TALLER

METODOS DE RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO

LÓGICO

LIC. CARLOS RIBEIRO

PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO

Son los que no dependen tanto delcontenido sino del razonamiento lógico(natural, adecuado, correcto), aunqueesto es muy difícil establecer, debido aque para resolver cualquier problematenemos que razonar, si podemos afirmarque existen problemas en los quepredomina el razonamiento lógico, siendoel contenido matemático que se necesitamuy elemental.

Por conveniencia, sin pretenderclasificar los mismos, hemos divididoestos problemas didácticamente paraque ustedes puedan comprenderalgunas vías, métodos yprocedimientos de cómo enfrentarsea la resolución de problemas derazonamiento lógico, desarrollar sumodo de actuación y prepararlospara la vida.

PROBLEMAS UTILIZANDO LÓGICA DEDUCTIVA

En este tipo de problemas se llegan

a las conclusiones deduciendo oinfiriendo de una o más premisasdadas, tal como nos enseñaron en laescuela.

ALGUNOS EJEMPLOS

Ejemplo 1

Si todos los humanos tienen dos brazos y dos piernas y Pedro es humano.¿Qué se puede deducir?

Solución

Que Pedro tiene dos brazos y dos piernas. Eso es un razonamiento lógicodeductivo, donde de dos premisas válidas, inferimos una conclusión lógica.

Ejemplo 2

Si todos los triángulos tienen tres lados y tres ángulos y el escaleno tiene tresángulos. ¿Qué se puede deducir?

Solución

Que el escaleno es un triángulo que tiene tres lados

Ejemplo 3

Si Juan es mayor que Carlos y Carlos mayor que José, ¿Qué se deduce?

Solución

Se deduce que Juan es mayor que José

Ejemplo 4

Si se tiene que A > B y B = C. ¿Qué se deduce?

Solución

Se deduce que A > C

PROBLEMAS UTILIZANDO TABLAS DE VALORES DE

VERDAD

En algunas ocasiones, para resolver un problema de

razonamiento lógico, es conveniente utilizar tablas de

valores de verdad, para lo cual se le debe asignar un

valor de verdad (verdadero o falso) a una proposición y a

partir de aquí deducir los valores de verdad de las demás

proposiciones y si no existen contradicciones llegamos a

la solución buscada.

Ejemplo

Juan, Maria y José fueron arrestados por la policía, como

sospechosos de un robo a un banco. Después de ser interrogados los

sospechosos hicieron las siguientes declaraciones: Juan: yo soy

inocente, Maria: yo soy inocente y José: Maria es la culpable. Los

detectives, usando un detector de mentiras ultramoderno que tienen

escondido, saben que una sola de las declaraciones es cierta y las

otras dos falsas, peor como no saben manipular bien el detector, no

pudieron determinar a quién correspondía cada señal del detector.

¿Podría usted ayudar a los detectives a inferir quién robo el banco?

Solución

Como una sola de las declaraciones es cierta y las

declaraciones de Maria y José son contradictorias, por lo cual una de

ésas dos es verdadera, concluimos que la de Juan es falsa y por ello

Juan es el ladrón del banco.

LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO

EDUARDO V V F F F V V

LUIS F F V V V V F

Ejemplo

Eduardo miente los miércoles, jueves y viernes, y dice la verdad el

resto de la semana. Andrés miente los domingos, lunes y martes, y dice la

verdad el resto de la semana. Si ambos dicen: “mañana es un día en que yo

miento”. ¿Qué día de la semana será mañana?

Solución

Elaboremos una tabla donde aparezcan Eduardo y Andrés y los

días de la semana. Marquemos con una V los días de la semana que dicen la

verdad y con una F los días que mienten.

Haciendo un análisis llegamos a la conclusión que ese día

se obtiene cuando el valor de verdad de ambos se cambia al

día siguiente y esto solo ocurre cuando se pasa de martes a

miércoles, entonces se concluye que mañana será

miércoles.

PROBLEMAS UTILIZANDO TRUCOS

En estos planteamientos de

razonamiento lógico sellega a la conclusiónporque en la mayoría delos enunciados hay unaespecie de trampa o truco.Se resuelve leyendo yanalizando muy bien elproblema planteado.

ALGUNOS EJEMPLOS

Ejemplo¿Cuánto volumen de tierra hay en un hoyo enel patio de 1 metro de ancho por 3 metros delargo por 6 metros de profundidad.

