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8/17/2019 Sesión 1_La Recta
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MATEMÁTICA 1 PARA ARQUITECTURASESIÓN 1: LA RECTA: FORMA CARTESIANA Y VECTORIAL
Departamento de Ciencias
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¿QUÉ PREDOMINA EN ESTOS DISEÑOS?
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RECTAS PRESENTES EN EL MUNDO REAL
Representamos 2 rectas en estalínea del tren.
La infinita línea del horizontepuede representar una recta.
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EJEMPLOS DE RECTAS SECANTES, PERPENDICULARES Y PARALELAS:
La calle Manuel
Bulnes esperpendicular a lacalle Carrera Pinto.
La Avda. UltimaEsperanza y la Avda.España son RectasSecantes.
La calle BlancoEncalada es paralela acalle Baquedano.
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ÁNGULO ENTRE RECTAS
¿Cuál es el ángulo que forman las rectas mostradas?
(1,10)
(0,0)
(16,12)
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LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje, elestudiante resuelve ejercicios en los que
encuentra las ecuaciones cartesiana yvectorial de una recta e identificaaplicaciones de las mismas en el diseñoarquitectónico.
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CONCEPTOS PRELIMINARES: PLANO CARTESIANO
•Es el plano codificado mediante un sistema de coordenadas ubicadas
en dos ejes perpendiculares:
•Eje de las abscisas
•Eje de las ordenadas
Origen
Un punto cualquiera del plano cartesianotiene dos coordenadas:
= (, )
Y
X
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CONCEPTOS PRELIMINARES: PUNTO
•Elemento geométrico que no puede dimensionarse, y se representa
dibujando una cruz (x) o un pequeño círculo que describe su posición
en el espacio.
• A los puntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C, D, etc.
Ejemplo
A B
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•La recta o línea recta es la sucesión continua e indefinida de puntos
en una misma dimensión.
•También se puede considerar a la recta como la distancia más corta
entre dos puntos.
•
La recta es de longitud ilimitada, sin grosor ni extremos.•Una recta se determina por la unión de dos puntos
Ejemplo
CONCEPTOS PRELIMINARES: LA RECTA
A B
A
B
Veamos el ejercicio 1 de
la HT1
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Los ángulos son la unión de dos rayos. Note que ambos rayos tienen
un mismo origen, al cual se le conoce con el nombre de vértice delángulo y a los rayos se les conoce como lados del ángulo.
Ejemplo
Lados
Vértice
El ángulo se mide en
Grados.
ÁNGULOS
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EJEMPLOS COTIDIANOS DE ÁNGULOS:
En las figuras podemos observar diversas representaciones de ángulos,con las cuales nos encontramos a diario.
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UNIDADES DE MEDIDA PARA LOS ÁNGULOS
Los ángulos se pueden medir en:
•Radian
•Grado Centesimal
•Grado Sexagesimal
Nosotros utilizaremos la unidad de medida llamada GradoSexagesimal y como ejemplo de su notación tendríamos: 90º.
Lo leeremos como “noventa grados”.
El grado sexagesimal es la nonagésima (1/90) parte de unángulo recto.
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CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Ángulo Agudo
Mide menos de 90º
Ángulo Recto
Mide 90º
Ángulo Obtuso
Mide más de 90º
Ángulo Extendido o Llano
Mide 180º
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RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Se dice que
dos rectas a y b son paralelas cuando son equidistantes, es decir,cuando todos los puntos de una recta están a igual distancia de la otrarecta.También podemos decir que dos rectas son paralelas si nunca llegana cortarse en un punto.
Todos los puntos deestas rectas estánequidistantes, es
decir, a igual distanciaentre ambas, por lotanto son rectasparalelas.
Ejemplo
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EJEMPLOS COTIDIANOS DE RECTAS PARALELAS:
En esta escalera tambiénpodemos representarrectas paralelas.
Estos lápices estánequidistantes entre sí, por lotanto representan rectasparalelas.
En esta construcción puedesapreciar diversas rectasparalelas.
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Dos rectas son secantes si están en el mismo plano y se cortan en
un mismo punto, formando cuatro ángulos, cada uno diferente de90º.
Ejemplo
Todos los Ángulos sondistintos de 90º
RECTAS SECANTES:
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Dos rectas son perpendiculares si están en el mismo plano y se cortan en
el mismo punto, forman 4 ángulos iguales de 90º cada uno.A estos ángulo que miden 90º se les llama ángulos rectos, y esto permitedefinir a dos rectas como perpendiculares.
