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Universidad Politécnica de Chiapas. Interpolación cubica.
Procesamiento de Señales Biomédicas. Catedrático: Dr. Mayorga Álvarez P. P.
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Resumen—El procesamiento de señales biomédicas constituye un
área de investigación extensa donde diversos métodos matemáticos
son usados para adquirir dichas señales; ingenieros, colaboran para
desarrollar algoritmos adecuados a las diferentes tipos de señales y
aplicaciones, que posibiliten el establecimiento de diagnósticos más
precisos. Estos métodos matemáticos nos ayudaran a obtener
muestras eficaces, para el proceso de señales biomédicas, tal es el
caso de la interpolación cubica; la interpolación cubica sin lugar a
duda es un método de análisis de datos, el presente documento
desarrolla el método de interpolación cubica también conocido como
“Spline cúbicos naturales”, donde se reconstruyo un rostro a través
de coordenadas tomadas de una imagen y usando interpolación
cubica se graficaron las diferentes funciones.
I. INTRODUCCIÓN
En numerosos fenómenos de la naturaleza
observamos una cierta regularidad en la forma de producirse,
esto nos permite sacar conclusiones de algún fenómeno en
diversas situaciones, con solo conocer algunos datos
relevantes, este es el caso de la interpolación, la cual consiste
en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos
los valores en los extremos.
El término "spline" hace referencia a una amplia
clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que
requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas.
Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en
varias dimensiones. Existen diversos tipos de splines, aunque
el presente documento solo tomara como base los splines
cúbicos naturales, ya que actualmente son unos de los
métodos mas usado.
A) Splines cúbicos naturales
Esta técnica es ampliamente utilizada en el
procesamiento digital de imágenes. Lo que se pretende es
representar a todos los puntos con un polinomio de alto grado,
se dividen por segmentos a los puntos, donde cada segmento
será representado por un polinomio, véase Fig.1.1. [1]
Fig.1.1 interpolación cubica
Como bien sabemos la interpolación en ciertos casos
el usuario solo conoce el valor de una función f(x) en una serie
de puntos x1, x2, · · ·, xn, pero no se conoce una expresión
analítica f(x) que permita calcular el valor de la función para
un punto arbitrario. [2]
La idea de la interpolación es poder estimar f(x) para
un x arbitrario, a partir de la construcción de una curva que
une los puntos donde se han realizado las mediciones y cuyo
valor si se conoce. Se asume que el punto arbitrario x se
encuentra dentro de los límites de los puntos de medición.
Como ya se menciono esta es una amplia clase de
funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la
interpolación de datos, o un suavizado de curvas.
Al hablar de una interpolación cubica hacemos
referencia a una polinomio f(x) a través del que construimos
los Splines en [x,y], es decir tiene un grado 3; debido a esto
deberá tener la forma. (1)
( ) (1)
Debido a esto es que tenemos vamos a tener cuatro variables
por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva condición para cada
punto común a dos intervalos, esto respecto a la segunda
derivada.
Interpolación cubica
Sánchez García I, Díaz López J, Hernández Cholac F, Torres Abarca F.
Universidad Politécnica de Chiapas
Universidad Politécnica de Chiapas. Interpolación cubica.
Procesamiento de Señales Biomédicas. Catedrático: Dr. Mayorga Álvarez P. P.
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Por lo anterior es que los splines son utilizados para
trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Las
funciones para la interpolación por splines normalmente se
determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a
una serie de restricciones. [3]
Los splines cúbicos naturales usan la segunda
derivada de f se hace 0 para el primer y último punto sobre el
que está definido el conjunto de Splines.
Como podremos ver en nuestras pruebas los splines
cúbicos naturales eliminan dos problemas de los splines
lineales, tales como su lentitud de convergencia y el que
presenta ángulos en los nodos, lo cual es inadecuado en ciertas
aplicaciones, esto ya que es una función polinómica
segmentaria de grado 3 con derivada de primera y segunda
continuas, es decir suaves de segundo orden y continua. Véase
Fig.1.2.
Fig.1.2 interpolación cubica, interpolación lineal- grafica de
una función interpolada lineal y cubica
II. DESARROLLO
Para entender mejor el funcionamiento de los splines
cúbicos naturales explicaremos sobre las condiciones que
estos deben de tener. El spline cubico es del tipo k=3 siendo k
el grado al que pertenece, cada intervalo [ ], [ ],…,
[ ] , S está definido por un polinomio cúbico diferente.
Sea Si el polinomio cúbico que representa a S en el
intervalo [ti, ti+1], por tanto (2).