SoluciónLa mayoría de las personas tienden a calcularel volumen de tierra multiplicando las tresdimensiones, pero esa no es la respuesta. En unhoyo, cualquiera que sean sus dimensiones nohay tierra.

Ejemplo¿Es legal que un hombre se case con lahermana de su viuda?

SoluciónEse hombre esta muerto y no puede casarsecon nadie

Ejemplo

Si tarda tres minutos hervir un huevo. ¿Cuánto tiempo nos tomará hervir tres huevos?

Solución

Se supone que los tres huevos se hierven simultáneamente y la respuesta es tres minutos y no nueve, como erróneamente se puede pensar

Ejemplo

¿Se pueden colocar 10 terrones de azúcar en 3 tazas vacías, de modo que en cada taza halla un numero impar de terrones?

Solución

Se coloca 1 terrón en la primera taza, 4 en la segunda taza y 5 en la tercera. Luego se coloca la primera taza encima de la segunda taza.

Ejemplo

Un lector de un libro estaba tan enojado que arrancó las páginas 6, 7, 84, 85, 111 y 112. ¿Cuántas hojas arrancó en total?

Solución

Sólo arrancó cinco hojas de papel, porque las páginas 111 y 112 son ambas caras de una misma hoja.

Ejemplo

Tres medios chivos son chivo y medio. ¿Cuántos chivos y medio son?

Solución

Un chivo y medio

Ejemplo

Si usted ha entrado tres veces a un lugar, ¿cuántas veces ha tenido que salir?

Solución

Ha tenido que salir dos veces

Ejemplo

En un patio hay varios gatos y cada gato ve tres gatos. ¿Cuántos gatos hay en el patio?

Solución

Como cada gato ve tres gatos, entonces hay en total cuatro gatos en el patio.

PROBLEMAS UTILIZANDO LA ARITMÉTICA

Aquí no se pretende detallar toda lateoría de la aritmética para resolverlos problemas de razonamientológico, sino a partir de losconocimientos fundamentales deestá, podemos razonar en formalógica para desarrollar nuestraactividad mental.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

Ejemplo 1Un caracol sube por una pared vertical de5 metros de altura. Durante el día sube 3metros, pero durante la noche se quedadormido y resbala 2 metros. ¿En cuantosdías subirá la pared?¿Cuántos días medemoraré?

SoluciónHay que tener en cuenta que el primer díasube 3 metros pero por la noche baja 2metros, es decir, sube solo 1 metro, lomismo sucede el segundo día, pero altercer día sube 3 metros y los dos quehabía subido anteriormente, lo que hacenun total de 5 metros y ya esta arriba, esdecir, ha subido la pared. Por lo tanto,demora 3 días para subir la pared.

¿Cuántos días me demoraré?

Ejemplo 2

Un enfermo debe tomar una aspirina cada media hora. ¿En cuánto tiempo se tomará 20 aspirinas?

Solución

Intuitivamente se trata de responder que en 10 horas, sin entrar a considerar que en la primera hora el enfermo se toma tres pastillas y a partir de ahí 2 en cada hora. Por lo tanto se demorará nueve horas y media

Ejemplo 3

¿Cuántos dígitos tiene el número N = 212.58?

Solución

No es desarrollar las potencias y luego el producto, basta con aplicar las propiedades de la potenciación y tenemos que:

N = 28+4 . 58

N = 28 . 24 . 58

N = 24 . 108

N = 16 . 108

Luego el número tendrá dos cifras del 16 y ocho ceros del 108, lo que representa un total de 10 dígitos

Ejemplo 4

¿Cuál es el menor número primo quedivide al siguiente número 5247?

Solución

Lo primero que hay que recordar esque un número primo es aquel que esdivisible solamente entre la unidad yel mismo número. El 2,3, 5 y el 7 sonlos primeros números primos.

Se debe aplicar criterios dedivisibilidad. Entonces se hace unasumatoria de todos los dígitos5+2+4+7 = 18 y se verifica que elresultado es divisible entre tres, por lotanto el menor número primo quedivide al número 5247 es el 3.

Problemas utilizando teoría de conjuntos

Una de las cuestionesfundamentales es poderdeterminar los elementosque componen a partir deuna propiedad ocaracterística esencial delmismo; es importantedeterminar todos loselementos que componenel conjunto a partir de lapropiedad dada.

