Post on 17-Jul-2020
Tema 2. Modelització
de sistemes dinàmics
Fatiha Nejjari i Joseba Quevedo
1
Tema 2. Modelització
de sistemes dinàmics
2.1- Transformada de Laplace
2.2- Funció de transferència
2.3- Diagrama de blocs
2.4- Modelització de sistemes
dinàmics
2.5- Espai d’estat
2.6- Linealització
2
Tema 2. Modelització
de sistemes dinàmics
2.1. Transformada de Laplace
3
TRANSFORMADA DE LAPLACE
L
L
1 - L L
2.- L L L
-1
[ ( )] ( )
[ ( )] ( )
[ ( )] [ ( )]
[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]
f t F s f t e dt
F s f t
propiedades
Af t A f t
f t f t f t f t
st
0
1 2 1 2
transformada inversa de Laplace
transformada de Laplace
• s = una variable complexa
• f(t) una funció del temps t, tal que f(t) = 0 per t<0
• F(s) transformada de Laplace de f(t)
A = cte
s j
4
Transformada de Laplace: EXEMPLE
Funció exponencial:
f(t) = 0 per t < 0
f(t) = Ae-at per t <= 0
L Ae AL e A e e dt A eA
s
t t t st s t[ ] [ ]
a a a a
a0 0
Altres exemples:
• Funció graó
• Funció rampa
5
Transformada de Laplace: DERIVADA
Ld
dtf t sF s f
Ld
dtf t L
d
dtg t sG s g sL g t g
sLd
dtf t df dt s F s sf df dt
( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ] ( )
( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) /
0
0 0
0 0 0
2
2
2
primera derivada
derivada n-èsima
Segona derivada
6
Transformada de Laplace: INTEGRAL
L f t dtF s
s
t
( )( )
0
La integració en el domini del temps es converteix en divisió
en el domini de s.
motor 1/s v(s) qm(s) m(s)
(volts)
(velocitat
angular)
(desplaçament
angular )
q
m m
t
mL t dts
s
( )
( )
0
7
TEOREMA DEL VALOR FINAL
f f t sF st slim lim
( ) ( )0
f sF sslim0
( )
El teorema del valor inicial i del valor final permeten predir el
comportament del sistema en el domini del temps, sense haver
de transformar les funcions en s a funcions del temps.
TEOREMA DEL VALOR INICIAL
8
Transformada inversa de Laplace
L
L
-1
-1
[ ( )] ( )
[ ( )] ( ) ( )
F s f t
F s f tj
F S e dsst
c j
c j
1
2
• En general, no s’utilitza l’expressió matemàtica anterior.
• La forma més convenient es l’ús de les taules de Laplace.
• Si no es troba en la taula la transformada inversa de
F(s), es pot desenvolupar en fraccions simples, i escriure
F(s) en termes de funcions simples de s, per les quals
es coneixen les transformades inverses de Laplace.
9
Transformanda inversa de Laplace
F sB s
A s( )
( )
( ) A(s) i B(s) són polinomis en s. El grau de
B(s) és menor que el de A(s).
Si F(s) es descomposa en les seves components
F(s) = F1(s) + F2(s) + ....... + Fn(s)
aleshores
f(t) = L-1(F(s) )= L-1[F1(s)] + L-1[F2(s)] + ..... + L-1[Fn(s)] =
= f1(t) + f2(t) + .... + fn(t)
• zeros: arrels del polinomi del numerador B(s).
• pols: arrels del polinomi del denominador A(s).
10
POLS I ZEROS D’UNA FUNCIÓ
F ss
s s
s
s s s s( )
3
3 2
3
1 2
2
1
1
22
• Funció d’ordre 2 (grau del polinomi del denominador)
• zeros: arrels del polinomi del numerador -B(s)-.
• pols: arrels del polinomi del denominador -A(s)-
Per aplicar el mètode d’expansió en fraccions simples i
trobar la transformada inversa de Laplace de F(s), s’han de
conèixer prèviament les arrels del polinomi del denominador:
cal factorizar el polinomi del denominador.
11
Expansió en fraccions simples: F(s) conté pols diferents
F sB s
A s
K s z s z s z
s p s p s pm
n
( )
( )
( )( )....( )
( )( )....( )1 2
1 2
on p1, p2,...., pn y z1, z2,...., zm són quantitats reals o complexes.
Si F(s) conté només pols diferents, pot expandir-se en:
F sB s
A s
a
s p
a
s p
a
s p
n
n
( )
( ) ( ) ( )....
