Post on 07-Jul-2018
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
1/29
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam
berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi,
atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Kimia, Teknik Sipil,
Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut
muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerakan secara analitik
untuk mendapatkan solusi seatinya (exact solution). !dapun yang dimaksud
dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan
rumus"rumus alabar yang sudah baku atau la#im digunakan.
!da beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan
metode analitik. !kan tetapi metode analitik unggul untuk seumlah persoalan
yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar
penyelesaian dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul
dalam kehidupan sehari"hari tidak selalu dalam bentuk sederhana tetapi sangat
kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. !kibatnya nilai praktis
penyelesaian metode analitik menadi terbatas. $ila metode analitik tidak dapat
lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat digunakan adalah dengan
metode %umerik. Metode %umerik adalah teknik yang digunakan untuk
memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan
operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). !da
beberapa alasan menggunakan metode numerik, yaitu (Susy, &'')
*. Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan
dengan mudah.
&. +ibutuhkan metode yang menggunakan analisis"analisis pendekatan persoalan"
persoalan non linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan.
*
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
2/29
. Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi e-act dengan
umlah data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik
digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini.
. Pemakaian metode analitik terkadang sulit diteremahkan ke dalam algoritma
yang dapat dimengerti oleh komputer. Metode numerik yang memang
berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik
dalam menyelesaian persoalan"persoalan perhitungan yang rumit.
Prinsip"prinsip metode numerik adalah sebagai berikut
*. Metode numerik ini disaikan dalam bentuk algoritma"algoritma yang dapatdihitung secara cepat dan mudah.
&. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan
analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang
mudah.
. !lgoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam
algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses
perhitungan.
. +engan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan
mempunyai nilai error (nilai kesalahan).
Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi,
perhitungan berulang dari data numerik yang ada. /ika proses iterasi tersebut
dilakukan secara manual, akan membutuhkan 0aktu yang relatif lama dan
kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri uga
relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non"linear , ikadiselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode $iseksi diperlukan
beberapa iterasi. 1ntuk penyelesaian sampai tuuh angka di belakang koma dapat
teradi iterasi sampai puluhan kali. 2ni tentu membutuhkan 0aktu yang relatif
lama. Pada kenyataannya sering teradi proses iterasi sampai ratusan kali, pada
keadaan demikian ini komputer sangat dibutuhkan untuk mengurangi 0aktu
penyelesaian (Munif, *334).
&
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
3/29
Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer dapat dicoba
berbagai kemungkinan solusi yang teradi akibat perubahan beberapa parameter
tanpa menyita 0aktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh uga dapat ditingkatkan
ketelitiannya dengan mengubah"ubah nilai parameter (Susy, &'').
Penyelesaian yang digunakan dalam metode %umerik adalah penyelesaian
pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error). Pada
penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil mungkin.
1.2 Rumusan Masalah
$erdasarkan latar belakang tersebut diatas, maka permasalahan dalam
makalah ini adalah bagaimana menyelesaikan persamaan non"linear menggunakan
berbagai metode dengan program komputer.
1.3 Tujuan Penulsan
+engan adanya permasalahan yang muncul, maka tuuan dari makalah ini
adalah mengetahui perbedaan kecepatan dan tingkat kemudahan dalam
menyelesaikan persamaan non"linear ditinau dari berbagai metode yang
digunakan.
1.! Man"aat Penulsan
!da beberapa manfaat yang diharapkan dari makalah ini, diantaranya
adalah memberikan 0a0asan tambahan mengenai cara"cara menyelesaikan
persamaan non linear menggunakan Metode %umerik yang paling efektif dan
efisien, karena hanya dengan beberapa langkah saa sudah bisa didapatkan apa
yang diinginkan.
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
4/29
BAB II
TIN#UAN PU$TA%A
2.1 Persamaan N&n'Lnear
+alam usaha mendapatkan persamaaan matematika yang menabarkan
model dari suatu persoalan nyata, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai
5ariabel - sedemikian rupa, sehingga terpenuhi persamaan f (-) 6 ' yang
digunakan dalam model. 1ntuk beberapa kasus, melalui faktorisasi f(-) 6 ' dapat
diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, namun bentuk yang lebih rumit
telah mampu memberikan solusi melalui analisis matematik.
!pa yang dimaksud dengan menentukan - hingga terpenuhi persamaan
f(-) 6 ' 7 secara geometri ini berarti mencari suatu titik hal mana f(-) tepat
memotong sumbu -, sehingga f(-) 6 '. ika dianggap f(-) sesungguhnya
memotong sumbu -, maka dapat dicari suatu inter5al 8a,b9, sedemikian rupa
sehingga f(a) dan f(b) mempunyai tanda berbeda.
