Post on 11-Jul-2016
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Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaProf. Miguel Walker Urena
Dpto. Matematica AplicadaMA-1002: Calculo 2
Ciclo 1-2015
Tema 4. Induccion y Sucesiones[ version 0.7’’, compilado el 19/4/2015]
Contenidos
1 Induccion Matematica 2
2 Sucesiones Numericas 72.1 Lo basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Lımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Paso a Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 Teorema del Sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Monotonicidad y cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.1 Monotonicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2 Cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Induccion Fuerte 28
Referencias 31
Tema 4. Induccion y Sucesiones 2
1 Induccion Matematica
Definicion 1.1 (Induccion). El metodo de Induccion matematica es un metodo de demostracionde propiedades que “predican” sobre los numeros naturales.
El metodo basico se describe a continuacion:
“Sea Pn, n ∈ IN una propiedad que predica sobre los numeros naturales.Si se cumple:
(a) P0 es Verdadero
(b) Pn es Verdadero =⇒ Pn+1 es Verdadero
entonces la propiedad Pn es cierta para todo n ∈ IN”
Nota 1.1. Al demostrar Pn por induccion, hay dos pasos fundamentales
• El primero es el paso basico, que se puede titular n = 0 .
En este paso hay que probar que P0 es verdadero.
• El segundo es el paso inductivo o paso de n a n+1, el cual se puede titular como n→ n+ 1 .
En este paso se establece como hipotesis de induccion que Pn es verdadero, para demostrarentonces que Pn+1 es verdadero:
h.i : Pn ( hipotesis de induccion )
h.q.d : Pn+1 ( lo que hay que demostrar )
Ejemplo 1.1. Use induccion para demostrar la propiedad
Pn : 0 + 1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)
2
Solucion:
n = 0 P0 : 0 =0 · (0 + 1)
2⇐⇒ 0 = 0
(X)
n→ n+ 1 h.i : 0 + 1 + 2 + · · ·+ n =
n(n+ 1)
2
h.q.d : 0 + 1 + 2 + · · ·+ n+ (n+ 1) =(n+ 1)(n+ 2)
2
Tenemos que
0 + 1 + 2 + · · ·+ n+ (n+ 1)h.i=n(n+ 1)
2+ (n+ 1)
= (n+ 1)[n
2+ 1]
= (n+ 1)
[n+ 2
2
]=
(n+ 1)(n+ 2)
2
(X)
Se concluye por induccion matematica que Pn es cierto ∀n ∈ IN. �
Tema 4. Induccion y Sucesiones 3
Nota 1.2. Al probar por induccion Pn, con paso basico n = 0 se prueba en el paso inductivo quePn =⇒ Pn+1 asumiendo que n ≥ 0, pero a veces es mas facil asumir que n ≥ n0.
Para asumir esto en necesario probar en el paso basico P0, P1, P2, . . . , Pn0 .
Ejemplo 1.2. Use induccion para demostrar la desigualdad
3n ≥ n3
Solucion:n = 0
30 = 1 ∧ 03 = 0 =⇒ 30 > 03(X)
n→ n+ 1 {h.i : 3n ≥ n3
h.q.d : 3n+1 ≥ (n+ 1)3
Tenemos que
3n+1 = 3 · 3nh.i≥ 3 · n3
Nos “conviene” que se cumpla la relacion 3n3 ≥ (n + 1)3 ( que podrıa ser falso! ), para asıdemostrar el caso “n+ 1”:
3n3 ≥ (n+ 1)3 ⇐⇒ 3√
3n ≥ n+ 1
⇐⇒(
3√
3− 1)n ≥ 1
⇐⇒ n ≥ 13√
3− 1≈ 2.26
Note que 3√
3− 1 = 3√
3− 3√
1 > 0 y tambien
13√
3− 1≤ 3 ⇐⇒ 3
√3 ≥ 1
3+ 1 =
4
3⇐⇒ 3 ≥ 64
27⇐⇒ 81 ≥ 64
(X)
entonces si n ≥ 3
n ≥ 3 ≥ 13√
3− 1=⇒ 3n3 ≥ (n+ 1)3
la desigualdad anterior es cierta si y solo si n ≥ 3, lo cual hace surgir la necesidad de agregarcomo segundo y tercer pasos basicos los casos n = 1 y n = 2 :
31 = 3 ∧ 13 = 1 =⇒ 31 > 13(X)
32 = 9 ∧ 23 = 8 =⇒ 32 > 23(X)
Luego, para todo n ≥ 0,3n+1 ≥ 3n3 ≥ (n+ 1)3
Se concluye por induccion matematica que 3n ≥ n3 es cierto ∀n ∈ IN. �
Tema 4. Induccion y Sucesiones 4
Nota 1.3 (Induccion Truncada). Sea Pn, n ∈ IN \ {0, 1, 2, . . . , n0 − 1} una propiedad que predicasobre los numeros naturales mayores o iguales que n0 ∈ IR. Si se cumple:
(a) Pn0 es Verdadero
(b) Pn es Verdadero =⇒ Pn+1 es Verdadero
entonces la propiedad Pn es cierta para todo n ∈ IN \ {0, 1, 2, . . . , n0 − 1}”
Ejemplo 1.3. Use induccion para demostrar que para n ≥ 10
2n > n3
Solucion:n = 10
210 = 1024 ∧ 103 = 1000 =⇒ 210 > 103(X)
n→ n+ 1 {h.i : 2n > n3
h.q.d : 2n+1 > (n+ 1)3
Tenemos que
2n+1 = 2 · 2nh.i> 2 · n3
Nos “conviene” que se cumpla la relacion 2n3 > (n + 1)3 ( que podrıa ser falso! ), para asıdemostrar el caso “n+ 1”:
2n3 > (n+ 1)3 ⇐⇒ 3√
2n > n+ 1
⇐⇒(
3√
2− 1)n > 1
⇐⇒ n >1
3√
2− 1≈ 3.847
Note que
13√
2− 1< 10 ⇐⇒ 3
√2 >
1
10+ 1 =
11
10⇐⇒ 2 >
113
103⇐⇒ 2000 > 1331
(X)
como n ≥ 10
n ≥ 10 >1
3√
2− 1=⇒ 2n3 > (n+ 1)3
Luego, para todo n ≥ 10,2n+1 > 2n3 > (n+ 1)3
Se concluye por induccion matematica que 2n > n3 es cierto ∀n ∈ IN \ {0, 1, 2 . . . , 9}. �
Nota 1.4. En el ejemplo anterior, la desigualdad no siempre se cumple para n < 10:
n
2n
n3
0
1
0
1
2
1
2
4
8
3
8
27
4
16
64
5
32
125
6
64
216
7
128
343
8
256
512
9
512
729
Pero para n ≥ 10 sı se cumple
n
2n
n3
10
1024
1000
11
2048
1331
12
4096
1728
13
8192
2197
14
16384
2744
15
32768
3375
. . .