Ejemplo

Diga cuántos rectángulos hay en la siguiente figura

Solución

La propiedad esencial de este conjunto es ser rectángulos(solo se hace referencia a la forma, y no a las dimensiones),por lo que para poder determinar cuántos elementos tiene elconjunto debemos precisar cuántos rectángulos hay, sinimportar sus dimensiones.

Al analizar bien el conjunto de figuras se puede llegar a laconclusión de que hay 21 triángulos que conforman a lafigura.

6 de una pieza, 9 de dos piezas, 3 de cuatro piezas, 2 de trespiezas, 2 de tres piezas y 1 de seis piezas

Ejemplo

¿Cuántos triángulos hay en la siguientefigura?

Solución

En total hay 23 triángulos. 10 de una pieza,9 de dos piezas, 2 de tres piezas y 2 decuatro piezas.

PROBLEMAS UTILIZANDO GEOMETRÍA

Hay que tener conocimientos esenciales degeometría (conceptos, teoremas, axiomas,procedimientos, entre otros) para resolverlos planteamientos de los problemas, ellacontribuye extraordinariamente a desarrollarel pensamiento lógico.

Ejemplo

¿Puede usted distribuir 24 personas en6 filas de modo que en cada una delas filas halla 5 personas?

Solución

Hay que hallar una figura geométricaque pueda dar la solución a talsituación. Necesariamente se tieneque pensar en una figura plana quetenga seis lados, lógicamente se tieneque pensar en el hexágono parapoder formar 6 filas con un elementocomún en sus vértices.

Ejemplo

Se pretende dividir un pastel como el de la figura en 8 trozos iguales.

¿Cuál es el mínimo número de cortes necesarios para conseguirlo?

Solución

Tres cortes

Ejemplo

Se trata de unir estos nueve puntos

mediante cuatro trazos rectilíneos

continuos. Es decir, sin levantar el lápiz, ni

recorrer dos veces el mismo trazo.

¿Eres capaz de unirlos todos con las cuatro

líneas rectas continuas?

Solución

La figura ilustra cómo efectuar los trazos:partiendo del punto derecho inferior de latercera fila, se llega al punto izquierdosuperior de la primera fila

Ejemplo

Se trata de trazar tres líneas rectas por los cuatro puntos de la

figura, sin pasar dos veces por un mismo sitio y sin levantar el

lápiz del papel, se debe terminar en el mismo punto de

partida. ¿Eres capaz de unirlos?

SoluciónLa única figura de tres rectas es eltriángulo, entonces hay que trazar las tresrectas sobre los punto del tal forma que seforme un triángulo

Ejemplo

Tenemos un triángulo compuesto por diez monedas con el

vértice hacia arriba. ¿Podrías convertirlo en un triángulo con

el vértice hacia abajo, moviendo sólo tres monedas?

SOLUCIÓN

PROBLEMAS UTILIZANDO EL ÁLGEBRA

En los problemas de razonamientológico muchas veces a que aplicaroperaciones básicas del álgebra(suma, resta, multiplicación, división,entre otros) adecuadamente a ciertascantidades, o estudiar los diferentesconjuntos numéricos.

EJERCICIOS PRACTICOS

Ejemplo

¿Cuántos números enteros positivos de una cifra X son tales que X2

termina en X?

Solución

X = 1 , 12 = 1

X = 2 , 22 = 4

X = 3 , 32 = 9

X = 4 , 42 = 16

X = 5 , 52 = 25

X = 6 , 62 = 36

X = 7 , 72 = 49

X = 8 , 82 = 64

X = 9 , 92 = 81

En conclusión se demostró que solamente hay tres números de una sola cifra que al elevarse al cuadrado su resultado termina en ese mismo número. Ellos son el 1, 5 y 6.

Ejemplo

Hallar la diferencia entre media docena de docenas de huevos y seis docenas de huevos

Solución

12docenas/2 docenas = 6 docenas

6 docenas por 12 = 72

72 – 72 = 0

Ejemplo

¿Qué altura tiene un árbol que

es dos metros más corto que un

poste de altura triple de la del

árbol?

Solución

Se confecciona una ecuación

sencilla de primer grado 3m –

2m = 1m. Entonces el árbol

tiene una altura de 1 metro.