{
( ) )
( ) )
( ) )
(2)
Los polinomios Si-1 y Si interpolan el mismo valor en el
punto ti, es decir, se cumple:
Si-1(ti) = yi = Si(ti) (1 ≤ i ≤ n-1 (3) Lo anterior nos garantiza que S es continuo en todo
el intervalo. Al igual que en S' y S'', por lo tanto son continuas,
dicha condición es la que se emplea en la deducción de una
expresión para la función del spline cúbico.
Si aplicamos la condición de continuidad de los
splines, tanto de la primera y la segunda derivada, es posible
encontrar la expresión analítica de los splines cúbicos; la cual
nos expresa (4).
( )
( )
( )
(
) ( )
(
)( )
(4)
Donde y son incógnitas, sus
valores estarán dados por las condiciones de continuidad (5).
( )
( )
( )
(5)
Ahora bien en la ecuación (5) i=1, 2, …, n-1, debido
a esto, genera un sistema de n-1 ecuaciones con n+1
incógnitas
La función spline resultante se denomina spline cúbico
natural y el sistema de ecuaciones lineal expresado en forma
matricial es, véase fig.1.3. [4].
Fig.1.3 Matriz de splines cúbicos naturales
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Después de haber entendió la base de los spline
cúbicos naturales se tomo una imagen de un rostro, véase fig.
1.4. De la cual se tomaron coordenadas de cada parte del
rostro, con el fin de usar los splines cúbicos y poder
reconstruir el rostro esto con el fin de demostrar la eficacia de
este método.
Fig.1.4 Rostro a interpolar.
Después de haber desarrollado los splines cúbicos
naturales con las coordenadas anteriormente tomadas, se
reconstruyo el rostro, interpolando cada uno de los puntos
dados. Véase fig. 1.5.
Fig.1.5 Rostro interpolado con splines cúbicos naturales.
Para poder comprender mejor la importancia de la
interpolación cubica, así como la eficacia de este método se
realizo una comparación entre la interpolación lineal y la
interpolación cubica, tomando como datos, las coordenadas de
un ojo del rostro. Donde se obtuvieron las siguientes
imágenes. (Véase imagen 1.6 – 1.8).
Fig.1.6 ojo interpolado con splines cúbicos naturales.
Fig.1.7 Ojo con interpolación lineal.
Fig.1.8 comparación de interpolación lineal vs interpolación
cubica
III. CONCLUSIONES
Sin lugar a duda los métodos matemáticos nos darán
soporte para entender y comprender el comportamiento de
cada fenómeno, de la misma forma el método de interpolación
cubica es de gran ayuda.
En las pruebas realizadas se pudo comprobar la
utilidad de este método, así mismo se comprendió cada una de
las variables que intervienen en todo el proceso de ajuste.
Como se pudo observar a través de las pruebas
realizadas la interpolación cubica, sin lugar a duda es mas
precisa comparada con la interpolación lineal; esto debido a
que es continua y suave de segundo orden. Si observamos en
la fig. 1.7 nos percatamos de que la interpolación es continua,
pero nunca es suave, esto ya que la función que interpola es
lineal de primer grado, todo lo contrario, si observamos la fig.
1.6 podemos notar no solo la continuidad de los puntos, sino
también la suavidad que hay en la interpolación. También nos
percatamos de que mientras mayor sea el numero de
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divisiones interpoladas en dos puntos dados, menor será su
apreciación en las uniones, pero no hay que confundir esto con
el concepto de suavidad de la imagen.
La aplicación de los splines cúbicos es diversa, en
biomédica la podemos encontrar en el procesamiento de
imágenes. En otras disciplinas, en diseños automotrices,
reconstrucciones de imágenes, foto-estudios, hasta en análisis
estadísticos.
IV. REFERENCIAS
[1] Amos Gilat, “Matlab: Una introducción con ejemplos
claros”, Ed. Reverte, España, 2006, 331pp. ISBN
8429150358, 9788429150353.
[2] Miller Irwin, “Estadística Matemática con
Aplicaciones”, 6ª edición, Ed. Pearson Educación,
México, 2000. 640pp. ISBN 970-17-0389.8.
[3] Jesús García Quesada “Tutorial de Análisis
Numérico Interpolación Splines cúbicos”
Departamento de Informática y Sistemas,
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, 35017
Campus de Tara, España, 2 de Octubre de 2000, v0.3.
[4] Yuri Skiba, “Metodos y Esquemas Numericos”1ª
edición, Ed. UNAM, CU, México, D.F., 2005. 455
pp. ISBN 970.32-2023-1