía de teléfonos claro estableció una línea de producción para fabricar un nuevo tipo de
teléfono celular. La tasa de producción de los teléfonos es
5221500
t
t
dt
dP unidades por
mes. ¿Cuántos teléfonos se producen durante el cuarto mes?
6. El valor de reventa de una determinada maquinaria industrial decrece a una razón dependiente
de sus años de uso. Cuando la maquinaria tiene t años, la razón a la que cambia su valor es
5/960 te dólares por año. Si la maquinaria costo originalmente 4800 dólares, ¿cuál será su
valor cuando tenga 10 años?
7. En un estudio sobre el precio del kilo de pollo en Trujillo se estimo que dentro de x semanas el
precio aumentará a la razón de 13 x céntimos por semana. Si el precio actual del kilo de pollo
es de 5 nuevos soles, ¿cuál será su precio dentro de 8 semanas?
8. Los promotores de una feria de distrito estiman que si las puertas se abren a las 9.00 a.m., t
horas después los visitantes entran a la feria a una razón de 23 )2(54)2(4 tt personas por
hora. ¿Cuántas personas entrarán a la feria entre las 10:00 a.m. y las 2:00 p.m.?
HO
JA
D
E T
RA
BA
JO
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II. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
1. 011 22 dyxdxy
2. 0sec)2(tan3 2 dyyedxye xx
3. 3
1
t
Q
dt
dQ
4. 1)0(;0ln ydxtdtxx
5. 23xtdt
dx
6. 2
21
n
m
dm
dn
7. 2
2
1
sec
rd
dr
8. 1)0(;')1( yeyye xx
9. 223
2
ht
ht
dt
dh
10. 0)(22 ydyedxxyx x
11. 011 22 dTtdtT
12. 01 2 txdxdtx
13. 0' 2222 xyxyxyy
14. dPtdtP 21
15.
16. 01'1 22 rrr
17.
22
2
/2/22
/
2
2
yxyx
yx
exeyy
xye
dx
dy
18. 046 224224 dhhtthdthhtt
19. yxe
dx
dyx xy /
20. 32233 43' xyxxyyyx
21. x
xyy
dx
dy )1ln(ln
22.
2
4
x
y
x
y
dx
dy
23. n
nmnm
dn
dm )/(cos 2
24. 011 22 drrdr
0)(3)(3
dy
x
yxsendx
x
yysenx
HO
JA
D
E T
RA
BA
JO
1
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25. 1'1 ye y
26. 1,0;' aaay yx
27. yx eyye '1
28. 0222
dwuwuwuduw
29. 0)/()/( dyxysenxdxxysenyx
30. 011 22 dyydyedxey yx
31.
t
ssen
s
s
dt
ds
32. 022221 2222 dyxyxxyyxdxxyxy
33. 0)425(34 2222 yxyx
dx
dyyxyx
III.Determinar si las siguientes funciones son homogéneas
34. yxeyxf /),(
35. 2/322),( yxyxf
36. 323 3),( yxyxyxf
37. yyxxyxf ln_ln),(
38.
y
xxyxf tan),( 2
39. yxyxf cos),(
HO
JA
D
E T
RA
BA
JO
1
1