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Curso 2011 - 2012
TEMA 8: FUNCIONES Segundo Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.E.S de Fuentesaúco.
Manuel González de León.
2º E.S.O.
TEMA 08: Funciones
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Consejería de Educación
I.E.S. “FUENTESAÚCO”
1.- Correspondencia.
2.- Función.
3.- Representación Gráfica de Funciones.
4.- Ecuación Lineal o de Proporcionalidad Directa.
5.- Función Afín.
6.- Función de Proporcionalidad Inversa.
7.- Funciones Cuadráticas.
Llamamos correspondencia a la relación existente entre dos magnitudes, o entre los elementos de
un 1er
conjunto (Conjunto Inicial) y un 2º conjunto (Conjunto Final)
Ejemplo:
Marcas y modelos de coches
Concepto:
Una función es una correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la
primera magnitud le corresponde un solo valor de la segunda.
Ej: y = 2x
TEMA 8:FUNCIONES
1.- Correspondencia::.
2.- Función::.
FORD
OPEL
VOLVO
S40
ASTRA
FOCUS
PASSAT
FIESTA
1
2
3
x
2
4
6
y
C I C F
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Dominio
Llamamos dominio o campo de existencia de una función, al conjunto formado por todos los
elementos del conjunto inicial que tienen imagen.
Ej.: Dada la función que asigna a cada número entero su raíz cuadrada
y =
El dominio de la función sería: D 0, 1, 2, 3, 4,………
Recorrido o Imagen de una Función.
Es el conjunto formado por los elementos del conjunto final que son imagen de algún elemento
del conjunto inicial.
La Imagen de la función sería: I = , , ……
-3
-2
-1
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
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Ecuación de una Función.
A cada una de las magnitudes de una función se las llama variables y cada una de estas
puede ser independiente o dependiente, según cuál de ellas fijemos previamente y cual se deduce
de la variable independiente
Ej. La venta de el nuevo CD de Joaquín Sabina y su precio de 6 €
La Ecuación de la función sería.
y = 6x
La ecuación de la función viene determinada por la relación que liga los elementos del
conjunto origen, con los elementos del conjunto imagen.
En el ejemplo anterior y = 6x
Y = f(x) = f (1) = 6 · 1 = 6
= f (2) = 6 · 2 = 12
= f (3) = 6 · 3 = 18
0
1
2
3
x
0
6
12
18
y
CD €
Variable Independiente
x
Variable Dependiente
y
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Tabla de Valores.
Son unas tablas donde se indican en dos columnas los valores de la “x” (variable
independiente) y de la “y” (variable dependiente).
En el caso anterior sería.
Ejercicios,1,2,20,21,22,23y24.
Las funciones se pueden representar mediante tres formas:
1. Mediante formulas o ecuaciones
Formula del cuadrado A=l2; ecuaciones del tipo y = 6x
2. Mediantes tablas
Lado, l (cm) 1 2 3 4 5 6 7
Área, A (cm2) 1 4 9 16 25 36 49
3. Mediante una representación gráfica.
Para realizar una representación gráfica correctamente tendremos que tener muy claro los
siguientes conceptos:
1. Ejes de coordenadas Cartesianas.
Son dos rectas perpendiculares
La recta “x” se llama eje de las “x” o eje de las abscisas.
La recta “y” se llama eje de las “y” o eje de las ordenadas.
3.- Representación de Funciones::.
x y
0 0
1 6
2 12
3 18
4 24
La recta “x” horizontal
La recta “y” vertical Que se cortan en el punto “0”
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2. Plano Cartesiano.
Llamamos plano cartesiano a la región de espacio que delimita la intersección de las
coordenadas cartesianas.
3. Coordenadas en un Punto
Cada punto del plano se representa por un par de números ( la abscisa y la ordenada),
escritos entre paréntesis (x,y) llamados coordenadas en un punto.
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Representación Gráfica.
Para representar gráficamente la función se forma la tabla de valores y se representan los pares
de valores de la tabla como puntos en el plano cartesiano.