( )
1
1
2
2
on els diferents coeficients ak (k=1,2,...,n) són constants.
ak s’anomena residu en el pol de s = -pk.
a s p
B s
A sk k
s pk
( )( )
12
Expansió en fraccions simples
Altres casos:
• F(s) té pols complexes conjugats
• F(s) té pols múltiples
13
Resolució d’equacions diferencials lineals invariants
en el temps
Exemple: b)0(X
14
Tema 2. Modelització
de sistemes dinàmics
2.2. Funció de transferència
15
Funció de Transferència
La funció de transferència d’un sistema, en el qual
entrada i sortida estiguin relacionades mitjançant una
equació diferencial lineal invariant en el temps, es
defineix com la relació entre la transformada de Laplace
de la sortida i la transformada de Laplace de l’entrada,
suposant condicions inicials nul·les.
)()( 011
1
1011
1
1 tubdt
dub
dt
udb
dt
udbtya
dt
dya
dt
yda
dt
yda
m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n
01
1
1
01
1
1
)(
)(
asasasa
bsbsbsb
sU
sYn
n
n
n
m
m
m
m
16
Funció de Transferència - comentaris
La fdt és un model matemàtic que relaciona la variable de sortida amb la variable d’entrada.
La sortida, en el domini s, es troba multiplicant la fdt per l’entrada.
La fdt és una propietat intrínseca del sistema, i independent de la magnitud o naturalesa de l’entrada.
La fdt inclou les unitats necessàries per relacionar l’entrada amb la sortida; tot i això, no dóna informació sobre l’estructura física del sistema.
Si es coneix la fdt d’un sistema, es pot estudiar la sortida o resposta per diverses formes d’entrada amb l’objectiu de conèixer millor el sistema.
Si no es coneix la fdt d’un sistema es pot determinar experimentalment introduint entrades conegudes i estudiant la resposta.
17
M
K
B
f(t)
x(t)
EXEMPLE : SISTEMA MECÁNIC
DADA: f(t)
INCÒGNITA: x(t)
f t Mx t Bx t Kx t( ) ( ) ( ) ( )
Equació Diferencial
MODELS MATEMÀTICS
18
Transformada de Laplace- Exemple
(condicions
inicials = 0) 1
02
1
1 t
dsx t L A e t
Ms Bs K( ) cos( )
2F s MX s s BX s s KX s( ) ( ) ( ) ( )
1si f t t F s
s( ) ( ) ( ) 1
2 2
1F s sX s
Ms Bs K Ms Bs K
( )( )
f t Mx t Bx t Kx t( ) ( ) ( ) ( )
19
Funció de Transferència: exemple
SortidaF T
Entrada.
12Ms Bs K
f(t) x(t)
f(t)
t
f(t)
t
x(t)
t
2
1X sT s
F s Ms Bs K
( )( )
( )
x(t)
20
Tema 2. Modelització
de sistemes dinàmics
2.3. Diagrama de blocs
21
Transferència – Àlgebra de Blocs
Capturen la essència
del sistema en un
formalisme gràfic i
abstracte de
manipulació simple.
Representen el flux i
processament dels
senyals dins del
sistema.
22
Funcions de transferència a partir
de blocs elementals
Descomposició del sistema en blocs
elementals
Substituir cada bloc elemental per una F.T
equivalent.
Reducció del esquema bloc
Obtenció de la F.T del sistema
23
DIAGRAMA DE BLOCS
G(s)
Funció de
transferència
E(s) S(s) S(s) = E(s)G(s)
G(s) = S(s) / E(s)
Diagrama de blocs
d’un sistema en
llaç tancat i
amb realimentació
unitària.