PROBLEMAS UTILIZANDO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO LIBRE

Es necesario realizar un

razonamiento matemáticoelemental para darsolución a los problemas

que se nos presentancotidianamente y nospermiten el desarrollo

mental en nuestro modo deactuación.

Ejemplo

Un avión cubrió la distancia quesepara a Maracaibo y Valencia enuna hora y cuarenta minutos, sinembargo al volar de regreso recorrióesta distancia en 100 minutos. ¿Cómose explica esto?

Solución

Aquí no es necesario aclarar nada,hay que darse cuenta que las dossituaciones representan el mismotiempo, la única diferencia son lasunidades en que están expresadas.

Ejemplo

Si en Venezuela esta lloviendo a las 11 de lanoche. ¿Es posible que en Bogota halla un díasoleado 50 horas después?

Solución

Debemos precisar que 50 horas despuéssignifica exactamente dos días de 24 horas y 2horas más, lo que quiere decir que serían la 1de la madrugada y es imposible que a esahora tengamos un día soleado.

Ejemplo

Un sastre compró la mitad de 1m2 de tela y gastó ½ m2. ¿Cuánta tela le sobró?

Solución

Se hace referencia a la misma cantidad de tela comprada y gastada, por lo tanto no le sobró nada.

Ejemplo

Si ayer fue tres días antes del viernes. ¿Qué día será mañana?

Solución

Tres días antes del viernes fue martes, hoy es miércoles; entonces mañana será jueves.

PROBLEMAS UTILIZANDO LOS ARGUMENTOS DE PARIDAD

Muchos de los problemas derazonamiento lógico se resuelven con muypocos elementos del contenidomatemático, en algunos es fundamentalutilizar algunas reglas en el trabajo con laparidad de los números; entre ellas:

La + de dos números pares es = a unnúmero par

La + de los números impares es = a unnúmero par

La + de un número par y un número impares = a un número impar

La x de dos números impares es = a unnúmero impar

La x de dos números pares es = a unnúmero par

La + de números pares es = a un númeropar

El x de números pares es = a un númeropar

El x de números impares = a un númeroimpar

La + de un número par de númerosimpares es = a un número par

La + de un número impar de númerosimpares es = a un número impar

EJEMPLOS

Ejemplo

Se tienen 5 números enteros, ¿cuántos deben ser impares si el producto de los cinco es impar?

Solución

Vamos a tomar cinco números enteros sin importar que se repitan para multiplicarlos entre ellos y comprobar la solución obtenida

(1x3)x(5x3)x1

3x15x1

45x1

45

En conclusión todos los números deben ser impares

PROBLEMAS UTILIZANDO CÓDIGOS

Se exige el conocimiento básico de matemáticas ylenguaje, pues como su nombre lo indica suobjetivo es presentar un código que difiere al usadodiariamente, para esconder la información quepermitirá solucionar la situación problemática. Laclave esta en identificar el código. Este tipo deproblemas permite preparar a la persona paraenfrentarse a ambientes iconográficos, para lainterpretación de información grafica.

PARA ENTENDEREJEMPLO1

¿Qué letra falta en la siguiente secuencia lógica?L M __ J V S D

SoluciónSon las iniciales de los días de la semana en español. Entonces falta la M que representa el día miércoles.

Ejemplo 2¿Qué número continua en la siguiente secuencia lógica?1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,....,

SoluciónEs una secuencia que se produce por la suma de los dos valores continuos, anterior más el siguiente da como resultado el próximo.1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13; 13+21=33Entonces el número que continúa es el 33

Ejemplo

¿Qué sucede en el

siguiente dibujo?

Solución

Esta figura representa un

jeroglífico, se puede

deducir al observar la

figura que la letra A

salta.

PROBLEMAS UTILIZANDO PARADOJAS

Una paradoja es una construcción lingüística de la que nosomos capaces de afirmar ni su verdad ni su falsedad, ya seaporque su verdad implica una falsedad o porque su verdadimplica su verdad de la misma forma que su falsedadimplica su falsedad.

Ejemplo 1Tenemos aquí tres enunciados falsos. ¿Será usted capaz dedescubrir cuáles?

2+2=4

3x7=19

16/2=8

20-14=12

6+4=10

SoluciónÚnicamente son falsos los enunciados 2 y 4. Por lo tanto, laafirmación que hay tres enunciados falsos es falsa. Entoncestenemos así el tercero de los enunciados falsos.