+engan
pembatasan inter5al ini,
secara cermat dapat
dicari - 6 yang
memberikan nilai f ( ) 6 ' sebagai berikut
*. $agi dua inter5al 8a,b9 dan e5aluasi nilai f(-) pada titik tengah inter5al.
&. !pabila f(m) 6 ' berarti - 6 m, bila tidak sama dicari posisi nilai m apakah
berada pada inter5al 8a,m9 atau inter5al 8m,b9 : yaitu dengan memeriksa
perbedaan tanda
(am)ar 2.1 ;rafik non linier
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
5/29
a. /ika f (a) dan f(m) berbeda tanda berarti di 8a,m9
b. /ika f(a) dan f(m) mempunyai tanda sama berarti di 8n,b9 proses
pembagian inter5al dapat diulang sampai ditemukan nilai yang
memberikan f( ) 6 '.
Pada bab ini dibahas solusi dari persamaan non linear yang banyak
diumpai dalam formulasi kasus"kasus fisika, yaitu pencarian akar persamaan
(finding roots). +isaikan beberapa metode yang biasa digunakan, dan inti
pembahasan terletak beberapa metode komputasi numerik yang akan dibahas,
yaitu metode Successi5e Substitution, metode Secant, metode %e0ton 6 g(-)
&. +imulai dengan menebak nilai x0 a0al untuk menge5aluasi nilai g( x0) dan
menentukan nilai x1, kemudian lakukan iterasi.
>(i?*) 6 g(-i) dimana i 6*,&,,@
Sampai hasilnya tidak mengalami perubahan lagi, dimana
| x i+1− xi|≤ ϵ
4
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
6/29
Tidak semua fungsi dapat diselesaikan dengan metode successi5e
substitution, karena ada iterasi yang di5ergen. Syarat agar iterasi diamin
kon5ergen, adalah
nilai dari*
)(〈
dx
xdg
, pada nilai tebakan a0al xo.
Ketika lereng dg (-)Ad- B *, maka metode tersebut kon5ergen seperti yang
ditunukkan pada gambar.
Ketika lereng dg (-) A d-C *, maka metode tersebut di5ergen seperti yang
ditunukkan pada gambar &.&.
Dontoh
*. Tentukan nilai x dari persamaan berikut
(am)ar 2.2 Grafik Direct Substitution (Convergence)
(am)ar 2.3 Direct Substitution (Divergence)
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
7/29
x3+2 x+2=10e−2 x
2
/a0ab
1bah persamaan menadi bentuk > 6 g(-)
> 6 g(-) 6
x3+2 x+2
10
−12 ln(¿)
√ ¿
Misalkan x' 6 "'.4
Penyelesaian iterasi dapat dilihat pada tabel.
> g(-)
"'.4
*.*'4
*.*'4
'.4&
4
'.4&
4
'.4'&'
F
'.4'&'
F
'.F'
3
'.F'
3
'.'&'
F
'.'&'
F
'.3F3'
4
'.3F3'
4
'.'*&
4
'.'*&
4
'.''4&
4
'.''4&
4
'.''F
3
'.''F
3
'.'''
&
'.'''
&
'.''
*
'.''
*
'.''&
*
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
8/29
'.''&
*
'.''&
'.''&
'.''&
'.''&
'.''&
&. Temukan penyelesaian dari
f(-)6 - (tan -) " *, 1ntuk ' B - B GA&
/a0ab
Pilih tebakan a0al dalam range yg dipersyaratkan, missal GAF
Dari g(-)
>6g(-)
>6*Atan -
Dek kon5ergensi, ternyata dx
xdg )(
C* maka tidak diamin
kon5ergen.
+i coba subtitusi -'6 GAF6',3& atau &&,4 deraat sebagai nilai tebakan
a0al
Maka menghasilkan
-*6&,*& atau ', G, sehingga berada di luar range ' B - B GA& atau
di5ergen
untuk g(-) yg lain
-6tan"*(*A-)
Dek kon5ergensi, ternyata dx
xdg )(
B* maka diamin kon5ergen.
+i coba subtitusi -'6 GAF6',3& atau &&,4 deraat sebagai nilai tebakan
a0al.
