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TEMA 5. INECUACIONES
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 85 a 99
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Página 85
1. a) x > 5 / 2
b) x < 2 / 5
c) x > !6 / 3 = !2
d) x " !4
e) x < !3
f) x " !5
2. a) 1ª ecuación # x " !5 2ª ecuación # x " !5 Son equivalentes. b) 1ª ecuación # x " 1 2ª ecuación # x " 1 Son equivalentes.
Página 86
3. a) mcm (6, 2) = 6 # 5x ! 24 " 18x + 3; !27 " 13x; !27 / 13 " x b) mcm (5, 10) = 6 # 2 (x ! 3) + 10 > 3x; 2x + 4 > 3x; 4 > x c) mcm (4, 3, 6) = 12 # 3x ! 48 $ 20x ! 2; !46 $ 17x; !46 / 17 $ x d) mcm (4, 2) = 4 # x ! 6 (x ! 2) " 4 (x ! 17); !5x + 12 " 4x ! 68; 80 " 9x; 80 / 9 " x
4. Marcaremos las semirrectas abiertas con un punto blanco y las cerradas con un punto negro. a) Semirrecta abierta a la izquierda del 4.
b) Semirrecta cerrada a la derecha del !1.
c) Semirrecta abierta a la derecha del !3.
d) Semirrecta cerrada a la derecha del 6.
e) Semirrecta abierta a la izquierda del 5.
f) Semirrecta cerrada a la izquierda del 0.
g) Semirrecta abierta a la izquierda del !4.
h) Semirrecta cerrada a la izquierda del !1.
Página 88
5. a) x1 = !2, x2 = 4 f(0) = !8 < 0
Solución: [!2, 4]
b) x2 ! 2x ! 24 < 0 x1 = !4, x2 = 6 f(0) = !24 < 0
Solución: (!4, 6)
c) x1 = 3, x2 = 7 f(5) = !4 < 0
Solución: (!%, 3] & [7, +%)`
d) x2 + 3x ! 10 > 0 x1 = !5, x2 = 2
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f(0) = !10 < 0 Solución: (!%, !5) & (2, +%)`
6. Actividad personal, por ejemplo:
a) x2 ! 9x + 18 < 0
b) x2 + x ! 6 " 0
c) x2 ! 16 $ 0
d) x2 + x ! 20 " 0
e) x2 ! 5x + 6 $ 0
f) x2 ! x ! 12 > 0
7. a) x1 = 2, x2 = 7; Solución: (2, 7)
b) x1 = !6, x2 = 6; Solución: (!%, !6] & [6, +%)
c) x1 = !8, x2 = !3;
Solución: (!%, !8) & (!3, +%)
d) x1 = 0, x2 = 7; Solución: [0, 7]
8. Si no corta el eje de abscisas y la gráfica queda por encima de dicho eje:
La inecuación no tiene solución si es del tipo f(x) < 0 ó f(x) " 0.
La solución es (!%, +%) si es del tipo f(x) > 0 ó f(x) $ $ 0.
Se razona de forma análoga si la gráfica queda por debajo del eje de abscisas.
Si la gráfica corta en un único punto x = a el eje de abscisas y queda por encima del eje:
La inecuación no tiene solución si es del tipo f(x) < 0,.
La solución es x = a si es del tipo f(x) " 0.
La solución es (!%, a) & (a, +%) si es del tipo f(x) > 0.
La solución es (!%, +%) si es del tipo f(x) $ 0.
a) No corta el eje de abscisas y queda por encima del eje.
Solución: (!%, +%)
b) Corta el eje de abscisas en x = 2 y queda por encima del eje.
Solución: x = 2
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9. a) ""
10x6x
Solución: x " 6 # (!%, 6] La semirrecta cerrada que queda a la izquierda de x = 6.
b) "!!"
x77x
Solución: x = !7 La solución es el punto x = !7.
c) !"
"2x
x4
No tiene solución
d) <!
!"x3/47/8x
Solución: (!4 / 3, !8 / 7] = (!1,3; !1,143] La solución es el intervalo de extremos x = !4 / 3 y x = !8 / 7 abierto por el extremo inferior y cerrado por el superior.
