INS LA LLAUNA Badalona

Matemàtiques 2n. ESO

TEMES 7,8,9: GEOMETRIA 2

d) Exercicis: (Els exercicis s’han de desenvolupar en els fulls o llibreta, formen part del 0dossier dels temes).

D4) Completa la graella següent amb el nombre de cares, vèrtexs i arestes que té cada prisma.

Prisma Cares Vèrtexs ArestesTriangular 5 6 9Pentagonal 7 10 15Octogonal 10 16 24Hexagonal 8 12 18d5) Un ort0edre és un prisma regular? Raona la teva resposta.No ho és en general perquè la base pot ser un rectangle i, per tant, ja no seria regular.

3.- RESUM ÀREES I VOLUMS DE COSSOS GEOMÈTRICS.

COSGEOMÈTRIC

ÀREESA. Lateral ( LA ) A. Total ( TA )

VOLUMS (V)

Prisma hPAL •= BT AhPA •+•= 2 =•= hAV B

Piràmide

2p

L

aPA

•= B

pT A

aPA +

•=

2== •

3hABV

Cilindre hr2AL ••π= ( )rhrA T +••π= 2 hrV ••π= 2

Con grA L ••π= ( )rgrA T +••π=

3

2 hrV

••π=

Esfera 24 rA π= 3

3

4rV π=

Observacions: P (perímetre de la base). AB (àrea de la base). ap= apotema . g= generatriu H (altura). r= radi

Pàgina 1

INS LA LLAUNA Badalona

4.- RECULL D’ACTIVITATS. (Les activitats s’han de desenvolupar en els fulls o llibreta, formen part del dossier dels temes).A1) En un triangle rectangle, la hipotenusa fa 26 cm i un dels catets mesura 10 cm. Calcula la mida de l’altre catet.

aa2 = b = b2 + c + c2 2622 = 1022 + c22 676 = 100676 = 100 + c22 576 = 576 = c22

C=24 cmC=24 cm

A2) Els catets d’un triangle rectangle mesuren 15 mm i 21,4 mm. Calcula la longitud de la hipotenusa. Dibuixa-ho.aa2 = b = b2 + c + c2 a22 = 1522 +21,421,42 a22 = 225 + +457,96 =67677,96

aa=2626,13 13 mm

A3) La superfície d’un rectangle fa 15 cm2 . Sabent que un costat mesura 2,5 cm, calcula la longitud de les seves diagonals.

Costats =b , c Diagonal=a.Sabem que l’àrea A=b∙c és a dir, 15= b∙2,5 Llavors b=15/2,5=6Ara fem aa2 = b = b2 + c + c2 a22 = 2,522 +662= 42,45= 42,45 a= 6,5 cm a= 6,5 cm

A4) Calcula el radi de la circumferència circumscrita a un quadrat de 5 cm de costat. Fes el dibuix pertinent.En aquest dibuix, l= costat i r=radi Veiem que formen un triangle rectangle isòsceles i apliquem el teorema de Pitàgores.ll2 = = r22 + rr2 522 =22 rr2 25 = =2 r22 25/225/2 =12,5=12,5= rr2

3,53cm=3,53cm= rr

A5) Comprova, aplicant tres vegades el Teorema de Pitàgores, si el triangle ABC és rectangle.Fem que b sigui el segment AB i c=AC

Trobem b: bb2 = = 822 + 15152==289 b = =17 cmTrobem c: bb2 = = 3622 + 15152==1521 c = =39 cmAra comprovem que ABC és rectangle amb pitàgores 44442 =? 1722 + 39392 1936 =? 1810 Veiem que NO.

A6) Troba l’apotema d’un hexàgon regular de 10 m de costat.