24
Diagrama de blocs: fdt en llaç tancat
G(s) E(s) C(s) R(s)
H(s) B(s)
+
-
C(s) G(s)
R(s) 1 + G(s) H(s) =
fdt directa: C(s)/E(s)= G(s)
fdt en llaç obert: B(s)/E(s)=G(s)H(s)
25
Diagrama de blocs: sistema
sotmès a una pertorbació
26
Diagrama de blocs: construcció
ie e
R
eidt
C
i o
o
27
Diagrama de blocs: reducció
Per simplificar un diagrama s’utilitzen les regles de l’àlgebra de blocs:
1. Connexió de blocs en sèrie (en cascada): multiplicació
2. Connexió de blocs en paral·lel: suma
3. Eliminar bucles de realimentació (negativa o positiva)
4. Eliminació del bloc de realimentació H(s): retorn unitari
5. Commutativitat d’elements
6. Etc. (veure taula)
28
Diagrama de blocs: reducció
Funció de
Transferència
Sumador Bifurcació
Elements bàsics:
Àlgebra de blocs:
29
30
31
Diagrama de blocs: exemple de reducció
32
Diagrama de blocs: exemple de reducció
33
Diagrama de blocs: exemple de reducció
34
Diagrama de blocs: exemple de reducció
35
Gràfics de flux de senyal
Procediment alternatiu per representar un
diagrama de blocs
36
Gràfics de flux de senyal:
equivalències
37
Gràfics de flux de senyal:
equivalències
38
Gràfics de flux de senyal:
definicions
Node: és un punt que representa una variable o senyal
Transmitància: és el guany entre dos nodes (fdt)
Branca: és un segment entre dos nodes, amb una direcció i sentit indicat per una fletxa. Cada branca tindrà la seva transmitància o guany.
Node d’entrada o font: node on només surten branques.
Node de sortida: node on només entren branques.
Node mixt: té branques d’entrada i de sortida.
Camí o trajecte: és un recorregut de branques connectades en el sentit de les fletxes.
Camí obert: camí que no creua cap node més d’una vegada.
Camí tancat: camí que acaba en el mateix node on ha començat, i no creua cap node més d’una vegada.
Llaç: camí tancat.
Guany de llaç: producte de les transmitàncies de les branques d’un llaç.
Llaços disjunts: no tenen cap node en comú.
Camí directe: és el camí d’un node d’entrada a un node de sortida, sense creuar cap node més d’una vegada.
Guany de camí directe: és el producte de les transmitàncies d’un camí directe.
39
Gràfics de flux de senyal: fórmula
de Mason
40
Gràfics de flux de senyal:
exemple 1
41
Gràfics de flux de senyal:
exemple 2
42
Tema 2. Modelització
de sistemes dinàmics
2.4. Modelització
43
Modelització de sistemes
elèctrics
Llei de Kirchhoff
44
SISTEMES ELÈCTRICS
iL
vL
L
vR
iR R
iC
vC
C
RESISTÈNCIA
INDUCTÀNCIA
CAPACITAT
i tR
v t I sR
V sR R
L
R R( ) ( ) ( ) ( ) 1 1
i tL
v t dt I ssL
V sL L
L
L L( ) ( ) ( ) ( ) 1 1
i t Cdv t
dtI s sCV sC
C L
C C( )( )
( ) ( )
EXEMPLE: Trobar la F:T V s
I s
2
1
( )
( )
R3
L2 R2 L1 R1
C2 C1 i(t)
v1(t) v2(t)
45
R3 v1(t) v2(t)
)(1
)(111
)(
)()(
1)()()()(
2
3
1
131
11
3
21
13
1
1
1111
sVR
sVsLRR
sCsI
R
tvdttv
LR
tv
R
tv
dt
tdvCti
)(111
)(1
0
)(1)()()()(
0
2
232
21
3
2
23
2
2
222
3
1
sVsLRR
sCsVR
dttvLR
tv
R
tv
dt
tdvC
R
tv
V s
I s
2
1
( )
( )
L2 R2 L1 R1
C2 C1 i(t)
Node 1
Node 2
VR
hhRVR
VhI
VshRV
sss2
3
2132
3
111
1)()(
1)(
2231 )(
46
SISTEMES ELÈCTRICS
Ldi
dtRi
Cidt e
Cidt e
E s
E s LCs RCs
i
o
o
i
1
1
1
12
( )
( )
E s
E s R C s R C s R C s
o
i
( )
( ) ( )( )
1
1 11 1 2 2 1 2
47
eo = K (e2 - e1)
eR
Reo i 2
1
eR
Reo i
1 2
1
Modelització de sistemes
elèctrics