Maka menghasilkan table iterasi
> g(-)
'.3& *.*3433
*.*3433 '.3*4
F
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
9/29
'.3*4 '.3&3
'.3&3 '.F'*
'.F'* '.F3F
'.F3F '.F*4
'.F*4 '.F**
'.F** '.F4*&
'.F4*& '.F3'&
'.F3'& '.F4F&F
'.F4F&F '.F*4**
'.F*4** '.F434
'.F434 '.F'&&
'.F'&& '.F'**
'.F'** '.F'&
'.F'& '.F'&
'.F'& '.F'
'.F' '.F''3
'.F''3 '.F'F
'.F'F '.F'&
2.3 Met&*e Ne+t&n
Metode ini adalah salah satu metoda penyelesaian sistem persamaan
nonlinier, metoda ini terdiri dari beberapa langkah yaitu penurunan secara
parsial, penyusunan, menghitung nilaid1 dan
d2 , dan proses pengulangan.
Metode ini mempunyai beberapa kekurangan diantaranya, sulitnya menentukan
turunan parsial untuk fungsi tertentu, langkah dan pengeraan yang panang.
Misalkan ada & persamaan non linier dengan & 5ariabel, misalkan fungsi
u(-,y) dan 5(-,y), maka, rumus iterasinya
xr−1= xr−
ur∂ vr
∂ y+vr
∂ur
∂ y
∂ ur∂ x
∂ vr∂ y
−∂ ur∂ y
∂ vr∂ x
dan
3
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
10/29
yr−1= yr−
ur∂ vr
∂ x−vr
∂ ur
∂ x
∂ur
∂ x
∂ vr
∂ y−
∂ ur
∂ y
∂ vr
∂ x
Pembuktian rumus
Perhatikan gradien kemiringan suatu kur5a
(am)ar 2.! ;radien suatu kur5a
+ari gambar diatas, kemiringan kur5a dapat didekati dengan
gradien (m )=f ' ( xr )=f ( xr )−f ( xr+1)
xr− xr+1
!tau dalam bentuk lain ditulis
f ( xr+1 )=f ( xr )−f ' ( xr)( xr− xr+1)
atau
f ( xr+1 )=f ( xr )+f ' ( xr)( xr+1− xr)
Maka untuk & persamaan non linier dengan & 5ariabel misal u(-,y) dan
5(-,y), maka analog seperti diatas
ur+1=ur+ ( xr+1− xr )∂ur
∂ x
+( yr+1− yr ) ∂ ur
∂ y
*'
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
11/29
buat turunan parsial pertama dari fungsi yang tersedia
Susun kembali persamaan nonlinier menadi bentuk
masukkan nilai perkiraan, a0al
gunakan nilai dan untuk di subtitusikan kedalam nilai sementara
Start
=inish
+iperoleh hasil
buat turunan parsial kedua
dan
vr+1=vr+( xr+1− xr ) ∂ vr
∂ x+ ( yr+1− yr ) ∂ v
r
∂ y
Karena persoalan mencari akar, maka ur?* 6 ' dan 5r?* 6 '.
∂u r
∂ x xr+1+
∂ ur
∂ y yr+1=−ur+ xr
∂ ur
∂ x+ yr
∂ur
∂ y
∂ vr
∂ x xr+1+
∂ vr
∂ y yr+1=−vr+ xr∂ vr
∂ x + yr∂ vr
∂ y
+engan sedikit manipulasi alabar, kedua persamaan terakhir ini menadi
xr+1= xr−
ur∂ vr
∂ y+vr
∂ ur
∂ y
∂ ur
∂ x
∂ vr
∂ y−
∂ ur
∂ y
∂ vr
∂ x
+an
yr+1= y+
ur∂ vr
∂ x−vr
∂ ur
∂ x
∂ ur∂ x
∂ vr∂ y
−∂ur∂ y
∂ vr∂ x
TerbuktiH
Penyebut dari kedua persamaan tersebut disebut determinan acobi. 1rutan
penyelesaian system persamaan non"linear menggunakan metode %e0ton adalah
sebagai berikut
**
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
12/29
,&nt&h $&al -
$&al 1 -
Misalkan diketahui sistem persamaan non linier berikut
f 1 ( x )= x12+ x2
2−36=0
f 2 ( x )= x12+3 x2−16=0
Iitung nilai x1dan x2 .