L’hexàgon el podem dividir en 6 triangles equilàters (és l’únic polígon que forma equilàters, la resta formen triangles isòscel.les). L’apotema és l’altura de cada triangle equilàter i, per tant, un catet del triangle rectangle que hem dibuixat. Fem Pitàgores: aa2 = b = b2 + c + c2 1022 = 522 + c22 100 = 25100 = 25 + c22

75 = 75 = c22 C=C=8,66mm

A7) Quin és l’origen etimològic de la paraula esfera?Esfera proviene del término griego σφα ρα,ῖ sphaîra, que significa pelota (para jugar).A8) El diàmetre de la base d’un con és de 1,2 dm. Calcula la longitud de la generatriu si se sap que l’altura mesura 8m. Identifica el triangle rectangle que determinen un radi, l’altura i una generatriu.

La generatriu (a), l’altura (h) i el radi de la base (r) formen un triangle rectangle, per tant podem aplicar Pitagores: Passem totes les mesures a les mateixes unitats: h=8m r=0,6dm=0,06maa2 = h = h2 + + r22 aa2 = 8 = 82 + + 0,0622 aa2 = 64,0036 = 64,0036 a=8,0002ma=8,0002m

Pàgina 2

INS LA LLAUNA Badalona

A9) Escriu el nom de cinc objectes que tinguin forma cònica.

o, , ,

A10) Un con recte és equilàter si quan es talla per un pla perpendicular a la base que passi pel vèrtex, s’obté un triangle equilàter.

a) Dibuixa un con equilàter.

b) Quina relació hi ha entre el radi i la generatriu d’un con equilàter?.Com és equilater, el diàmetre del cercle i la generatriu són iguals. Com el radi és la meitat del diàmetre, llavors el radi és la meitat de la generatriu

A11) Calcula en m3 el volum d’un cub d’aresta 0,8 dm. També calcula, en m2, l’AT.a=0,8 dm=0,08 mV=a3 = 0,083 =0,000512 m3

AT=6a2 =6∙ 0,082 =0,0384 m2

A12) El diàmetre de la base d’un con fa 16cm i la generatriu fa 17 cm. Calcula l’altura del con.La generatriu (a), l’altura (h) i el radi de la base (r) formen un triangle rectangle, per tant podem aplicar Pitagores: a=17cm r=16/2=8 cm17172 = h = h2 + + 822 hh2 = 17 = 172 - 822 hh2 = 225 = 225 h=15 cmh=15 cm

A13) L’aresta bàsica d’un prisma hexagonal regular mesura 8 cm i l’altura,10cm. Calcula’n l’àrea total.

BT AhPA •+•= 2P = Perímetre de l’hexàgon AB=Àrea de l’hexàgon

L’hexàgon el podem dividir en 6 triangles equilàters (és l’únic polígon que forma equilàters, la resta formen triangles isòscel.les). L’apotema és l’altura de cada triangle equilàter i, per tant, un catet del triangle rectangle que hem dibuixat. Fem Pitàgores: aa2 = b = b2 + c + c2 882 = =

442 + c + c2 64 = 16 + c64 = 16 + c2 48 = c48 = c2 C=6,93cm (apotema)AB =Àrea Hexàgon: 6∙(6,93∙8)/2=748,4 cm2 P=6∙8=48m

28,20484,784210482 cmAhPA BT =•+•=•+•=A14) Una habitació fa a=3 m per b=3,5 m i c=2,2 m d’alt. Es volen pintar les parets i el sostre amb

una pintura que costa 6,50 € el metre quadrat. Quant costa el material per pintar l’habitació?

Calculem l’àrea de l’ortoedre excepte el terra que no pintem que seran: 2 parets a∙c + 2 parets b∙c +1 sostre a∙b: A=2a∙c+2b∙c +1a∙b =2∙3∙2,2+2∙3,5∙2,2 +2∙3∙3,5=39,1 m2

Calculem el preu total= 6,5∙39,1=254,15€

A15) Observa un tetràedre. És una piràmide rectangular? Doncs No.Quin polígon té la base? Un triangle equilàter.Si la suma de la longitud de les seves arestes és 21 cm, quan mesura cadascuna?