10. Actividad personal, por ejemplo:
a) "$
3x3x
# Solución: x = 3
b) <>
6x1x
# Solución: x = (1, 6)
c) "
!$3x
2x# Solución: x = [!2, 3]
d) No existe tal sistema.
e) <$
2x7x
Página 90
11. a) 3x ! 6 = 0 # x = 2 x2 ! 9 = 0 # x1 = !3, x2 = 3
!3 2 3
3x ! 6 $ 0 No No No Sí Sí Sí Sí
x2 ! 9 $ 0 Sí Sí No No No Sí Sí
Solución: [3, +%)
b) 5 ! x = 0 # x = 5 x2 ! 4 + 3 = x2 ! 1 = 0 # x1 = 1, x2 = !1
!1 1 5
5 ! x $ 0 Sí Sí Sí Sí Sí Sí No
x2 ! 4 + 3 " 0 No Sí Sí Sí No No No
Solución: [!1, 1] c) x2 ! 1 = 0 # x1 = 1, x2 = !1 x2 ! 4 = 0 # x1 = 2, x2 = !2
!2 !1 1 2
x2 ! 1 $ 0 Sí Sí Sí Sí No Sí Sí Sí Sí
x2 ! 4 " 0 No Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí No
Solución: [!2, !1] & [1, 2]
Página 91
12. a) <!$!
03x06x
# <$
3x6x
# No hay solución
>!"!
03x06x
# >"
3x6x
# (3, 6]
La solución es (3, 6].
b) >!>+
05x01x
# >
!>5x
1x # (5, +%)
<!<+
05x01x
# <
!<5x
1x # (!%, !1)
Solución: (!%, !1) & (5, +%)
c) 024x8x4 "!
+! ; 0
4x16x2 "
+!
<+$!04x
016x2 #
!<$
4x8x
# No hay solución
>+"!04x
016x2 #
!>"
4x8x
# (!4, 8]
Solución: (!4, 8]
Página 92
13. a) y $ 7 ! x 0 < 7 # El origen de coordenadas no pertenece a la solución
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b) y $ x 1 ! 2 < 0 # El punto (1, 2) pertenece a la solución
c) y $ 2
x4 !
!1 < 3 # El origen de coordenadas no pertenece a la solución
d) y > 2x ! 1 !2 < 0 # El origen de coordenadas pertenece a la solución.
14. a) Semiplano cerrado por encima de la recta horizontal y = 2.
b) Semiplano cerrado por debajo de la recta horizontal y = 3.
c) Semiplano cerrado a la derecha de la recta vertical x = 0.
d) Semiplano abierto a la izquierda de la recta vertical x = 0.
e) Semiplano abierto a la derecha de la recta vertical x = !3.
f) x > 3 # semiplano abierto a la derecha de la recta vertical x = 3.
Página 94
15. a)
!"#$#%#&#'
"#!#(#&#'
!"#$#%#&#'
"#!#(#&#'
b)
x = 4
y = 1
c) "!!!>
y3x3x23y
'#&#!)#!#("'#&#)"#!#)
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d) !<
!$x4y
2y
'#&#!(
'#&#%#!#"
e) "
"y3/x
0x
'#&#"#*#)
"#&#+
f) !>
"xy2/1x
"#&#,#*#('#&#!"
16. a) Si añadimos x + 8 " y el sistema no tiene solución:
'#&#"#$#-
'#&#"#!#(
'#&#"#$#-
'#&#"#!#(
b) Si añadimos x " !2 el sistema no tiene solución:
'#&#+
"#&#+
'#&#!"#$#%
c) Si añadimos x " 0 el sistema no tiene solución:
'#&#%
'#&#,
'#&#"
'#&#"#!#.
Página 97
1. Una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. Actividad personal.
2. Cuando tienen el mismo conjunto de soluciones.
3. Se invierte el sentido de la desigualdad.
4. Actividad personal.
5. Actividad personal.
6. Puede ocurrir cuando la gráfica de la parábola asociada a la inecuación no corta el eje de abscisas. Por ejemplo, si la inecuación es del tipo f(x) < 0 ó f(x) " 0 y la gráfica se encuentra por encima del eje horizontal, la inecuación no tiene solución.