48
SISTEMES MECÀNICS DE TRANSLACIÓ
x1
fB B
x2
fK
x1
K
x2
M
x
fM
FRICCIÓ
ELASTÀNCIA
MASSA
f t Bdx t
dt
dx t
dtF s sB X s X sB
L
B( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
f t K x t x t F s K X s X sK
L
K( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) 1 2 1 2
f t Md x t
dtF s s MX sM
L
M( )( )
( ) ( ) 2
2
2
EXEMPLE: Trobar la F.T X s
F sa ( )
( )
B1
B3 f(t)
B2
K2
K1
M2
xb(t)
M1
xa(t)
49
Sistemes Mecànics de Translació - Exemple
2
1 1 3 1 3a bF s M s B s B s K X s B sX s( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2 2 3 20 a bB sX s M s B s B s K X s( ) ( ) ( )
X s
F sa ( )
( )
B1
B3 f(t)
B2
K2
K1
M2
xb(t)
M1
xa(t)
50
SISTEMES MECÀNICS DE ROTACIÓ
K
q1
K
q2
q1
B B
q2
J
q
(t)
FRICCIÓ
ELASTÀNCIA
MOMENT D’INERCIA
)()()()()(
)( 2121 ssBssdt
td
dt
tdBt B
L
B
)()()())()(()( 2121 ssKsttKt K
L
K qq
q
M
L
Mt Jd t
dts s J s( )
( )( ) ( )
2
2
2
(t)
B3
B2
K2
K1
J2
q3(t)
J1
q2(t)
B1
q1(t)
EXEMPLE: Trobar la F.T q 2 ( )
( )
s
s
Dinámica de c/eje de satélites
51
Sistemes Mecànics de Rotació - Exemple
(t)
1 1 1 1 2s K s K sq q q ( ) ( ) ( )
2
2 1 1 1 1 3 1 2 3 30 K s J s B s B s K s B s sq q q q ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3 2 2 2 3 2 30 B s s J s B s B s K sq q q ( ) ( ) ( )
2 ( )
( )
s
s
B3
B2
K2
K1
J2
q3(t)
J1
q2(t)
B1
q1(t)
52
ea
SISTEMES ELECTROMECÀNICS
Ra = resist. de l’armadura, ohms
La = inductància de l’armad., henrys
ia = corrent a l’armadura, ampers
if = corrent de camp, ampers
ea = tensió d’armadura, volts
eb = força contra-electromotriu, volts
q = desplaçament angular de l’eix del
motor, radians
T = parell del motor, N-m
J = moment d’inèrcia equivalent
del motor i càrrega en
referència
a l’eix del motor, kg-m2
b = coef. de fricció viscosa equiva-
lent del motor i càrrega amb
referència a l’eix del motor,
N-m/(rad/seg) 53
q
q q
K i
T K i K i
T Ki
e Kd
dt
Ldi
dtR i e e
Jd
dtb
d
dtT Ki
f f
f f a
a
b b
aa
a a b a
a
1
2
2
( )
( ) ( )
( )
( )
s
E s
K
s L Js L b R J s R b KK
L
s
E s
K
s T s
a a a a a b
a
m
m
2
0
1
SISTEMES ELECTROMECÀNICS
54
SISTEMES TÈRMICS
RESISTÈNCIA
CAPACITAT
q R
q2 q1
q C
q
1 2 1 2
1 1Lq t t t Q s s sR R
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q q
q t Cd t
dtQ s sC sL( )
( )( ) ( )
q
q0
qs
qm
Rg=R vidre-aire
Rm=R mercuri-vidre
CG=C vidre
CM=C mercuri
EXEMPLE: Termòmetre Clínic, Trobar:
M s
s
( )
( )0
0 1 10 M
G S
G M G M
s sS sC s
R R R R
( ) ( )( )
10 S
M M
M M
sM sC s
R R
( )( )
M s
s
( )
( )0
55
SIMULACIÓ DE MODELS
M
K B
kyyByMf
f
M
B
My
K
My
y y y
f
B
K
y y y
1/M
fKyyBM
y 1
56
SIMULACIÓ DE MODELS
(cas general no lineal)
uxgy
uxfx
)(
x
u
y g
fx
57
Tema 2. Modelització
de sistemes dinàmics
2.4. Models en variables d’estat
58
Models en variables d’estat
)t),t(u,x(g)t(y
)t),t(u),t(x(fdt
)t(xd
Variables
manipulades i
pertorbacions
Respostes
observables
u y x
x Estats
59
VARIABLES D’ESTAT
N equacions Lineals de primer ordre
( , ,.., , , ,.., )
( , ,.., , , ,.., )
( , ,.., , , ,.., )
x f x x x u u u
x f x x x u u u
x f x x x u u u
n m
n m
n n n m
1 1 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
x
x
xn
1
2
y1
y2
yi
yp
u1
u2
ui
um
en forma Vectorial:
( , )x f x u
EQUACIÓ D’ESTAT
Si les fn son explícites
x Ax Bu
mnmnnnnnnnn
mmnn
mmnn
ubububxaxaxax
ubububxaxaxax
ubububxaxaxax
....