Pàgina 3

INS LA LLAUNA Badalona

Dividim 21 cm /6 arestes= 3,5 cm

Pàgina 4

INS LA LLAUNA Badalona

A16) L’aresta bàsica d’una piràmide quadrangular regular mesura 6 cm i l’altura de la piràmide, 8 cm. Calcula la longitud de l’aresta lateral.

Formem un triangle rectangle a=l’aresta lateral b=l’altura de la piràmide i c=la meitat de la diagonal de la base quadrada.

• Hem de trobar la diagonal de la base, que serà l’hipotenusa d’un triangle rectangle on els catets són els costats del quadrat, és a dir, 6. Així doncs dd2 = = 622 + 622=72, d’on d= 8,48 cm i c=4,24cm72, d’on d= 8,48 cm i c=4,24cm

Ara ja podem trobar a= l’aresta lateralAra ja podem trobar a= l’aresta lateral aa22 = bb2 + c + c2= = 822 + 4,2422=81,981,9 a=99,0606cm

A17) Calcula LA , TA i el volum d’un prisma recte de 15 cm d’altura, que té com a base un hexàgon regular de 8 cm de costat.

hPAL •= BT AhPA •+•= 2

P = Perímetre de l’hexàgon P=6∙8=48m 27201548 mAL =•=AB=Àrea de l’hexàgon

L’hexàgon el podem dividir en 6 triangles equilàters (és l’únic polígon que forma equilàters, la resta formen triangles isòscel.les). L’apotema és l’altura de cada triangle equilàter i, per tant, un catet del triangle rectangle que hem dibuixat. Fem Pitàgores:

aa2 = b = b2 + c + c2 882 = 4 = 42 + c + c2 64 = 16 + c64 = 16 + c2 48 = c48 = c2 C=6,93cm (apotema)

AB =Àrea Hexàgon: 6∙(6,93∙8)/2=748,5 cm2222175,74827202 cmAhPA BT =•+=•+•=

35,11227155,748 cmhAV B =•=•=A18) Completa la taula següent amb el nombre de cares, vèrtexs i arestes que té cada piràmide.

Piràmide Cares Vèrtexs ArestesTriangular 4 4 6Quadrangular 5 5 8Pentagonal 6 6 10Hexagonal 7 7 12

A19) Calcula el volum d’una paperina de 8 cm de radi i 15 cm d’altura.

322

3,10053

158

3cm

hrV =••=••= ππ

A20) Les llaunes de refresc són aproximadament cilíndriques d’altura 12 cm i 6 cm de diàmetre. Troba’n el volum.

El radi és la meitat del diàmetre=6/2=3cm322 3,339123 cmhrV =••=••= ππ

A21) Volem obrir un camí de 3 m d’ample i 20 metres de llarg que permeti accedir a una casa des de la carretera. Si la casa està situada a 3,5 m per damunt del nivell de la carretera, quants metres cúbics de terra haurem d’extreure per fer el camí?

Ens demanen el volum del camí que serà la meitat del volum d’un primsa rectangular o ortoedre.V=a∙b∙c/2= 20∙3∙3,5/2=210/2=105 3m

Pàgina 5

INS LA LLAUNA Badalona

A22) Una màquina de fer xurros està formada per un cilindre i un con, que tenen el mateix diàmetre: 10 cm, units per la base. L’altura del cilindre fa 30 cm,, i l’altura total de la màquina, 36 cm.

A23) Una piscina mesura 12 m de llarg i 4,5 m d’ample i 1,40 m de profunditat. Quant tardarà a omplir-se si s’hi aboca 1 m3 d’aigua cada 15 minuts?

La piscina és un ortoedre i hem de calcular el seu volum V=a∙b∙c= 12∙4,5∙1,40=75,6 3m

S’ompla a un ritme de 4 m3 per hora, per tant calculem el temps 75,6/4=18,9 hores quasi 19 hores.