7. Actividad personal.
8. Actividad personal.
9. Actividad personal.
10. 1. Se despeja y en la inecuación. 2. Se representa la gráfica de la función asociada a la inecuación. 3. Se comprueba si algún punto, en general el origen de coordenadas, verifica la inecuación. Si es así, la solución es el semiplano que contiene a este punto.
11. Por ejemplo: x " y
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12. La región factible es la intersección de todas las regiones que son solución de las inecuaciones del sistema y, por lo tanto, es la solución del sistema.
El sistema $+!
$$
y3x0y0x
tiene como solución el
triángulo cerrado de vértices (0, 0), (3, 0) y (0, 3).
13. a) No son equivalentes, la solución de la primera es (!%, !18 / 7] y la de la segunda es (!%, 6]
b) Son equivalentes, la solución es [!4, +%)
14. a) x > 6 b) 7 < x c) x $ 1 d) x > !7 e) x > 10 f) 5 $ x
15. a) mcm (11, 5, 10) = 110 10x + 88 " 363 10x " 275 # x " 55 / 2
b) 48 ! 2x " 60 ! 3x x " 12
c) !27 > 9x !3 > x
d) 3x ! 5x + 60 $ 10x 60 $ 12x 5 $ x
e) 153 ! 6x < !x + 6 + 15 132 < 5x 132 / 5 < x
f) mcm (2, 3) = 6 3x ! 2x + 6x " 126 7x " 126 # x " 18
16. a) Semirrecta abierta a la izquierda de !2.
b) Semirrecta cerrada a la derecha de !4.
c) Semirrecta abierta a la derecha de 0,5.
d) Semirrecta cerrada a la derecha de 3.
e) Semirrecta abierta a la izquierda de 6.
f) Semirrecta cerrada a la izquierda de !4.
g) Semirrecta abierta a la izquierda de 1,5.
h) Semirrecta cerrada a la izquierda de 2.
17. a) x1 = !2, x2 = 7 f(0) = !14 < 0
Solución: [!2, 7]
b) x2 ! 9x + 10 > 0 x1 = 7,7; x2 = 1,3
f(2) = !4 < 0 Solución: (!%; 1,3) & (7,7; +%)
c) x1 = !10,7; x2 = 1,7 f(0) = !18 < 0
Solución: (!%; !10,7] & [1,7; +%)
d) x2 + 7x ! 60 < 0
x1 = !12, x2 = 5 f(0) = !60 < 0
Solución: (!12, 5)
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18. Actividad personal. En el apartado b consideraremos el intervalo [!7, !6].
19. a) x1 = !11, x2 = 6
Solución: (!%, !11) & (6, +%) b) x1 = x2 = 1
Solución: (!%, +%)
c) x1 = 0, x2 = 5
Solución: (0, 5)
d) x1 = !8, x2 = !3
Solución: (!%, !8) & (!3, +%) e) x1 = 0, x2 = 6
Solución: [0, 6] f) x1 = 2, x2 = 13
Solución: [2, 13]
20. a) x1 = !8, x2 = 0, x3 = 8 f(x) = x3 ! 64x = x (x ! 8) (x + 8)
!8 0 8
x ! ! ! 0 + + +
x ! 8 ! ! ! ! ! 0 +
x + 8 ! 0 + + + + +
f(x) ! 0 + 0 ! 0 +
Solución: (!%, !8) & (0, 8)
b) !2x3 + 40 + 14 > 0 x = 3
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f(x) = !2x3 + 40 + 14 = !2 (x ! 3) (x2 + 3x + 9)
3
x ! 3 ! 0 +
x2 + 3x + 9 + + +
f(x) + 0 !
Solución: (!%, 3) c) x1 = 0, x2 = 1, x3 = !2
!2 0 1
x ! ! ! 0 + + +
x ! 1 ! ! ! ! ! 0 +
x + 2 ! 0 + + + + +
f(x) ! 0 + 0 ! 0 +
Solución: (!%, !2) & (0, 1) d) x1 = 0, x2 = 2, x3 = !2
f(x) = 2x3 ! 8x = 2x (x ! 2) (x + 2)
!2 0 2
x ! ! ! 0 + + +
x ! 2 ! ! ! ! ! 0 +
x + 2 ! 0 + + + + +
f(x) ! 0 + 0 ! 0 +
Solución: [!2, 0] & [2, +%)
Página 98
21. a) "!"!
x632x221
# "!"!
x6/32x2/21
# !32 / 6 " x #
# [!32 / 6, +%) = [!16 / 3, +%)
b) "$!