. . .
. . .
Tema 4. Induccion y Sucesiones 5
Nota 1.5 (Sumatoria). Si f : IN→ IR aplicacion, entonces la sumatoria de termino general f(n)cuando n varia de k a m corresponde a
m∑n=k
f(n) = f(k) + f(k + 1) + f(k + 2) + · · ·+ f(m− 1) + f(m)
Ejemplo 1.4. Use induccion para demostrar que
m∑n=2
2n−1
3n=
2
3−(
2
3
)mSolucion: Demostremos por induccion sobre m ≥ 2m = 2
2∑n=2
2n−1
3n=
22−1
32=
2
9
2
3−(
2
3
)2
=2
3− 4
9=
6− 4
9=
2
9
=⇒2∑
n=2
2n−1
3n=
2
3−(
2
3
)2 (X)
m→ m+ 1 h.i :
m∑n=2
2n−1
3n=
2
3−(
2
3
)mh.q.d :
m+1∑n=2
2n−1
3n=
2
3−(
2
3
)m+1
Tenemos que
m+1∑n=2
2n−1
3n=
m∑n=2
2n−1
3n+
2m
3m+1
h.i=
2
3−(
2
3
)m+
2m
3m+1
=2
3−(
2
3
)m·[1− 1
3
]=
2
3−(
2
3
)m· 2
3
=2
3−(
2
3
)m+1 (X)
Se concluye por induccion matematica que para todo m ∈ IN \ {0, 1}m∑n=2
2n−1
3n=
2
3−(
2
3
)m�
Nota 1.6. Se dice que un numero natural X es multiplo de Y ∈ IN o que X es divisible entre Ysi y solo si existe ` ∈ IN tal que
X = Y · `
Tema 4. Induccion y Sucesiones 6
Ejemplo 1.5. Use induccion para demostrar que para n ∈ IN∗, “5n + 15” es multiplo de “20”.
Solucion:Note que “5n + 15” es multiplo de “20” es equivalente a demostrar que existe k ∈ IN tal que
5n + 15 = 20k
Demostremos por induccion sobre n ∈ IN:n = 1
51 + 15 = 20 = 20 · 1(X)
n→ n+ 1 {h.i : ∃k ∈ IN, 5n + 15 = 20k
h.q.d : ∃` ∈ IN, 5n+1 + 15 = 20`
Note queh.i ⇐⇒ 5n + 15 = 20k ⇐⇒ 5n = 20k − 15
luego
5n+1 + 15 = 5 · 5n + 15
h.i= 5 · (20k − 15) + 15
= 100k − 75 + 15
= 100k − 60
= 20 · (5k − 3)(X)
Tomando ` = 5k − 3 ∈ IN, se verifica 5n+1 + 15 = 20`.Se concluye por induccion matematica que para todo n ∈ IN∗, “5n + 15” es multiplo de “20”.�
Tema 4. Induccion y Sucesiones 7
2 Sucesiones Numericas
2.1 Lo basico
Definicion 2.1 (Sucesion). Una sucesion real es una secuencia de numeros an indexados sobreIN, es decir que existe una aplicacion f : IN→ IR tal que
an = f(n), n ∈ IN (forma explıcita de an)
Se denota (an)n∈IN para referirse a la sucesion
a0, a1, a2, a3, . . .
o lo que es lo mismo(an)n∈IN = (a0, a1, a2, a3, . . . )
Nota 2.1. Cuando nos referimos a los numeros enteros positivos usamos la notacion
IN∗ = Z+ = {1, 2, 3, . . . }
O sea que el conjunto de los numeros naturales es
IN = Z+ ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . . }
Definicion 2.2 (Rango). Sea (an)n∈IN una sucesion.El rango o ambito de la sucesion (an)n∈IN corresponde a
R = {an/ n ∈ IN} = {a0, a1, a2, a3, . . . }
Una sucesion tambien puede ser truncada, dada una sucesion (an)n=n0,n0+1,n0+2,... correspondea la secuencia
an0 , an0+1, an0+2, an0+3, . . .
es decir, que se toma an para los naturales n ≥ n0.En tal caso el rango o ambito de la sucesion (an)n∈IN corresponde a
R = {an/ n = n0, n0 + 1, n0 + 2, . . . } = {an0 , an0+1, an0+2, an0+3, . . . }
Ejemplo 2.1. (an) = (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, . . . ) es la sucesion cuya forma explıcita puede ser
an =1
n+ 1, n ∈ IN
El rango de an corresponde a R = {1, 1/2, 1/4, 1/5, . . . }
Ejemplo 2.2. Considere la sucesion
an =(−1)n
3n + 1
Como
a0 =1
1 + 1, a1 =
−1
3 + 1, a2 =
1
9 + 1, a3 =
−1
27 + 1, a4 =
1
81 + 1, . . .
Tema 4. Induccion y Sucesiones 8
La sucesion an tambien tiene representacion
(an)n∈IN =
(1
2,−1
4,
1
10,−1
28,
1
82, . . .
)El rango de an corresponde a
R =
{1
2,−1
4,
1
10,−1
28,
1
82, . . .
}Ejemplo 2.3. La sucesion an = (−1)n + 1 corresponde a la secuencia
2, 0, 2, 0, 2, 0, . . .
pues a0 = 1 + 1, a1 = −1 + 1, a2 = 1 + 1, a3 = −1 + 1, . . . , o sea que
an =
{2 , si n es par
0 , si n es impar
El rango de an corresponde a R = {0, 2}.
Tema 4. Induccion y Sucesiones 9
2.2 Lımites de sucesiones
2.2.1 Convergencia
Definicion 2.3 (Convergencia). Una sucesion (an)n∈IN es llamada convergente, si existe unnumero finito L tal que
n suficientemente grande =⇒ an ≈ L
Formalmente,∀ε > 0, ∃N > 0, tal que n > N =⇒ |an − L| < ε
Se denotaL = lim
n→+∞an
L es llamado valor de convergencia de an o simplemente lımite de an.En caso contrario se dice que an es divergente, es decir si L no existe o es infinito.
