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TEMA 9 – DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
9.1 – DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición Se llama tasa de var iación media (T.V.M.) de una función, y = f(x) en un intervalo
[a,b] al cociente: T.V.M.[a,b] = ab
)a(f)b(f
xde Variación
f(x) deVariación
−−=
y es la pendiente del segmento que une los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) Con frecuencia, el intervalo se le designa mediante la expresión [a,a+h], nombrando, así, a un extremo del intervalo “a” , y a su longitud, “h” . En tal caso, la tasa de variación
media se obtiene : T.V.M. [a,a+h] = h
)a(f)ha(f −+
Si una función es creciente en [a,b], su tasa de variación media es positiva; y si es decreciente, negativa.
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA O DERIVADA Definición: Se llama tasa de var iación instantánea (T.V.I ) de una función, y = f(x) en un punto x = a o der ivada de una función en un punto x = a, y se denota f ´(a)
T.V.I.(a) = f ´(a) = h
)a(f)ha(flim
ax
)a(f)x(flim
0hax
−+=−−
→→
Significado: Si es positiva ⇒ La función es creciente en el punto x = a Si es negativa ⇒ La función es decreciente en el punto x = a
DERIVADAS LATERALES Se llama der ivada por la izquierda de f en x = a, f ´(a-) a:
f ´(a-) = h
)a(f)ha(flim
ax
)a(f)x(flim
0hax
−+=−−
−− →→
Se llama der ivada por la derecha de f en x = a, f ´(a+) a:
f ´(a+) = h
)a(f)ha(flim
ax
)a(f)x(flim
0hax
−+=−−
++ →→
A ambas se las llama der ivadas laterales. Nota: Si en un punto las derivadas laterales son distintas, el punto es anguloso. Si las derivadas laterales coinciden, la curva es “suave” o “ lisa” , es decir, es derivable. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si una función es continua en un punto puede ser der ivable o no der ivable en ese punto. Ejemplos: a) f(x) = 2x2 + 3 Continua en x = 0 y Derivable en x = 0 b) f(x) = |x| Continua en x = 0 y No derivable en x = 0 Pero si una función es der ivable en un punto, necesar iamente es continua en él.
Dem: f(x) es derivable en x = a, es decir, ax
)a(f)x(flim
ax −−
→
Vemos si f es continua en x = a, para ello debemos probar que )a(f)x(flimax
=→
ó lo que es lo mismo,
0)a(f)x(flimax
=−→
00).a´(f)ax(limax
)a(f)x(flim)ax(
ax
)a(f)x(flim)a(f)x(flim
axaxaxax==−
−−=−
−−=−
→→→→
Nota: Por el resultado anterior, cuando tengamos que estudiar la derivabilidad de una función estudiaremos primero su continuidad. - Si es continua ⇒ Estudiaremos su derivabilidad (f ´(a-) = f ´(a+)) - Si no es continua ⇒ No es derivable.
9.2 – FUNCIÓN DERIVADA Si una función, f, es derivable en todos los puntos de un intervalo, I, la función f ´: x → f ´(x) definida en I, se llama función der ivada de f. Si f ´es derivable, su derivada se llama f ´´ (se lee derivada segunda o f segunda). Así sucesivamente, se definen f ´´´, f iv, …, f n) (f tercera, f cuarta,… f n-ésima). Otra forma de nombrar las derivadas es Df, D2f, D3f, …, Dnf. Habitualmente se obtienen las derivadas de las funciones a partir de las llamadas “ reglas de derivación” que permiten obtener con comodidad y rapidez la derivada de cualquier función.
9. 3 – REGLAS DE DERIVACIÓN OPERACIONES CON DERIVADAS - Multiplicación por un número :(k.f(x))’ = k.f ‘ (x) - Suma y resta: [f(x) ± g(x)]’ = f ’ (x) ± g’ (x) - Producto : [f(x).g(x)]’=f ‘ (x).g(x) + f(x).g’ (x)
- Cociente : )x(g
)x('g)x(f)x(g).x('f
)x(g
)x(f2
'−=
- Composición (Regla de la Cadena) : [f(g(x))]’=f ’ (g(x)).g’ (x) [f(g(h(x)))]´= f ´(g(h(x))).g´(h(x)).h´(x)
REGLAS DE DERIVACIÓN
FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA
y = k y’ = 0
y = x y’ = 1
y = xn y’ = n.xn-1 y = f n(x) y’ = n.f(x)n-1.f ’ (x)
y = x y’ = x2
1 y = )x(f y’ =
)x(f2
)x('f
y = n x y’ = n 1nxn
1
− y = n )x(f y’ =
n 1n )x(fn
)x('f
−
y = ax y’ = ax. Ln a y = af(x) y’ = af(x).Ln a.f ’ (x)
y = ex y’ = ex y = ef(x) y’ = ef(x).f ‘ (x)
y = log a x y’ = Lna.x
1 y = log a f(x) y’ =
Lna).x(f
)x('f
y = Ln x y’ = x
1 y = Ln f(x) y’ =
)x(f
)x('f
y = sen x y’ = cos x y = sen f(x) y’ = cos f(x).f ‘ (x)
y = cos x y’ = - sen x y = cos f(x) y’ = - sen f(x).f ‘ (x)
y = tag x y’ = 1 + tag2x = xcos
12
y = tag f(x) y’ =
)x(fcos
)x('f2
=
[1 + tag2f(x)].f ‘ (x)
y = arcsen x y’ = 2x1
1
−
y = arcsen f(x) y’ =
)x(f1
)x('f
2−
y = arccos x y’ = 2x1
1
−
− y = arccos f(x) y’ =
)x(f1
)x('f
2−
−
y = arctag x y’ = 2x1
1
+ y = arctag f(x) y’ =
)x(f1
)x('f2+
9.5 – DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA DE OTRA Si conocemos la derivada de una función f y, a partir de ella, queremos obtener la derivada de su función recíproca, f-1, procederemos del siguiente modo:
f(f -1(x)) = x →→ Derivando f ´(f -1(x)).(f -1)´(x) = 1 ⇒ ( ))x(f´f
1)x)´(f(
11
−− =
9.6 – NUEVAS TÉCNICAS DE DERIVACIÓN DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA Hay funciones que vienen dadas mediante expresiones φ(x,y) = 0, en las cuales es difícil o imposible despejar la y. Por ejemplo: y3 – 7x2 + 5y2x + 17 = 0 En ellas, los valores de y quedan implícitamente dados por la expresión, pero no es posible obtener explícitamente una expresión del tipo y = f(x). La derivada, y´, de la función, no es, sin embargo, difícil de obtener (sólo hay que tener en cuenta que la derivada de x es uno, y la derivada de y es y´). En el ejemplo: 3y2y´- 14x + 5(2yy´x + y2) + 0 = 0 ⇒ 3y2y´+ 10yy´x = 14x – 5y2 ⇒
xy10y3
y5x14´y
2
2
+−=
Observamos que y´ viene dada en función de x y de y. Por tanto, para hallar el valor de la derivada en un punto, hemos de conocer su abscisa y su ordenada. Por ejemplo, sabiendo que la curva pasa por (2,1), obtenemos la derivada en ese punto:
y´(2,1) = 123
23
1.2.101.3
5.12.142
2
==+−
DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Función potencial: y = f(x)n ⇒ y´= n.f(x)n-1 Función exponencial: y = af(x) ⇒ y´= af(x).Lna.f´(x) Función exponencial-potencial: y = f(x)g(x) ⇒ Derivación logarítmica: 1 – Tomar logaritmos: Ln y = Ln f(x)g(x) ⇒ Ln y = g(x).Ln f(x) 2 – Derivamos los dos miembros de la igualdad:
)x(f
)x´(f).x(g)x(Lnf).x´(g
y
´y +=
3 – Despejamos y´: y´=
+
)x(f
)x´(f).x(g)x(Lnf).x´(g.y
4 – Sustituimos la y: y´=
+
)x(f
)x´(f).x(g)x(Lnf).x´(g.)x(f )x(g
Ejemplo: f(x) = xx
Ln f(x) = Ln xx ⇒ Ln f(x) = x.Ln x ⇒ x
1.xLnx.1
)x(f
)x´(f += ⇒
f´(x) = f(x) [Ln x + 1] ⇒ f´(x) = xx [Ln x + 1]
TEMA 10 – APLICACIONES DE LA DERIVADA
10.1 – RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UNO DE SUS PUNTOS Si f(x) es derivable en x0, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en x0
es: y – f(x0) = f ´(x0).(x – x0) Práctica : [1] Si nos dan el punto de tangencia x = x0: Hallamos f(x0), f ´(x) ⇒ f ´(x0) y aplicamos la fórmula: y – f(x0) = f ´(x0).(x – x0) [2] Si nos dan la pendiente de la recta tangente m: m = f ´(x) ⇒ Resolvemos la ecuación y obtenemos x0 y procedemos como en [1]
10.2 – INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA 10.2.1 – CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE FUNCIONES f creciente en x0 ⇔ Existe un entorno del punto x0 (x0 – a, x0 + a) tal que: Si x0 – a < x < x0, entonces f(x) < f(x0) Si x0 < x < x0 + a, entonces f(x) > f(x0) f decreciente en x0 ⇔ Existe un entorno del punto x0 (x0 – a, x0 + a) tal que: Si x0 – a < x < x0, entonces f(x) > f(x0) Si x0 < x < x0 + a, entonces f(x) < f(x0) 10.2.2 – RELACIÓN DEL CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN CON EL VALOR DE SU DERIVADA f(x) derivable y creciente en x0 ⇒ f ´(x0) ≥ 0 f(x) derivable y decreciente en x0 ⇒ f ´(x0) ≤ 0 10.2.3 – CRITERIO PARA IDENTIFICAR TRAMOS CRECIENTES O DECRECIENTES A PARTIR DEL SIGNO DE LA DERIVADA Si f ´(x0) > 0 ⇒ f es creciente en x0 Si f ´(x0) < 0 ⇒ f es decreciente en x0 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS. DEFINICIÓN f tiene un máximo relativo en el punto de abscisa x0 ⇔⇔⇔⇔ Existe un número a tal que si x ∈ (x0 – a , x0 + a) entonces f(x) < f(x0) f tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x0 ⇔⇔⇔⇔ Existe un número a tal que si x ∈ (x0 – a , x0 + a) entonces f(x) > f(x0)
CONDICIÓN NECESARIO DE MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO EN FUNCIONES DERIVABLES Si f(x) es derivable en x0 y tiene un máximo o mínimo en él, entonces f ´(x0) = 0. Es decir: f(x) máximo o mínimo en x0 ⇒ f ´(x0) = 0 REGLA PARA IDENTIFICAR EXTREMOS RELATIVOS Para saber si un punto singular (f ´(x0) = 0) es máximo relativo, mínimo relativo o punto de inflexión, estudiaremos el signo de la derivada en las proximidades del punto, a su izquierda y a su derecha. Máximo: f ´> 0 a su izquierda f ´(x) < 0 a su derecha Mínimo: f ´< 0 a su izquierda f ´(x) > 0 a su derecha Inflexión: f ´ tiene el mismo signo a ambos lados del punto.