Ejemplo

Aquí se cometen tres errores, ¿cuáles son?

Ocho más dos es igual a cuatro

Caracas es la Capital de Venezuela

10/2 es igual a 5

Magallanes no fue campeón de béisbol en la temporada 2006 – 2007

Solución

Hay dos errores, uno es la frase que cita “ocho más dos es igual a cuatro” y el otro error es: Aquí se cometen tres errores

PROBLEMAS UTILIZANDO EL PRINCIPIO DE DIRICHLET Y SU GENERALIZACIÓN

Para resolver un problema lógico esconveniente utilizar este principio quees muy elemental, pero fundamentalque se conoce como Principio deDirichlet, de las casillas, de las gavetas,de las casitas y otros más.

Principio de Dirichlet: Si un conjuntotiene m elementos y esta dividido en nsubconjuntos, con m>n, entonces existeal menos dos elementos.

Principio generalizado de

Dirichlet: Si un conjunto tiene n-

k+1 elementos o más y está

dividido en n subconjuntos,

entonces existe al menos un

subconjunto que tiene al menos

k+1 elementos.

Es evidente que si todos los

elementos están en un

subconjunto el principio se

cumple, lo importante es, la

validez en condiciones extremas,

es decir, cuando halla elementos

en todos los subconjuntos.

Ejemplo

De un periódico local se escogen al azar

30 palabras. Demuestra que al menos

dos de las palabras seleccionadas

comienzan con la misma letra.

Solución

El alfabeto español tiene 28 letras por lo

tanto se podrían encontrar 28 palabras

que inicien con letras diferentes, pero el

número 29 tiene que comenzar

necesariamente con una de las letras

anteriores

PROBLEMAS UTILIZANDO PROBABILIDADES

Existen sucesos, tales como el lanzar

una moneda al aire, en el que unas

veces sale cara y otra sale sello, o

lanzar un dado sobre una mesa y

sacar un naipe de un mazo de cartas;

todos estos son sucesos o hechos son

debidos al azar. Este tipo de sucesos

se denominan fortuitos o aleatorios. En

los sucesos de azar, se llama

probabilidad al cociente entre el

numero de casos favorables y el

número de casos posibles.

Probabilidad de un evento (P) =

número de casos favorables / números

de casos posibles

Ejemplo

Una caja contiene 4 metras rojas y 6

metras blancas. ¿Cuál es la

probabilidad de sacar al azar una

metra blanca?

Solución

En la caja en total hay 10 metras, 6

blancas

P = 6/10 = 3/5 = 0,6 = 60%

La probabilidad de sacar una metra

blanca es del 60%

EjemploEn un salón hay 18 personas, 12 muchachos y 6 muchachas. Si salieron dos muchachas. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima persona que salga sea una muchacha?

SoluciónNúmero de personas que quedan 18 – 2 = 16Número de muchachas que quedan 6 – 2 = 4La probabilidad de que salga una muchacha será P =

4/16 = ¼ = 0,25 = 25%Ejemplo

De una caja que contiene 12 medias rojas, 8 blancas y 10 azules se extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la media sea roja?

SoluciónEl total de medias es 12+8+10 = 30Entonces la probabilidad de extraer una media roja es P

= 12/30 = 2/5 = 40%

Certeza

corresponde a la probabilidad 1 (o del 100%), es decir,

cuando un número de casos favorables coincide con

el número de casos posibles.

Ejemplo

Si una caja contiene 4 metras rojas y 6 metras blancas.

¿Cuántas metras habrá que sacar para estar seguros

de sacar 2 metras rojas?

Solución

El razonamiento que debemos aplicar en este tipo de

problemas es el de suponer siempre que las cosas

ocurren de manera más favorable para nuestro

propósito de sacar 2 metras rojas. Se debe suponer

que las primeras 6 que se sacan son blancas, como

quedan las 4 rojas necesariamente las 2 próximas

serán rojas, entonces se necesitan sacar 8 metras para

sacar dos rojas.

Ejemplo

En una maquina de chicles quedan 3 rojos,

2 azules y 6 blancos. Si cada chicle cuesta

2000 bolívares y van saliendo al azar.

¿Cuántos bolívares tendremos que gastar

para estar seguros de lograr sacar los 2

chicles blancos?

