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Prueba 1 MAT 236
Problema 1. Determine si la funcin f definida para todo (x, y) 2 por
f(x, y) =
2 2
2 2
2( , ) (0,0)
( )
1 ( , ) (0,0)
x xysi x y
x y
si x y
es continua en (0, 0).
Problema 2. Calcule (x, )f
yx
para todo (x, y) 2 si
f(x, y) =
5
4 2( , ) (0,0)
0 ( ,y) (0,0)
xsi x y
x y
si x
.
Problema 3. Encuentre la direccin para la cual f(x, y, z) = x2 + yez crece con mayor
rapidez en el punto (1, 1, 0) y determine su razn mxima de crecimiento.
Problema 4. Sean f : 2 3 y g : 3 2 definidas por f(x, y) = (x2 + y2, xy, 2x + y)
y g(x, y, z) = (x2y2z2, sen(xz)), respectivamente. Calcule (g f)(0, 1).
Fecha : 8 de abril de 2015
Tiempo: 90 minutos
Puntaje: 15 puntos cada problema
Instituto de Matemtica
Solucin Prueba 1
Problema 1.
Se tiene que 2 2
2 20 0 0 0
2lim lim ( , ) lim lim 1
( )x y x yx xy
f x yx y
y (4 puntos)
2 2
2 20 0 0 0
2lim lim ( , ) lim lim 0
( )y x y xx xy
f x yx y
. (4 puntos)
Por lo tanto, ( , ) (0,0)lim ( , )
x yf x y
no existe. (3 puntos)
En consecuencia, f no es continua en (0, 0). (4 puntos)
Problema 2.
Si (x, y) (0, 0) entonces (x, )f
yx
=
4 4 2 3 5
4 2 2
5 ( ) 4
( )
x x y x x
x y
. (7 puntos)
Si (x, y) = (0, 0) entonces 0 0
( ,0) (0,0)(0, 0) lim lim 1
h h
f f h f h
x h h
. (8 puntos)
Problema 3.
Se tiene que ( , , ) (2 , , )z zf x y z x e ye , de donde (1,1,0) (2,1,1)f .(5 puntos)
Por lo tanto, la direccin para la cual f(x, y, z) = x2 + yez crece con mayor rapidez en
el punto (1, 1, 0) es (2, 1, 1). (5 puntos)
La razn mxima de crecimiento de f en el punto (1, 1, 0) es (1,1,0) 6f .
(5 puntos)
Problema 4.
En primer lugar, notemos que
(g f)(0, 1) = g(f(0, 1)) f (0, 1) = g(1, 0, 1) f (0, 1). (3 puntos)
Pero,
f (x, y) =
2 2
2 1
x y
y x
implica que f (0, 1) =
0 2
1 0
2 1
y (4 puntos)
g (x, y, z) = 2 2 2 2 2 22 2 2
cos( ) 0 cos( )
xy z x yz x y z
z xz x xz
implica que
g (1, 0, 1) = 0 0 0
cos(1) 0 cos(1)
. (4 puntos)
Se sigue que (g f)(0, 1) = 0 0 0
cos(1) 0 cos(1)
0 2
1 0
2 1
= 0 0
.2cos(1) 3cos(1)
(4 puntos)