10.3 – INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA DEFINICIÓN DE CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN Tenemos una curva y = f(x). Trazamos la recta tangente a ella en un punto P, cuya ecuación es y = t(x). Entonces:
- Si en las cercanías de P es f(x) > t(x), la curva es convexa en P. - Si en las cercanías de P es f(x) < t(x), la curva es cóncava en P. - Si la tangente atraviesa la curva en P, es decir, si a la izquierda de P es f(x) < t(x)
y a la derecha f(x) > t(x), o viceversa, P es un punto de inflexión.
RELACIÓN DE LA CURVATURA CON LA SEGUNDA DERIVADA Si f tiene segunda derivada en x0, se cumple que:
- f convexa en x0 ⇒ f ‘ es creciente en x0 ⇒ f ´´(x0) ≥ 0 - f cóncava en x0 ⇒ f ‘ es decreciente en x0 ⇒ f ´´(x0) ≤ 0 - f tiene un punto de inflexión en x0 ⇒ f ´´(x0) = 0
CRITERIO PARA DETECTAR EL TIPO DE CURVATURA f ´´(x0) > 0 ⇒ f es convexa en x0
f ´´(x0) < 0 ⇒ f es cóncava en x0 f ´´(x0) = 0 y f ´´´(x0) ≠ 0 ⇒ f tiene un punto de inflexión en x0 APLICACIÓN A LA IDENTIFICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si f ´(x0) = 0 y existe f ‘ ’ (x0), entonces:
- Si f´´(x0) > 0 ⇒ Es un mínimo relativo en x0 - Si f´´(x0) < 0 ⇒ Es un máximo relativo en x0 - Si f´´(x0) = 0 ⇒ ????
10.4 – OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Con mucha frecuencia aparecen problemas físicos, geométricos, económicos, biológicos,… en los que se trata de optimizar una función (hacer máximo un volumen, unos beneficios, una población; hacer mínimos unos costes o un área,…).
- Calculamos la función a optimizar (normalmente dependerá de dos variables) f(x,y)
- Buscamos una relación entre las variables: Ecuación g(x,y) = 0 - Despejamos una incógnita de la ecuación (g(x,y) = 0) y la sustituimos en la
función f(x,y) con lo cual la función ya sólo dependerá de una variable f(x) - Optimizamos la función f(x): f ´(x) = 0 y comprobamos si son máximos o
mínimos. EXTREMOS ABSOLUTOS: CÁLCULO DE LOS EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN f(x) EN UN INTERVALO [a,b] a) Si f es der ivable en [a,b], los máximos y mínimos absolutos están entre los puntos
singulares (f ´(x) = 0) y los correspondientes extremos del intervalo: - Resolvemos la ecuación f ´(x) = 0 - Seleccionamos la raíces x1, x2, … que están entre a y b - Se calcula: f(a), f(x1), f(x2),…., f(b) - El valor máximo será el máximo y el valor mínimo será el mínimo.
b) Si hay algún punto en [a,b] en el que la función no sea der ivable, aunque si continua, calcularemos, además, el valor de f en ese punto, pues podría ser un extremo.
c) Si f no es continua en algún punto x0 de [a,b], estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de x0.
10.5 – LA DERIVACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES. REGLA DE L´HÔPITAL Sean f y g funciones derivables en un entorno (a – r, a + r) del punto a y el
∞∞=
→ó
0
0
)x(g
)x(flim
ax, entonces la regla de L´Hôpital me dice que
)x´(g
)x´(flim
)x(g
)x(flim
axax →→=
10.6 – TEOREMAS DE DERIVABILIDAD TEOREMA DE ROLLE Enunciado:
0 ´(c) f que talb)(a, c puntoalgún Existe
f(b) f(a)
b)(a,en derivable f
b][a,en continua f
=∈⇒
=
Interpretación geométr ica: Existe algún punto entre a y b donde la recta tangente en dicho punto es paralela al eje de abscisas.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO Enunciado:
ab
f(a)-f(b) ´(c) f que talb)(a, c puntoalgún Existe
b)(a,en derivable f
b][a,en continua f
−=∈⇒
Interpretación geométr ica: Existe algún punto entre a y b donde la recta tangente en dicho punto es paralela a la recta que pasa por los puntos A(a,f(a)), B(b,f(b))
10.7 – APLICACIONES TEÓRICAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO FUNCIÓN CONSTANTE f es continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f ´(x) = 0 en todos los puntos de (a,b), entonces f es constante en [a,b] FUNCIÓN CRECIENTE f es continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f ´(x) > 0 en todos los puntos de (a,b), entonces f es creciente en [a,b]. MÍNIMO RELATIVO Si f ´(x0) = 0 y f ´´(x0) > 0, entonces f presenta un mínimo en x0.
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Derivadas aplicando la definición EJERCICIO 1 Calcular, aplicando la definición, las derivadas de las funciones que se citan a continuación en los puntos indicados:
a) f(x) = 1x3x
en x = -1 b) f(x) =
x2x
en x = 1
c) f(x) = x2 + x en x = 0 d) f(x) = x2 - 3x en x = 1
e) f(x) = x3 - x2 + x en x = 0 f) f(x) = x2 1
2
en x = 3
g) f(x) = 2x2 - x + 2 en x = 1 EJERCICIO 2 : a) Calcular la derivada de la función f(x) = x3 - 3 en el punto x = -1 b) Ecuación de la recta tangente a esa función en el punto x = -1 EJERCICIO 3 : a) Calcular la derivada de la función f(x) = 2x2 + 3x + 1 aplicando la definición de derivada. b) ¿ Cuándo vale f ‘(1) ? EJERCICIO 4 : Sea f(x) = x3 + 3x2 + 1 . a) Obtener su derivada en x = 2 utilizando la definición de derivada de una función en un punto. b) Calcular su derivada directamente (sin utilizar la definición) y comprueba que se obtiene el mismo resultado que en el apartado a). EJERCICIO 5 : a) Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 3x aplicando la definición de derivada. b) ¿ Cuándo vale f ‘(1) ? EJERCICIO 6 Calcular la función derivada, aplicando la definición, de :
a) f(x) = x2 - 2 b) f(x) = x3 - 3x c) f(x) = 1x2
1
d) f(x) = 9 - x2 e) f(x) = 2x
x2
Cálculo de derivadas EJERCICIO 7 Calcular las siguientes derivadas: 1) y = 5 2) y = x 3) y = 3x 4) y = x5 5) y = 3.x6
6) y = 35
.x10
7) y = 4x3 2
8) y = 2x4-3x3+x2-7
9) y = 1
4x
10) y = 5.
2
3 xx1
11) y = 6x3 + 5x2 - 1
12) y = x8x32x
51 35
13) y = 2x1 + x-3 + 2.x-1
14) y = 2.
