Sólido de Poinsot

Mecánica IITema 10

Manuel Ruiz Delgado

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Aeronauticos

Universidad Politecnica de Madrid

Solido de Poinsot– p. 1/15

Sólido de Poinsot

Planteamiento e integrales primeras

Análisis cualitativo mediante las integrales primeras

Interpretación cinemática de Poinsot

Caso simétrico: integración completa

Caso general: integración mediante funciones elípticasDeterminación de la velocidad angularDeterminación de los ángulos

Caso general: condiciones iniciales particularesCasoD = A

CasoD = C

CasoD = B

Estabilidad de los ejes principales

Efecto de la disipación sobre la estabilidad

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Planteamiento e integrales primeras

Sólido con punto fijo ymomento exterior nulo

MEO = 0 =

d

dtHO ⇒ HO = IIIO · ω =

−−→Cte.= (Hx, Hy, Hz)1

Momento cinético constanteen ejes fijos: EjeOz1

HO =

0

0

H

1

=

H sin θ sinϕ

H sin θ cosϕ

H cos θ

0

=

Ap

Bq

Cr

0

=

=

A(

θ cosϕ+ ψ sin θ sinϕ)

B(

−θ sinϕ+ ψ sin θ cosϕ)

C(

ϕ+ ψ cos θ)

0

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Planteamiento e integrales primeras

Despejando las derivadas de los ángulos de Euler, se obtienentres integrales primeras:

θ =

(

1

A− 1

B

)

H sin θ cosϕ sinϕ

ψ =

(

1

Asin2 ϕ+

1

Bcos2 ϕ

)

H

ϕ =

(

1

C− 1

Asin2 ϕ− 1

Bcos2 ϕ

)

H cos θ

Paraθ = 0 hay una singularidad: sólo está definida la sumaψ + ϕ, no cada una por separado.Se escogen los ejes sólido de modo queA > B > C

En el estudio teórico es más útil usar combinaciones lineales deestas integrales primeras.

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Planteamiento e integrales primeras

Módulo del vector momento cinético:

HO · HO = H2 = A2p2 + B2q2 + C2r2 = D2µ2

Energía:

HO · ω = 2T = Ap2 +Bq2 + Cr2 = Dµ2

ConstantesD = H2

2Ty µ = 2T

H, con dimensiones deIx y ω

Para la reducción a cuadraturas, también se usa una de las deEuler:

Ap+ (C − B) qr = 0

Bq + (A− C) pr = 0

Cr + (B − A) pq = 0

Solido de Poinsot– p. 5/15

Planteamiento e integrales primeras

El sólido de Poinsot es uno de losproblemas solublesde laMecánica, que se puede integrar en los siguientes casos:

Simetría de revolución,A = B 6= C o A 6= B = C : seintegra completamente mediantefunciones elementales.

Caso general,A 6= B 6= C ,Condiciones iniciales arbitrarias:

Se puede reducir acuadraturasSe puede integrar casi completamente mediantefunciones elípticas, quedando sólo un ángulo reducido acuadraturas.

Condiciones iniciales especiales: se integra completamentemediantefunciones elementales:

D = A D = C D = B

Admite un análisis cualitativo por varios métodos.Solido de Poinsot– p. 6/15

Análisis cualitativo por integrales primeras

Las integrales primeras|H|2 y 2T son elipsoides enω:

A2p2 +B2q2 + C2r2 = D2µ2

Ap2 +Bq2 + Cr2 = Dµ2 ↔ Ax2 + By2 + Cz2 = 1

El vectorω(p, q, r) en ejes sólido se mueve por la intersección delos dos elipsoides

Energía Momento cinético

(p/µ)2

D/A+

(q/µ)2

D/B+

(r/µ)2

D/C= 1

(p/µ)2

(D/A)2+

(q/µ)2

(D/B)2+

(r/µ)2

(D/C)2= 1

La forma de la curva depende de la constanteD

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Análisis cualitativo por integrales primeras

Energía Momento cinético

(p/µ)2

D/A=

+(q/µ)2

D/B<

+(r/µ)2

D/C<

= 1(p/µ)2

(D/A)2

=

+(q/µ)2

(D/B)2

>

+(r/µ)2

(D/C)2

>

= 1

CasoD = A : → ENx = MCx

ENy <MCy : A/B < (A/B)2

ENz <MCz : A/C < (A/C)2

El elipsoide del MC recubre completa-mente al de la EN, y sólo son tangentesen el vérticex.La intersección esq = 0, r = 0, y el únicomovimiento posible es un giro alrededordel ejex fijo.