A24) Calcula el volum d’una piràmide de 12 cm d’altura, que té com a base un triangle rectangle, els dos catets del quan mesuren 9 i 12 cm.

33

122

129

3 216cmV hAB ===••

•

A25) Expressa en dm3: Cada unitat la passem a dm3 i sumem els resultatsa) 3 dam3 12 m3 105 dm3 50 cm3=3 000 000 dm3 + 12 000 dm3 + 105 dm3 +0,050 dm3=3012105,05 dm3

b) 50 hm3 250 m3=50 000 000 000 dm3 + 250 000 dm3 = 50 000 250 000 dm3

c) 0,05 dam3 0,5 m3 =50 000 dm3 + 500 dm3 =50 500 dm3

d) 0,001 m3 15 dm3 =1 dm3 + 15 dm3=16 dm3

A26) Calcula i expressa el resultat en cm3.a) 0,005 m3 + 0,2 dm3 + 1000 mm3=5 000 cm3 + 200 cm3 + 1 mm3 =5 201 m3

b) 45 dam3 0,3 m3 – 4,5 m3 25 dm3=

45000000000 cm3 +300000 cm3 – 4500000 cm3 -25000cm3= 44995775000 cm3

c) 2,5 · 106 mm3 + 0,25 · 106 cm3 =2500 cm3 + 250000 cm3= 252500 cm3

d) 0,025 m3 0,65 dm3 – 2 dm3=25000 cm3 +65000 cm3 – 2000 cm3= 88000 cm3

A27) Una piràmide quadrangular regular es troba enganxada per la base a un cub de 27 m3 de volum. Si l’altura de la piràmide és el triple de l’aresta del cub, quin és el volum de tot el cos?

El cub fa 27 m3 = a33 trobem a=3 m =costat del cubEl volúm de la piràmide on l’altura = 9 m

33

9333 27mV hA

piràmideB === •••

354mVVV cubpiràmidetotal =+=Pàgina 6

a) Quants cm3 de pasta calen per omplir la màquina?Ens demanen el volum per tant serà la suma dels volums del cilindre i del con

32

22

2 25133

65305

3

'cm

hrhrVT =••+••=••+••= ππππ

b) Si cada xurro és aproximadament un cilindre de 10 cm de llarg i 1,5 cm de diàmetre, quants xurros es poden obtenir-ne?

Calculem el volum del xurro:

322 67,171075,0 cmhrVX =••=••= ππCalculem quants xurros podem fer: 2513/17,67=142 xurrosTreiem un 5% de 142 =7 xurros. 142-7=135 xurros

INS LA LLAUNA Badalona

A 28) La base d’un cub fa 196 cm 2 . Calcula el costat i el volum del cub.La base del cub fa 196 cm2 = a22 trobem a=14cm =costat del cubEl volum del cub fa V=aa3 = 1433 =2744 cm3

A29) La base d’un bric amb capacitat per a 1 litre de llet fa 8 cm de llarg i 6,25 cm d’ample. Esbrina’n l’altura.

Ens donen el volum en litres que és equivalent a 1 dmdm3 =1000 cmcm3

V=a∙b∙c 1000= 8∙6,25∙c 1000=50c 20cm=cL’altura del bric és de 20 cm.

A30) La generatriu d’un con fa 15 cm i el diàmetre de la base, 18cm. Calcula l’altura del con.La generatriu (a=15cm), el radi de la base (r=18/2=9cm) i l’altura (h) formen un triangle rectangle.aa2 = h = h2 + + r22 15152 = h = h2 +922 225 =225 = hh2 +81 +81225-81 = 225-81 = h22 144 =144 = hh2 12cm = h

A31) Quant fan les diagonals d’un rectangle en què els costats mesuren 20 cm i 48 cm?Formen un altre triangle rectangle.