42 x
1x1
15) y = 35 x
1
x
1
16) y = x1x
3x3
17) y = (x2 - 1).(x3 + 3x) 18) y = (x2 -1).(x3 + 3x)
19) y = 4x1x2
20) y = x1
21) y = 5
3xx2
22) y=x2-x
x4x1
x3x1
3
23) y = (x3 + 1).(x + 2) 24) y = (x3 + 2).x-2
25) y = 2x
23
26) y = 5
3x3
27) y = 1x322
28) y = 3x311
29) y = 23
2
x3x2x
30) y = 3x
x3
31) y = (3x3 - 2x + 7)7 32) y = 3.(x2 - x + 1)3 33) y = (2x4 - 4x2 - 3)5 34) y = (2x3 + x)4 35) y = 5.(x3 - 3x)4
36) y = ( )( )x xx x
4 2
3 5
53
37) y = (x3 - 2x)3.(2x4 - x2)2
38) y = 224
33
)xx2()x2x(
39) y = x3
40) y = 2x1
x1
41) y = x1x1
42) y = 3
2x
43) y = 3 2 1x
44) y = 5 3 x7x
45) y = 1x3x
46) y = 5x3 + x3 1
47) y = x2. x3
48) y = (x - 2x1 )2
49) y = x
x
3
50) y = 1
23 x
51) y = 5.(x3 - 2x2 + x)4
52) y = 64 )3x2(x64
53) y = e x
54) y = 12e x
55) y = x2.e3x
56) y = xe x
57) y = 2ee xx
58) y = x
2
exx
59) y = log3 x 60) y = log2 x3 61) y = log x 62) y = Ln (x2 - 1)
63) y = log 2 1x1x 2
64) y = Ln x
e x3
65) y = log 2x1x
66) y = 5xLnx
67) y = Ln [x3.(x + 2)
68) y = Ln 3 2x1
69) y = Ln x1x1
70) y = Ln 1x23x2
71) y = (log x + 1). 1x2 72) y = tag 2x 73) y = sen 2x 74) y = sen x2 75) y = sen2 x 76) y = sen2 2x 77) y = sen2 x2 78) y = sen5 2x3 79) y = 5. sen3 2x4 80) y = ecos x 81) y = sen2 x + cos2 x
82) y = xsen1xsen1
83) y = tag (x + 3)2 84) y = tag2 (x + 3)
85) y = Ln
2xcos
2
86) y = tag ( 1 - 2x)
87) y = tag
x1x
88) y = xsec
ecxcos
89) y = sen x 90) y = sen ( x + ex ) 91) y = Ln 1x1x
92) y = (log x + 1). x2 1 93) y = cos x. (1 - cos x)
94) y = xcosxsenxcosxsen
95) y = Ln (x2.sen2x)
96) y = 1exsen.x
x
2
97) y = xcos1xcos1
98) y = 2
x2cos
99) y = Ln (tag 2x) 100) y = Ln (sen x)
101) y = sen3(x+1) 102) y = sec2 x
103) y = x sen x +cos x 104) y = sen [cos(tag x)
105) y = Lnxsenxcos
106) y = Ln xcos1xcos1
107) y = Ln (tag2 x )
108) y = Ln x1x1
109) y = Ln 3x2)1x( 2
110) y = Ln (sen2 x) 111) y = ecos 2x 112) y = Ln (sen2x.cos3x) 113) y = sen2x - cos2x 114) y = sen(x+1)3
115) y = Ln)2/xtg(1)2/xtg(1
116) y = arcsen 2
2
x1x
117) y = x cos(x)
118)xtg1xtg1y
119)x
1earctgyx
120) y = x2sen1x2sen1Ln
121) y = (arcsen x)tgx 122) y = Ln [(x+1)/x-1)2 123) y = [tg (2x)sen x 124) y = (arcsen 2x)tgx
125) y = Ln
1x1x
3
3
126) y = arctag 2x1x2
127) y = Ln 3
1x31x2
128) y = xsen
Lnx
Continuidad y derivabilidad EJERCICIO 8 : a) Estudiar la continuidad de la siguiente función, indicando los tipos de discontinuidad que presenta en los puntos donde no sea continua. 1/x si -1 x <1 f(x) = 1x si 1 x < 3 2 si 3 < x < 5 x - 3 si 5 x b) Estudiar su derivabilidad c) Representarla gráficamente. EJERCICIO 9 : a) Determinar los valores de a y b y el valor de f(0) para que la función f(x), que se define a continuación, pueda ser continua:
2
2
axxsen si x < 0
f(x) = bex si 0 < x 1
1xxx 2
si 1 < x
b) ¿ Es derivable en x = 1 ? EJERCICIO 10 : a) Estudiar la continuidad de la siguiente función, indicando los tipos de discontinuidad que presenta en los puntos donde no sea continua.
2
2x si -3 x <0
sen ( )2
23
9x
x si 0 <x < /6
f(x) = 1 - sen x si /6 x < /2
1e2
xx
si /2 x < 3
b) Estudiar su derivabilidad EJERCICIO 11 : Hallar “a” y “b” de modo que la siguiente función sea continua:
f(x) =
xsi x
<x<0 si )xbsen(0 xsi )1x.(a 2
EJERCICIO 12 : Estudiar la derivabilidad de la función f(x) =
x 3 si 7x7x-
3 x 2 si 2 x2x 0 si x
2
y calcular una expresión de su derivada en los puntos donde sea derivable.
TEMA 10 – APLICACIONES DE LA DERIVADA
RECTA TANGENTE
EJERCICIO 1 : .2 en x)2(xx
5x y:a a la curva tangentede la rect ecuación Escribe la 0
2
=++=
EJERCICIO 2 : Halla en qué punto (o puntos) la recta tangente a la curva y = x3 − 3x + 1 es paralela al eje de abscisas, y encuentra la ecuación de esa (o esas) recta (rectas).
EJERCICIO 3 : Escribe las ecuaciones de la rectas tangentes a la curva 3x2 − y2 − 2x + 9 = 0 en x0 = -1
EJERCICIO 4 : Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de 3 2f (x) 2x 6x 4= − + en su punto de inflexión.
EJERCICIO 5 : ( )
.2 en x2x
1x2x y la curva tangente a la recta cuación deHalla la e 0 =
++=
EJERCICIO 6 : Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva x2 + y2 + 2x - 4y = 0 en el punto (0, 4).
EJERCICIO 7 : Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva: 1 en x)1x(x
2x4y 02
=+
−=
EJERCICIO 8 : Halla las rectas tangentes a la circunferencia: x2 + y2 + 2x + 2y - 6 = 0 en x0 = 1
EJERCICIO 9 : ( ) punto dente en el ecta tangeón de su r la ecuaci, escribeexxnción fDada la fu 1x2 2 −= abscisa x0 = -1.
ESTUDIO DE FUNCIONES EJERCICIO 10 : Estudia la monotonía de la función xf (x) (x 1)e= −
EJERCICIO 11 : Estudia la monotonía de la función x 2f (x) e (x 3x 3)= − + y determina los máximos y mínimos relativos.
EJERCICIO 12 : Dada la función 2x
f (x)x 1
=−
, halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.
EJERCICIO 13 : Halla los máximos y mínimos de la función x
yLx
=
EJERCICIO 14 : Estudia la curvatura de la función 4 2f (x) x 2x= − y determina los puntos de inflexión.
PROBLEMAS CON FUNCIONES EJERCICIO 15 : Un agricultor estima que si vende el kilogramo de cebollas a x céntimos de euro, entonces su beneficio
por kilogramo sería igual a b (x) = 100x − x2 − 2 475. a) ¿Qué niveles de precios suponen beneficios para el agricultor? b) ¿Cuál es el precio que maximiza el beneficio del agricultor? c) Si dispone de 50 000 kg de cebollas, ¿cuál es el beneficio total máximo?
PROBLEMAS CON PARÁMETROS
EJERCICIO 16 : Dada la función: f (x) = x3 + ax2 + bx + c, calcula los valores de a, b y c para que la función tenga un mínimo en x = 1 y un punto de inflexión en el origen de coordenadas. EJERCICIO 17 : Halla los valores de b y c para que la curva 3 2y x bx cx 1= + + + tenga en el punto (0, 1) una inflexión y la
pendiente de la recta tangente en dicho punto valga 1.
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIO 18 : Con un alambre de 4 metros se quiere construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo? EJERCICIO 19 : Se desea construir un marco rectangular para una ventana de 6 m2 de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 20 € y el tramo vertical es a 30 € el metro. Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste de marco sea mínimo. EJERCICIO 20 : Considérese un prisma recto de base rectangular, con dos de los lados de ese rectángulo de longitud doble que los otros dos, tal como se indica en la figura. Halla las dimensiones que ha de tener este prisma para que el área total sea de 12 metros cuadrados y que con estas condiciones tenga volumen máximo. EJERCICIO 21 : El lado de un cuadrado tiene una longitud de 4 metros. Entre todos los rectángulos inscritos en el cuadrado dado, halla el de área mínima: EJERCICIO 22 : Un transportista va de una ciudad A a otra B a una velocidad constante de x km/h por una carretera en
la que debe cumplirse que 35 < x < 55. El precio del carburante es de 0,6 euros el litro y el consumo es de 10 + x2/120 litros por hora. El conductor cobra 8 euros por hora y la distancia entre A y B es de 300 km. Halla la velocidad a la que debe ir para que el viaje resulte lo más económico posible. EJERCICIO 23 : La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 dm. Hacemos girar el triángulo alrededor de uno de sus catetos. Determina la longitud de los catetos de forma que el cono engendrado de esta forma tenga volumen máximo. EJERCICIO 24 : Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción? EJERCICIO 25 : Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? EJERCICIO 26 : Demuestra que, entre todos los rectángulos de área dada, el cuadrado es el de perímetro mínimo. (Llama k al área del rectángulo y ten en cuenta que es constante). EJERCICIO 27 : Demuestra que, entre todos los rectángulos que pueden inscribirse en un círculo de radio R, el cuadrado tiene el área máxima.
