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La La mecánica cuántica del del SPIN
Por Juan Calderón
Fundamentos TeóricosFundamentos Teóricos
Dada una matriz hermitiana [H] de 2x2. Podemos construir a partir de ella una transformación unitaria definida por la matriz:
Donde lo anterior se explica así:
2
...2
iH HS e I iH
limn
iH
n
iS I iH I H e
n
2SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.
Dada una matriz:
Producto de una transformación unitaria:
Esta tiene los mismos valores propios que la matriz original
Las transformaciones unitarias poseen las siguientes propiedades:
TransformacionesTransformaciones UnitariasUnitarias
1'n nS S
'n
n
3SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.
Propiedades de las matrices de Propiedades de las matrices de PauliPauli
A continuación las relaciones de conmutación de las matrices de Pauli
Ahora establecemos los cuadrados de las matrices:
y
[ , ] 2i j i j j i ki , , { , , }i j k x y z (1)(1)
2 2 2 2 3x y z I
2n I
(2)(2)
4SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.
ProblemaProblema: Transformaciones a las : Transformaciones a las matrices de Paulimatrices de Pauli
Demuestre que las relaciones de conmutación (1) y la relación (2) se cumplen para las matrices , y dado que son producto de una transformación unitaria de las matrices de Pauli. Así:
'y 'z
1'n nS S
'x
5SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.
Solución:Solución:
Con respecto a la ecuación (1) La ecuación indicial de conmutación nos dice:
Igualdad que se mantiene después de
aplicar el operador transformación unitaria a ambos lados.
[ , ] 2i j ki
1 1[ , ] {2 }i j kS S S i S
6SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.
Desarrollando…
Recordando que para una matriz unitaria:
1 1 12 [ ]i j j i kS I S S I S i S S
1 1 1[ , ] { } {2 }i j i j j i kS S S S S i S
1 1SS S S I
1 1 1 1[ ][ ] [ ][ ] 2 'i j j i kS S S S S S S S i
7SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.
QEDQED
{ ' ' ' ' } [ ' , ' ] 2 'i j j i i j ki
[ ' , ' ] 2 'i j ki
1 1 1 1[ ][ ] [ ][ ] 2 'i j j i kS S S S S S S S i
8SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.
QEDQED
B) Ahora partimos de que:
2n I
2 1 1nS S SIS
1 1 1 1{ }{ } { } { }n nS S S S S S I S S
2'n I
9SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física, UNAH.
Material consultadoMaterial consultado
Griffiths, D. (1995). Introduction to Quantum Mechanics (Primera ed.). New Jersey: Prentice Hall.
Supriyo Bandyopadhyay, M. C. (2008). Introduction To Spintronics. Boca Raton, FL: CRC Press.
WIKIPEDIA. (s.f.). WIKIPEDIA. Recuperado el 2011 de 04 de 28, de WIKIPEDIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%ADn
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