2x4x59
# ="
$!2/14/2x
x5/9# x " !9 / 5 #
# (!%, !9 / 5]
c) "
$12x3
40 # No tiene solución
d) "$!18x3
x33 #
="$!=!63/18x
x13/3# x " !1 # (!%,
, !1]
e) "!$!x3
x416 #
"!$!=!
x3x44/16
# No tiene
solución
f) "$
x238x
# "
$x2/3
8x# x $ 8 # [8, +%)
22. a) |x| = 2 # x1 = 2, x2 = !2 |0| = 0 < 2
Como !2 < 0 < 2 # Solución: [!2, 2] Intervalo cerrado de extremos !2 y 2.
b) |4x ! 2| = 0 # 4x ! 2 = 0 # x = 1 / 2 Como |4x ! 2| > 0 para el resto de valores #
Solución: x = 1 / 2 Un único punto, x = 1 / 2. c) |5x ! 2| = 3 #
5x ! 2 = 3 # x1 = 5 / 5 = 1 O bien, 5x ! 2 = !3 # x2 = !1 / 5 Si x = 0, |5 ' 0 ! 2| = 2 < 3 Por lo tanto, como !1 / 5 < 0 < 1 # Solución: (!1/ / 5, 1) Intervalo abierto de extremos !1 / 5 = !0,2 y 1.
23. a) !4x ! 18 = 0 # x = !9 / 2 x2 ! 4 = 0 # x1 = 2, x2 = !2
!9 / 2 !2 2
!4x ! 18 $ 0 Sí Sí No No No No No
x2 ! 4 $ 0 Sí Sí Sí No No No Sí
Solución: (!%, !9 / 2] b) x2 ! 16 = 0 # x1 = 4, x2 = !4 !x2 + 1 = 0 # x1 = 1, x2 = !1
!4 !1 1 4
x2 ! 16 $ 0 Sí Sí No No No No No Sí Sí
!x2 + 1 " 0 Sí Sí Sí Sí No Sí Sí Sí Sí
Solución: (!%, !4] & [4, +%) c) x2 ! 25 = 0 # x1 = 5, x2 = !5
x2 = 2 # x1 = 2 , x2 = ! 2
!5 ! 2 2 5
x2 ! 25 $ 0 Sí Sí No No No No No Sí Sí
x2 " 2 No No No Sí Sí Sí No No No
No tiene solución d) !36 ! 9x = 0 # x = !4 x2 ! 5x + 4 = 0 # x1 =1, x2 = 4
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!4 1 4
!36 ! 9x $ 0 Sí Sí No No No No No
x2 ! 5x + 4 " 0 No No No Sí Sí Sí No
No tiene solución e) x2 ! 14x + 33 = 0 # x1 = 3, x2 = 11 3x + 15 = 6 # x = !3
!3 3 11
x2 ! 14x + 33 $ 0 Sí Sí Sí Sí No Sí Sí
3x + 15 $ 6 No Sí Sí Sí Sí Sí Sí
Solución: [!3, 3] & [11, +%) f) x2 ! 2x + 1 = 0 # x = 1 2x + 1 = 0 # x = !1 / 2
!1 / 2 1
x2 ! 2x + 1 > 0 Sí Sí Sí No Sí
2x + 1 $ 0 No Sí Sí Sí Sí
Solución: [!1 / 2, 1) & (1, +%)
24. a) >+"!04x08x2
# !>
"4x
4x # (!4, 4]
<+$!04x08x2
# !<
$4x
4x # No hay solución
La solución es (!4, 4]. La representación es un intervalo semiabierto por
!4 cuyo otro extremo es 4.
b) >+
$!0x3
05x4 #
!>$
3x4/5x
# [5 / 4, +%)
<+"!0x3
05x4 #
!<"
3x4/5x
# (!%, !3)
Solución: (!%, !3) & [5 / 4, +%) La semirrecta abierta a la izquierda de !3 y la semirrecta cerrada a la derecha de 5 / 4 = 1,25.
c) >+>!06x0x25
# !>>6x
x2/5 # (!6, 5 / 2)
<+<!06x0x25
# !<<6x
x2/5 # No hay solución
Solución: (!6, 5 / 2) El intervalo abierto de extremos !6 y 5 / 2 = 2,5.
d) 044x12x3 "!