REGLA DE L´HOPITAL EJERCICIO 28 : Calcular los siguientes límites:
+−++∞→ 3
1x2
3x2
xlíma)
2
x
+−
→ xsenx2
1elímb)
x2
0x
x2sen
xcoselímc)
x
0x
−→
1xe
xcos33límd)
x0x −+
−→
xsenxcosx
xlíme)
3
0x +→
2
2x 0
cos x 1f) lim
x→
− ( )
23
x
x 0g) lim cos2x
→ h)
3x 0
x senxlím
x→
−
i) x 0
2arctgx xlím
2x arcsenx→
−−
j) 2
x
1límx 1 cos
x→∞
−
k) 1
1 x
x 1límx −
→; l) x
xlím x
→∞
APLICACIÓN DE TEOREMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
EJERCICIO 29 : Demuestra que la ecuación: 01x2x3x 27 =+−+ tiene, al menos, una solución real. Determina un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz.
EJERCICIO 30 : ( ) ( ) en Rolle de teoremadel hipótesis las cumple 2xxffunción la si Comprueba 3 2−=
el intervalo [0, 4]. En caso afirmativo, averigua dónde cumple la tesis.
EJERCICIO 31 : Comprueba que y = x + x3 cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-2, 1]. ¿Dónde cumple la tesis?
EJERCICIO 32 : Dada la función: ( )
>
≤−
=
1xsix
1
1xsi2
x3
xf
2
Comprueba que satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 2]. ¿Dónde cumple la tesis?
EJERCICIO 33 : Calcula a, b y c para que la función: ( )
≥+<−=
2xsicbx
2xsiaxx2xf
2
cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, 4]. ¿Qué asegura el teorema en este caso?
EJERCICIO 34 : Demuestra que la ecuación: ex + x - 1 = 0 solo tiene la raíz x = 0. Para ello, supón que tuviera otra raíz
(digamos x = a), aplica el teorema de Rolle a la función f (x) = ex + x - 1 en [0, a] (o en [a, 0] si a < 0) y llegarás a una contradicción.
EJERCICIO 35 : Calcula m y n para que la función: ( )
>++−
≤+=
1xsinx3x2
1xsi1mxxf
2
cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 3]. ¿Dónde cumple la tesis?
EJERCICIO 36 :¿Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función 2x 4x
f (x)x 2
−=−
en el intervalo [0, 4]?. Razona la
contestación. EJERCICIO 37 : Comprueba si se verifica el teorema de Rolle para la función 2f (x) x 4x 11= − + , en el intervalo [1, 3].
EJERCICIO 38 : Aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función 2f (x) x 3x 2= − + en el intervalo [-2, -1].
EJERCICIO 39 : Calcula a y b para que 2
ax 3 si x 4f (x)
x 10x b si x 4
− <=
− + − ≥ cumpla las hipótesis del teorema del valor medio
en el intervalo [2, 6]. ¿Dónde cumple la tesis?
EJERCICIO 40 : Se considera la función 2
3
x nx si x 2f (x)
x m si x 2
+ < −= + ≥ −
a. Determina m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4, 2] b. Halla los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema.
EJERCICIO 41 : Justifica los pasos de la siguiente demostración: Vamos a probar que "si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b); y f' (x) = 0 en todos los puntos de (a, b), entonces f es constante en [a, b]".
1) Tomamos dos puntos cualesquiera x1 < x2 de [a, b]; entonces se cumple que: ( ) 0c'fxx
)x(f)x(f
12
12 ==−−
2) Por tanto, f (x2) - f (x1) = 0.
3) Y así deducimos que f es constante.
EJERCICIO 42 : Demuestra que la función: ( ) 3x 4 si x 1f x
2x 1 si x 1
− + ≤= − >
no cumple la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, b], cualquiera que sea el valor de b > 1.
TEMA 9 – DERIVADAS DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO, APLICANDO LA DEFINICIÓN EJERCICIO 1 : Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada: 12 xxf
Solución: 2)1x(lim
1x)1x).(1x(lim
1x1xlim
1x2)1x(lim
1x1fxf
lim1'f1x1x
2
1x
2
1x1x
EJERCICIO 2 : .3
1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,
xxff´
Solución: 31
31lim
1x
03
1x
lim1x
1fxflim1'f
1x1x1x
EJERCICIO 3 : Halla la derivada de la función f(x)=(x – 1)2 en x=2, aplicando la definición de derivada
Solución: 2xlim2x2xxlim
2xx2xlim
2x11x2xlim
2x11xlim
2x2fxflim2'f
2x2x
2
2x
2
2x
2
2x2x
EJERCICIO 4 : .x
xf,f' 2siendo 1calcula derivada, de definición la Aplicando
Solución: 2
x2lim
x)1x()x1(2lim
x1xx22lim
1xx
x22
lim1x
2x2
lim1x
1fxflim1'f
1x1x1x1x1x1x
FUNCIÓN DERIVADA, APLICANDO LA DEFINICIÓN EJERCICIO 5 : :derivadadedefinición laaplicandoHalla f´(x),
a) 12 x(x)f b) 3
1
xxf c) 22xxf d) x
xf 1 e)
32xxf
Solución:
a)
h1x1xh2hxlim
h1x1hxlim
hxfhxflimx'f
222
0h
22
0h0h
x2x2hlimh
x2hhlimh
xh2hlim0h0h
2
0h
b)
31
h3hlim
h3h
limh3
1x1hxlim
h3
1x3
1hxlim
hxfhxflimx'f
0h0h0h0h0h
c)
hx2xh4h2x2lim
hx2xh2hx2lim
hx2hx2lim
hxfhxflimx'f
222
0h
222
0h
22
0h0h
x4x4h2limh
x4h2hlimh
xh4h2lim0h0h
2
0h
d)
hxhx
hlimh
hxxh
limh
hxxhxx
limh
hxxhxx
limh
x1
hx1
limh
xfhxflimx'f0h0h0h0h0h0h
20h x
1hxx
1lim
e)
32
h3h2lim
h3h2
limh3
x2h2x2lim
h3x2
3hx2
limh
xfhxflimx'f0h0h0h0h0h
CÁLCULO DE DERIVADAS INMEDIATAS EJERCICIO 6 : Halla la función derivada de:
523a) 4 xxxf xexf b) 12c) 23 xxxf xlnxf d)
3
2e) 5 xxxf xsenxf f) 513g) 23 xxxf xcosxf h)
234i) 23 xxxf xtgxf j) 122k)
2
x
xxf xxexf l)
213m)
2
x
xxf xsenxxf 2n) 3
1ñ)2
x
xxf xlnxxf o)
x
xxf 2p) xe
xxf 13q)
323r)
2
xxxf xsenxxf 3s)
Solución:
a) 2x21x'f 3 b) xex'f x2x6x'f)c 2 x1x'f)d
31x10x'f 4 e) xcosx'f)f x6x3x'f)g 2 senxx'f)h
x6x12x'fi) 2 xcos
1x1x'fj)2
2 tg
2
2
2
22
2
2
1x2
4x2x2
1x2
4x2x2x4
1x2
22x1x2x2x'fk)
xxx ex1xeex'fl)
22
2
22
22
22
2
2x
6x2x3
2x
x2x66x3
2x
x21x32x3x'fm)
xcosxsenxx2x'fn) 2
2
2
2
22
2
2
3x
1x6x
3x
x1x6x2
3x
x13xx2x'fñ)
1xln
x1xxlnx'fo)
2x
2x2
1x'fp)
x2x
x
2x
xx
e
x32
e
1x33e
e
e1x3e3x'fq)
2
2 2
2 2 2
2
3 2 18 6
3 2 6 18 12
3 2 2 3 3 2 6
x
x x x
x x x x
x x x x ' f ) r
s) xcosxxsenx
xcosxxsenxxf 3
3 2
3132
3
131'
CÁLCULO DE DERIVADAS EJERCICIO 7 : Halla la función derivada de: a) 423 xxxf b) 14 3 xxf c) xxexf 24 3 d) xxlnxf 23 4
e)
321
xxsenxf
393f)
24 xxxf
123g) 2
2
x
xxf xxexf h)
3128i) 35 xxxf xexxxf 3j) 4
1k)
2xxsenxf
56
23l)
34 xxxf
12
3m) 3
2
x
xxf xxlnxf 2n) 4 5
32ñ)24 xxxf
xx
xxf343o)
2
32p) 3 xxf 7453
21q) xxxf senxxf x er)
23s)2x
xcosxf
3
24t) 5 xxxf xexxxf 3u) 2
11v)
2xxsenxf
143w) 7 xxxf
134x) 2
3
x
xxf 37 4y) xexf
3139z) 42 xxxf 2
3
431)
x
xxf
)xxlnxf 322) 5
7
233)5 xxxf
cosxxxf 44) 112
5)
xx
exf
523
46)6
xxxf 1
27)2
x
xxf 4328) xxxf
Solución:
a) 1634'32 xxxxf
b) 14
6
142
1212142
1'3
2
3