Nota 2.2. El lımite an es infinito positivo si
∀M > 0, ∃N > 0 tal que n > N =⇒ an > M
Se denota limn→+∞ an = +∞ .Igualmente el lımite an es infinito negativo si
∀M > 0, ∃N > 0 tal que n > N =⇒ an < −M
Se denota limn→+∞ an = −∞ .En estos casos existe el lımite de la sucesion pero la sucesion es divergente por tener lımites
infinitos.
Teorema 2.1. Sean (an)n∈IN y (bn)n∈IN sucesiones convergentes, entonces
1. ∀α ∈ IR, “ αan + bn” es una sucesion convergente y cumple
limn→+∞
[αan + bn] = α limn→+∞
an + limn→+∞
bn
2. “ an · bn” es convergente y cumple
limn→+∞
[an · bn] = limn→+∞
an · limn→+∞
bn
3. Si limn→+∞
bn 6= 0, “ an/bn” es una sucesion convergente y cumple
limn→+∞
[anbn
]=
limn→+∞
an
limn→+∞
bn
4. Si G : IR → IR es una aplicacion continua en el rango de an, entonces “ G(an)” es unasucesion convergente y cumple
limn→+∞
G(an) = G
(lim
n→+∞an
)
Tema 4. Induccion y Sucesiones 10
Notas 2.3.
1. limn→+∞
nα =
+∞ , si α > 0
1 , si α = 0
0+ , si α < 0
2. limn→+∞
1
n= 0 ∧ lim
n→+∞
1
nα=
0+ , si α > 0
1 , si α = 0
+∞ , si α < 0
3. limn→+∞
rn =
+∞ , si r > 1
1 , si r = 1
0 , si |r| < 1
@ , si r ≤ −1
∧ limn→+∞
r−n =
0 , si r > 1
1 , si r = 1
+∞ , si |r| < 1
@ , si r ≤ −1
Ejemplo 2.4. Determine la convergencia de la sucesion
an =2n2 − n+ 3
3n2 + 4
Solucion:
limn→+∞
an = limn→+∞
2− 1n + 3
n2
3 + 4n2
=2− 0 + 0
3 + 0=
2
3�
Ejemplo 2.5. Determine la convergencia de la sucesion
an =2n+ 3n2
n
Solucion:
limn→+∞
an = limn→+∞
2n+ 3n2
n= lim
n→+∞[2 + 3n] = 2 + (+∞) = +∞
Entonces an es divergente. �
Nota 2.4. Si
an =αk n
k + αk−1 nk−1 + · · ·+ α1 n+ α0
β` n` + β`−1 n`−1 + · · ·+ β1 n+ β0
entonces
limn→+∞
an =
αk/βk , si k = `
0 si k < `
∞ si k > `
Ejemplo 2.6. Determine la convergencia de la sucesion
an =23n
5n−1
Tema 4. Induccion y Sucesiones 11
Solucion:Note que
an =5 · 8n
5n= 5 ·
(8
5
)nComo 8/5 > 1, entonces an es una sucesion divergente. �
Ejemplo 2.7. Determine la convergencia de la sucesion
an =2n − 3n+1
5 · 3n +√
6n
Solucion:Note que
√6n = (
√6)n ≤ (
√9)n = 3n y tambien 3n ≥ 2n, entonces
limn→+∞
an = limn→+∞
2n − 3n+1
3n
5 · 3n +√
6n
3n
= limn→+∞
(2
3
)n− 3
5 +
(√6
3
)n =0− 3
5 + 0= −3
5
Luego la sucesion an es convergente y tiene lımite −3/5. �
Teorema 2.2. Si (an)n∈IN es una sucesion convergente, el lımite L de an es unico.
Definicion 2.4 (Subsucesion). Sea (an)n∈IN una sucesion, (bn)n∈IN es llamado subsucesion de ansi existe una secuencia de numeros naturales n0 < n1 < n2 < n3 < . . . tales que bk = ank
.Se denota (ank
)k∈IN es una subsucesion de (an)n∈IN .
Nota 2.5. Si (ank)k∈IN es subsucesion de (an)n∈IN, entonces el rango de ank
esta contenido en elrango de an
{an0 , an1 , an2 , . . . } ⊆ {a0, a1, a2, . . . }
Ejemplo 2.8. Sea an =(−1)n
n, n ∈ IN∗, que corresponde a la sucesion
(an)n∈IN =
(−1,
1
2,−1
3,
1
4, . . .
)Tenemos que bk = a2k es una subsucesion de an correspondiente a
bk =(−1)2k
2k=
1
2k
que se expande
(bk)k∈IN∗ =
(1
2,
1
4,
1
6,
1
8, . . .
)Tambien tenemos la subsucesion
(a2k+1)k∈IN =
(−1,−1
3,−1
5,−1
7, . . .
)
Tema 4. Induccion y Sucesiones 12
Teorema 2.3. Si (an)n∈IN es una sucesion convergente con lımite L, entonces toda subsucesion(ank
)k∈IN es convergente y cumple que
limk→+∞
ank= L
Nota 2.6. Si (bn)n∈IN y (cn)n∈IN son subsucesiones convergentes de (an)∈IN tales que
L1 = limn→+∞
bn ∧ L2 = limn→+∞
cn
Si L1 6= L2 , entonces la sucesion (an)n∈IN es divergente.
Ejemplo 2.9. Verifique la convergencia de la sucesion an = (−1)n + 1.
Solucion: Note quea2k = (−1)2k + 1 = 1 + 1 = 2 −−−−→
k→+∞2
peroa2k+1 = (−1)2k+1 + 1 = −1 + 1 = 0 −−−−→
k→+∞0
Como 2 6= 0, se concluye que an divergente pues tiene subsucesiones con lımites distintos. �
Ejemplo 2.10. Verifique la convergencia de la sucesion an = cos(nπ).
Solucion: Note quea2k = cos(2kπ) = 1 −−−−→
k→+∞1
peroa2k+1 = cos
[(2k + 1)π
]= −1 −−−−→
k→+∞−1
Como 1 6= −1, se concluye que an divergente pues tiene subsucesiones con lımites distintos. �
2.2.2 Paso a Funciones Continuas
Nota 2.7 (Paso a continuas). Sea (an)n∈IN sucesion y sea f : [0,+∞[ → IR funcion continua talque
∀n ∈ IN, f(n) = an
entonces se cumple quelim
n→+∞an = lim
x→+∞f(x)
siempre que el lımite anterior exista.