....
....
22112211
222212122221212
121211112121111
60
VARIABLES D’ESTAT
x Ax Bu
A n n
B n m
Matriu del Sistema/dinàmica
Matriu d’Entrada
EQUACIÓ DE SORTIDA:
y Cx Du
C p n
D p m
Matriu de Sortida/d’Observació
Matriu de Distribució
EQUACIÓ D’ESTAT:
61
De EE a FT
x Ax Bu
y Cx Du
1( )( )
( )
Y sC sI A B D
U s
62
DE FT a EE
Forma canònica:
1 1
2 2
1 1
0 1 2 2 1
0 1 2
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
1
0
( )
n n
n n n n
m n m
x x
x x
u t
x x
x a a a a a x
y b b b b x
Si n=m
0 0 1 1 2 2 2 2 1 1n n n n n n n n n ny b b a b b a b b a b b a b b a x b u
1
1 1 0
1
1 1 0
( )
( )
m m
m m
n n
n
Y s b s b s b s b
U s s a s a s a
63
DE FT a EE demostració
1
1 1 0
1
1 1 0
( ) ( ) ( ).
( ) ( ) ( )
m m
m m
n n
n
Y s b s b s b s b X s Y s
U s s a s a s a U s X s
64
DE FT a EE demostració
1
1 1 0
1
1 1 0
( ) ( ) ( ).
( ) ( ) ( )
m m
m m
n n
n
Y s b s b s b s b X s Y s
U s s a s a s a U s X s
bmxm+1
m
65
F.T – MODEL D’ESTAT
B1
B3 f(t)
B2
K2
K1
M2
xb(t)
M1
xa(t) Obtenció de la F.T:
2
1 1 3 1 3
2
3 2 2 3 2
2 22 3
1 1 3 1 2
2 2 3 2
2
2 2 3 2
2 2 2
1 1 3 1 2 2 3 2 3
0
a b
a b
aa
a
transformant
F s M s B B s K X s B sX s
B sX s M s B B s K X s
reemplaçant
B s X sF s M s B B s K X s
M s B B s K
M s B B s KX s
F s M s B B s K M s B B s K s B
:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
:
( )( ) ( )
( )
( ) 2
M s B B s K
M M s B B B s M K M K B B B B B s B B K B B K s K K
2
2
2 3 2
1 2
4
1 2 3
3
1 2 2 1 1 3 2 3 3
2 2
1 3 2 2 3 1 1 2
f(t) x(t)
1 1 3 1 3
3 2 2 3 10
a a a b
a b b b
f t M x B B x K x B x
B x M x B B x K x
( )
66
MODEL D’ESTAT: Forma canònica – Exemple 1
0 1 2 3
0 1 2
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1
0
x x u
a a a a
y b b b x
M s B B s K
M M s B B B s M K M K B B B B B s B B K B B K s K K
2
2
2 3 2
1 2
4
1 2 3
3
1 2 2 1 1 3 2 3 3
2 2
1 3 2 2 3 1 1 2
f(t) x(t)
1 3 2 2 3 11 2 33 1
1 2 1 2
2
1 2 2 1 1 3 2 3 31 2
0 2
1 2 1 2
2 2 30 1 2
1 2 1 2 1
,
,
1, ,
B B K B B KB B Ba a
M M M M
M K M K B B B B BK Ka a
M M M M
K B Bb b b
M M M M M
67
MODEL D’ESTAT: Variables físiques
bbba
baaa
xKxBBxMxB
xBxKxBBxMtf
13223
31311
0
)(
1 2 3 4
1 3 1 3 3 1 1 3 4
3 3 2 4 2 3 4 1 20
a b a b
Assignació
x x x x x x x x u f
u t M x B B x K x B x
B x M x B B x K x
:
; ; ; ;
( )
68
MODEL D’ESTAT
4
2
323
2
32
2
214
1
4
1
33
1
3121
1
13
42
31
0
10
xM
BBx
M
Bx
M
Kxx
uM
xM
Bx
M
BBxx
M
Kx
xx
xx
xy
u
M
x
M
BB
M
B
M
KM
B
M
BB
M
Kx
0001
0
10
0
0
0
1000
0100
1
2
32
2
3
2
2
1
3
1
31
1
1
69
1 1 1 1 1
2 2 2
1 2
1
e R i t L i t v t
e L i v t
v i iC
( ) ( ) ( )
( )
( )
R
e1(t)
L1 L2
v(t) C
e2(t) i1(t) i2(t)
Equacions Diferencials
Assignació de Variables d’Estat per Acumuladors de Energia:
L1 i1(t)
L2 i2(t)
C v(t)
1 1 3 1
1 1 1
2 3 2