22
3
x
x
x
xxx
xf
c) 212' 224 3 xexf xx
d) xx
xxxx
xf23212212
231'
4
33
4
e)
3x2
1x
3x2
53x2
1x
3x2
2x23x2
3x2
21x3x23x2
1xx'f222
coscoscos
3x18x12x'ff) 3
2222
33
22
22
1x
x2
1x
x4x6x6x6
1x
x22x31xx6x'fg)
x1exeex'fh) xxx 24 x6x40x'fi)
x34x43x4x3 e3x3x4xex3x3x4ex3xe3x4x'fj)
22
2
21x
x2x1x
1x
xcosx'fk)
1x
xcos
1x
1x
1x
x21x
1x
xcos222
2
22
22
2
5x18x6
5x18
2x12x'fl)
23
23
23
244
23
223
1x2
x18x6x2x4
1x2
x63x1x2x2x'fm)
23
24
1x2
x2x18x2
x2x
2x42x4x2x
1x'fn)4
33
4
5
x6x8x'fñ)3
22
22
22
2
x3x
12x8x9x6x9x3
x3x
3x24x3x3x3x'fo)
22
2
3
1283
xx
xx
3x2
x3
3x22
x6x63x22
1x'fp)3
2
3
22
3
63 x521x2x'fq)
xxx ecosxsenxcosxesenxex'fr)
2x
x3sen2x
x66x3
2x
x2x32x3
2x
x3senx'fs)222
22
22
2
2
2x
x3sen
2x
6x3
2x
x3sen
2x
6x3222
2
222
2
32x20x'f 4 t)
3xxex3x3x2eex3xe3x2x'f 2x2xx2x u)
22
2
222
22
222
2
21x
1x2x
1x
1x
1x
x2x21x
1x
1x
1x
x21x1x
1x
1xx'f coscoscosv)
11
1
12222
2
xxcos
x
xx
43x7x'f 6 w)
22
24
22
424
22
322
1x
x6x12x4
1x
x6x8x12x12
1x
x23x41xx12x'f
x)
3x7333x7 44
ex28x28ex'f y)
3x12x18x'f z)
22
42
22
442
22
322
x4
x3x36
x4
x6x9x36
x4
x2x3x4x9x'f
1)
x3x2
3x103x10x3x2
1x'f5
44
5
2)
7
2x15x'f4
3)
senxxxx4senxxxx4x'f 4343 coscos4)
2
21x1x
2
221x1x
2
21x1x
1x
1x2xe1x
1xx2x2e1x
1x1xx2ex'f
222
5)
2x823x24x'f 5
56)
22
2
22
22
22
2
1x
2x2
1x
x42x2
1x
x2x21x2x'f
7)
4
3
4
3
4
33
4 x3x2
x61
x3x22
x612
x3x22
x122x122x3x22
1x'f
8)
EJERCICIO 8 : Halla la derivada de estas funciones:
35x xexfa) 2)2x(
x2xfb)
xln·xxxfc) 2
2x1xlnxf)d
xsen·eye) 1x2
1x23xlny)f
2)1x(
1x3yg)
2xcosy)h 42
x2 e·2xxfi) 2x41x3xf)j
Solución: a) f ‘(x) 3 (ex x5)2 · (ex 5x4)
3344
2
)2x(
4x2
)2x(
x44x2
)2x(
]x4)2x(2[)2x(
)2x(
)2x(2·x2)2x(2x'fb)
xxxxln
x21x2
x1·xxxln·
x21x2x'fc) 2
2xx
3)2x()1x(
3
)2x(
)1x2x(·)1x()2x(
)2x(
)1x(2x·
2x1x
1x'fd)222
e) y’ e2x1 · 2 · sen x e2x1 · cos x 2 e2x1 · sen x e2x1 · cos x e2x1 (2sen x cos x)
)1x2()3x(
5
)1x2(
)6x21x2(·)3x()1x2(
)1x2(
2·)3x(1x2·
1x23x
1'yf)22 372
52
xx
344
2
)1x(
2x63x3
)1x(
])1x3(2)1x(3[)1x(
)1x(
)1x(2·)1x3()1x(3'yg) 3)1(
53
x
x
h) y ‘ 2cos (x4 2) · [sen (x4 2)] · 4x3 8x3 cos (x4 2) · sen (x4 2)
i) f ‘(x) 2x · ex (x2 2) · ex (2x x2 2) ex (x2 2x 2) ex
2/1
2x41x3xfj)
2
2/1
2
2/1
)24(412612·
1324
21
)24(4·)13()24(3·
2413
21'
xxx
xx
xxx
xxxf
32/32/122/1
2/1
)24()13(
5)24(·)13(
5)24(
10·)13()24(
21
xxxxxx
x
EJERCICIO 9 : Halla la derivada de estas funciones: a) f (x) tg2 (2x4 1) b) f (x) (sen x)x1 c) 5x2 5y2 4xy
2x1xlnxfd) 2xxxfe) 1xyy2x3f) 34
g) y e2x1 · sen (x 1) h) y (3x2 1)2x i) x2 y2 xy 5 j) y cos2 (x4 2) k) y (cos x)2x l) 2x2y2 3x2 y2 2
32
2x3x4xfm)
x1x2xfn) 0yxy3xñ) 22
Solución: a) f ' (x) 2tg (2x4 1) · (1 tg2 (2x4 1)) · 8x3 16x3 tg (2x4 1) 16x3 tg3 (2x4 1)
b) y (sen x)x1 ln y ln (sen x)x1 ln y (x 1) · ln (sen x)
xsenxcos·1xxsenln
y'y
xcotg1xxsenlnxsen'y 1x
c) 10x 10y · y ' 4y 4x · y ' 10y · y ' 4x · y ' 4y 10x y ' (10y 4x) 4y 10x
xyxyy
xyxyy
2552'
410104'
d) f (x) ln (x 1) ln (x 2) 2xx
3)2x()1x(
1x2x2x
11x
1x'f2
e) y x x2 ln y ln x x2 ln y (x 2) ln x x1·2xxln
y'y
x
2xxln·x'y 2x
f) 12x3 6y2 · y ' y x · y ' 0 y ' (x 6y2) 12x3 y 2
3
y6xyx12
'y
g) y' e2x1 · 2 · sen (x 1) e2x1 · cos (x 1) e2x1 [2 sen (x 1) cos (x 1)] h) y (3x2 1)2x ln y ln (3x2 1)2x ln y 2x ln (3x2 1)
1x3
x6·x21x3xln2y'y
22
1x3
x121x3ln2·1x3'y2
22x22
i) 2x 2y · y ' y x · y ' 0 2y · y ' x · y ' 2x y y ' (x 2y) 2x y
yxyxy
22'
j) y ' 2cos (x4 2) · (sen (x4 2)) · 4x3 8x3 cos (x4 2) · sen (x4 2)
k) y (cos x)2x ln y ln (cos x)2x ln y 2x ln (cos x)
xcosxsen·x2xcosln2
y'y
y ' (cos x)2x · [2 ln (cos x) 2x tg x] l) 4xy2 2x2 · 2y · y ' 6x 2y · y ' 0 4x2yy' 2yy' 6x 4xy2 y' (4x2y 2y) 6x 4xy2
y2yx4
xy4x6'y2
2
3
12
2x3x4xfm)
2
223
2
22
232
2
)2x3(
x12x16x24·x4
2x331
)2x3(
3·x42x3x8·2x3
x431x'f
2
23
2
2 )2x3(
x16x12·x4
2x331
n) y (2x 1)x ln y ln (2x 1)x ln y x ln (2x 1) 1x2
2·x1x2lny'y
1x2x21x2ln·1x2'y x
ñ) 2x 3y 3x · y' 2y · y' 0 3x · y' 2y · y' 2x 3y y' (3x 2y) 2x 3y y2x3y3x2'y
ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD EJERCICIO 10 : Estudia la derivabilidad de esta función, según los valores de a y b:
1xsi10si
0si1323
2
xlnbxxaxx
xxxf
Solución: Continuidad: - En x 0 y x 1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
- En x 0:
.0xen continua es no xf
00f
0axxlímxflím
11x3límxflím
230x0x
20x0x
- En x 1:
b1f
bxlnbxlímxflím
a1axxlímxflím
1x1x
31x1x
Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser b 1 a. Derivabilidad:
- Si x 0 y x 1: f (x) es derivable, y su derivada es:
1xsix1b
1x0siax2x3
0xsix6
x'f 2
- En x 0: f (x) no es derivable, pues no es continua en x 0. - En x 1: Para que f (x) sea derivable en x 1, han de ser iguales las derivadas laterales:
12311'
231'
babf
af
- Por tanto, f (x) será derivable en R {0} cuando y solo cuando:0b
1a
1ba23
a1b
- En x 0 no es derivable, cualesquiera que sean a y b.
EJERCICIO 11 : Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo R:
1si2
1si
2
2
xxbx
xxax
xf
Solución: Continuidad: - En x 1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos en los que están definidas.
- En x 1:
2b1f
2bx2bxlímxflím
a1xaxlímxflím
21x1x
21x1x
Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser 1 a b 2. Derivabilidad:
- Si x 1: f (x) es derivable, y su derivada es:
1xsi2bx2
1xsix
ax2x'f
2
- En x 1: Como f '(1) 2 a y f '(1) 2b 2, para que f (x) sea derivable en x 1, ha de ser 2 a 2b 2. Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será derivable en todo R cuando:
37b
32a
4b2a
3ba
2b2a2
2ba1
EJERCICIO 12 : Estudia la derivabilidad de la función:
2xsi4x4x2x1six2
1xsix3xxf
2
224
Solución: Continuidad: - En x 1 y x 2: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
- En x 1:
.1xen continua es xf
21f
2x2límxflím
2x3xlímxflím
21x1x
241x1x
- En x 2:
.2xen continua es xf
82f
84x4xlímxflím
8x2límxflím
22x2x
22x2x
Derivabilidad:
- Si x 1 y x 0: f (x) es derivable, y su derivada es:
2xsi4x22x1six4
1xsix6x4x'f
3
- En x 1: Como f '(1) 2 f '(1) 4, f (x) no es derivable en x 1. - En x 2: Como f '(2) 8 f '(2), f (x) es derivable en x 2, y su derivada es f '(2) 8.