Solución

La situación más desfavorable es que

salgan primero todos los rojos y los azules,

en este caso ya se han gastado 10000

bolívares y para sacar 2 blancos hay que

gastar 4000 bolívares más, todo esto hace

un total de 14000 bolívares.

PROBLEMAS UTILIZANDO TEORÍA COMBINATORIA

No se pretende abordar la teoría combinatoria deforma rigurosa y profunda, sino que utilizaremos lasreglas más generales, deducidas a partir derazonamientos lógicos.

Principio de adición: Si cierto objeto A puede ser escogidode m maneras y otro sujeto B de n maneras, entoncesla elección de A o B se efectuar de m + n modos.

EjemploCinco empresas de transporte terrestre tienen servicio diario entreCaracas y Maracaibo. Tres empresas de aviación tienen vuelodiario entre Caracas y Maracaibo. ¿Cuántas maneras hay para irde Caracas a Maracaibo en avión o autobús?

SoluciónAplicando el principio de adición 5+3 = 8 Hay 8 maneras de ir deCaracas a Maracaibo en avión o autobús.

Principio del producto: Si el objeto A sepuede escoger de m maneras y sidespués de una de estas elecciones,el objeto B se puede escoger de nmodos, la elección del par ordenado(A,B) se puede efectuar de m x nmodos.

Ejemplo

De la ciudad A hasta la ciudad Bconducen 5 caminos y de la ciudad Bhasta C 3 caminos. ¿Cuántos caminosque pasan por B conducen de Ahasta C?

Solución

Aplicando el principio del producto 5x3= 15. Hay 15 caminos que pasan por By conducen de A hasta C.

Otra manera de resolverlo eselaborando un pequeño grafico

Al escoger el primer camino de A hastaB, entonces para llegar a C puede

escoger cualquiera de los tres caminos yasí sucesivamente, entonces seria5x3=15 caminos diferentes.

PRINCIPIO DE INCLUSIONES Y EXCLUSIONES

Designemos por a1,a2,...,an las propiedades queposeen algunos de los N elementos de un conjuntoN(cada elemento puede o no poseer algunas de estaspropiedades); por N(ai) la cantidad de elementos de Nque cumplen con la propiedad ai ; por N(ai , aj ) lacantidad de elementos de N que cumplen con laspropiedades ai , aj y así sucesivamente N(a1 , a2 , ..., an) la cantidad de elementos de N que cumplen con laspropiedades de a1 , a2 ,..., an ; y por N(a1 , a2 , ..., an )la cantidad de elementos de N que no cumplenninguna de las propiedades de a1 , a2 ,..., an , entoncesse cumple:

N(a1 , a2 , ..., an ) = N – N(a1) – N(a2) - … - N(an) + N(a1 ,a2) + N(a1 , a3) + … + N(a1 , an) + N(a2 , a3) +…+ N(a2 ,an) + N(an-1 , an) – N(a1 , a2 , a3) – N(a1 , a2 , a4) - …-N(a2 , a3 , a4) - .. – N(an-2 , an-1 , an) +….+ (-1)n N(a1 ,a2, …, an)

Para que sea más factible, vamos a mostrarles como quedaría

para cuando el conjunto de N elementos cumple con solo dos

propiedades:

N(a1 , a2) = N – N(a1) – N(a2) + N(a1 , a2)

Para cuando cumpla tres propiedades:

N(a1 , a2 , a3) = N – N(a1) – N(a2) – N(a3) + N(a1 , a2) + N(a1 , a3)

+ N(a2 , a3) - N(a1 , a2 , a3)

Se puede notar que a la cantidad de elementos se le excluyen

todos los elementos que poseen por lo menos una propiedad,

luego se incluyen los que poseen al menos dos propiedades,

se excluyen los que poseen al menos tres y así sucesivamente,

el que cumple todas las propiedades se suma si al cantidad es

un número par y se resta si la cantidad es un número impar de

propiedades.

Ejemplo

De las 140 personas que participan enun campamento 80 usan reloj, 62usan lentes, 72 gorras, 40 usan reloj ylentes, 35 usan reloj y gorras, 25 usanlentes y gorras y 20 usan las tresprendas. ¿Cuántas personas no usanninguna de las prendas?