Los valores de la “x” se escriben sobre el eje horizontal y los valores de la “y” en el eje vertical.
Conviene observar si se pueden unir todos los puntos obtenidos a partir de la tabla.
Entre las propiedades globales de las funciones podemos destacar:
1. Continuidad y discontinuidad.
a. Continuidad: Se dice que una función es continua cuando no existen ningún punto de
discontinuidad, o cuando se puede dibujar, su gráfica, sin levantar el lapicero.
b. Discontinuidad: Cuando tiene puntos discontinuos
4.- Propiedades Globales de las Funciones::.
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2. Crecimiento y decrecimiento.
a. Crecimiento: Una función es creciente si al aumentar la variable independiente, también
aumenta la variable dependiente.
b. Decrecimiento: Una función es decreciente si al aumentar la variable independiente,
disminuye el valor de la variable dependiente.
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3. Máximos y mínimos.
a. Máximo: Una función presenta un máximo en un punto, si a la izquierda de ese punto la
función crece y a la derecha decrece.
b. Mínimo: Una función presenta un mínimo en un punto, si a la izquierda de ese punto la
función decrece y a la derecha crece.
4. Puntos de cortes con los ejes.
Los puntos de cortes del eje x son de la forma (a,0)
Los puntos de cortes del eje y son de la forma (0,b)
Máximo
Mínimo
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1. Concepto.
Son aquellas funciones, cuya relación entre las magnitudes son directamente proporcionales.
Son ecuaciones del tipo.
y = ax
Pertenecen a este tipo de ecuaciones.
y = 7x, y = – 3x, y =
etc.
2. Representación Gráfica
Para representar gráficamente la función y = 3x
a. Escribimos la tabla de valores.
b. Representamos los puntos obtenidos en el plano cartesiano y unimos los puntos.
3. Características de las funciones lineales y = ax
5.- Función Lineal o de proporcionalidad Directa::.
x y – 3 – 9 – 2 – 6 – 1 – 3 0 0 1 3 2 6 3 9
F( – 3 ) → para x = – 3 → y = 3 · ( – 3 )→ y = – 9
F( – 2 ) → para x = – 2 → y = 3 · ( – 2 )→ y = – 6
F( – 1 ) → para x = – 1 → y = 3 · ( – 1 )→ y = – 3
F(0 ) → para x = 0 → y = 3 · 0 → y = 0
F(1 ) → para x = 1 → y = 3 · 1 → y = 3
F(2 ) → para x = 2 → y = 3 · 2 → y = 6
F(3 ) → para x = 3 → y = 3 · 3 → y = 9
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La gráfica de la función lineal y = ax es una recta que pasa por el origen de coordenadas
cartesianas, punto (0,0).
a es la pendiente o inclinación de la recta.
1. Concepto.
Las funciones del tipo y = ax + b, siendo b ≠ 0, se llaman funciones afines.
Pertenecen a este tipo las ecuaciones:
y = – 2x + 4 y = 3x – 5 y =
2. Representación Gráfica.
Para representar gráficamente la función y = 3x – 2
a. Escribiremos la tabla de valores.
b. Representamos los puntos en el plano cartesiano y unimos los puntos.
3. Características de las funciones afines y= mx + n (b ≠0)
La gráfica de la función afín y = mx + n ( n≠0) es una recta que no pasa por el origen de
coordenadas.
6.- Funciones Afines::.
x y – 3 – 11 – 2 – 8 – 1 – 5 0 – 2 1 1 2 4 3 9
F( – 3 ) → para x = – 3 → y = 3 · (–3) – 2 → y = – 11
F( – 2 ) → para x = – 2 → y = 3 · (–2) – 2 → y = – 8
F( – 1 ) → para x = – 1 → y = 3 · (–1) – 2 → y = – 5
F(0 ) → para x = 0 → y = 3 · 0 – 2 → y = – 2
F(1 ) → para x = 1 → y = 3 · 1 – 2 → y = 1
F(2 ) → para x = 2 → y = 3 · 2 – 2 → y = 4
F(3 ) → para x = 3 → y = 3 · 3 – 2 → y = 7
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m es la pendiente o inclinación de la recta.