EJERCICIO 13 : Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable:
1xsi2bxax
1xsibaxx3xf
3
2
Solución: Continuidad: - Si x 1: f (x) es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.
- En x 1:
2ba1f
2ba2bxaxlímxflím
ba3baxx3límxflím
31x1x
21x1x
Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser 3 a b a b 2; es decir, 2a 2b 1. Derivabilidad:
- Si x 1: f (x) es derivable, y su derivada es:
1xsibax3
1xsiax6x'f
2
- En x 1: Para que sea derivable en x 1, las derivadas laterales han de ser iguales:
ba3a6ba31'f
a61'f
Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será derivable si:34b;
611a
ba3a6
1b2a2
EJERCICIO 14 : Estudia la derivabilidad de la siguiente función:
0xsi3x20x1si4x
1xsix2x3xf
x
22
Solución: Continuidad: - Si x 1 y x 0 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
- En x 1
1xen continua es xf
51f
54xlímxflím
5x2x3límxflím
21x1x
21x1x
- En x 0:
0xen continua es xf
40f
43x2límxflím
44xlímxflím
x0x0x
20x0x
Derivabilidad:
- Si x 1 y x 0 f (x) es derivable, y su derivada es:
0xsi12ln20x1six2
1xsi2x6x'f
x
- En x 1: Como f '(1) 8 f '(1) 2; f (x) no es derivable en x 1. - En x 0: Como f '(0) 0 f '(0) (ln 2) 1; f (x) tampoco es derivable en x 0.
APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE
EJERCICIO 1 : (((( )))) .0x en e
1xxf curva la a tangente recta la de ecuación la Escr ibe 0x
2====
++++====
Solución: • Ordenada del punto: f (0) = 1
• Pendiente de la recta: ( ) ( ) ( )x
2
2x
2x
2x
x2x
e
1xx2
)e(
1xx2e
)e(
e·1xxe2x'f
−−=−−=+−= ⇒f ' (0) = −1
• Ecuación de la recta tangente: y -1 = − 1 (x − 0) → y = −x + 1
EJERCICIO 2 : Escr ibe las ecuaciones de la rectas tangentes a la curva x2 −−−− 3y2 ++++ 2x ++++ 9 ==== 0 en x0 ==== 1.
Solución:
• Ordenadas de los puntos:
=
−=→=→=→=++−
2y
2yy4y312092y31 222
Hay dos puntos: (1, −2) y (1, 2)
• Pendientes de las rectas: 2x − 6y · y ' + 2 = 0 ⇒ y3
x1'y
y6
x22'y
+=→−
−−=
( )3
1
6
2
6
112,1'y
−=−
=−+=− ( )
3
1
6
2
6
112,1'y ==+=
• Ecuaciones de las rectas tangentes:
( ) ( )3
5x
3
1y1x
3
12y2,1En - −−=→−−−=→−
( ) ( )3
5x
3
1y1x
3
12y2,1En - +=→−+=→
EJERCICIO 3 : (((( ))))
.3x en 1x
1xxy curva la a tangente recta la de ecuación la Halla 0
2====
++++−−−−====
Solución:
• Ordenada en el punto: y (3) = 9
• Pendiente de la recta: ( )
1x
xx
1x
1xxy
232
+−=
+−= ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
=+
−−+−=+
+−−+−
=3
232232
1x2
xx1xx2x32
)1x(
1x2
1·xx1xx2x3
'y
( )3
23
1x2
x4x3x5
+
−+= ⇒ ( )8
753'y =
• Ecuación de la recta tangente: ( )8
153x
8
75y3x
8
759y −=→−+=
ESTUDIO DE FUNCIONES
EJERCICIO 4 : Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función: (((( ))))1x3
3x9x3xf
2
−−−−++++−−−−====
Solución:
( ) ( ) ( ) ( )=
−
−+−+−−=−
+−−−−=
2
22
2
2
)1x3(
9x27x99x27x6x18
)1x3(
33x9x31x39x6x'f
2
2
)1x3(
x6x9
−
−=
( ) ( )
=→=−
=→=→=−→=−→=
3
2x02x3
0x0x302x3x30x6x90x'f 2
Signo de f ' (x):
( ) ( ) máximoun Tiene .3
2,0en edecrecient es ;,
3
20,en creciente es xf
∞+∪∞−
( ) .3
5,
3
2en mínimoun y 3,0en
−−
EJERCICIO 5 : Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la curva: f (x) ==== 5x2 (x −−−− 1)2 Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa. Solución:
• Primera derivada: f ' (x) = 10x (x − 1)2 + 5x2 · 2 (x − 1) = 10x (x − 1) 2 + 10x2 (x − 1) =
= 10x (x − 1) (x − 1 + x) = 10x (x − 1) (2x − 1) ⇒ ( )
=
=
=
=
2
1x
1x
0x
0x'f
Signo de f ' (x):
( ) ( ) ( ) un Tiene .,12
1,0en creciente es ;1,
2
10,en edecrecient es xf ∞+∪
∪∞−
( ) ( ).01,y 0,0 :mínimos dosy 16
5,
2
1en máximo
• Segunda derivada:
f ' (x) = 10x (x − 1) (2x − 1) = 20x3 − 30x2 + 10x
f '' (x) = 60x2 − 60x + 10 = 10 (6x2 − 6x + 1)
( )
≈
≈→±=−±=→=+−→=
79,0x
21,0x
12
126
12
24366x01x6x60x''f 2
Signo de f'' (x):
f (x) es cóncava en (−∞; 0,21) ∪ (0,79; +∞); es convexa en (0,21; 0,79). Tiene dos puntos de inflexión: (0,21; 0,14) y (0,79; 0,14). CÁLCULO DE PARÁMETROS EJERCICIO 6 : Halla los valores de a y b en la función f(x) = x2 + ax + b sabiendo que pasa por el punto P(-2,1) y tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3
Solución:
Si pasa por el punto (-2, 1)⇒ f(-2) = 1 ⇒ 1)2()2( 2 =−−+− ba ⇒ 3−=−− ba
Como tiene un extremo para x = -3 ⇒ f’ (-3) = 0 ⇒ axxf +=′ 2)( ⇒ 0)3(2 =+− a ⇒ a = 6 Resolviendo el sistema: Como a = 6 , b = -3
EJERCICIO 7 : Halla a, b y c en la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d sabiendo que el punto P(0,4) es un máximo y el punto Q(2,0) es un mínimo.