Ejemplo 2.11. Estudie la convergencia de la sucesion
an =
(1− 2
n
)4n
Tema 4. Induccion y Sucesiones 13
Solucion: Note que an se puede extender a una funcion contınua convergente:
limn→+∞
an = limx→+∞
(1− 2
x
)4x
, Forma 1∞
= exp
[lim
x→+∞4x ln
(1− 2
x
)], Forma ∞ · 0
= exp
[4 limx→+∞
ln (1− 2/x)
1/x
], Forma
0
0
L.H= exp
[4 limx→+∞
(1− 2/x)−1 · (2/x2)−1/x2
]= exp
[4 limx→+∞
[−2
(1− 2
x
)−1]]= e−8
�
Nota 2.8.
limn→+∞
n sen
(1
n
)= 1 lim
n→+∞
(1 +
1
n
)n= e
limn→+∞
n sen(an
)= a lim
n→+∞
(1 +
a
n
)bn= eab
limn→+∞
[n− n cos
(1
n
)]= 0
Nota 2.9. Sea (an)n∈IN sucesion y sea f : [0,+∞[ → IR funcion continua tal que
∀n ∈ IN, f(n) = an
si an es convergente, NO se garantiza la existencia del lımite de f(x), o sea que es posible que
limn→+∞
an 6= limx→+∞
f(x)
Ejemplo 2.12. La sucesion an = cos(2nπ), n ∈ IN es convergente, pues para todo n ∈ IN, an = 1,pero la funcion f(x) = cos(2xπ), x ∈ IR no tiene lımite.
2.2.3 Teorema del Sandwich
Teorema 2.4 (Teorema del Sandwich).Sean (an)n∈IN, (bn)n∈IN y (cn)n∈IN sucesiones tales que para n ≥ n0
an ≤ bn ≤ cn
Si an y cn convergen a L, entonces bn tambien es convergente y tiene lımite L.
an ≤ bn ≤ cn ∧ L = limn→+∞
an = limn→+∞
cn =⇒ limn→+∞
bn = L
Pues,L ≤ lim
n→+∞an ≤ L =⇒ lim
n→+∞an = L
Tema 4. Induccion y Sucesiones 14
Ejemplo 2.13. Estudie la convergencia de an =cos(nπ)
n2 + 1.
Solucion:Como −1 ≤ cos(nπ) ≤ 1, entonces
−1
n2 + 1≤ cos(nπ)
n2 + 1≤ 1
n2 + 1=⇒ lim
n→+∞
−1
n2 + 1≤ lim
n→+∞
cos(nπ)
n2 + 1≤ lim
n→+∞
1
n2 + 1
=⇒ 0 ≤ limn→+∞
cos(nπ)
n2 + 1≤ 0
Se concluye por el teorema de sandwich, que
limn→+∞
cos(nπ)
n2 + 1= 0
�
Nota 2.10. Sean (an)n∈IN y (bn)n∈IN sucesiones reales, entonces
(a) 0 ≤ an ≤ bn ∧ limn→+∞
bn = 0 =⇒ limn→+∞
an = 0
(b) an ≥ bn ∧ limn→+∞
bn = +∞ =⇒ limn→+∞
an = +∞
(c) an ≤ bn ∧ limn→+∞
bn = −∞ =⇒ limn→+∞
an = −∞
Nota 2.11. Sea (an)n∈IN una sucesion real, entonces
(a) limn→+∞
|an| = 0 ⇐⇒ limn→+∞
an = 0
(b) limn→+∞
|an| = +∞ ⇐⇒ limn→+∞
an = ±∞
Ejemplo 2.14. Estudie la convergencia de la sucesion
an =n · (−1)n
n3 − n+ 1
Solucion:Tenemos que
limn→+∞
|an| = limn→+∞
∣∣∣∣ n · (−1)n
n3 − n+ 1
∣∣∣∣= lim
n→+∞
n
n3 − n+ 1, pues |(−1)n| = 1
= limn→+∞
1
n2 − 1 + 1/n
=1
+∞− 1 + 0
= 0
Se concluye entonces que an → 0. �
Ejemplo 2.15. Estudie la convergencia de la sucesion an =n!
n+ 1.
Tema 4. Induccion y Sucesiones 15
Solucion:Tenemos que
n!
n+ 1=n · (n− 1) · (n− 2) · · · · · 3 · 2
n+ 1≥ n(n− 1)
n+ 1=n2 − nn+ 1
−−→+∞
+∞
Se concluye entonces que an → +∞. �
Definicion 2.5. Considere dos sucesiones an, bn, n ∈ IN
1. Se dice que an y bn son equivalentes si y solo si
limx→+∞
anbn
= 1
se denota an ∼= bn
2. Si existe y es finito el lımite
limn→+∞
anbn
= α 6= 0
se escribe an ∼ bnlo cual se puede leer como que “an y bn son similares”.
3. Se dice que an es “mas rapido” que bn o que bn es “mas lento” que an si y solo si
limn→+∞
anbn
= +∞ ⇐⇒ limn→+∞
bnan
= 0
se denota an � bn ⇐⇒ bn � an
Notas 2.12.
(a) ∀p > 0, ln(n)� np
(b) Si 0 < p1 < p2, entonces np1 � np2
(c) Si 0 < p1 < 1 < p2, entonces np1 � n� np2
(d) Si 1 < r1 < r2, entonces rn1 � rn2
(e) Para todo p ∈ IR y para todo r > 1 se cumple que np � rn � n!� nn
Ejemplo 2.16. Calcule el lımite de an =2n
n!.
Solucion:
limn→+∞
2n
n!= 0, pues n!� 2n
�
Tema 4. Induccion y Sucesiones 16
2.3 Monotonicidad y cotas
2.3.1 Monotonicidad
Definicion 2.6 (Monotonıa o monotonicidad). Una sucesion (an)n∈IN es llamada
(a) Monotona Creciente ( an ↗ ) si y solo si ∀n ∈ IN, an+1 ≥ an .
Tambien es llamada monotona creciente estrictamente si an+1 > an.
(b) Monotona Decreciente ( an ↘ ) si y solo si ∀n ∈ IN, an+1 ≤ an .
Tambien es llamada monotona decreciente estrictamente si an+1 < an.
Si una sucesion es siempre creciente o siempre decreciente, se dice que es monotona.
Ejemplo 2.17. Verifique que an =1
n2 + 1es una sucesion decreciente.