EjemploAngulo de 90º
Angulo de 90º
RECTAS PERPENDICULARES:
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Cómo son las siguientes rectas con respecto a su posición:
:
: : :
:
EJEMPLO
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POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO
Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones:
a) Que sean Paralelas b) Que se intercepten
c) Que seanCoincidentes
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
L
x
y
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
L
x
y
1-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
L
x
y
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PENDIENTE DE UNA RECTA
tan( )m
Sea la recta L, el ángulo
de inclinación de L, es elángulo determinado porla recta L y la partepositiva del eje x, ladenotaremos por:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
L
La pendiente se definecomo la tangente delángulo de inclinación dela recta L con respecto aleje x.
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COMPORTAMIENTO DE LA RECTA, SEGÚN VALOR DE LA PENDIENTE
x
y
x
y
x
y
Si m > 0 la recta l es creciente Si m
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CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA
CASO I:Se conoce el ángulo de inclinación
CASO II:Se conocen dos puntos de la recta
tan( )m
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
L
x1 x2
y1
y2
x
y L1
= −
−
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x
y
L2
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Sean dos rectas L1 con pendiente y L2 con pendiente , entonces:
L1
Si: =
Entonces son Paralelas
x
y L2 L1
Si: × = −1
Entonces son Perpendiculares
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ECUACIÓN DE LA RECTA CASO I: PUNTO - PENDIENTE
SE CONOCE LA PENDIENTE Y UN PUNTO DE PASO
Hallar la ecuación de la recta quepasa por el punto (2,3) y tienependiente m = -2.
Punto de paso: = , Pendiente:
Se define la ecuación de la recta como:
: − = −
EJEMPLO 1
SOLUCIÓN:
Punto de paso: = , = 2 , 3
Pendiente: = −2
= −2 + 7
Ecuación:
− 3 = −2 − 2 Reduciendo: − 3 = −2 + 4 = −2 + 4 + 3
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ECUACIÓN DE LA RECTA CASO II PASA POR DOS PUNTOS
SE CONOCEN DOS PUNTOS DE PASO
Hallar la ecuación de la recta quepasa por los puntos (1,4) y (-2,-4).
= , , = ,
PRIMERO:Se calcula la pendiente
SEGUNDO:
Se repite el caso anterior
: − = −
EJEMPLO 2
SOLUCIÓN:
=
−
−
PRIMERO:Se calcula la pendiente:
=−4 − 4
−2 − 1 =
−8
−3 =
8
3
SEGUNDO:
Ecuación:
− 4 =8
3 − 1
Reduciendo:
− 4 =
8
3 −
8
3
=8
3 −
8
3 + 4
=8
3 +
4
3
= −2 + 7
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CÓMO GRAFICAR UNA RECTA
Analizaremos ahora la forma de graficar una recta dada su ecuación, mediante un ejemplo:
1. Grafique = + Tabulamos sólo dos puntos
1 3
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
(, )
(, )
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
2. Grafique = − +
Tabulamos sólo dos puntos
−
(, )
(, −)
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INTERPRETACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Una recta siempre tiene como ecuación la forma: = + , ; ∈ ℝ
INTERPRETACIÓN:m : Pendiente de la rectab: intersección con el eje Y
Ejemplo: = 3 + 1 Pendiente: 3Intersección con eje y: 1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
(,)
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RECTAS PARALELAS A LOS EJES COORDENADOS
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
3
4
y = 3
x = 4
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5. TRABAJO EN EQUIPO
• En equipos de 3 estudiantes, desarrollar los ejerciciosindicados por el docente de los niveles 1, 2 y 3.
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APLICACIÓN ÁNGULO ENTRE RECTAS
Calcule la tangente del ángulo que forman las tijerales mostrados
(1,10)
(0,0)
(16,12)
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SOLUCIÓNAplicaremos la fórmula:
= −
1 +
Donde es la pendiente de la recta 1,Y es la pendiente de la recta 2.
(1,10)
(0,0)
(16,12)
Primero calculamos :
=10 − 01 − 0
= 10
Ahora calculamos :
=12 − 10
16 − 1 =
2
15
Aplicamos la fórmula:
= −
1 +
Aplicamos la fórmula:
=10 −
215
1 + (10)( 215
)=
14835
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6. METACOGNICIÓN
•
¿Qué estructura presente en la universidad UPN puedesasociar a rectas? ¿podrías hallar la ecuación de esas
restas?
• ¿Qué dificultades se presentan en la solución de
ejercicios dadas en la hoja de trabajo 1?
• ¿Qué es lo más complicado en obtener las ecuaciones
de la recta?
• ¿Qué he aprendido en esta sesión 1?
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7. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
N° CÓDIGO AUTOR TITULO AÑO
1 510 / UGAR Ugarte Guerra
Francisco “ Matemáticas para Arquitectos”
2011
2 516. 3 LEAN Charles Lehmann “Geometría Analítica” 2005