Solución:
Máximo en P(0,4) ⇒
3 2
2
2
Pasa por el punto (0,4) f (0) 4 a.0 b.0 c.0 d 4 d 4
f (́0) = 0Máximo en x = 0 3a.0 2b.0 c 0 c 0
f'(x)=3ax +2bx+c
⇒ = ⇒ + + + = ⇒ =
⇒ ⇒ + + = ⇒ =
Mínimo en Q(2,0) ⇒
3 2
2
2
Pasa por el punto (2,0) f (2) 0 a.2 b.2 c.2 d 0 8a 4b 2c d 0
f (́2) = 0Mínimo en x = 2 3a.2 2b.2 c 0 12a 4b c 0
f'(x)=3ax +2bx+c
⇒ = ⇒ + + + = ⇒ + + + =
⇒ ⇒ + + = ⇒ + + =
Formando un sistema con las 4 ecuaciones obtenidas resulta:
d 4
8a 4b 2c d 0
c 0
12a 4b c 0
= + + + = = + + =
⇒ 8a 4b 4
12a 4b 0
+ = − + =
⇒ 2a b 1
3a b 0
+ = − + =
⇒2a b 1
3a b 0
− − = + =
⇒ a = 1; b = -3
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIO 8 : La suma de tres números positivos es 60. El pr imero más el doble del segundo más el tr iple del tercero suman 120. Halla los números que ver ifican estas condiciones y cuyo producto es máximo. Solución: Llamamos x al primer número, y al segundo y z al tercero. Así, tenemos que:
( )z260y
zx
z3120y2x
z60yx
120z3y2x
0z,y,x60zyx
−=
=
−=+
−=+
=++
>=++
El producto de los tres números es: P = x · y · z = z · (60 − 2z) · z = z2 (60 − 2z) = f (z), z > 0 Buscamos z para que f (z) sea máximo:
f '(z) = 2z (60 − 2z) + z2 · (−2) = 2z (60 − 2z − z) = 2z (60 − 3z) = 120z − 6z2
( )
=
>=→=
20z
0).zser de ha pues vale,(no 0z0z'f
Veamos que en z = 20 hay un máximo:f ''(z) = 120 − 12z ; f ''(20) = −120 < 0 → hay un máximo Por tanto, el producto es máximo para x = 20, y = 20, z = 20. EJERCICIO 9 : Entre todos los tr iángulos rectángulos de hipotenusa 5 metros, determina razonadamente el que tiene área máxima. Solución:
( ) 5x0,xf2
x25x Área
2<<=
−=
Buscamos x para que el área sea máxima: ( )2
xx25xf
42 −=
( ) ( )2
2
2
2
42
3
42
3
x252
x225
x25x2
x225x
xx252
x2x25
xx254
x4x50x'f
−
−=−
−=
−
−=−
−=
( )
=
−=
→=→=−→=
2
25x
) vale(no 2
25x
2
25x0x2250x'f 22
( ) ( ) en derecha,su a 0x'fy 2
25x de izquierda la a 0x'f (Como <=> máximo).un hay
2
25x =
metros. 2
25xmiden catetos dos los cuando máxima es área el Por tanto, =
EJERCICIO 10 : Un móvil se desplaza según la función: e (t) ==== 600t ++++ 150t 3 −−−− 115t 4 ++++ 27t 5 −−−− 2t 6, que nos da el espacio en metros recorr ido por el móvil en t minutos. Determina a cuántos metros de la salida está el punto en el que alcanza la máxima velocidad. Solución: La función que nos da la velocidad es la derivada de e (t):
e' (t) = 600 + 450t 2 − 460t 3 + 135t 4 − 12t 5 = v (t) Para obtener el máximo de la velocidad, derivamos v (t):
v' (t) = 900t − 1 380t 2 + 540t 3 − 60t 4 = 60t (15 − 23t + 9t 2 − t 3) == −60t (t − 1) (t − 3) (t − 5) v' (t) = 0 → t = 0, t = 1, t = 3, t = 5
Obtenemos el valor de v (t) en estos puntos:v (0) = 600, v (1) = 713, v (3) = 249, v (5) = 1 225 Por tanto, la máxima velocidad se alcanza en el minuto t = 5 y el espacio recorrido es e (5) = 3 000 m. EJERCICIO 11 : Un granjero desea vallar un ter reno rectangular de pasto adyacente a un r ío. El pastizal debe
tener 180 000 m2 para producir suficiente for raje para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el ter reno rectangular de forma que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al r ío no necesita ser vallado? Solución:
x
000180ym000180xyÁrea 2 =→==
Cantidad de valla necesaria: ( ) 0x,x
000180x2yx2xf >+=+=
Buscamos x > 0 que haga f (x) mínima:
( )2x
0001802x'f −=
( )
=
−=→=→=−→=
300x
vale)(no 300x00090x0000180x20x'f 22
Veamos que en x = 300 hay un mínimo: ( ) ( ) mínimoun hay 0300''f;x
000360x''f
3→>=
Por tanto, han de ser: x = 300 m, y = 600 m
EJERCICIO 12 : Entre todos los tr iángulos rectángulos de área 5 cm2, determina las longitudes de los lados del que tiene la hipotenusa mínima. Solución:
0x,x
10y10y·xÁrea >=→==
2222
x
100xyxHipotenusa +=+=
Buscamos el valor de x > 0 que hace mínima la función: ( )2
2
x
100xxf +=
Derivamos:
( )
−
+=
3
22 x
200x2·
x
100x2
1x'f
( ) →=→=−→=−→= 100x0200x20x
200x20x'f 44
310y10100x 4 =→==→
( ) ( ) unhay 10xen derecha,su a 0x'fy 10 de izquiera la a 0x'f (Como =>< mínimo).
cm. 20 medirá hipotenusa lay uno; cada cm 10miden catetos los ,Por tanto
CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 13 : Calcular los siguientes límites:
x
x 0
e 1a) lím
x sen x→→→→
−−−−++++ 3 2x 0
xsen xb) lím
x 3x→→→→ ++++
x 0
2x 2sen xc) lím
x sen x→→→→
−−−−++++
2x 0
4 4cosxd) lím
x→→→→
−−−− 3
x 0
xe) lím
xcosx sen x→→→→ ++++
f) x x
x 0
a blím
x→→→→
−−−− g)
x 0lím (xLx)
++++→→→→ h)
2x 0
x senxlím
sen x→→→→
−−−− i)
x 0
xsenxlím
1 cosx→→→→ −−−− j ) x
x 0lím x
++++→→→→ k)
x x
x 0
e e 2xlím
x senx
−−−−
→→→→
− −− −− −− −−−−−
Solución:
x xL´H
x 0 x 0
e 1 0 e 1a) lím lím
x sen x 0 1 cosx 2→ →
− = = = + + .
L´H L´H
3 2 2x 0 x 0 x 0
x senx 0 senx x cosx 0 cosx cosx xsen x 2 1b) lím lím lím
0 0 6x 6 6 3x 3x 3x 6x→ → →
+ + − = = = = = = ++ +
L´H
x 0 x 0
2x 2sen x 0 2 2cosx 2 2c) lím lím 0
x senx 0 1 cosx 1 1→ →
− − − = = = = + + + .
L´H L´H
2x 0 x 0 x 0 x 0
4 4cosx 0 4senx 2senx 0 2cosxd) lím lím lím lím 2
0 2x x 0 1x→ → → →
− = = = = = =
3 2L´H
x 0 x 0
x 0 3x 0e) lím lím 0
x cosx senx 0 cosx xsenx cosx 2→ →
= = = = + − +
f) x x 0 0 x x
x x
x 0 x 0 x 0
a b a b 1 1 0 a .La b .Lblím lím lím(a La b Lb)
x 0 0 0 1→ → →
− − − −= = = = = − =
0 0a La b Lb La Lb− = −
g)2
x 0 x 0 x 0 x 0 x 02
1Lx xxlím(xLx) (0. ) lím lím lím lím( x) 01 1 xx x
+ + + + +→ → → → →
∞ = ∞ = = = = = − = −∞ −
h) 2x 0 x 0 x 0 x 0
x senx 0 1 cosx 1 cosx 0 senx 0lím lím lím lím 0
0 2senx.cosx sen2x 0 cos2x.2 2sen x→ → → →
− − − = = = = = = =
i)x 0 x 0 x 0
xsenx 0 1.senx x cosx 0 cosx 1.cosx ( senx).x 2lím lím lím 2
1 cosx 0 senx 0 cosx 1→ → →
+ + + − = = = = = = −
j) x 2
x 0 x 0 x 0
Lnx 1/ xLnx L´Hlím lím lím xx Lnx x.Lnx 01/ x 1/ x1/ x
x 0 x 0 x 0 x 0lím x lím e lím e lím e e e e e 1+ + +→ → →
+ + + +
−−
→ → → →= = = = = = = =
k) x x x x x x x x
x 0 x 0 x 0x 0
e e 2x 0 e e 2 0 e e 0 e elím lím lím lím 2
x senx 0 1 cosx 0 senx 0 cosx
− − − −
→ → →→
− − + − − + = = = = = = = − −
TEOREMAS DE DERIVABILIDAD
EJERCICIO 14 : Comprueba que la función f (x) ==== x2 ++++ 2x −−−− 1 cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−−−−3, 1]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución:
• La función f (x) = x2 + 2x − 1 es continua y derivable en todo R; por tanto, será continua en [−3, 1] y derivable en (−3, 1).
( )( )
=
=−• iguales.son
21f
23f :Además
• Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle. Así, sabemos que existe c ∈ (−3, 1) tal que f '(c) = 0. • Veamos dónde se cumple la tesis:f '(x) = 2x + 2 → f '(c) = 2x + 2 → c = −1 ∈ (−3, 1)
EJERCICIO 15 : Calcula m y n para que la función: (((( ))))
>>>>−−−−≤≤≤≤++++−−−−====
1xsi2nx
1xsimx2x3xf2
cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 2]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución: • Continuidad en [0, 2]: - Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.
- En x = 1:
( ) ( )( ) ( )
( )
+=
−=−=
+=+−=
++
−−
→→
→→
m11f
2n2nxlímxflím
m1mx2x3límxflím
1x1x
2
1x1x
⇒ Para que sea continua en, ha de ser 1 + m = n − 2
• Derivabilidad en (0, 2):
- Si x ≠ 1, la función es derivable, y su derivada es: ( )
><−
=1xsin
1xsi2x6x'f
- Para que sea derivable en x = 1, han de coincidir las derivadas laterales:( )( )
4n
n1'f
41'f=
=
=
+
−
• Por tanto, f (x) cumplirá las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 2] si:
=
=
=
−=+
4n
1m
4n
2nm1
Este caso quedaría: ( ) ( )
>≤−
=
>−≤+−=
1xsi4
1xsi2x6x'f
1xsi2x4
1xsi1x2x3xf2
Veamos dónde cumple la tesis:
( )2
5
2
16
02
)0(f)2(fc'f =−=
−−= ⇒ ( ) ( ) ( )1 si2,0
43
25
26' >∈=→=−= ccccf
EJERCICIO 16 : Comprueba que la función: (((( ))))
>>>>++++−−−−≤≤≤≤++++−−−−====
2xsi5x4
2xsi1xxf2
satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 3]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución: • Continuidad en [0, 3]: - Si x ≠ 2, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.
- En x = 2:
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) .2xen continua es xf
2fxflím
32f
35x4límxflím
31xlímxflím
2x
2x2x
2
2x2x
=
=
−=
−=+−=
−=+−=
→→→
→→
++
−−
Por tanto, f (x) es continua en [0, 3]. • Derivabilidad en (0, 3):
- Si x ≠ 2, la función es derivable, y su derivada es: ( )
>−<−
=2xsi4
2xsix2x'f
- En x = 2, como f '(2−) = f '(2+) = −4, también es derivable; y f '(2) = −4. Por tanto, f (x) es derivable en (0, 3). • Se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 3]; por tanto, existe c ∈ (0, 3) tal
que: ( )3
8
03
17
03
)0(f)3(fc'f
−=−−−=
−−=
Veamos dónde se cumple la tesis: ( )3,03
4c
3
4x
3
8x2 ∈=→=→−=−
EJERCICIO 17 : Calcula los valores de a, b y c para que la función: (((( ))))
≤≤≤≤≤≤≤≤++++<<<<≤≤≤≤−−−−++++====
2x1sicbx
1x2siaxxxf2
cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−2, 2]. ¿Qué asegura el teorema en este caso? Solución: • Continuidad en [−2, 2]: - Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.
