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Sistemas de Numeración
I semestre 2011
Sistema Decimal
• 7392
– 7 ∗ 103 + 3 ∗ 102 + 9 ∗ 101 + 2 ∗ 100
• 10 símbolos: 0 – 9 • Un número decimal puede ser expresado por una serie
de coeficientes: – 𝑎3 𝑎2 𝑎1 𝑎0 , 𝑎−1 𝑎−2 donde el subíndice
representa el exponente de 10
• Se dice que el sistema de números decimales tiene la base o raíz I0 debido a que que los coeficientes son multiplicados por potencias de 10
Sistema Binario
• Los coeficientes del sistema binario son 0 o 1.
• Cada coeficiente 𝑎𝑗 se multiplica por 2𝑗.
• Ejemplo:
– 1101,1 corresponde a
– 1 ∗ 23 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 21 + 1 ∗ 20 + 1 ∗ 2−1 = 13,5
• Ejercicios
– 111,01
– 10000,11
Sistema en Base r
• Tiene coeficientes multiplicados por potencias de base r.
• Los coeficientes están entre 0 y r-1
• Para distinguir que la cantidad está expresada en base r se utiliza la notación: (𝑥)𝑟
Sistemas en Base r
• Para bases r <= 10 se utilizan como coeficientes los dígitos 0 a r-1.
• Para bases r > 10 se utilizan los dígitos de 0 a 9 y las primeras letras del alfabeto.
• Por ejemplo el sistema hexadecimal utiliza:
– 0 - 9, A, B, C, D, E, F
• (1FA)16= 1 ∗ 162 + 15 ∗ 161 + 10 ∗ 160 = 256 + 240 + 10 = 506
Equivalencia bases 10, 2, 8 y 16
15
Suma – Ejemplo base 8
0
1
2
3
4
5
6
7
7 + 1 = 0 y se genera un acarreo de 1
Conversiones entre bases diferentes
• Un número binario puede ser convertido a base 10 sumando las potencias de base 2 de los coeficientes iguales a 1.
– (11001)2= 24 + 23 + 20 = 25
• Un número en base r puede ser convertido a base 10 sumando los productos de cada coeficiente por su respectiva potencia de r.
– (210)3= 2 ∗ 32 + 1 ∗ 31 = 21
Conversión base 10 a base 2
• 41 % 2 == 1 41 // 2 == 20
• 20 % 2 == 0 20 // 2 == 10
• 10 % 2 == 0 10 // 2 == 5
• 5 % 2 == 1 5 // 2 == 2
• 2 % 2 == 0 2 // 2 == 1
• 1 % 2 == 1 1 // 2 == 0
(41)10= (101001)2
41 20 1 10 0 5 0 2 1 1 0 0 1
Conversión base 10 a base r
(153)10= (231)8
153 19 1 2 3 0 2
r = 8
Conversión de fracciones base 10 a base 2
entero fracción coeficiente
• 0.6875 x 2 1 0.3750 𝑎−1 = 1
• 0.3750 x 2 0 0.7500 𝑎−2 = 0
• 0.7500 x 2 1 0.5000 𝑎−3 = 1
• 0.5000 x 2 1 0.0000 𝑎−4 = 1
(0.6875)10= (0.1011)2
La fracción se multiplica por 2, el entero será el coeficiente y se repite el proceso hasta que la fracción sea 0 o se tenga la suficiente precisión.
Conversión de fracciones base 10 a base r
entero fracción coeficiente
• 0.6875 x 4 2 0.7500 𝑎−1 = 2
• 0.7500 x 4 3 0.0000 𝑎−2 = 3
(0.6875)10= (0.23)4
La fracción se multiplica por r, el entero será el coeficiente (de 0..r-1) y se repite el proceso hasta que la fracción sea 0 o se tenga la suficiente precisión.
r = 4
Conversiones base 2, 8, 16
• 23 = 8 24 = 16
•1
1
101
5 000
0
011
3
110
6
•1
1
1010
A 0001
1
1110
E
(1 101 000 011 110)2
(15036)8
(1 1010 0001 1110)2
(1A1E)16
Grupos de 3
Grupos de 4
Por qué usar octal o hexadecimal
• Considere
– 111111111111
• Es más sencillo para un humano visualizarlo como 7777 o FFF en base 8 o base 16 respectivamente.