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Análisis cualitativo por integrales primeras

Energía Momento cinético

(p/µ)2

D/A>

+(q/µ)2

D/B>

+(r/µ)2

D/C=

= 1(p/µ)2

(D/A)2

<

+(q/µ)2

(D/B)2

<

+(r/µ)2

(D/C)2

=

= 1

CasoD = C : → ENz = MCz

ENy >MCy : C/B > (C/B)2

ENx >MCx : C/A > (C/A)2

El elipsoide MC está completamente con-tenido en el de EN, siendo tangentes porel vérticez.La velocidad angular tiene que cumplirp = 0, q = 0, y el único movimiento posi-ble es un giro alrededor del ejez fijo.

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Análisis cualitativo por integrales primeras

Energía Momento cinético

(p/µ)2

D/A>

+(q/µ)2

D/B=

+(r/µ)2

D/C<

= 1(p/µ)2

(D/A)2

<

+(q/µ)2

(D/B)2

=

+(r/µ)2

(D/C)2

>

= 1

CasoD = B : → ENy = MCy

ENx >MCx : B/A > (B/A)2

ENx <MCx : B/C < (B/C)2

El de la EN sobresale en la direcciónx,mientras que el del MC sobresale en la di-recciónz.Intersección: curvas planas que dividen acada elipsoide en cuatro regiones.

A(A−B)p2+C(C−B)r2 = 0 → p = ±√

C(B−C)A(A−B) r

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Análisis cualitativo por integrales primeras

Energía Momento cinético

(p/µ)2

D/A>

+(q/µ)2

D/B<

+(r/µ)2

D/C<

= 1(p/µ)2

(D/A)2

<

+(q/µ)2

(D/B)2

>

+(r/µ)2

(D/C)2

>

= 1

CasoA > D > B :ENx >MCx, puesD/A > (D/A)2

ENy <MCy, puesD/B < (D/B)2

ENz <MCz , puesD/C < (D/C)2

El elipsoide EN sobresale segúnxEl del MC sobresale segúnz ey.La ω recorre una curva que rodea al ejex

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Análisis cualitativo por integrales primeras

Energía Momento cinético

(p/µ)2

D/A>

+(q/µ)2

D/B>

+(r/µ)2

D/C<

= 1(p/µ)2

(D/A)2

<

+(q/µ)2

(D/B)2

<

+(r/µ)2

(D/C)2

>

= 1

CasoB > D > C :ENx >MCx, puesD/A > (D/A)2

ENy >MCy, puesD/B > (D/B)2

ENz <MCz , puesD/C < (D/C)2

El elipsoide EN sobresale segúnx eyEl del MC sobresale segúnz.La ω recorre una curva que rodea al ejez

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Análisis cualitativo por integrales primeras

polodias: traza del vector velocidad sobre elelipsoide de inercia/EN/MC.

D = A y D = C: centros, estables ; girosalrededor de los ejes principales; estánrodeados por las curvas de los casosintermediosA > D > B y B > D > C

D = B es una curva separatriz entre dosregiones, que contiene como caso particularel giro alrededor del ejeOy:punto de silla, inestable

Sentido de las polodias:Bq+(A−C)pr = 0.

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Interpretación cinemática de Poinsot

El movimiento del sólido de Poinsot se desarrolla como si el elipsoidede inercia del sólido rodara y pivotara sin deslizar sobre unplano fijoen el espacio, de dirección normal a la del vector momento cinético.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

M

O

π′

E.I.R.

M ′

ω

π

HO

Demostración:M ∈ EIR, vM = 0

Plano tangente enM ⊥ HO

Distancia al plano constante

Elipsoide de inerciaAx2 +By2 + Cz2 = 1 = r · IIIO · r.

Polodia: Trayectoria deM sobre el elipsoide

Herpolodia: Trayectoria deM sobre el plano fijo

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Interpretación cinemática de Poinsot

M

O

x

y

z

ω

HO

n

E.I.R.

d

π

• Polos:puntos de corte del EIR con el elip-soide,M y M ′:

M ∈ EIR → vM = v

MD = vO = 0

• Plano tangente enOM = λω = r ‖ HO:De la ecuación del elipsoide,

λ2ω · IIIO · ω = λ2 2T = 1 → r =

ω√2T

.

La normal al elipsoide enM es:

∇f = 2 [Ax,By,Cz] = 2IIIO · r =

= 2IIIO · ω√2T

= 2HO√2T

• El plano tangente al elipsoide enM está a una distancia fija deO:

d = r · HO

|HO|=

ω√2T

· IIIO · ω|HO|

=2T

|HO|√

2T=

√2T

|HO|= Cte.

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