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TUTORÍA DE PROBABILIDAD. MODELOS PROBABILÍSTICOS (GRADO EN ECONOMÍA) www.innova.uned.es/webpages/Ilde/Web/index.htm e-mail: imozas@elx.uned.es
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TEMA 7
DISTRIBUCIONES DE PROBABLIDAD CONTINUAS
Distribución uniforme en el intervalo [a, b].-
Función de densidad: f(x) =
resto elen ,0
bxa,ab
1
Función de distribución: F(x) =
xb,1
bxa,ab
ax
ax,0
dx)x(fx
Momentos:
E() =
dx)x(xf
2
badx
ab
xb
a
E(2)=
dx)x(fx2
3
aabb
ab3
abdx
ab
x 2233b
a
2
Var() =
12
ab
12
aab2b
2
ba
3
aabb222222
Función característica: (t) = E[eit
] = itab
eedx
ab
e itaitbb
a
itx
Transformación integral.- Sea una variable aleatoria continua con función de distribución
F(x). Sea = F(). Entonces la función de distribución de :
G(y) = P(≤ y) = P[F()≤ y] = P[≤ F1
(y)] = F[F1
(y)] = y
luego se trata de la función uniforme en el intervalo [0, 1].
Distribución normal N(0;1).-
Función de densidad: f(x) = 2
x2
e2
1
, < x < +.
Se trata de una función de densidad porque
0
2
x
2
x
dxe2
2dxe
2
122
= (cambio
t2xt2
x2
dtt2
1dt
t2
1dx 2
1
) = 12
11dtet
1
0
t2
1
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Función de distribución: F(x) =
x
2
x
dxe2
12
Función característica (t) = E[eit
] =
dxee2
12
x
itx
2
dxe2
12
itx2x2
2
t
2
titx 222
edxe2
1
Derivando: ’(t) = t 2
t2
e
de donde E() = i
0' = 0
’’(t) = 2
t
22
t 22
ete
de donde E() =
1
1
1
i
0''2
Luego Var() = 1
Los momentos de orden impar son todos nulos por ser la función de densidad simétrica
respecto del origen. Los momentos de orden par responden a la fórmula 2k =
!k2
!k2k
Distribución N(; ).-
Dados y números reales tales que << + y 0 << + y una variable aleatoria
normal N(0,1), sea = + . Es decir, efectuamos un cambio de origen y de escala sobre la
variable . Tendremos entonces:
F(y) = P[ ≤ y] = P[ + ≤ y] =
yF
yP
Derivando respecto de y:
2
2
2
y
e2
1yf
1yf
y
yF
que es la función de
densidad de la variable a cuya distribución le llamaremos normal N(, ).
Es decir, las probabilidades de la N(, ) se reducen a probabilidades de la N(0, 1)
Se tiene que la esperanza de : E() = E( + ) = E() + =
y la varianza: Var() = Var( + ) = 2Var() =
2.
Si es N(, ), la variable
se llama tipificada y es N(0,1)
Función característica: (t) = E[eit
] = E[eit( + )
] = eit
E[eit
] = eit(t) = e
it 2
t22
e
=
= 22t
2
1it
e
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Propiedad aditiva o reproductiva:
Sean j, j = 1, 2, ..., n variables aleatorias normales N(j, j) e independientes. Entonces
=
n
1j
jjab es normal
n
1j
n
1j
2
j
2
jjja,abN
La demostración se hace calculando la función característica de (verla en el texto).
Manejo de tablas de la distribución N(0; 1)
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Ejemplos:
P[≥ 1,23]
P[ ≤ 1] = 1 P[> 1]
P[ ≥ 1,5] = 1 P[> 1,5]
P[1 ≤ ≤ 2] = P[≥1]P[>2]
Si la variable normal no es N(0,1). Sea por ejemplo N(1, 2). Entonces P[ ≥ 2] =
=
5,0
2
1P
2
12
2
1P tablas
Distribuciones derivadas de la distribución normal
1. Distribución 2 de Pearson
Sean 1, 2, ..., n, n variables aleatorias N(0,1) e independientes. Entonces se dice que la
variable = 2
n
2
3
2
2
2
1 ... sigue una distribución chi-cuadrado con n grados de libertad 2
n .
Su campo de variación es [0, +[.
Función de densidad: f(x; n) = x
2
11
2
n
2
nex
2
n2
1
(se recuerda que
0
x1p 0p,dxex)p( )
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Función característica: (t) = 2
n
it21
De aquí resulta que E[] = n; E[2] = n(n+2) luego
2 = 2n
Posee la propiedad aditiva o reproductiva, es decir, la suma de k variables independientes
2(nj), j=1, 2, ..., k es
k
1jj
2 n
Manejo de tablas.-
2. Distribución t de Studcnt.-
Consideremos las variables U N(0,1) y V 2
n independientes. Entonces a la distribución de la
variable t(n) =
n
V
Ule llamamos t de Student con n grados de lilbertad.
Su campo de variación es el intervalo ], +[
Función de densidad: 2
1n2
n
x1
2
nn
2
1n
xf
Esperanza = 0. Varianza = 2n
n
0
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Manejo de tablas.-
3. Distribución F de Fisher-Snedecor.-
Si U y V son dos variables independientes 2
m y
2
n respectivamente, entonces
decimos que la variable
n
Vm
U
sigue una distribución F de Fisher-Snedecor con m y n grados de
libertad.