Solucion: Tenemos que an es decreciente si y solo si
an+1 ≤ an ⇐⇒1
(n+ 1)2 + 1≤ 1
n2 + 1⇐⇒ n2 + 1 ≤ (n+ 1)2 + 1
⇐⇒ n2 + 1 ≤ n2 + 2n+ 1 + 1
⇐⇒ 0 ≤ 2n+ 1,(X)
Como ∀n ∈ IN, 2n+ 1 ≥ 0, queda verificado entonces que an ↘ . �
Notas 2.13. Sea (an)n∈IN sucesion real
1. Si para todo n,m ∈ IN
(a) “n ≤ m ⇐⇒ an ≤ am”, entonces an es creciente.
(b) “n ≤ m ⇐⇒ an ≥ am”, entonces an es decreciente.
2. Dada una sucesion (an)n∈IN
(a) an ↗ ⇐⇒ ∀n ∈ IN, an+1 − an ≥ 0.
(b) an ↘ ⇐⇒ ∀n ∈ IN, an+1 − an ≤ 0.
3. Si para todo n ∈ IN, an > 0 ( sucesion positiva ), entonces
(a) an ↗ ⇐⇒ ∀n ∈ IN,an+1
an≥ 1.
(b) an ↘ ⇐⇒ ∀n ∈ IN,an+1
an≤ 1.
4. Si existe una funcion f : [0,+∞[→ IR monotona tal que f(n) = an, entonces
(a) Si ∀x ∈ [0,+∞[, f(x)↗ =⇒ an ↗(b) Si ∀x ∈ [0,+∞[, f(x)↘ =⇒ an ↘
Tema 4. Induccion y Sucesiones 17
Ejemplo 2.18. Verifique la monotonıa de la sucesion an =3n− 2
5n+ 1.
Solucion:Opcion 1: Estudiando an+1 − an
Tenemos que
an+1 − an =3(n+ 1)− 2
5(n+ 1) + 1− 3n− 2
5n+ 1
=(3n+ 1)(5n+ 1)− (5n+ 6)(3n− 2)
(5n+ 6)(5n+ 1)
=15n2 + 8n+ 1− (15n2 + 8n− 12)
(5n+ 6)(5n+ 1)
=13
(5n+ 6)(5n+ 1)> 0, ∀n ∈ IN
Entonces an+1 − an > 0 ⇐⇒ an+1 > an ⇐⇒ an ↗ estrictamente.
Opcion 2: Estudiando f(x) =3x− 2
5x+ 1
f ′(x) =3 · (5x+ 1)− (3x− 2) · 5
(5x+ 1)2
=13
(5x+ 1)2> 0, ∀x ∈ IR+
Entonces f ′(x) > 0 ⇐⇒ f(x)↗ =⇒ an ↗ estrictamente. �
Ejemplo 2.19. an = (−1)n/n, n ∈ IN no es monotona, pues sus valores consecutivos cambian derelacion siempre
an : −1, 1/2, −1/3, 1/4, −1/5, . . .
Ejemplo 2.20. Estudie la monotonıa de la sucesion an = sen(1/n), n ∈ IN∗.
Solucion:Sea f(x) = sen(1/x), x ∈ IR, entonces
f ′(x) = (−1/x2) · cos(1/x) < 0, ∀x ∈[1,+∞
[Entonces ∀x ∈
[1,+∞
[, f(x)↘ =⇒ an ↘ �
Nota 2.14. Sean an, bn sucesiones reales positivas y G : R → IR aplicacion real continua en elrango R de an, entonces.
1. an ↗ ⇐⇒ −an ↘
2. an ↗ ⇐⇒ [an]−1 ↘
3. an ↗ ∧ bn ↗ =⇒ ∀α ∈ IR, [an · bn]↗ ∧ [α+ an + bn]↗
4. an ↘ ∧ bn ↘ =⇒ ∀α ∈ IR, [an · bn]↗ ∧ [α+ an + bn]↘
Tema 4. Induccion y Sucesiones 18
5. an ↘ ∧ bn ↗ =⇒ [an · bn]↘
6. an ↗ ∧ G(x)↗ =⇒ G[an]↗
7. an ↘ ∧ G(x)↗ =⇒ G[an]↘
8. an ↘ ∧ G(x)↘ =⇒ G[an]↗
Nota 2.15. Si r > 0,rn ↘ ⇐⇒ r < 1 ∧ rn ↗ ⇐⇒ r > 1
Ejemplo 2.21. Estudie la monotonıa de an = 2 +3−n√n+ 1
+5n+1
7n
Solucion:Tenemos que 3n ↗ y
√n+ 1↗ =⇒ 3n
√n+ 1↗ , luego
3−n√n+ 1
=1
3n√n+ 1
↘
tambien, como 5/7 < 15n+1
7n= 5
(5
7
)n↘
Se concluye entonces que an es decreciente. �
Tema 4. Induccion y Sucesiones 19
2.3.2 Cotas
Definicion 2.7 (Cotas). De una sucesion (an)n∈IN se dice que es
(a) Acotada inferiormente si y solo si
∃M1 ∈ IR tal que ∀n ∈ IN, M1 ≤ an
M1 es llamado cota inferior de la sucesion an.
(b) Acotada superiormente si y solo si
∃M2 ∈ IR tal que ∀n ∈ IN, an ≤M2
M2 es llamado cota superior de la sucesion an.
(c) Acotada si es acotada inferiormente y superiormente a la vez, es decir
∃M1,M2 ∈ IR tales que ∀n ∈ IN, M1 ≤ an ≤M2
Ejemplo 2.22. an = 3 sen(n) + 1 es una sucesion acotada, pues ∀n ∈ IN
−1 ≤ sen(n) ≤ 1 ⇐⇒ −3 + 1 ≤ 3 sen(n) + 1 ≤ 3 + 1
⇐⇒ −2 ≤ 3 sen(n) + 1 ≤ 4
La cota inferior es −2 y la cota superior es 4.Note que an es divergente y no es monotona, pues sus valores varıan entre −2 y 4 sin ningun
orden.
Ejemplo 2.23. an = (−1)n es una sucesion acotada, pues ∀n ∈ IN
−1 ≤ (−1)n ≤ 1
La cota inferior es −1 y la cota superior es 1.Claramente an es divergente y no es monotona.