!! ; 0
4x4x "
!+!
>!"+!04x
04x #
>"
4xx4
# (4, +%)
<!$+!04x
04x #
>"
x44x
# (!%, 4)
Solución: (!%, 4) & (4, +%) Todos los puntos de la recta real pertenecen a la solución excepto x = 4.
e) 062x
10x "!!! ; 0
2x2x5 "
!+!
>!"+!
02x02x5
# >
"2x
x5/2 # (2, +%)
<!$+!
02x02x5
# <
$2x
x5/2 # (!%, 2 / 5]
Solución: (!%, 2 / 5] & (2, +%) La semirrecta cerrada a la izquierda de 2 / 5 = 0,4 y la semirrecta abierta a la derecha de 2.
f) 011xx23 <+
+! ; 0
1x4x <
++!
>+<+!01x
04x #
!><
1xx4
# (4, +%)
<+>+!01x
04x #
!<>
1xx4
# (!%, !1)
Solución: (!%, !1) & (4, +%) La semirrecta abierta a la izquierda de !1 y la semirrecta abierta a la derecha de 4.
25. a) y " 5
8x !
0 < 8 El origen de coordenadas no pertenece a la solución
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b) y $ !2x + 2 1 < 3 El origen de coordenadas no pertenece a la solución
c) y > !3 ! 2x 0 > !3 / 2 El origen de coordenadas pertenece a la solución
d) y $ x ! 3 0 < 3 El origen de coordenadas pertenece a la solución
e) y < !6 ! 2x 18 > 0 El origen de coordenadas no pertenece a la solución
f) y $ 8x ! 26 !12 < 1 El origen de coordenadas pertenece a la solución
26. a) Semiplano cerrado por encima de la recta horizontal y = !3.
b) Semiplano abierto a la izquierda de la recta vertical x = !5.
c) Semiplano cerrado a la derecha de la recta vertical x = 4.
d) Semiplano cerrado por debajo de la recta horizontal y = !2.
e) Semiplano abierto a la derecha de la recta vertical x = 2.
f) y > 2x
!2 ' 0 + 1 > 0
El punto (0, 1) pertenece a la solución.
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27. a)
'#&#!"#$#/
'#&#("#!#(
b) !$
!!$
7xy2
x6y
'#�!-#!#"1#*#(
'#&#"#!#2
c) !$
$
24xy
2x
"#&#('#�"#!#%1#*#(
d) "
!$7y
1x
'#
"#&#!,
e) !"
$x27y
2x
'##!#("
"#&#(
f)
'#&#!"#$#2
28. a)
'#&#!("#$#-
"#&#,
'#&#+
La región está acotada e incluye sus fronteras.
b)
'#&#!"#$#)'#&#"#$#)
'#&#%
'#&#,
La región está acotada e incluye sus fronteras.
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c)
!$+"
+!$+!"
2xyx2y
2xy6xy
'#&#!"#$#-
'#&#!"#$#(
'#&#(#$#"
'#&#"#!#(
La región está acotada e incluye sus fronteras.
d)
+!<!>
<!>
5x2y3x2y
3y1x
'#&#("#!#)
'#&#!("#$#.
'#&#)
"#&#!,
La región está acotada. Las fronteras
correspondientes a las rectas y = 3, x = !1 no están incluidas.
29.
$
+!"
+"
0y5
16x4y
8x4y
# La solución es el triángulo de
vértices (!1, 4), (!2, 0) y (4, 0).
Página 99
30.No, será siempre una semirrecta. Al despejar la x siempre queda una expresión de la forma x $ a, x " a o las correspondientes con las desigualdades estrictas. En los casos en los que las incógnitas se anulan, la inecuación no es de primer grado. Por ejemplo: 3x " x ! 4 + 2x # 0 " !4
No tiene solución pero no es una inecuación de primer grado.