- En x = 1:
( ) ( )( ) ( )
( )
+=
+=+=
+=+=
++
−−
→→
→→
cb1f
cbcbxlímxflím
a1axxlímxflím
1x1x
2
1x1x
⇒ Para que sea continua en x = 1, ha de ser 1 + a = b + c.
• Derivabilidad en (−2, 2):
- Si x ≠ 1, la función es derivable, y su derivada es: ( )
<<<<−+
=2x1sib
1x2siax2x'f
- En x = 1, han de ser iguales las derivadas laterales:( )( )
ba2
b1'f
a21'f=+
=
+=
+
−
• Además, debe ser f (−2) = f (2); es decir:4 − 2a = 2b + c
• Uniendo las condiciones anteriores, tenemos que:
1c4
9b
4
1a
cb2a24
ba2
cba1
−=
=
=
+=−
=+
+=+
• En este caso, el teorema de Rolle asegura que existe c ∈ (−2, 2) tal que f '(c) = 0.
EJERCICIO 18 : Comprueba que la función f (x) ==== 3x2 −−−− 6x ++++ 7 cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [−−−−1, 2]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución:
• La función f (x) = 3x2 − 6x + 7 es continua y derivable en R; por tanto, será continua en [−1, 2] y derivable en (−2, 1). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio.
• Entonces, existe c ∈ (−1, 2) tal que: ( ) 33
9
12
167
)1(2
)1(f)2(fc'f −=−=
+−=
−−−=
Veamos cuál es el valor de c en el que se cumple la tesis:f '(x) = 6x − 6 → f '(c) = 6c − 6 = −3 → 6c = 3 ⇒
( )2,12
1cen cumple se tesisLa .
2
1
6
3c −∈===
EJERCICIO 19 : La función f: [-1,1] →→→→ R definida por f(x) = 3 2x toma el valor en los extremos del intervalo, f(-1) = 1; f(1) = 1. Encontrar su der ivada y comprobar que no se anula nunca. ¿Contradice esto el teorema de
Rolle? Solución: 1) ¿ f continua en [-1,1]?: Cierto porque f es continua en todo R
2) ¿f derivable en (-1,1)? : 3
2 1f (x) .
3 x′ = ⇒ Falsa porque f no se derivable en x = 0 ⇒ No es cierta
Esto no contradice el teorema de Rolle porque la segunda hipótesis no se verifica. EJERCICIO 20 : Calcula b para que la función f(x) = x3 – 4x + 3 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,b]. ¿Dónde se cumple la tesis? Solución:
1) ¿f continua en [0,b]?: Cierto porque f es continua en todo R.
2) ¿f derivable en (0,b)?: f ´(x) = 3x2 – 4 cierto porque f es derivable en todo R
3) ¿f(0) = f(b)?:
f(0) = 3; f(b) = b3 – 4b +3 = 3 ⇒ b3 –4b = 0 ⇒ b(b2 – 4) =0
Cuyas soluciones son b = 0; b = 2; b = -2 : La única solución válida es b = 2.
¿Dónde se cumple la tesis?: f´(x) = 3x2 – 4; f´(c ) = 3c2 – 4 = 0 ⇒ 2c3
=
EJERCICIO 21 : Comprueba que la función f(x) = 2
2x 2 si -1/2 x<1
5-(x-2) si 1 x 4
+ ≤
≤ ≤ cumple las hipótesis del Teorema de
Rolle. Si las cumple, aver iguar dónde cumple la tesis
Solución: 1) ¿f continua en [-1/2,4]? f continua en [-1/2,4] – { 1} por composición de funciones continuas En x = 1
f(1) = 5 - (1 – 2)2 = 4 Por tanto f continua en x = 1. Por tanto f continua en [-1/2,4] y se cumple la primera hipótesis
x 1 x 1
2x 1
x 1 x 1
lím f (x) lím(2x 2) 4limf (x)
lím f (x) lím 5 (x 2) 4
− −
+ +
→ →
→
→ →
= + ==
= − − =
2) ¿f derivable en (-1/2,4)? 12 si x 12f (x)
2x 4 si 1 x 4
− ≤ <′ = − + ≤ ≤
f derivable en (-1/2,4) – { 1} por composición de funciones derivables. En x = 1:
f (1 ) 2−′ =
f (1 ) 2.1 4 2+′ = − + =
Las derivadas laterales son iguales, luego es derivable en x = 1 Por tanto es derivable en (-1/2,4) y se cumple la 2ª hipótesis. 3) ¿f (-1/2) = f(4)?
11f ( ) 2( ) 2 12 2− = − + =
2f (4) 4 4.4 1 1= − + + =
Como toma el mismo valor en los extremos del intervalo, se cumple la 3ª hipótesis. Por tanto cumple las hipótesis del Teorema de Rolle. Veamos dónde se verifica la tesis: c ∈ (-1/2,4) tal que f ´(c) = 0
12 si c 12f (c)2c 4 si 1 c 4
− ≤ <′ = − + ≤ ≤
Haciendo 0)( =′ cf , resulta:
0 = 2 que es absurdo.
0 = –2c + 4, es decir, c = 2, porque pertenece a (-1/2,4)
La tesis se verifica en c = 2
EJERCICIO 22 : Siendo f(x) = (x – 2)2(x + 1), hallar un número c, en el intervalo (0,4) de modo que se ver ifique
el teorema del valor medio.
Solución: Como es una función polinómica, es continua y derivable en todo R, luego podemos aplicar el teorema:
f (b) f (a)f (c)
b a
− ′=−
⇒ f (4) f (0)
f (c)4 0
− ′=−
f(4) = (4 – 2 )2(4 + 1) = 20
f(0) = (0 – 2 )2(0 + 1) = 4
f´(x) = 2(x – 2 )(x + 1 ) + 1. (x – 2 )2 = (x – 2 )[2(x + 1 ) + (x – 2 )] = (x – 2 )3x ⇒ f´(c) = (c – 2)3c
cc 3)2(04
420 −=−−
⇒ 3c2 – 6c = 4 ⇒ 3c2 – 6c – 4 = 0
2116 36 48 6 84 6 2 21 3c6 6 6 211 3
+± + ± ± = = = = −
La solución válida es la 1ª porque tiene que estar entre 0 y 4
EJERCICIO 23 : Prueba que la función
− <= ≥
23 x si x 1
2f (x)1
si x 1x
satisface las hipótesis del teorema del valor
medio en el intervalo [0,2] y calcula el o los valores vaticinados por el teorema. Solución: 1) ¿f continua en [0,2]?
f continua en [0,2] – { 1} En x = 1
2 2
x 1x 1
x 1
x 1x 1
3 x 3 1lim f (x) lim 1
2 2limf (x)1 1
lim f (x) lim 1x 1
f (1) 1/1 1
−
+
→→
→
→→
− −= = == = = =
= =
⇒ Por tanto f continua en x = 1
f continua en [0,2] y se cumple la primera hipótesis
2) ¿f derivable en (0,2)?2
-x si x 1f (x) 1
si x 1x
<′ = − ≥
f derivable en (0,2) – { 1} por composición de funciones derivables. En x = 1
f´(1-) = -1 f´(1+)= -1 f derivable en x = 1 Por tanto derivable en (0,2) y se cumplen la segunda hipótesis Satisface las dos hipótesis del teorema del valor medio
Tesis: Existe un c ∈ (0,2) tal que : f (2) f (0)
f (c)2 0
− ′=−
f(2) = 1/2 ; f(0) = 3/2 , 2
c si c 1f (c) 1 si c 1
c
− <′ = − ≥
luego 2
31 c si c 12 2
1 si c 12 0 c
− <− = − ≥−
De la primera ecuación se obtiene: –1/2 = -c ⇒ c = ½ ∈ (0,2) ⇒ Una solución válida c = 1/2
Y de la segunda ecuación: -1/2 = - 1/c2 ⇒ c2 = 2 ⇒ c 2= ∈ (0,2) ⇒ Otra solución válida c 2=
EJERCICIO 24 : Aplica el teorema de Cauchy a las funciones f(x) = x2 – 2; g(x) = 3x2 + x – 1 en el intervalo [0,4]
Solución: Las funciones son continuas y derivables por tratarse de funciones polinómica, por tanto,
xxf 2)( =′ ; ccf 2)( =′
16)( +=′ xxg ; 16)( +=′ ccg
Valores de las funciones en los extremos de los intervalos: 2)0( −=f ; 14)4( =f
1)0( −=g ; 51)4( =g
Entonces, 16
2
)1(51
)2(14
+=
−−−−
c
c ⇒
16
2
52
16
+=
c
c ⇒
16
2
13
4
+=
c
c
es decir, 24c + 4 = 26c ⇒ 2c = 4⇒ c = 2 ∈ (0,4)
La tesis se verifica en c = 2