dd2 = h = h2 + + b22 dd2 = 20 = 202 +4822 dd2 = 400+48 = 400+482

dd2 = = 2704 d = 552 cm cm

A32) Esbrina l’àrea d’un quadrat en què la diagonal fa 7,07 cm. Arrodoneix el resultat.

dd2 = a = a2 + + a22 dd2 = 2a = 2a2 dd2 /2= a /2= a2 7,0722 /2= a22 50 /2= a22 25= a25= a2 5cm= a= a

A33) Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum dels cossos geomètrics següents:a) Un prisma de base quadrada de 13 m de costat i 26 m d’altura.

hPAL •= mP 52134 =•=213522652 mAL =•=

222 16913 maaaAB ===•=21690169213522 mAAA BLT =•+=•+=

32 439426169 mhahAV B =•=•=•=b) Un ortoedre les dimensions del qual són 14 cm, 16 cm i 22 cm.

hPAL •= cmP 60162142 =•+•=213202260 cmAL =•=

22241614 cmbaAB =•==•=21768224213202 cmAAA BLT =•+=•+=

3492822224 cmhbahAV B =•=••=•=c) Un cub de 0,9 dm de costat. El cub té 6 cares iguals.

222 81,09,0 dmaaaAB ===•= 286,481,066 dmAA BT =•=•=332 729,0 dmaaahAV B ==•=•=

Pàgina 7

INS LA LLAUNA Badalona

A34) ¿Quants centímetres cúbics caben en un cucurutxo ple fins a ran de la vora superior sense sobresortir-ne, si el cucurutxo fa 12 cm d’altura i la base de 5 cm de diàmetre (r=2,5)

322

54.783

125,2

3cm

hrV =••=••= ππ

A35) Un pot de maionesa té forma de cilindre de 15 cm d’altura i 7 cm de diàmetre. A l’etiqueta s’indica que el contingut del pot és de 575 mL. Calcula la capacitat del pot i digues si aquesta

informació és correcta.El radi és la meitat del diàmetre=7/2=3,5cm

322 26,577155,3 cmhrV =••=••= ππ que equivalen a 577,26 ml. Força correcta.

A36) Calcula la superfície i el volum de la Terra sabent que el radi fa 6400 km. 222 4,514718540640044 kmrA =•== ππ

31233 10098,164003

4

3

4kmrV •=•== ππ

A37) L’àrea d’una esfera és de 615,44 cm 2 . Troba el radi de l’esfera i calcula’n el volum. Quin volum tindria una esfera que tingui el doble de radi?

24 rA π= 2444,615 rπ= 2

4

44,615r=

π249 r= rcm =7

Ara, la nova esfera té el doble de radi, és a dir r=14 cm

333 04,11494143

4

3

4cmrV =•== ππ

A38) Un iglú té una forma semiesfèrica. De 3 m de diàmetre (r=1,5m). Calcula’n la superfície i el volum.

222

14,142

5,14

2

4m

rAsemiesfera =•== ππ

3

33

07,72

5,13

4

23

4

mr

Vsemiesfera =•

==ππ

A39) Indica quina serà la superfície de cuir necessària per fabricar una pilota de futbol de 70 cm de diàmetre (r=35 cm.)

222 8,153933544 cmrA =•== ππ

A40) El radi de la Lluna és de 1730 km. Calcula’n el volum i compara’l amb el volum de la Terra que has obtingut en l’activitat “A36”.

222 6,37609890173044 kmrAlluna =•== ππ

31033 10169,217303

4

3

4kmrVlluna •=•== ππ

Pàgina 8

INS LA LLAUNA Badalona

Ara compararem amb els de la Terra. vegadesr

r

lluna

terra 47,31730

6400 ≈==

vegadeskm

km

A

A

lluna

terra 147,1337609890

5147185402

2

≈== vegadeskm

km

V

V

lluna

terra 5162,5010169,2

10098,1310

312

≈=••=

Pàgina 9