Ejemplo 2.24. an = n3 + 1 es una sucesion acotada inferiormente por 1, pues ∀n ∈ IN
0 ≤ n3 ⇐⇒ 1 ≤ n3 + 1
Ejemplo 2.25. an =5
n+ 4es una sucesion acotada pues ∀n ∈ IN
0 ≤ 5
n+ 4≤ 5
4, pues n+ 4 ≥ 4
La cota inferior es 0 y la cota superior es 5/4.
Tema 4. Induccion y Sucesiones 20
Teorema 2.5. Sea (an)n∈IN una sucesion real.
(a) Si limn→+∞
an = +∞ o si existe una subsucesion anktal que lim
k→+∞ank
= +∞, entonces la
sucesion NO es acotada superiormente.
(b) Si limn→+∞
an = −∞ o si existe una subsucesion anktal que lim
k→+∞ank
= −∞, entonces la
sucesion NO es acotada inferiormente.
(c) Si existen subsucesiones anky amk
tales que limk→+∞
ank= +∞ y lim
k→+∞amk
= −∞, entonces
la sucesion an NO es acotada ni inferior ni superiormente.
Ejemplo 2.26. La sucesion an = n3 + 1 no es acotada superiormente, pues
limn→+∞
an = +∞
Ejemplo 2.27. La sucesion an = csc(1/n) no es acotada superiormente, pues
limn→+∞
an = csc(0+) =1
0+= +∞
Ejemplo 2.28. La sucesion an = tan
[n
n3 + 4− π
2
]no es acotada inferiormente, pues
limn→+∞
an = tan[0+ − π
2
]= tan
[−π
2
+]
= −∞
Ejemplo 2.29. La sucesion an = (−1)n ln(n) no es acotada ni superiormente ni inferiormente,pues
limk→+∞
a2k = limk→+∞
ln(2k) = +∞ ∧ limk→+∞
a2k+1 = − limk→+∞
ln(2k + 1) = −∞
Nota 2.16. Sea (an)n=n0,n0+1,n0+2,... una sucesion monotona.
(a) Si an ↗ , entonces an acotada inferiormente por an0 . Es decir que ∀n ≥ n0, an ≥ an0 .
(b) Si an ↘ , entonces an acotada superiormente an0 . Es decir que ∀n ≥ n0, an ≤ an0 .
Teorema 2.6. Sea (an)n=n0,n0+1,n0+2,... una sucesion monotona y convergente, entonces an esacotada.
(a) Si an ↗ entonces para todo natural n ≥ n0
an0 ≤ an ≤ limn→+∞
an
(b) Si an ↘ entonces para todo natural n ≥ n0
limn→+∞
an ≤ an ≤ an0
Tema 4. Induccion y Sucesiones 21
Ejemplo 2.30. Determine la convergencia, monotonıa y cotas de la sucesion
an =2n2 − n+ 1
3n2 + 1, n ∈ IN∗
Solucion:Tenemos que
limn→+∞
2n2 − n+ 1
3n2 + 1= lim
n→+∞
2n2 − n+ 1
n2
3n2 + 1
n2
= limn→+∞
2− 1
n+
1
n2
3 +1
n2
=2− 0 + 0
3 + 0=
2
3
entonces la sucesion es convergente hacia 2/3.Hay dos maneras de ver la mononıa
Opcion 1: Sea
f(x) =2x2 − x+ 1
3x2 + 1
entonces
f ′(x) =(4x− 1) · (3x2 + 1)− (2x2 − x+ 1) · 6x
(3x2 + 1)2
=12x3 + 4x− 3x2 − 1− 12x3 + 6x2 − 6x
(3x2 + 1)2
=3x2 − 2x− 1
(3x2 + 1)2
=(3x+ 1)(x− 1)
(3x2 + 1)2≥ 0, siempre que x ≥ 1
luego x ≥ 1 =⇒ f ′(x) ≥ 0 =⇒ f(x) ↗ =⇒an ↗ siempre que n ∈ IN∗.
Opcion 2:
an+1 − an =2(n+ 1)2 − (n+ 1) + 1
3(n+ 1)2 + 1− 2n2 − n+ 1
3n2 + 1
...
=3n2 + n− 2
(3n2 + 6n+ 4)(3n2 + 1)
∀n ∈ IN∗, 3n2 + n− 2 = (3n− 2)(n+ 1) > 0entonces an+1 − an > 0Luego ∀n ∈ IN∗, an+1 > an ⇐⇒ an ↗
Finalmente, como la sucesion an, n ∈ IN∗ es monotona creciente y convergente, entonces esacotada inferiormente por a1 y superiormente por lim
n→+∞an.
La cota superior es limn→+∞
an = 2/3 y la cota inferior es a1 =2− 1 + 1
3 + 1=
1
2
∴ ∀n ∈ IN∗,1
2≤ an < an+1 ≤
2
3�
Ejemplo 2.31 (Ejercicio). Determine la convergencia, monotonıa y cotas de la sucesion
an =5n− 1
4n− 3, n ∈ IN
Resp. / an → 5/4 es convergente. an decreciente siin ≥ 1. En IN no es monotona. an sı es acotada:1/3 ≤ an ≤ 4
Tema 4. Induccion y Sucesiones 22
Nota 2.17. Sea (an)n=n0,n0+1,n0+2,... una sucesion monotona.
(a) Si an ↗ y limn→+∞
an = +∞, entonces an es acotada inferiormente por an0 , pero NO es
acotada superiormente:
∀n ∈ IN, an0 ≤ an ≤ limn→+∞
an = +∞
(b) Si an ↘ y limn→+∞
an = −∞, entonces an es acotada superiormente por an0 , pero NO es
acotada inferiormente:∀n ∈ IN, −∞ = lim
n→+∞an ≤ an ≤ an0
Ejemplo 2.32. Determine la convergencia, monotonıa y cotas de la sucesion
an = n · arctan(2− n), n ∈ IN
Solucion: Tenemos que
limn→+∞
an = limn→+∞
n · arctan(2− n) = +∞ · arctan(−∞) = +∞ ·(−π
2
)= −∞
Luego an es una sucesion divergente a −∞.Note que, para todo x ∈ IR[
arctan(1− x)]′
=−1
1 + (1− x)2< 0 =⇒ arctan(1− x) ↘
Entonces para todo n ∈ IN
n↗ ∧ arctan(1− n) ↘ =⇒ an = n · arctan(2− n) ↘
Concluimos entonces que an es una sucesion divergente, monotona decreciente estrictamentey acotada superiormente por a0 = 0 pero NO es acotada inferiormente.