Complementos
• Los complementos simplifican las restas y las operaciones lógicas.
• Hay dos clases de complementos para cada sistema de base r:
– El complemento de r o complemento a la base
– El complemento de (r-1) o complemento a la base disminuida
El complemento de r
• Dado un número positivo N en base r con parte entera de n dígitos, se define el complemento de r de N o complemento a la base como:
• rn – N para N≠0 y
• 0 para N=0.
Ejemplos
• Suponga base 10, entonces el complemento de 10 de (7892)10 = (2108)10
104 – 7892 =
Observe que el complemento a la base de un número corresponde a la cantidad necesaria para llegar a la siguiente potencia de 10.
0 9 9 9
10000 - 7892 2108
1
Ejemplos
• Suponga base 2, entonces el complemento de 2 de (10010)2 = (01110)2
25 – 10010 =
0 1 1 1 1
100000 - 10010
01110
1
El complemento de r-1
• Dado un número positivo N en base r con parte entera de n dígitos y una parte fraccionaria de m dígitos, se define el complemento de (r-1) de N como:
𝑟𝑛 − 𝑟−𝑚 − 𝑁
• Por lo tanto el complemento de r es igual al complemento de r-1 + 𝑟−𝑚
Ejemplos
• Suponga base 10, entonces el complemento de 9 de (824)10 es (175)10
103 – 100 - 824 = 999 – 824 = 175
• El complemento de 9 de (85.49)10 es (14.50)10
999 - 824 175
Resta en base r utilizando complemento de r
• Calcular M – N • M = Minuendo • N = Sustraendo
• Se suma al Minuendo el complemento de r del sustraendo N. Sea S el resultado y A el acarreo final.
• Si A es 1: El resultado es S.
Si A es 0: El resultado es el complemento de r de S negativo.
Resta en base r utilizando complemento de r - 1
• Calcular M – N • M = Minuendo
• N = Sustraendo
• Se suma al Minuendo el complemento de r - 1 del sustraendo N. Sea S el resultado y A el acarreo final.
• Si A es 1: Se suma el acarreo al dígito menos significativo de S.
Si A es 0: El resultado es el complemento de r-1 de S con signo
negativo.
Representación de números negativos en binario (base 2)
• Signo más magnitud
• Complemento a la base – 1
• Complemento a la base
Signo más magnitud (n bits)
• El bit más significativo se utiliza para codificar el signo: 0 – positivo 1 – negativo
• Los n-1 bits representan el significado que es la magnitud del número (su valor absoluto)
• Desventajas – No permite operar aritméticamente
– Posee doble representación para el 0
• Ventajas: rango simétrico (ej. para 8 bits el rango es de -127 a +127)
Complemento a la base – 1 (n bits)
• El bit más significativo se utiliza para codificar el signo: 0 – positivo 1 – negativo
• Los n-1 bits representan El valor absoluto del número para positivos El complemento a 1 del valor absoluto para números
negativos
• Desventajas – Posee doble representación para 0
• Ventajas Rango simétrico (ej. para 8 bits el rango es de -127 a +127) Permite operar aritméticamente: el último acarreo se
suma al resultado
Complemento a la base (n bits)
• El bit más significativo se utiliza para codificar el signo: 0 – positivo 1 – negativo
• Los n-1 bits representan El valor absoluto del número para positivos El complemento a 2 del valor absoluto para números
negativos 100..00 (con n bits) representa –2**(n-1)
• Desventajas – Rango asimétrico (ejemplo para 8 bits: 127 a -128)
• Ventajas No posee doble representación para 0 Permite operar aritméticamente
Resumen
Quiz
1. Convierta a. (1101)2 => ( )8
b. (1111 0001) 2 => ( )16
2. Escriba los primeros 10 números en base 4 a partir de 0.
3. Reste en base 5: 20043 – 344.
4. Si un computador utiliza 12 bits para representar sus direcciones de memoria, cuál es su espacio de direcciones (dirección inicial a dirección final)?