Solución

140 – 80 – 62 – 72 + 40 + 35 + 25 – 20 =6 personas

Ejemplo

En una empresa trabajan 80 personas.De estas 35 hablan inglés, 55 italianoy 27 los dos idiomas. ¿Cuántaspersonas no hablan ni el inglés ni elitaliano?

Solución

80 – 35 – 55 + 27 = 17 personas

PERMUTACIONES

Para n objetos tenemos que si tomamos el elemento nentonces en el siguiente lugar podemos colocarcualquiera de los n-1 y en el tercero los n-2 y asísucesivamente, por lo tanto tenemos Pn = n (n-1) (n-2) …o sea Pn = n!

En toda permutación se cumple que: el número deelementos coincide con los que se toman, influye elorden en que se toman, y no se repiten los elementos.

Ejemplo 1

Una madre tiene cinco hijos, ¿De cuántas manerasdistintas, nombrándolos uno a uno, puede llamarlos acenar?

Solución

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 maneras

Ejemplo 2

¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con lascifras 1, 2, 3 si cada cifra debe aparecer exactamenteuna vez?

Solución

P3 = 3! = 3.2.1 = 6 números

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Si algunos de los objetos permutados son iguales se obtendránmenos permutaciones, pues algunas de ellas serán iguales entresí.

PRm = a,b,..,n

Ejemplo

¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras dela palabra casual?

Solución

La palabra casual tiene 6 letras, pero 2 son A por lo quetenemos una permutación con repetición P6,2 = = = 360 ,entonces se pueden forman 360 palabras diferentes con lasletras de la palabra casual.

Ejemplo

¿Cuántos números diferentes pueden formarse con los dígitosdel número 834354?

Solución

El número 834354 tiene 6 dígitos, pero 2 son 3 y 2 son 4, entonceses una permutación con repetición P6,2,2 = = = 180 , entoncesse pueden formar 180 números diferentes con las cifras delnúmero 834354.

VARIACIONES

Se llama variación de m objetos tomados

n a n (o variaciones de orden n) a todo

conjunto ordenado formado por n objetos

escogidos de modo cualquiera entre los

m objetos dados. En toda variación se

cumple que: el número de objetos que se

toma es menor que el número de objetos

del conjunto, influye el orden en que se

toman y no pueden repetirse.

Vm,n = Ejemplo 1

¡Cuantos diccionarios hay que editar para que sepuedan efectuar directamente traduccionesentre cualquiera de los cinco idiomas: español,portugués, italiano, francés e inglés?

Solución

V5,2 = = = 20 , es necesario confeccionar 20diccionarios

VARIACIONES CON REPETICIÓN

Es el caso donde cada objeto puede repetirse n veces.

VRm,n = mn

Ejemplo

¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse conlos dígitos 3 y 5?

Solución

Los dígitos 3 y 5 pueden repetirse varias veces en laconformación del número, entonces es una variacióncon repetición VR2,3 = 23 = 8 , entonces se puedenformar 8 números de tres cifras con los dígitos 3 y 5.

COMBINACIONES

Se llama combinación de los m objetos tomados n a n (ocombinaciones de orden n) a todo conjunto de n objetoselegidos entre ellos de tal modo que dos conjuntos que sediferencian al menos de un objeto. En toda combinación secumple que: el número de objetos que se toma es menor queel número de objetos del conjunto (m>n), no influye el orden yno se pueden repetir los elementos.

Cm,n = Ejemplo

¿De cuántas maneras diferentes se pueden escoger dos pinturasdiferentes de las cinco que existen?

Solución

C5,2 = = = = = 10 , entonces se pueden escoger de 10 formasdiferentes dos pinturas diferentes de las cinco que existen.

Combinaciones con repetición

Se deben distribuir los elementos según lostipos, hay que numerar todos loselementos de la combinación, pero atodos los números de los del segundo tipodebe agregársele 1, a los del tercer tipohay que agregársele 2 y asísucesivamente. CRm,n = Cm+n-1,n =

Ejemplo

En una oficina de correos se venden sellosde 4 tipos. ¿De cuántas maneras sepueden comprar en ella sellos?

Solución

Para comprar 6 sellos de los 4 tipos queexisten debemos combinar los tiposexistentes hasta completar los quequeremos, estamos en presencia de unacombinación con repetición.

CR4,6 = C4+6-1,6 = C9,6 = = = = 84 ,entonces se pueden comprar los 6 sellosde 84 formas diferentes.