Si m>0 la función es creciente.
Si m<0 la función es decreciente.
n es la ordenada para x =0 y se llama ordenada en el origen, es decir, la recta pasa por el
punto (0,n).
Ejercicio: ¿es una recta la ecuación 2y – 3x = 9?
Despejamos y
2y = 9 + 3x
Luego es una recta que pasa por el punto (0,
).
Su pendiente es
Ejercicio. ¿Podemos resolver gráficamente el sistema del tipo
2y – 3x = 9
3y + 6x = 3
Resolución numérica
}
3 · 3 + 6x = 3 → 9 + 6x = 3→ 6x = 3 – 9 → 6x = – 6 →
→ x = – 1
Luego estas dos rectas se cruzan, se cortan en el punto (–1,3).
Representación Gráfica.
2y – 3x = 9 →
2y – 3x = 9 3y + 6x = 3
4y – 6x = 18 3y + 6x = 3
7y = 21
y = 3
x y
– 2
– 1 3
0 1
1 – 2
2 – 3
F( – 2 ) → para x = – 2 → y =
· (–2) +
→ y =
F( – 1 ) → para x = – 1 → y =
· (–1) +
→ y = 3
F(0 ) → para x = 0 → y =
· 0 +
→ y = 1
F(1 ) → para x = 1 → y =
· 1 +
→ y = – 1
F(2 ) → para x = 2 → y =
· 2 +
→ y = – 3
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3y + 6x = 3 → 3y = 3 – 6x → 3y = – 6x + 3→ y = – 2x +1
Grafica
x y
– 2 5
– 1 3
0 1
1 – 1
2 – 3
F( – 2 ) → para x = – 2 → y = – 2 · (–2) + 1→ y = 5
F( – 1 ) → para x = – 1 → y = – 2 · (–1) +1 → y = 3
F(0 ) → para x = 0 → y = – 2 · 0 + 1 → y = 1
F(1 ) → para x = 1 → y = – 2 · 1 + 1 → y = – 1
F(2 ) → para x = 2 → y =– 2 · 2 + 1 → y = – 3
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Concepto:
Son aquellas funciones cuya relación entre las magnitudes son inversamente
proporcionales.
Son ecuaciones del tipo y =
Pertenecen a este tipo: y =
y =
Representación Gráfica de y =
Característica: La gráfica de la función se llama hipérbola.
6.- Funciones de Proporcionalidad Inversa::.
x y
– 2 1
– 1 – 2
0 ∞
1 2
2 1
F( – 2 ) → para x = – 2 → y =
→ y = – 1
F( – 1 ) → para x = – 1 → y =
→ y = – 2
F(0 ) → para x = 0 → y =
→ y = ∞
F(1 ) → para x = 1 → y =
→ y = 2
F(2 ) → para x = 2 → y=
→ y = 1
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Concepto:
Llamamos funciones cuadráticas a aquellas funciones del tipo y = ax2 + bx + c ( a≠0 )
Pertenecen a este tipo las ecuaciones de 2º grado
Representación gráfica
y = x2
Características:
La grafica de la función se llama parábola.
Si a>0 la parábola está abierta hacia arriba
Si a <0 la parábola está abierta hacia arriba
7.- Funciones Cuadráticas::.
x y
– 2 4
– 1 1
0 0
1 1
2 4
F( – 2 ) → para x = – 2 → y = (– 2 )2 → y = 4
F( – 1 ) → para x = – 1 → y = (– 1 )2 → y = 1
F(0 ) → para x = 0 → y = 02 → y = 0
F(1 ) → para x = 1 → y = 12 → y = 1
F(2 ) → para x = 2 → y= 22 → y = 4
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Ejemplo
máximo
mínimo