∀n ∈ IN, −∞ ≤ an+1 < an ≤ 0
�
Ejemplo 2.33. Determine la convergencia, monotonıa y cotas de la sucesion
an = ln
[n2 + 1
3n+ 2
], n ∈ IN
Solucion: Como ln(x) es una funcion continua en IR+, tenemos que
limn→+∞
an = limn→+∞
ln
[n2 + 1
3n+ 2
]= ln(+∞) = +∞
Luego an es una sucesion divergente a +∞.Recordemos que ln(x) es creciente en todo su dominio y note que[
x2 + 1
3x+ 2
]′=
2x(3x+ 2)− 3(x2 + 1)
(3x+ 2)2=
3x2 + 4x− 3
(3x+ 2)2> 0 , ∀x ≥ 1
Tema 4. Induccion y Sucesiones 23
Entonces para todo n ∈ IN∗ y para todo x ∈ IR∗
n2 + 1
3n+ 2↗ ∧ ln(x) ↗ =⇒ an = ln
[n2 + 1
3n+ 2
]↗
Ası se cumple que an es monotona creciente estrictamente en IN∗ con lımite igual a +∞,entonces an es acotada inferiormente por min(a0, a1) pero NO es acotada superiormente.
Note ademas que
a0 = ln
(1
2
)∧ a1 = ln
(2
5
)donde
1
2≥ 2
5⇐⇒ 5 ≥ 4 =⇒ min(a0, a1) = a1
Se concluye que an es una sucesion divergente que no es monotona en IN pues a0 > a1, esacotada inferiormente por a1 = ln(2/5) y no tiene cota superior.
∀n ∈ IN, ln(2/5) ≤ an ≤ +∞ ∧ ∀n ∈ IN∗, ln(2/5) ≤ an < an+1 ≤ +∞�
Tema 4. Induccion y Sucesiones 24
2.4 Recursion
Definicion 2.8 (Recursion). Una sucesion (an)n∈IN esta definida de manera recursiva o por re-cursion, si se definen los primeros valores a0, a1, . . . ap, y se establece una relacion
∀n ∈ IN, an+p = G(an+p−1, an+p−2, . . . , an−1, an)
Ejemplo 2.34. {a0 = 3
an+1 = 3 · an
es una serie definida recursivamente.Note que, para la sucesion anterior
a1 = 3 · a0 = 3 · 3 = 32
a2 = 3 · a1 = 3 · 32 = 33
a3 = 3 · a2 = 3 · 33 = 34
a4 = 3 · a3 = 3 · 34 = 35
...
an = 3n+1, es forma explıcita
Ejemplo 2.35 (Sucesion de Fibonacci).a0 = 1
a1 = 1
an+2 = an+1 + an
es una serie definida recursivamente.Note que, para la sucesion anterior
a2 = a1 + a0 = 1 + 1 = 2
a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3
a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5
a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8
...
Tema 4. Induccion y Sucesiones 25
Teorema 2.7 (Teorema de Weierstrass). Tambien es conocido como teorema de convergenciamonotona.Sea (an)n∈IN una sucesion real monotona, entonces
(a) Si an creciente y acotada superiormente, entonces an es convergente.
∀n ∈ IN, an ↗ ∧ ∃M ∈ IR, an < M =⇒ an convergente
(b) Si an decreciente y acotada inferiormente, entonces an es convergente.
∀n ∈ IN, an ↘ ∧ ∃M ∈ IR, an > M =⇒ an convergente
Nota 2.18. Si (an)n∈IN es una sucesion convergente con valor de convergencia L, entonces secumple que, para todo p ∈ IN
limn→+∞
an = L ∧ limn→+∞
an+p = L
Teorema 2.8 (Condicion de Cauchy). Sea (an)n∈IN sucesion real, entonces para todo p ∈ IN
an convergente ⇐⇒ limn→+∞
(an+p − an) = 0
Nota 2.19. Si una sucesion definida recursivamente en una relacion
an+p = G(an+p−1, an+p−2, . . . , an−1, an)
es convergente, con valor de convergencia L, entonces se cumple la igualdad
L = G(L,L, . . . , L︸ ︷︷ ︸p veces
)
Ejemplo 2.36. Considere la sucesion (an)n∈IN sucesion definida recursivamentea0 = 3
an+1 = 9− 14
an
Muestre que an es monotona creciente, acotada superiormente por 8 y concluir convergencia.
Solucion:Monotonıa: an ↗ ⇐⇒ an+1 > an
Probemos por induccion sobre n ∈ IN:n = 0
a0 = 3 ∧ a1 = 9− 14
3=
13
3note que
a0 < a1 ⇐⇒ 3 <13
3⇐⇒ 9 < 13
(X)
Tema 4. Induccion y Sucesiones 26
n→ n+ 1 {h.i : an+1 > an
h.q.d : an+2 > an+1
Note que
h.i ⇐⇒ an+1 > an ⇐⇒1
an+1<
1
an⇐⇒ − 1
an+1> − 1
an
Tenemos que
an+2 = 9− 14
an+1
h.i> 9− 14
an= an+1 =⇒ an+2 > an+1
(X)
Luego, por induccion matematica se concluye que ∀n ∈ IN, an ↗
Cota: Veamos por induccion sobre n ∈ IN que an < 8.
n = 0a0 = 3 < 8
(X)
n→ n+ 1 {h.i : an < 8
h.q.d : an+1 < 8
Como an ↗ =⇒ ∀n ≥ 0, an ≥ a0 = 3 > 0, note ademas que
h.i ⇐⇒ an < 8 ⇐⇒ 1
an>
1
8⇐⇒ − 1
an< −1
8
Tenemos que
an+1 = 9− 14
an
h.i< 9− 14
8=
58
8
ademas58
8< 8 ⇐⇒ 58 < 64
(X)
entonces an+1 < 58/8 < 8(X)
Luego, por induccion matematica se concluye que ∀n ∈ IN, an < 8.
Convergencia: Como an ↗ y an acotada superiormente, entonces an es convergente por elteorema de convergencia monotona, luego existe L tal que L = lim
n→+∞an = lim
n→+∞an+1.