Función de densidad: 2
nm12
m2
n
2
m
mxnx
2
n
2
m
2
nmnm
xf
,
para 0 ≤ x < +
Esperanza = 2n
n
, si n > 2. Varianza =
4n2nm
2nmn22
2
, si n > 4.
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Propiedad: m,nF
1n,mF
Manejo de tablas.-
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Distribución gamma.-
La variable sigue una distribución gamma G(p,q) , siendo p>0 y q>0, si su función de
densidad es f(x) =
qx1p
p
exp
q
, x > 0.
Se tiene que pq
kpE
k
k
, de donde:
E() = q
p y Var() =
22
2
2 q
p
q
p
q
)1p(p
La función característica
p
q
it1)t(
Propiedad aditiva o reproductiva: si j, j = 1, 2, ..., n son n variables aleatorias
G(pj, q) independientes, entonces la variable =
n
1j
jes
q,pGn
1j
j
La distribución gamma posee la propiedad de “falta de memoria” , es decir:
P( ≥ b+a/> a) = P( ≥ b).
La distribución gamma se utiliza en el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de
vida)
Distribución beta.-
La función beta B(p, q) = qp
qpdxx1x
1
0
1q1p
, p>0, q>0
Una variable aleatoria sigue une distribución beta si su función de densidad es:
f(x) = 1q1p x1x)q,p(B
1 , 0 ≤ x ≤ 1
Se tiene qieE() = qp
p
y E(
) =
1qpqp
1pp
,
de donde Var() = 1qpqp
pq2
Es una variable muy versátil.
Otras distribuciones continuas.-
Distribución logística.-
Función de densidad: f(x) = 2bxa
bxa
e1
be
, < x < +
Se utiliza en el estudio del crecimiento temporal de variables demográficas
Distribución de Pareto.-
Función de densidad: f(x) = 1b
b
0
x
bx
, x ≥ x0, x0> 0, b> 0.
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Se cumple que E() = 1b
bx0
y Var() =
20
2
1b2b
xb
En el análisis socioeconómico se aplica, por ejemplo, en el estudio de la distribución de
rentas personales.
EJERCICIOS
Solución.-
Solución.-
Representemos por Z la variable normal N(0,1)
a)P[> 2] =
2
1
12ZP = P[Z > 2] = (tablas) = 0,0228
b) La variable =”nº de estudiantes que invierten más de dos horas” es binomial
B(400; 0,0228), cuya = np = 9,12 y = 9853,29772,0·12,9 , luego es aproximadamente
normal N(9,12; 2,99). Así pues, P[ ≤ 2] =
99,2
12,92ZP = P[Z < –2,38] = (tablas) = 0,0087.
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Solución.-
No es necesario realizar ningún cálculo. Las respuestas a) y c) no pueden ser ciertas porque a
tiene que ser positivo para que P[<a ] = 0,9398. La respuesta b) tampoco puede ser cierta
porque en una normal N(2, 2), P[< 1,55 ] es menor que 0,5.
Solución.-
La función característica de la distribución normal N(, ) es (t) = 22t
2
1it
e
. Luego es
normal N(3, 2) . Así pues P( ≤ 1,2) =
9,0
2
3P = (tablas) = 0,1841.
Solución.-
Apartado b porque P(< 3) = 0,5, pero P(< 3) > 0,5.
Solución.-
Solución.-
La respuesta es d, porque en la distribución de Pareto, P(> 0) = 1.
Solución.-
La respuesta es c, ya que para la t-Student P(> 0) = 0,5 z independientemente de los grados
de libertad.
Solución.- b)
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Solución.-
Sea la variable aleatoria “ventas mensuales”. Se tiene que E() = 2
ba = 8 y
DT() = 32
ab = 3, de donde se obtiene que a = 338 y b = 338 . Luego la función de
densidad f(x) =
resto elen ,0
338x338,36
1
. La probabilidad de cierre será:
P(< 9) = 36
331dx
36
19
338
0,59623
Solución.-
La respuesta es d) ya que al no mencionarse la independencia de 1 y 2, no conocemos la
distribución de .
Solución.-
Sabemos que, para la N(, ), el coeficiente de curtosis 2= 34
4
= 0 , luego para la normal
N(0,1) debe ser E(4) = 4 = 3.
Solución.-
)n,1(F
n
)n(1
)1(
n
)n(
)1,0(N)n(t
n
)n(
)1,0(N)n(t
2
2
2
2
2
2
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Solución.-
Obtenemos que Var[1–22] = Var[1] – 4Cov[1,2] + 4 Var[2], de donde Cov[1,2] =
= 4
7
4
10161
= 1,75, luego =
2·1
75,10,875. Además, 1 y 2 son dependientes porque la
covarianza es 0.
Solución.-
940,3P1aP1940,3PaPa940,3P70,0 2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
= aP940,3P 2
10
2
10 = (tablas) = 0,95 aP 2
10 aP 2
10 = 0,95 0,70 = 0,25 y
buscando en las tablas obtenemos que a = 12,549.
Solución.-
Por eliminación: a) y b) no cumplen la condición de que la media es el triple de la desviación
típica; c) no puede ser porque si = 2,4 entonces P(≤4) > 0,5
Solución.-
La variable 4–1/2
es t16. Se tiene que P[t16 ≤ x0] = 0,90 P[t16> x0] = 0,10 y buscando en
las tablas encontramos que x0 = 1,337.