Penyelesaian
a Kita buat turunan parsial dari fungsi pertama
f 1 ( x )= x12+ x2
2−36=0
Turunan parsial terhadap x
1 adalah
∂ f 1
∂ x1=2 x1
*&
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
13/29
Turunan parsial terhadap x2 adalah
∂ f 1∂ x2
=2 x2
b Kita buat turunan parsial dari fungsi kedua
f 2 ( x )= x12+3 x2−16=0
Turunan parsial terhadap x
1 adalah
∂ f 2
∂ x1=2 x1
Turunan parsial terhadap x2 adalah
∂ f 2
∂ x2=−3
c . Kita susun persamaan nonlinier kembali menadi,
∂ f 1
∂ x1d1+
∂ f 1
∂ x2d2=−f 1 ( x )
∂ f 2
∂ x1 d1+
∂ f 2
∂ x2 d2=−f 2 ( x )
Kita subsitusikan turunan parsial diatas, menadi
(2 x1 ) d1+(2 x2 ) d2=−( x12+ x2
2−36)
(2 x1 )d1+(−3 )d2=−( x12+3 x2−16)
*
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
14/29
a. Kita masukkan nilai perkiraan, a0al misal x
1=1danx
2=1
, maka di dapat
nilaid1 dan
d2 , yaitu
d1=13,8
d2=3,2
b. Kemudian kita gunakan nilaid1 dan
d2 untuk di subtitusikan kedalam
nilaie1dane2 sementara, dan nilai
e1dane2 kita masukkan nilai
perkiraaan. Setelah itu kita masukkane1dane2 sementara ke persamaan
d1 dan
d2 , begitu seterusnya
e1sementara=e1+d1
e2sementara=e2+d2
c. Setelah melakukan proses pegulangan diatas, didapat nilaie1dane2 , yaitu
e1=5,06
e2=3,21
$&al 2 -
Suatu kondisi reaksi menggambarkan reaksi kompleks untuk fase liJuid
seperti reaksi berikut
*
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
15/29
+imana
r * 6 k * D! (gmolAliter sekon)
r2=k 2C A3/2
r3=k 3C C 2
r4=k 4C B2
k 1=1,0 sec−1
k 2=0,2liter1/2/gmol1 /2 sec
k 3=0,05liter / gmolsec
k 4=0,4 liter /gmol sec
+imana
ri=gmol /liter sec
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
16/29
(Komponen !) D!L 6 D!oL ?
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
17/29
Sedangkan urutan penyelesaian system persamaan non"linear
menggunakan metode +eterminan /acobi adalah sebagai berikut
*
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
18/29
Dari nilai u dan 5 pada titik"titik tebakan a0al
Nakukan iterasi untuk menemukan persamaan ne0ton utk sistem persamaan non linier
Iitung nilai determinan acobi pada titik tebakan a0al
Nanutkan iterasi hingga diperoleh nilai - dan y
Start
=inish
+iperoleh hasil
+iferensiasi parsialkan semua persamaan untuk setiap 5ariabel
,&nt&h $&al -
Darilah akar dari sistem persamaan berikut
f 1 ( x . y )=u= x2+ xy−10=0
f 2 ( x # y )=v= y+3 xy2−57=0
+engan tebakan a0al -' 6 *,4 dan y' 6 ,4
Penyelesaian
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
19/29
xr+1= xr−
ur∂ vr
∂ y+vr
∂ ur
∂ y
∂ ur
∂ x
∂ vr
∂ y−
∂ ur
∂ y
∂ vr
∂ x
(3.14)
+an
yr+1= yr+
ur∂ vr
∂ x−vr
∂ ur
∂ x
∂ur
∂ x
∂ vr
∂ y−
∂ ur
∂ y
∂ vr
∂ x
(3.15)
Nan gkah *.
Dari nilai u dan 5 pada titik"titik tebakan a0al
u0=(1,5)2+1,5 (3,5)−10=−2,5
v0=(3,5)+3 (1,5 )(3,5)2
−57=1,625
Nangkah &.
+iferensiasi parsialkan semua persamaan untuk setiap 5ariabel.
Nalu cari nilai dari semua komponen determinan acobi"nya pada titik tebakan
a0al.
∂u0∂ x =2 x+ y=2 (1,5 )+3,5=6,5
∂u0
∂ y= x=1,5
∂ v0
∂ x=3 y2=3(3,5)2=36,75
*3
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
20/29
∂ v0
∂ y=1+6 xy=1+6(1,5)=32,5
Nangkah .
Iitung nilai determinan acobi pada titik tebakan a0al
et . !aco"i=∂ ur
∂ x
∂ vr
∂ y−
∂ ur
∂ y
∂ vr
∂ x(3.16)
+et. /acobi 6 (.4)(&.4) " (*.4)(.4)
6 *4.*&4
Nangkah .