Entonces
an+1 = 9− 14
an=⇒ L = 9− 14
L
=⇒ L2 = 9L− 14
=⇒ L2 − 9L+ 14 = 0
=⇒ (L− 2)(L− 7) = 0
=⇒ L = 2 ∨ L = 7
Como an es creciente y convergente, cumple
3 = a0 < an < L =⇒ L > 3
Por lo tanto el valor de convergencia es L = 7. �
Tema 4. Induccion y Sucesiones 27
Ejemplo 2.37 (Ejercicio). Considere la sucesion (an)n∈IN sucesion definida recursivamente{a0 = 6
an+1 =√
6 an − 8
Muestre que an es monotona decreciente, acotada inferiormente por 3 y concluir convergencia.En caso de ser convergente calcule el lımite.
Resp. / Que es decreciente y acotada son propiedadesque se prueban por induccion, luego concluyaque an converge por convergencia monotona ha-cia 4.
Al final: 4 ≤ an ≤ 6
Tema 4. Induccion y Sucesiones 28
3 Induccion Fuerte ?
Definicion 3.1 (Induccion Fuerte). El metodo de Induccion Fuerte tambien llamada ”induccioncompleta“, es un metodo de demostracion de propiedades que “predican” sobre los numeros nat-urales.
El metodo basico se describe a continuacion:
“Sea Pn, n ∈ IN una propiedad que predica sobre los numeros naturales.Si se cumple:
(a) P0 es Verdadero
(b) ∀m ≤ n, Pm es Verdadero =⇒ Pn+1 es Verdadero
entonces la propiedad Pn es cierta para todo n ∈ IN”
Ejemplo 3.1 (Sucesion de Fibonacci). Considere la sucesion (an)n∈IN definida recursivamentea0 = 1
a1 = 1
an+2 = an+1 + an
Demuestre que para todo n ≥ 2
an ≥n
2Luego determine la convergencia de an.
Solucion:Demostremos por induccion fuerte:
n = 1
a2 = a1 + a0 = 1 + 1 = 2 ∧ 2
2= 1 =⇒ a2 >
2
2
(X)
n→ n+ 1 h.i.f : am ≥
m
2, ∀m ≤ n
h.q.d : an+1 ≥n+ 1
2Tenemos que
an+1 = an + an−1h.i.f≥ n
2+n− 1
2= n− 1
2
ademas
n− 1
2≥ n+ 1
2⇐⇒ 2n− 1 ≥ n+ 1 ⇐⇒ n ≥ 2
(X)
Entonces para todo n ≥ 2
an+1 ≥n+ 1
2Luego por induccion fuerte se concluye que para todo n ≥ 2, an ≥ n/2.Al final podemos concluir que
limn→+∞
an ≥ limn→+∞
n
2= +∞ =⇒ lim
n→+∞an = +∞ ( Teo. Sandwich )
Se concluye que an es divergente. �
Tema 4. Induccion y Sucesiones 29
Ejemplo 3.2 (Sucesion de Fibonacci). Considere la sucesion (an)n∈IN definida recursivamentea0 = 1
a1 = 1
an+2 = an+1 + an
Demuestre que para todo n ∈ IN?
an =1√5
[1 +√
5
2
]n− 1√
5
[1−√
5
2
]nSolucion:
Demostremos por induccion fuerte:n = 1
a1 = 1 ∧ 1√5
[1 +√
5
2
]1− 1√
5
[1−√
5
2
]1=
1 +√
5
2√
5− 1−
√5
2√
5
=1 +√
5− 1 +√
5
2√
5
=2√
5
2√
5
= 1(X)
n→ n+ 1 h.i.f : am =
1√5
[1 +√
5
2
]m− 1√
5
[1−√
5
2
]m, ∀m ≤ n
h.q.d : an+1 =1√5
[1 +√
5
2
]n+1
− 1√5
[1−√
5
2
]n+1
Tenemos que para todo n ≥ 1
an+1 = an + an−1
h.i.f=
1√5
[1 +√
5
2
]n− 1√
5
[1−√
5
2
]n+
1√5
[1 +√
5
2
]n−1− 1√
5
[1−√
5
2
]n−1
=1√5
[1 +√
5
2
]n·[
1 +2
1 +√
5
]− 1√
5
[1−√
5
2
]n·[
1 +2
1−√
5
]
=1√5
[1 +√
5
2
]n·
[1− 2 (1−
√5)
4
]− 1√
5
[1−√
5
2
]n·
[1− 2 (1 +
√5)
4
]
=1√5
[1 +√
5
2
]n·
[1 +√
5
2
]− 1√
5
[1−√
5
2
]n·
[1−√
5
2
]
=1√5
[1 +√
5
2
]n+1
− 1√5
[1−√
5
2
]n+1 (X)
Se concluye por induccion fuerte que la formula es cierta para todo n ∈ IN∗. �
Tema 4. Induccion y Sucesiones 30
Ejemplo 3.3 (Ejercicio). Considere la sucesion (an)n∈IN definida recursivamentea0 = 1
a1 = 2
an+2 =5 an+1 − an
6
Demuestre que para todo n ∈ IN
an =10
2n− 9
3n
Luego determine la convergencia de an.
Ejemplo 3.4 (Ejercicio). Considere la sucesion (an)n∈IN sucesion definida recursivamentea0 = 0
a1 = 1
an+2 =3 an+1 + an
10
Muestre que para n ≥ 2, an es monotona decreciente, acotada inferiormente por −1 y concluirconvergencia.
Tema 4. Induccion y Sucesiones 31
Referencias
[1] Duarte A. & Cambronero S., Construccion de conjuntos Numericos, 2007
[2] Pisa Volio E., Introduccion al Analisis real en una variable, Editorial de la Universidad deCosta Rica, Costa Rica, 2003
[3] Poltronieri J., Calculo 2, Serie: Cabecar, Costa Rica, 1998
[4] Duarte A. & Cambronero S., Complementos de Calculo, 2011
[5] Ugalde W. J., MA0350 Calculo en una Variable II, 2011
[6] Takeuchi Y., Sucesiones y Series, Editorial Limusa, M’exico, 1983
[7] Apostol T.M., Analisis Matematico, Editorial Reverte, Mexico, 1982
[8] Demidovich B., Problemas y Ejercicios de Analisis Matematico, Editorial Mir, Moscu, URSS,1973
[9] Doneddu A., Analisis y Geometrıa Diferencial, Editorial Aguilar, Espana, 1979
[10] Larson R., Hostetler, Calculo y Geometrıa Analıtica, Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1989
[11] Edwards C.H & Penney D. E., Calculo con Geometrıa Analıtica, Prentice Hall Hispanoamer-icana, Mexico, 1996
[12] Spiegel M. R., Manual de formulas y tablas matematicas, Editorial McGraw-Hill, Mexico,1970