31. Actividad personal.
32. Actividad personal.
33.
$$
+!"
+!"
0y0x
5x31y
7xy
34. a) Buscamos los valores tales que x2 ! 5x + 6 > 0: x1 = 2, x2 = 3 Si evaluamos el polinomio en x = 2,5 obtenemos
!0,25 < 0 # x2 ! 5x + 6 > 0 en (!%, 2) & (3, +%) b) Análogamente, buscamos x tal que:
03x1x 2
>!+ # x ! 3 > 0 ya que x2 + 1 > 0 para
todo x # El logaritmo tiene sentido en (3, +%).
35. Si x son los minutos de llamada: Precio con TELESTAR # f(x) = 5 + 0,5x Precio con VODOMENA # g(x) = 16 + 0,3x Interesa escoger VODOMENA cuando f(x) > g(x) # # 5 + 0,5x > 16 + 0,3x # 0,2x > 11 # x > 55 Por lo tanto, cuando se sobrepasan los 55 minutos de llamadas.
36. Si x es la cantidad de unidades vendidas (suponemos que fabrica sólo las que va a vender) los beneficios vienen dados por la expresión: 1,45x ! 1,2x ! 2.400 = 0,25x ! 2.400 Hay beneficios cuando 0,25x ! 2.400 > 0 # x > 9.600 # A partir de 9.600 unidades.
37. x1 = !1, x2 = 2, x3 = 3 f(x) = x3 ! 4x2 + x + 6 = (x + 1) (x ! 2) (x ! 3)
!1 2 3 x + 1 ! 0 + + + + + x ! 2 ! ! ! 0 + + + x ! 3 ! ! ! ! ! 0 + f(x) ! 0 + 0 ! 0 +
Solución: [!1, 2] & [3, +%)
TEMA 5. INECUACIONES
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 85 a 99
5-21
© V
ICE
NS
VIV
ES
5
Autoevaluación
1. a) x1425xx
73x1 22 +<!+ ; 1 < x
1431
x3114 < # (14 / 31, +%)
b) x1 = 2, x2 = 3 Por ejemplo, 2 ' (2,5)2 ! 10 ' 2,5 + 12 = !0,5 # x
= 0,5 pertenece a la solución # La solución es [2, 3]
2. a) !!>+
!"+
32x
61x
21
221
x31
31
31x
316
; !>
"
667x
32
0x3
17
!>
"
467x
0x # 0x
467 "<!
b) 3x2 + 9x ! 12 = 0 # x1 = !4, x2 = 1 5x + 20 = 0 # x = !20 / 5 = !4
!4 1
3x2 + 9x ! 12 > 0 Sí No No No Sí
5x + 20 < 0 Sí No No No No
Solución: (!%, !4)
c) 3x2 ! 6x + 3 = 0 # x1 = x2 = 1
2x2 ! 14x + 12 = 0 # x1 = 1, x2 = 6
1 6
3x2 ! 6x + 3 > 0 Sí No Sí Sí Sí
2x2 ! 14x + 12 " 0 No Sí Sí Sí No
Solución: (1, 6]
3. Actividad personal.
4. a) >+"!
03x2012x
# !>
"2/3x
12x # (!3 / 2, 12]
<+$!
03x2012x
# !<
$2/3x
12x # No hay solución
La solución es (!3 / 2, 12].
b) 034x12x2 $!
!+ ; 0
4x24x $
!+!
>!
$+!04x
024x #
>$4xx24
# (4, 24]
<!
"+!04x
024x #
<"4xx24
# No hay solución
La solución es (4, 24].
5. Para los valores de x tales que 5x1x 2
+! $ 0
>+$!05x01x 2
# !>
!"$5x
1xo1x # (!5, !1] & [1,
, +%)
<+"!05x01x 2
# !<
""!5x
1x1 # No hay solución
La raíz cuadrada existe para los valores de x que pertenecen al conjunto (!5, !1] & [1, +%).
6. +"
>
2x1y
yx
'#&#"
'#�,#$#"1#*#(
7. Los números que buscamos son del tipo 10a + b donde a y b son números naturales.
11, 12, 13, 14, 22, 23