Nakukan iterasi untuk menemukan persamaan ne0ton utk sistem persamaan non
linier
xr+1= xr−ur
∂ vr∂ y +v
r
∂ ur∂ y
∂ ur∂ x
∂ vr∂ y
−∂ ur∂ y
∂ vr∂ x
(3.14)
+an
yr+1= yr+
ur∂ vr
∂ x−vr
∂ ur
∂ x
∂ur
∂ x
∂ vr
∂ y−
∂ ur
∂ y
∂ vr
∂ x
(3.15)
&'
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
21/29
+engan cara yang sama iterasi dilanutkan,
Doba teruskanH
diperoleh -6.... dan y6....
2./ Met&*e $eant
Masalah potensial dalam implementasi metode %e0ton adalah e5aluasi
pada turunan. Metode Secant diperoleh dari metode %e0ton dengan cara
menggantikan turunan fO(-) dengan beda hingga terbagi. $ila turunan fungsi f’(x)
sulit ditemukan, metode ne0ton tidak dapat dipakai. Solusinya, bah0a sebetulnya
f’ (x) pada hakekatnya merupakan suatu slope atau gradien.
/ika diambil persamaan backward untuk disubstitusikan pada persamaan
forward iteratifnya menadi
!tau bisa dituliskan dalam bentuk
Secara geometri, dalam metode %e0ton -i?* merupakan perpotongan
sumbu - dengan garis singgung di -i, sedangkan dalam metode Secant -i?*
adalah perpotongan sumbu - dengan talibusur kur5a f(-) yang berpadanan
&*
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
22/29
terhadap -n?* dan -n. Metode Secant memerlukan dua tebakan a0al, -i* dan -i,
tetapi tanpa perhitungan turunan.
+apat diperlihatkan metode Secant lebih lambat dibandingkan metode
%e0ton
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
23/29
Sebuah peluru bermassa & gram ditembakkan 5ertikal ke udara dan
bergerak turun setelah mencapai batas kecepatan. $atas kecepatan ditentukan oleh
mg=tarik , dimana m6massa dan g 6 percepatan gra5itas i. Persamaan lengkap
adalah sebagai berikut
dimana 5 adalah kecepatan batas, mAdet. Suku pertama pada ruas kanan
menyatakangesekan tarik ( friction drag ), dan suku kedua menyatakan tekanan
tarik ( !ressure drag ). Tentukan batas kecepatan dengan metode secant. %ilai coba
a0al 5 R ' mAdet
Solusi
Kasus ini didefinisikan sebagai pencarian akar dari
diset 5o6' dan 5*6',* didasarkan pada nilai coba a0al, dimana y' dan y*
dihitung dengan persamaan (&.*&). 2terasi penyelesaian dengan persamaan (&. **)
sebagai berikut
/adi batas kecepatannya adalah 56, mAdet
&
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
24/29
2.0 Regula als
Sesi metode numerik ini membahas salah satu metode penyelesaian sistem
persamaan non linier, yaitu dengan metode pencarian akar persamaan dengan
memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. +ua titik a
dan b pada fungsi f(-) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi
linier, dikenal dengan metode =alse Position atau metode regula falsi.
(am)ar 2./ ;rafik metode
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
25/29
!lgoritma Metode
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
26/29
Tetapi -& 6
%
2 tidak dapat digunakan karena nilainya tak terhingga. /adi kita
harus menggunakan nilai yang lebih kecil dari ( % A&), yaitu '.( % A&),
sehingga
f (0.7 % 2 )=1.158
Iasil aplikasi dari metode
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
27/29
*.*'' '.F'* *.*4F-6.383 x
10-4
'.F'-2.196 x
10-4
*.*'' '.F' *.*4F-2.196 x
10-4
'.F'-7.492 x
10-5
*.*'' .03 *.*4F-7.492 x
10-5
.03-2.556 x
10-5
&
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
28/29
BAB III
PENUTUP
3.1 %esm4ulan
*. Metode %umerik adalah teknik yang digunakan untuk
memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan
dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa
&. Metode non linear terbagi menadi beberapa bahasan yaitu metode
successive substitution, metode secant, metode 0e0ton, dan metoderegula falsi
&F
8/19/2019 sistem persamaan non linier.docx
29/29
DATAR PU$TA%A
!lifis. &''F. bab"ii"solusi" persamaan"non"linear #!df# +iakses * Maret &'*
!nonim. &'*'. $%en&elesaian %ersamaan 'on"inear# httpAA000. Pustaka
skripsi.comApenyelesaian"persamaan"non"linear"metode"biseksi"dan
metode"regula"falsi"menggunakan"cara"komputasi"skripsi".html.
+iakses *' Maret &'*
Dhapra, S.D., and Danale,