2 2
3 1 2
1 1
1 1
1 1
Rx x x u
L L L
x x uL L
x x xC C
1 11 1
2 22 2
3
x iu e
x x i uu e
x v
VARIABLES D’ESTAT – Exemple 2
70
VARIABLES D’ESTAT – Exemple 1
31111)(: xRxuiLtvysi L
xR
Lx
Lx
Lu
xL
xL
u
xC
xC
x
1
1
1
1
3
1
1
2
2
3
2
2
3 1 2
1 1
1 1
1 1
Equació d’Estat
Equació de Sortida
R
e1(t)
L1 L2
v(t) C
e2(t) i1(t)
i2(t)
x
x
x
R
L LC
L
C C
x
x
x
L
L
u
u
1
2
3
1 1
2
1
2
3
1
2
1
2
01
0 01
1 10
10
01
0 0
2
1
3
2
1
0110u
u
x
x
x
Ry
71
Tema 2. Modelització
de sistemes dinàmics
2.5. Linealització
72
APROXIMACIONS LINEALS
73
Linealització
Desenvolupament en series de Taylor al voltant d’un
punt de funcionament u0, y0, z0, ….
...)zz(z
f)yy(
y
f)uu(
u
f)z,y,u(f)z,y,u(f
0)z,y,u(f 0)z,y,u(f
0
0
0
0
0
0
000
000
zzz yyy uuu 0zz
fy
y
fu
u
f000
000
Equació lineal en les noves variables u, y, z
74
Models linealitzats
t t
Y U U0
U
Y0
Y
las variables u e y son
canvis sobre un punt de
funcionament U0 , Y0
El rang de validesa esta limitat a un entorn del punt de
funcionament
Procés
)t(Y)t(Y)t(y
)t(U)t(U)t(u
0
0
75
Models linealitzats
Aproximacions lineals de les equacions no lineals
Més fàcils de manipular matemàticament però el
rang en el qual estan vàlids esta limitat
d hC q k h
d t
d hC q h
d t a
76
Model Linealitzat del Dipòsit
q
h
qs
Equació diferencial lineal
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 00
0
0
0 h ,h
0
12
02
( , , ) ,
( ) ( ) ( )
d hC q k h
d t
f h h q q
f f fh h h h q q
h qh
f f k fC
h qh h
d h kC h q
dt h
Variables desviació
h = h - h0
q = q - q0
77
Model Linealitzat del Dipòsit
q
h
qs
El valor dels coeficients depèn del punt de
linealització
0
0
2
2
d h kC q h
dt h
hR
k
d h q h
dt C RC
Variables desviació
h = h - h0
q = q - q0
R =
RCs+1
h
q
78
SISTEMES DE NIVELL DE LÍQUID
h h
Rq
Cdh
dtq q
1 2
1
1
11
1
h
Rq
Cdh
dtq q
2
2
2
22
1 2
79
Linealització d’un sistema
MIMO
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
( , , , , , )
( , , , , , )
( , , , , , )
( , , , , , )
n m
n n n m
n m
p p n m
x f x x u u
x f x x u u
y h x x u u
y h x x u u
0
0
0
x x x
y y y
u u u
1
1
1
1
( , ..., )
( , ..., )
( , ..., )
( , ..., )
T
n
T
n
T
m
T
p
x x x
x x x
u u u
y y y
Ho aproximem per:
x A x B u
y C x D u
80
Linealització d’un sistema
MIMO
0
0
1 1
1
1
n
n n
X XnU U
f f
x x
A
f f
x x
0
0
1 1
1
1
m
n n
X XmU U
f f
u u
B
f f
u u
0
0
1 1
1
1
n
p p
X XnU U
h h
x x
C
h h
x x
0
0
1 1
1
1
m
p p
X XmU U
h h
u u
D
h h
u u
81
Exemple:
Obtenir pel punt de funcionament u=2, x=5 i y= 3.1416 rad:
L’aproximació lineal per Taylor del model no lineal
El model en representació externa o funció de
transferència Y(s)/U(s).
Un sistema dinàmic es regeix per les següents
equacions dinàmiques no lineals:
4 4
2
4 cos( ) 10
12
dxx y u
dt
dyx y
dt
82